Programação Matemática e Heurísticas para o Problema de Fluxo Multiproduto Binário

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional Programação Matemática e Heurísticas para o Problema de Fluxo Multiproduto Binário Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluna: Mayra Carvalho Albuquerque Orientador: Prof. Dr. Moacir Felizardo de França Filho (CEFET/MG) Co-Orientador: Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos (UFOP) Belo Horizonte - MG Dezembro de 2011

2 A347p Albuquerque, Mayra Carvalho Programação matemática e heurísticas para o problema de fluxo multiproduto binário / Mayra Carvalho Albuquerque f. Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional. Orientador: Moacir Felizardo de França Filho. Coorientador: Haroldo Gambini Santos. Dissertação (mestrado) Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. 1. Pesquisa operacional Modelos matemáticos Teses. 2. Programação linear Teses. 3. Programação inteira Teses. 4. Programação heurística Teses. 5. Otimização combinatória Teses 6. Análise de redes (Planejamento) Teses. I. França Filho, Moacir Felizardo de. II. Santos, Haroldo Gambini. III. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. IV. Título. CDD Elaboração da ficha catalográfica pela Biblioteca-Campus II / CEFET-MG

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4 Agradecimentos Aos meus pais pelos princípios e liberdade. Em especial, à minha mãe, exemplo de vida e força, obrigada pelas orações e cuidado. Aos meus irmãos que sempre me apoiaram. Ao meu sobrinho pelo carinho e por também suportar as saudades. Ao professor Moacir França pela orientação e por acreditar em mim ao me escolher como sua orientada. Ao professor Sérgio Souza pela colaboração. Ao professor Haroldo Santos. Sua orientação e visão experiente foram fundamentais para a dissertação ser concretizada. Obrigada pela motivação, paciência ilimitada e amizade. Meus sinceros agradecimentos e admiração. Aos professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação do CEFET-MG. Agradeço ao Professor Marcone Souza, pelas excelentes aulas ministradas. Aos meus amigos do MMC e do CCC. Em especial, Renan e Dayanne, presentes desde o início do mestrado; Solange e Saulo, pelos momentos de confidências e de muita risada; Flaviana, Jeanderson, Herondino, Lillia, Jahina, Luciene, José Maurício, Robert, a todos que estiveram ao meu lado. Às amigas de república pela agradável convivência. Ao amigos de Viçosa (UFV), que mesmo com o tempo e a distância, sempre torceram por mim. A todos os brasileiros que pagam seus impostos, por me sustentarem em BH durante dois anos de mestrado. Com isso, agradeço ao CNPq pela concessão de bolsa. A Deus pela paz, força, sabedoria e por me proteger nas inúmeras e proveitosas viagens a Ouro Preto. ii

5 Resumo Os modelos de rede são comumente utilizados para descrever problemas em áreas de importantes aplicações práticas, tais como telecomunicações, sistema de transporte, distribuição e logística, dentre outras. Dentre os diversos modelos de rede existentes, tem-se o Problema de Fluxo Multiproduto (PFM), que surge quando diversos produtos competem pelos arcos capacitados numa mesma rede. Um caso particular é o PFM binário, no qual o fluxo de cada produto pela rede é indivisível. Considerado um problema combinatório difícil, resolvê-lo utilizando métodos exatos pode demandar grande quantidade de tempo e memória. Por outro lado, métodos heurísticos podem gerar soluções de boa qualidade, ainda que sem garantir a otimalidade. Assim, propõe-se a utilização de métodos exatos combinados a métodos heurísticos para a resolução do problema de fluxo multiproduto binário. Primeiramente foram propostas e estudadas duas relaxações, baseadas nas restrições do modelo original. Na segunda parte, um algoritmo baseado na inserção de soluções iniciais à programação inteira foi estudado. No algoritmo, soluções heurísticas, construídas a partir de soluções parciais fornecidas pelo resolvedor de programação linear (CPLEX), são inseridas periodicamente na árvore do Branch-and-Cut do próprio resolvedor. Finalmente, uma heurística de programação matemática aplicada ao PFM binário é apresentada. A heurística baseia-se na resolução de subproblemas menores, derivados de uma decomposição por produtos. Sua eficiência é comprovada quando comparada ao método de Geração de Colunas existente na literatura. Com esse trabalho foi possível provar a otimalidade das melhores soluções obtidas, em todos os problemas-teste. Em particular, soluções ótimas foram alcançadas pela primeira vez, para 8 instâncias. Palavras-Chave: Problema de Fluxo Multiproduto, Programação Linear Inteira, Heurísticas, Fluxo de Rede. iii

6 Abstract Network models are commonly used to describe problems in important areas of application, such as telecommunications, transport system, distribution and logistics, among others. Among the various network models existing, there is the Multicommodity Flow Problem (MFP) that arises when different products compete for the capacited arcs on the same network. A case in point is the binary MFP, where the flow of each product across a network is indivisible. Considered a problem of combinatorial complexity, solve it using exact methods can require significant time and memory. On the other hand, heuristic methods can generate good solutions, without ensuring optimality. So, it is proposed the development of exact methods combined with heuristic methods for solving the binary MFP. Firstly, were proposed and studied two relaxations based on restrictions of the original model. In the second part, an algorithm based on the insertion of initial solutions to the integer programming has been studied. In this algorithm, heuristic solutions, constructed from partial solutions provided by the linear programming solver (CPLEX), are periodically inserted in the branch-and-cut process of the solver. Finally, a heuristic of integer programming applied to the binary MFP is presented. The heuristic is based on resolutions of smaller subproblems, obtained by commodity decompositions. Its efficiency is proven when compared to the method of Column Generation reported in the literature. With this work, it was possible to prove optimality in all test problems, particularly for the first time, for eight instances. Keywords: Network Flows, Multicommodity Flow Problem, Integer Programming, Heuristic. iv

7 Sumário Lista de Tabelas Lista de Figuras Lista de Algoritmos vii viii ix 1 Introdução Considerações iniciais Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Motivação Organização do Texto Problema de Fluxo Multiproduto Características do PFM Aplicações Variações do Problema de Fluxo Multiproduto Formulação Matemática Formulação Nó-Arco Formulação Arco-Rota Formulação Nó-Arco para o PFM Binário Exemplo Estado da Arte Métodos exatos Métodos heurísticos Uso combinado de métodos exatos e meta-heurísticas Métodos de Resolução de Problemas de Otimização Combinatória Métodos Exatos Geração de Colunas Branch-and-Bound Plano de Corte e Branch-and-Cut Branch-and-Price Branch-and-Cut-and-Price Métodos Heurísticos Heurísticas construtivas Heurísticas de Refinamento v

8 3.2.3 Meta-Heurísticas Programação Matemática/Métodos Heurísticos Rounding Diving LP-and-Fix Relax-and-Fix Feasibility Pump Local Branching RINS - Relaxation Induced Neighborhood Search Métodos Matheurísticos Formulações de Programação Matemática do PFMB Formulação Original F Formulação F s : Dualização da restrição de capacidade Formulação F t : Dualização da restrição de conservação de fluxo Algoritmo Proposto Algoritmo PI-SIC Heurística de Factibilidade Pseudocódigo PI-SIC Algoritmo DPPFM Pseudocódigo DPPFM Resultados Computacionais Instâncias testadas Comparação entre as Formulações Resultados do Algoritmo PI-SIC Resultados do Algoritmo DPPFM Conclusões e trabalhos futuros 63 Referências 65 vi

9 Lista de Tabelas 2.1 Dados da instância Rotas viáveis para os produtos da rede Comparação entre as estratégias para atributo do arco Tabela de parâmetros para o Algoritmo PI-SIC Características das instâncias do problema Características das instâncias Carbin em relação ao custo e demanda Melhores soluções para as instâncias Resultado para as formulações apresentadas Resultados do Algoritmo PI-SIC Resultados: GC (Alvelos, 2005) DPPFM vii

10 Lista de Figuras 2.1 Exemplo de uma rede multiproduto Instância para o problema de fluxo multiproduto Solução para a instância de uma rede de fluxo multiproduto Inteiro e Contínuo Interação do Problema Mestre com o Subproblema no método Geração de Colunas Limites no método B&B e a solução ótima Representação do particionamento no método B&B Principal classificação de combinações exatas/meta-heurísticas Rede inicial completa Fixações feitas no B&C para o produto P A Construção do subgrafo Fluxo para o produto P A Algoritmo PI-SIC: Instância bl Algoritmo PI-SIC: Instância bl Algoritmo PI-SIC: Instância bl Algoritmo PI-SIC: Instância bs Algoritmo PI-SIC: Instância bs Algoritmo PI-SIC: Instância bs viii

11 Lista de Algoritmos 1 Algoritmo Geração de Colunas Algoritmo de planos de corte Heurística de Factibilidade Inicial PI-SIC DPPFM ix

12 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações iniciais Muitos problemas práticos podem ser formulados como problemas de fluxo de rede. A literatura sobre o tema é bastante extensa. Ford e Fulkerson (1962), Bazaraa et al. (1990), Ahuja et al. (1993) e Eiselt e Sandblom (2000) escreveram livros sobre a Programação Linear na qual os Fluxos de Redes se enquadram. As redes podem ser classificadas em duas categorias: a rede padrão e a rede generalizada. Os modelos de fluxo de rede padrão exigem a conservação de fluxo em todos os arcos, ou seja, a quantidade de fluxo de entrada de um arco deve ser igual ao montante do fluxo que sai do arco. Os modelos de fluxo de rede generalizada, por outro lado, são generalizações de modelos de fluxo de rede padrão, em que cada arco do grafo subjacente tem um ganho associado positivo ou um fator de perda. O fluxo que passa pelo arco é aumentado ou diminuído por esse fator. Graças a esse recurso de modelagem, as redes generalizadas ganharam atenção considerável nas últimas décadas. Os modelos de rede são usados para lidar com um grande número de decisões em nossa sociedade. Os problemas de fluxo de rede são os modelos de otimização mais predominantes na prática. Em um modelo de fluxo de rede, a modelagem é a definição de variáveis de decisão, como o fluxo em cada arco. As restrições de conservação de fluxo forçam o fluxo de entrada de cada nó a ser igual ao fluxo que sai desse mesmo nó. As demais variáveis e restrições permitem a consideração de muitos problemas diferentes, provenientes de diversas áreas de aplicação, como: Problema de transporte: várias mercadorias produzidas em locais diferentes precisam ser enviadas para diferentes centros de distribuição. Dados o custo do transporte de uma unidade da mercadoria entre cada dois pontos, a capacidade e a demanda em cada centro de distribuição, o problema consiste em encontrar o plano de transporte de menor custo (Hitchcock, 1941). Problema de atribuição: dadas diferentes tarefas e diferentes agentes, assegurando que cada tarefa seja atribuída a um único agente, cuja capacidade deve ser respeitada, o problema consiste em encontrar uma atribuição de custo mínimo (Balachandran, 1976). 1

13 1.2 Considerações iniciais 2 Problema do caminho mínimo: dada uma rede direcionada e o comprimento de cada arco na rede, encontrar o caminho de comprimento mais curto entre dois nós dados. Problema de fluxo de valor máximo: dada uma rede direcionada, com um nó de entrada e um nó de saída, e as capacidades associadas a cada arco, encontrar o número máximo de unidades que podem ser encaminhadas de um nó a outro. Neste caso, as restrições são as equações de equilíbrio de fluxo nos nós. Problema de fluxo de custo mínimo: dada uma rede direcionada, com capacidades superiores e inferiores em cada um dos seus arcos, e um conjunto de fluxos externos (positivos ou negativos), que precisam ser encaminhados através da rede, encontrar o custo mínimo de encaminhamento dos fluxos de dados através da rede. Neste caso, o custo por unidade de fluxo em cada arco é conhecido. Problema de fluxo multiproduto: o fluxo multiproduto é outra extensão amplamente utilizada dos fluxos, em que cada produto tem sua própria origem e destino. Dada uma rede direcionada, com capacidade superior em cada um dos seus arcos, o problema consiste em encontrar o fluxo de custo mínimo para o conjunto de produtos. Os problemas de fluxo generalizado têm sido estudados como um caso especial de Programação Linear por várias décadas. No final dos anos 1950 e início dos anos 1960, Ford e Fulkerson (1962) deram início ao estudo sobre fluxos de redes que lidam com vários produtos diferentes dentro da mesma rede. Esses modelos de fluxo de rede são chamados Modelos de Fluxo Multiproduto. O Problema de Fluxo Multiproduto (PFM), conhecido por Multicommodity Flow Problem na literatura inglesa, tem grande destaque, devido a suas inúmeras aplicações, principalmente na área de telecomunicações e transporte, e também pelo grande campo de pesquisa em Programação Linear. Segundo Garey e Johnson (1979), o Problema de Fluxo com 2-produtos pertence à classe NP-difícil. Entende-se que o PFM, no qual são considerados dois ou mais produtos na rede, é uma generalização deste problema. A partir disso, pode-se afirmar que o PFM também é da classe NP-difícil. Logo, o PFM está entre os problemas mais difíceis da Programação Linear. A dificuldade prática de resolver os modelos PFM aumenta rapidamente em relação ao tamanho do problema, especialmente no que diz respeito ao número de produtos e, segundo Larsson e Yuan (2004), resolver esses casos é computacionalmente difícil. Desta forma, as estratégias de resolução envolvem tanto métodos exatos quanto métodos aproximados. Na Seção 2.6 são apresentados alguns trabalhos. A fim de tratar o PFM na sua versão com restrição binária, que será detalhada na Seção 2.3, dois algoritmos foram propostos utilizando métodos exatos e métodos heurísticos.

14 1.3 Objetivos Objetivos Objetivo Geral Este trabalho trata o Problema de Fluxo Multiproduto Binário (PFMB). O objetivo principal é realizar um estudo sobre o problema através da sinergia entre métodos exatos e métodos heurísticos, buscando assim, fazer contribuições a esta recente linha de desenvolvimento e também contribuir para essa classe de problemas de grande aplicação. A resolução por meio de métodos exatos e métodos heurísticos é proposta de forma integrativa, utilizando programação matemática incorporada a uma heurística para a resolução do PFMB Objetivos Específicos Com a finalidade de alcançar o objetivo geral, os seguintes objetivos específicos foram traçados: modelagem do problema PFMB com programação inteira; estudo de dois tipos de relaxações do problema, incluindo diferentes variáveis de folga; implementação de uma heurística que interage com a programação matemática, a fim de decompor o problema em dimensões tratáveis; desenvolvimento de uma heurística construtiva, de forma a obter soluções iniciais para a programação matemática, possibilitando assim a informação de um limite superior para o resolvedor de Programação Mista Inteira (PIM); estudo de uma heurística que opera, periodicamente, com a programação matemática; obtenção de soluções para instâncias que ainda não foram solucionadas com os métodos existentes na literatura; análise da adequação do modelo e dos métodos de solução, por meio de testes com problemas da literatura. 1.3 Motivação Vários problemas de otimização combinatória têm sido muito estudados, em virtude da escassez de algoritmos eficientes para solucioná-los de forma exata, num tempo de processamento viável, para instâncias de tamanho significativo. Além da motivação teórica, estes problemas aparecem com frequência em ambientes industriais, onde melhorias nos processos podem levar ao aumento da produtividade e à diminuição dos custos de produção. Dada a dificuldade inerente de solução dos problemas da classe NP-difícil, um grande número de técnicas de resolução tem sido proposto nas últimas décadas.

15 1.4 Organização do Texto 4 As técnicas disponíveis para resolução desses tipos de problemas podem ser classificadas em duas categorias principais: métodos exatos e métodos heurísticos. Os métodos exatos encontram uma solução com garantia da otimalidade. Porém, o tempo de execução muitas vezes aumenta drasticamente, de acordo com a dimensão do problema. Para as instâncias maiores, a única possibilidade é geralmente recorrer aos métodos heurísticos, nos quais a garantia da otimalidade cede espaço para o tempo de execução, ou seja, eles são projetados para obter boas soluções em tempo aceitável, mas não necessariamente chegam à solução ótima. Os problemas de fluxo multiproduto compartilham muitas características das variantes do problema de fluxo de único produto, mas a interação de múltiplos fluxos muitas vezes invalida a base teórica dos problemas de fluxo de único produto e, portanto, reduz a utilidade de algoritmos bem desenvolvidos para estes problemas. Como exemplo, o Teorema de Fluxo-Máximo e Corte-Mínimo de Ford e Fulkerson garante que, se as capacidades dos arcos são inteiras, então há um fluxo máximo inteiro. Segundo Wu (2004), este teorema não pode ser estendido aos problemas de fluxo multiproduto, com raras exceções. Neste sentido, este teorema não pode ser aplicado para o problema tratado neste trabalho. A maior parte das abordagens a respeito do PFM se deu através de métodos exatos para resolução. Contudo, pela complexidade do problema, esses métodos podem demandar muito tempo e memória. Uma proposta para tratar esses pontos negativos é recorrer à combinação de métodos exatos e métodos heurísticos. Portanto, a abordagem proposta ao Problema de Fluxo Multiproduto Binário é relevante e acredita-se numa contribuição para o estado da arte do problema, sendo este, o principal incentivo para que esta pesquisa tivesse seu foco no PFMB. 1.4 Organização do Texto A presente dissertação está organizada como descrito a seguir. No Capítulo 2 é apresentada a definição e aplicações do PFM, suas formulações e variações. Ainda neste capítulo, faz-se uma breve descrição do estado da arte do problema, sendo descritos alguns trabalhos existentes na literatura com abordagens sobre o PFM. No Capítulo 3 apresentam-se métodos de resolução de problemas de otimização combinatória. Neste capítulo, são descritos métodos exatos, bem como métodos que integram programação matemática e heurísticas. No Capítulo 4 são apresentadas as formulações propostas para o PFMB. No Capítulo 5, detalha-se o algoritmo proposto. Além disso, apresentam-se as estratégias adotadas para garantir a eficiência do algoritmo e a resolução problema. No Capítulo 6, os resultados obtidos com os algoritmos propostos são apresentados e algumas comparações são mostradas. Por fim, no Capítulo 7 apresentam-se as conclusões e a descrição de possíveis trabalhos futuros.

16 Capítulo 2 Problema de Fluxo Multiproduto Neste capítulo são caracterizados os Problemas de Fluxo Multiproduto. Na Seção 2.1 é apresentada a definição do PFM, enquanto que diversas aplicações são apresentadas na Seção 2.2. Na Seção 2.3 são apresentadas as variantes do problema. Na Seção 2.4 são descritas formulações existentes para o PFM. Um exemplo de rede fluxo multiproduto é dado na Seção 2.5. Finalmente, uma breve revisão do estado da arte do PFM é apresentada na Seção Características do PFM Apresentado inicialmente por Ford e Fulkerson (1962) e Hu (1963), o Problema de Fluxo Multiproduto (PFM) é caracterizado por vários produtos que compartilham os arcos em uma rede capacitada. Os Problemas de Fluxo Multiproduto desempenham um papel importante na área de Otimização Combinatória, sendo uma generalização dos conhecidos problemas de fluxo de único produto. No PFM, vários fluxos coexistem na mesma rede, cada um com sua própria conservação de fluxo e competindo pelos recursos da rede, como as capacidades dos arcos. Problemas como o PFM compartilham muitas características das variantes do problema de fluxo de único produto, mas a interação de múltiplos fluxos muitas vezes invalida a base teórica dos problemas de fluxo de único produto e, portanto, reduz a utilidade de alguns algoritmos bem desenvolvidos para estes problemas (Wu, 2004). Considere uma empresa que administra um conjunto de estabelecimentos formado por fábricas e depósitos de um determinado produto. Cada fábrica produz uma certa quantidade do produto e cada depósito deve armazenar uma certa quantidade. Os estabelecimentos são interconectados por uma rede de vias de transporte, como, por exemplo, estradas, sobre a qual são definidos custos de transporte e limites para a quantidade transportada. O desejo da empresa é estabelecer uma distribuição do produto sobre essa rede, de forma a satisfazer as ofertas e demandas dos estabelecimentos, respeitar os limites das estradas e minimizar o custo total de transporte. Este é um exemplo de instância do problema conhecido como Problema do Fluxo de Único Produto de Custo Mínimo. Considere agora que essa mesma empresa administra também outras fábricas e depósitos para outro tipo de produto e este, por sua vez, também deve ser distribuído satisfazendo as ofertas e demandas dos estabelecimentos e ainda respeitando os limites para a quantidade transportada. Os 5

17 2.1 Características do PFM 6 dois produtos dessa fábrica serão transportados de forma a atender às demandas, sendo que os dois produtos irão competir pelos limites da estrada. A empresa tem que escolher as estradas em que cada produto será transportado, respeitando os limites das mesmas, satisfazendo as ofertas e demandas, de forma a ter o menor custo de transporte. Este é um exemplo de instância para o Problema de Fluxo Multiproduto. Pode ser observado que o fluxo multiproduto é uma generalização do problema de fluxo de único produto, como afirmado anteriormente. O modelo da rede multiproduto é dado por meio de um grafo direcionado. Como em todo problema de rede de fluxo, os arcos possuem uma capacidade, neste caso, restringindo a quantidade de produtos a trafegar por eles. Além disso, no Problema Fluxo Multiproduto, todo arco pertencente à rede tem um custo associado a cada item por ele trafegado. Assim, o objetivo é encontrar o fluxo desses produtos na rede, de forma a obter o custo mínimo. Cada produto deve trafegar na rede, desde seu nó-origem até seu nó-destino. Diferentes produtos podem ter diferentes origens e/ou destinos. Alguns nós da rede podem não estar associados a nenhum produto, sendo considerados nós de transbordo, utilizados apenas como passagem dos produtos. Portanto, o Problema de Fluxo Multiproduto consiste em determinar o fluxo dos produtos na rede de maneira que o custo seja o menor possível, respeitando a conservação de fluxo e a capacidade de cada arco. Na Figura 2.1 é apresentada uma rede de fluxo multiproduto contendo 2 produtos, P A e P B, que devem trafegar na rede. O produto P A é ofertado pelo nó 1 e o produto P B pelo nó 5. Os nós de demanda para os produtos P A e P B são os nós 4 e 2, respectivamente. Cada aresta possui um limite à quantidade de produtos que pode trafegar por ela, além de um custo associado a cada item de produto trafegado. Figura 2.1: Exemplo de uma rede multiproduto.

18 2.2 Aplicações Aplicações Há muitos estudos e pesquisas sobre o Problema de Fluxo Multiproduto. Este interesse pode ser justificado pela sua relevância teórica e prática. Do ponto de vista teórico, o PFM é utilizado como inspiração e testes para novos métodos da Programação Linear. Do ponto de vista prático, o PFM, com suas diversas variações, serve de modelo de uma grande variedade de problemas em telecomunicações, transporte e planejamento. A maioria deles são problemas de roteamento e projeto de rede. A seguir são listados alguns trabalhos que têm o fluxo multiproduto como modelo de rede para o problema tratado. Em termos de problemas aplicados em Roteamento de Redes, tem-se os seguintes: Roteamento de mensagens ou pacotes em redes de telecomunicação e informática: Roteamento de tráfego de internet (Buriol et al., 2003); Otimização em redes de fibra ótica (Ozdaglar e Bertsekas, 2003); Encaminhamento em uma rede em anel (Shepherd e Zhang, 2001); Roteamento de mensagens em redes de comunicações (Hu, 1969; Naniwada, 1969). Agendamento e roteamento na área de logística e transporte: Nos problemas de transporte ou logística, os produtos podem ser objetos como mercadorias ou mesmo pessoal. Esse tipo de problema é frequentemente modelado como um problema PFM em uma rede espaço-tempo em que uma mercadoria pode ser: um navio-tanque, aeronaves, uma equipe ou um transporte ferroviário. Roteamento de uma frota de navios (Faiz e Seung-June, 2007); Alocação de equipes de enfermeiros (Moz e Pato, 2003); Alocação de tripulação de avião (Cappanera e Gallo., 2001); Alocação/sequenciamento de vagões de cargas em uma rede ferroviária (Assad, 1980; Shan, 1985; Mendes, 1999); Roteamento de aviões (Hane et al., 1995; Verweij et al., 1997); Alocação de suprimentos de acordo com os meios de transporte nas operações de resgate (Haghani e Oh, 1996); Roteamento/sequenciamento de suprimentos militares (Schultz e Meyer, 1991; Staniec, 1987); Programa e planejamento de produção: Sequenciamento de operações em refinarias de petróleo (Lasdon, 1970; Milidiu et al., 2001); Programação e planejamento em uma empresa de manufaturas (D Amours et al., 1996);

19 2.3 Variações do Problema de Fluxo Multiproduto 8 Planejamento de produção de bens de consumo (Hax e Candea, 1984); Em termos de problemas aplicados em Projeto de Redes tem-se: Projeto de Rede Capacitado de Telecomunicações: Problema de projeto de redes (Frangioni e Gendron, 2009). Projeto de Rede de Transportes: Localizar depósitos de veículos em um sistema de transporte de carga, de modo que a soma de custos operacionais e custos de abertura de outros meios de transporte sejam minimizados. Roteamento e alocação de tráfego (Babonneau e Vial, 2008); Serviço de rede no transporte de carga (Crainic, 2000); Localização de depósitos (Geoffrion e Graves, 1974); Planejamento de sistemas de tráfego urbano (Bradley, 1965; Potts e Oliver, 1972). 2.3 Variações do Problema de Fluxo Multiproduto A seguir são apresentadas as três variações mais estudadas para o Problema de Fluxo Multiproduto. Essas variações são caracterizadas pelas formas como produtos e fluxos são tratados. Problema Contínuo: No problema contínuo os produtos são considerados grandezas contínuas (R), que podem ser divididas em porções não inteiras. Assim, o fluxo total de um produto pode ser dividido em diferentes caminhos. Problema Inteiro: É similar ao problema contínuo, no que diz respeito à possibilidade de divisão do fluxo total de um produto por diferentes caminhos. No entanto, as quantidades a serem transportadas são consideradas variáveis inteiras (Z). Problema Binário: No problema binário as quantidades de cada produto a ser transportado não são divisíveis. Assim, todas as unidades de um dado produto devem seguir por um único caminho através da rede. Há outras variações para o problema de fluxo multiproduto, nas quais são estudados o layout da rede, a utilização da capacidade e as opções de roteamento dos produtos. Uma variação que pode ocorrer é em relação à origem e ao destino dos produtos. Há casos em que um produto pode ser ofertado por vários nós e há outros em que existem diversos pontos de demanda para um mesmo produto. No problema a ser tratado no presente trabalho é considerada a situação em que cada produto tem um único nó-origem e um único nó-destino. Em alguns modelos, o fluxo na rede é dinâmico, pois é requerido um certo tempo limite para o tráfego em cada arco e os parâmetros da rede podem também mudar

20 2.4 Formulação Matemática 9 de acordo com o tempo. Fluxos dinâmicos são amplamente usados para modelar problemas de rede estruturada com tomada de decisões ao longo do tempo (Aronson, 1989; Fonoberova e Lozovanu, 2005). Outra variação é o problema multiproduto capacitado de carga-fixa. Neste problema são considerados dois custos: um custo fixo, associado ao uso do arco; e um custo variável dependente da quantidade de produto que trafega no arco (Magnanti e Wong, 1984; Costa et al., 2009). Em algumas aplicações encontradas na área de comunicação e transporte, os produtos interagem de uma forma mais complicada. Neste sentido, o fluxo de produtos no arco aumenta eventualmente, o que pode incorrer um custo crescente e não-linear em cada arco. Este tipo de modelo surge com frequência, por exemplo, em redes de tráfego. O objetivo, neste caso, é encontrar o padrão dos fluxos que minimiza o atraso geral do sistema ou até mesmo evitar o congestionamento na rede, caracterizando assim, um problema de fluxo multiproduto não-linear (Bertsekas, 1998; Ouorou et al., 2000). O problema de k-divisíveis fluxo multiproduto foi introduzido por Baier et al. (2002). Neste problema podem ser considerados no máximo k caminhos. Considera este problema, por exemplo, no setor de transportes, onde um número de diferentes mercadorias devem ser expedidas para vários destinos ao menor custo possível. Por razões de segurança, não é desejável dividir os produtos em mais de k rotas. Os problemas considerados indivisíveis são aqueles em que o produto deve fazer uso de apenas um caminho. Na literatura é chamado de indivisível ou não-bifurcado (unsplittable ou non-bifurcated flows). Esta caracterização trata do problema de fluxo multiproduto binário, que é tratado no presente trabalho. O fluxo multiproduto binário é estudado nos trabalhos de Gavish e Altinkemer (1990); Brockmüller et al. (1996); van Hoesel et al. (2002); Bartolini e Mingozzi (2009). 2.4 Formulação Matemática Considere uma rede direcionada representada por um grafo G = (N, A). No grafo G, N representa o conjunto de n nós e A representa o conjunto de a arcos direcionados. Considere, ainda, um conjunto de h produtos, denotado por K. Associado a cada arco a A, há um par de nós (i, j), um custo para que cada unidade de cada produto trafegue pelo referido arco e uma capacidade. Deve ser observado que o custo para a utilização de um dado arco não é, necessariamente, o mesmo para todos os produtos Formulação Nó-Arco Em uma Formulação Nó-Arco (2.1) para o Problema de Fluxo Multiproduto, como aquela apresentada em Alvelos (2005), a variável de decisão x k ij denota a quantidade do produto k a ser transportada pelo arco (i, j). O custo para transportar uma unidade do produto k através do arco (i, j) é denotado por c k ij. A capacidade do arco (i, j) é representada por u ij. O parâmetro b k i caracteriza o nó, ou seja, define se o nó i é origem ou destino para o produto k. Seja r k a quantidade do produto k a ser transportada. Então b k i pode ser definido da seguinte forma:

21 2.4 Formulação Matemática 10 r k, se o nó i é oferta para o produto k; b k i = r k, se o nó i é demanda para o produto k; 0, se o nó i é um nó de transbordo para o produto k. Logo, a formulação matemática é dada por: min sujeito a: k K (i,j) A j:(i,j) A x k ij c k ijx k ij j:(j,i) A (2.1a) x k ji = b k i, i N, k K (2.1b) x k ij u ij, (i, j) A (2.1c) k K x k ij 0, k K, (i, j) A (2.1d) Em (2.1a) tem-se a função objetivo. Deseja-se determinar a rota para o tráfego de cada produto na rede, com o menor custo total. A restrição (2.1b) representa a conservação de fluxo. Essa restrição é responsável por garantir o tráfego dos produtos pela rede, de forma que cada produto satisfaça o par origem-destino. A restrição (2.1c) refere-se à restrição de capacidade, limitando a quantidade de produtos em cada arco. Finalmente, em (2.1d) tem-se as restrições de não-negatividade para o problema. No problema de fluxo multiproduto, cada produto possui um nó de oferta (de onde deve sair) e outro nó de demanda (onde tem que chegar). Desta forma, cada produto está associado a um par origem-destino. Cada produto possui quantidade de oferta igual à respectiva quantidade de demanda. Como definido anteriormente, um nó de transbordo significa que o nó servirá apenas de passagem para o produto. Considere a matriz de coeficientes M associada ao conjunto de restrições (2.1b), ou seja, as restrições de conservação de fluxo. A matriz M pode ser chamada de matriz de incidência nó-arco, possuindo uma linha para cada nó e uma coluna para cada arco da rede. Desta forma, a Formulação (2.1) também pode ser descrita por: min k K (i,j) A c k ijx k ij (2.2a) sujeito a: Mx k = b k, k K (2.2b) x k ij u ij, (i, j) A (2.2c) k K x k ij 0, k K, (i, j) A (2.2d) A matriz de incidência nó-arco M, com dimensão N A, contém exatamente dois valores não-nulos: -1 e 1. A coluna associada ao arco (i, j) contém 1 na linha i, -1 na linha j e 0 nas demais linhas. Portanto, para cada componente m ij, segue que: m ij = 1, se o nó i é fonte para j; 1, se o nó i é sumidouro para j; 0, nos demais casos.

22 2.4 Formulação Matemática 11 O vetor coluna x k, de dimensão A, representa o fluxo do produto k em cada arco da rede. O parâmetro b k é o vetor oferta/demanda para o produto k, de dimensão N. Esse parâmetro indica o fluxo entre os nós, determinando se o nó é oferta, demanda ou transbordo para o produto. Cada linha do vetor b k representa um nó i, identificando o nó como ponto de oferta, demanda ou transbordo Formulação Arco-Rota Uma outra maneira de tratar o problema de fluxo multiproduto é relacionar arco e rota, que leva à Formulação Arco-Rota. Nesta formulação, cada produto k possui uma demanda r k, que indica a quantidade de produto k que deve ser transportada de seu nó-origem ao seu nó-destino. Considere o conjunto de todas as rotas para o produto k, denotado por P k. Este conjunto possui todos os possíveis caminhos p, ou rotas, para o produto k para o seu par origem-destino. Considere ainda que, associado ao produto k, há um custo unitário do caminho p, representado por c pk. A variável de decisão não-negativa, x pk, representa a quantidade do produto k que trafega pela rota p. O parâmetro a p ij é o componente da matriz de incidência arco-rota A, na qual cada linha representa um arco e cada coluna uma rota. Desta forma, a p ij será 1, se o arco (i, j) pertence à rota p P k para o produto k e será 0, caso contrário. A Formulação Arco-Rota (2.3), apresentada em Alvelos (2005), é dada por: min sujeito a: c pk x pk (2.3a) k K p P k x pk = r k, k K (2.3b) p P k p ij xpk u ij, (i, j) A (2.3c) a k K p P k x pk 0, k K, p P k (2.3d) Em (2.3a) tem-se a função objetivo, que consiste em encontrar um conjunto de rotas que permita transportar o conjunto de produtos, ao menor custo total. A restrição (2.3b) representa as restrições de distribuição do produto k pelas rotas que satisfazem o seu par origem-destino, atendendo às demandas. Em (2.3c) tem-se as restrições de capacidade para cada arco (i, j). As formulações para os problemas contínuo e inteiro são semelhantes, mudandose apenas a variável de decisão. A formulação (2.1) descreve um problema de fluxo multiproduto contínuo. Para o problema inteiro, basta que na restrição (2.1d) se mude a variável de decisão x k ij para inteira, isto é, x k ij Z. Logo, nestes dois casos, x k ij irá representar a quantidade do produto k que irá trafegar no arco (i, j). O Problema de Fluxo Multiproduto Binário será estudado no presente trabalho. Neste problema, todas as unidades de um dado produto devem seguir juntas, por um único caminho ao longo da rede. Dessa forma, não é necessário conhecer a quantidade de um determinado produto a trafegar no arco. Logo, a questão é saber se o produto k usará o arco e não a quantidade de produto k que trafegará pelo arco.

23 2.5 Exemplo 12 Portanto, a decisão binária consiste em definir se o produto k irá ou não utilizar o arco (i, j). Neste caso, tem-se uma diferenciação da formulação geral apresentada anteriormente Formulação Nó-Arco para o PFM Binário Considere c k ij representando o custo unitário de tráfego do produto k no arco (i, j), u ij representando a capacidade no arco (i, j); e r k a quantidade do produto k a ser transportada na rede. Neste problema binário, o parâmetro b k i assume os valores: 1, se o nó i é oferta para o produto k; b k i = 1, se o nó i é demanda para o produto k; 0, se o nó i é um nó de transbordo para o produto k. A variável x k ij é definida como segue: x k ij = { 1, se o arco (i, j) pertence ao fluxo do produto k; 0, se o arco (i, j) não pertence ao fluxo do produto k. De acordo com Alvelos (2005), a Formulação Nó-Arco para o problema binário é dada por: min sujeito a: c k ijr k x k ij (2.4a) k KK (i,j) A j:(i,j) A x k ij x k ji = b k i, i N, k K (2.4b) j:(j,i) A r k x k ij u ij, (i, j) A (2.4c) k K x k ij {0, 1}, k K, (i, j) A (2.4d) 2.5 Exemplo Considere uma instância do Problema de Fluxo Multiproduto Binário (PFMB) definida através de uma rede direcionada representada pela Figura 2.2. A figura apresenta um exemplo de uma rede de fluxo multiproduto com 4 nós, 5 arcos e 2 produtos, P A e P B. Os nós 3 e 4 são considerados nós de oferta e os nós 1 e 2 são considerados nós de demanda para os produtos P A e P B, respectivamente. As unidades a serem trafegadas na rede são: 3 unidades do produto P A e 4 unidades do produto P B. Os custos unitários associados a cada arco diferenciam-se por produto. Esses custos e a capacidade nos arcos são apresentados na Tabela 2.1. A última coluna da Tabela representa os nós de ligação do arco.

24 2.5 Exemplo 13 Figura 2.2: Instância para o problema de fluxo multiproduto. Tabela 2.1: Dados da instância. Arco Custo P A Custo P B Capacidade Nós de ligação a (1,2) a (4,1) a (3,1) a (4,2) a (3,4) A matriz de incidência nó-arco (M) associada à instância da Figura 2.2 é: M = a 1 a 2 a 3 a 4 a Considere que os fluxos sejam binários. Como a instância possui dois produtos, o parâmetro b k para este problema binário será: 1 0 b 1 = 0 1 e b2 = em que k = 1 representa o produto P A e k = 2 o produto P B. Assim, a formulação matemática dada em (2.4) para essa rede binária é:

25 2.5 Exemplo 14 min 6x x x x x x x x x x 2 34 sujeito a: 3x x x x x x x x x x x 1 12 x 1 41 x 1 31 = 1 x 2 12 x 2 41 x 2 31 = 0 x 1 12 x 1 42 = 0 x 2 12 x 2 42 = 1 x 1 31 x 1 34 = 1 x 2 31 x 2 34 = 0 x x 1 42 x 1 34 = 0 x x 2 42 x 2 34 = 1 x 1 12, x 2 12, x 1 41, x 2 41, x 1 31, x 2 31, x 1 42, x 2 42, x 1 34, x 2 34 {0, 1} Analisando o produto P A isoladamente, quanto à conservação do fluxo e às capacidades dos arcos, tem-se duas possíveis rotas. Uma rota passando pelos nós [3 4 1] e outra rota pelos nós [3 1]. Analisando em seguida o produto P B, também de maneira isolada tem-se também duas rotas viáveis. Uma rota mais direta, ligando apenas os nós [4 2] e outra rota ligando os nós [4 1 2]. A Tabela 2.2 representa o custo para cada rota de acordo com o produto. Tabela 2.2: Rotas viáveis para os produtos da rede. Produto Rotas Viáveis Custo P A (3 4 1) 3 (5 + 3) = 24 P A (3 1) 3 10 = 30 P B (4 1 2) 4 (2 + 3) = 20 P B (4 2) 4 6 = 24 O objetivo é encontrar o fluxo de menor custo. Sendo assim, a melhor escolha para as rotas é: a rota [3 4 1] para o produto P A e para o produto P B a rota [4 1 2], totalizando o custo de 44. Contudo, note que o arco (4, 1) é comum às duas rotas e podem trafegar por ele apenas 6 unidades de produto. O total de unidades dos dois produtos que requerem o tráfego por este arco é de 7 unidades. Este total ultrapassa a capacidade do arco (4, 1) tornando esta combinação de rotas inviável. Escolhendo outra rota, por exemplo na rota do produto P B, mudando a rota para [4 2] de custo 24, tem-se que o custo total para o novo fluxo será 48. Houve um acréscimo no custo total, comparado ao primeiro fluxo, porém este fluxo de custo 48 é viável. Dentre as outras possibilidades, verifica-se que é o de melhor

26 2.6 Exemplo 15 custo. Portanto, o fluxo ótimo para esta rede caracterizado pelas rotas: [3 4 1] (para o produto P A ) e [4 2] (para o produto P B ). A variável de decisão x k ij definida na formulação 2.4 para esta solução, será: x = P A P B a a a a a Considerando agora uma rede de fluxo multiproduto inteiro, tem-se as seguintes rotas como solução: Para o produto P A será a rota [3 4 1] com o custo de 24. Para o produto P B será feita uma divisão em duas subrotas, sendo trafegadas 3 unidades pela rota [4 1 2] e 1 unidade em [4 2], com o custo de 3 (2 + 3) = 21. Portanto, o custo total do fluxo para a rede multiproduto inteiro é de 45. O fluxo multiproduto contínuo para esta instância terá essa mesma solução. A Figura 2.3 representa a solução para o fluxo inteiro e contínuo. Rota de P A Rota de P B 2 P B P A P A P B Figura 2.3: Solução para a instância de uma rede de fluxo multiproduto Inteiro e Contínuo.

27 2.6 Estado da Arte Estado da Arte Segundo Castro (2003), os estudos sobre o Problema de Fluxo Multiproduto se concentram na resolução por meio de quatro classes de métodos: baseados no Método Simplex, métodos de decomposição, métodos de aproximação e métodos de pontos interiores. Uma breve descrição dos trabalhos mais relevantes para o presente trabalho e/ou de estudos recentes é apresentada a seguir Métodos exatos Barnhart et al. (1998) propõem um algoritmo Branch-and-Price para o problema de fluxo multiproduto. Neste trabalho, o método de geração de colunas é desenvolvido como resolução para as formulações de programação inteira com um enorme conjunto de variáveis. Foram discutidos os problemas computacionais e a implementação de geração de colunas, algoritmos Branch-and-Bound incluindo regras de ramificações especiais e caminhos eficientes para resolver a relaxação linear. Neste trabalho, são analisadas as similaridades e as diferenças entre Branch-and-Price e a dualidade Lagrangeana. Em Hadjiat et al. (2000) foi proposto um método de solução baseado no Método Simplex, no qual utiliza-se um método de particionamento primal refinado para o problema de fluxo multiproduto não-simultâneo. Mamer e McBride (2000) propuseram um novo procedimento para a operação de pricing, adequado para grandes problemas PFM lineares. O procedimento resolve um subproblema relaxado, identificando a coluna que tem alta probabilidade de entrar na base. O procedimento proposto é comparado com a decomposição de Dantzig-Wolfe. Em Barnhart et al. (2000) é apresentado um algoritmo Branch-and-Price-and- Cut para o PFM binário, que utiliza geração de colunas para encontrar limites na árvore de Branch-and-Bound e apresenta uma nova regra de ramificação, permitindo que sejam geradas novas colunas de forma eficaz. Primeiramente, foi apresentado apenas o Branch-and-Price. Em seguida, para combater a simetria do problema, foram acrescentados cortes neste algoritmo, desenvolvendo o Branch-and-Price-and- Cut, que permite a geração de colunas e cortes a serem aplicados em toda a árvore. A adição de cortes diminuiu consideravelmente o número de nós procurados nos casos em que a solução ótima foi encontrada e diminuiu o gap de otimalidade para a maioria das outras instâncias. Além disso, foi concluído que a redução só funciona para problemas em que o fluxo de produtos é grande em comparação com as capacidades dos arcos. van Hoesel et al. (2002) tratam o PFM não-bifurcado, de forma a encontrar desigualdades válidas fortes para os politopos do arcos capacitados e determinam condições em que essas restrições definem uma faceta. Concluem que as desigualdades reduzem substancialmente o número de nós necessários para uma abordagem branch-and-cut. Chardaire e Lisser (2002) e Castro (2003) utilizam algoritmos especializados em métodos de pontos interiores aplicados ao PFM. Chardaire e Lisser (2002) apresentam uma implementação de Dantzig-Wolfe baseada no Método Simplex especializado. É desenvolvido o método de plano de corte de centro analítico ao PFM

28 2.6 Estado da Arte 17 não-orientado. Castro (2003), por sua vez, faz uma revisão do estado-arte em resolver problemas multiproduto em grande escala e também faz comparações dos resolvedores baseados no Método Simplex com algoritmos de pontos-interiores. Foi concluído que os métodos de solução baseados no Simplex, ponto-interior, ou métodos de decomposição podem ser mais adequados dependendo do tipo de problema tratado. E mais, se a precisão da solução não é importante, métodos de aproximação devem ser considerados. O problema de fluxo binário foi tratado em Alvelos e Carvalho (2003), que aplicaram o algoritmo Branch-and-Price ao PFM binário. Duas decomposições diferentes para o PFM, arco e caminho, baseadas na decomposição de Dantzig-Wolfe, são apresentadas. Wu (2004) apresenta um método baseado na relaxação langrangeana para o problema de fluxo multiproduto não-linear com restrições inteiras, utilizando o método subgradiente para encontrar os multiplicadores de Lagrange ótimos. Este trabalho obteve resultados com soluções que estão dentro de uma pequena porcentagem da solução ótima e com o tempo razoável para os problemas práticos de redes IP de grande porte. Truffot et al. (2005) estudaram o problema de fluxo multiproduto k-caminhos, em que o fluxo dos produtos pela rede pode fazer uso de até k caminhos. Foi aplicado o método branch-and-price para este PFM. Gamst et al. (2010) deram continuidade a este estudo, com algumas modificações. A técnica utilizada foi também o método Branch-and-Price, que superou os outros métodos que já foram aplicados ao problema. Foi apresentada uma estratégia de ramificação para o modelo, garantindo que o problema pricing fosse resolvido de forma eficiente. Em Alvelos (2005) foi desenvolvido o algoritmo Branch-and-Price aplicado ao PFMB. Neste trabalho duas decomposições foram propostas: decomposição por caminho e decomposição da mochila, para o método de Geração de Colunas (GC). Essas formulações foram baseadas na decomposição de Dantzig-Wolfe e, cada uma depende do tipo de restrição que define o subproblema. Na decomposição por caminho o subproblema é definido pela restrição de conservação de fluxo e na decomposição da mochila, a restrição de capacidade que definirá o subproblema para o método de Geração de Colunas. Alvelos (2005) apresentou vários grupos de instâncias para testes e alguns resultados para os mesmos. O trabalho é de grande relevância devido a sua abordagem Branch-and-Price, que merece destaque na literatura de problemas de otimização combinatória. Babonneau et al. (2006) propuseram resolver o problema de fluxo multiproduto linear usando a Relaxação Lagrangeana Parcial. O dual lagrangeano parcial é resolvido com uma variante do método de plano de corte de centro analítico. A nova abordagem torna possível resolver grandes problemas quando alguns arcos estão congestionados na solução ótima, como parece ser o caso de muitos problemas práticos. Machado et al. (2010) estudaram duas técnicas básicas (particionamento e decomposição) aplicadas aos problemas de fluxo de rede linear. Técnicas de particionamento tentam explorar a estrutura especial dos PFM por meio de particionamento da base, de modo que partes de cada base possuem as características dos problemas rede de fluxo de custo mínimo. Assim, podem ser vistas como especializações dos métodos primal, dual ou Simplex primal-dual.

29 2.6 Estado da Arte Métodos heurísticos Fortz e Thorup (2000) propuseram um algoritmo de Busca Tabu para resolver o problema de rede OSPF (Open Shortest Path First). Este algoritmo permite achar soluções que dividem igualmente o fluxo, caso o conjunto de pesos alocados aos arcos seja em mais de um caminho mínimo entre um par origem-destino. Ghamlouche et al. (2003) propõem novas estruturas de vizinhança baseadas no ciclo de meta-heurísticas destinadas aos problemas multiproduto de carga-fixa capacitados. As vizinhanças definem movimentos que, explicitamente, levam em conta o impacto sobre o custo total para a distribuição simultânea de vários produtos no fluxo. Estas vizinhanças são avaliadas e testadas em um algoritmo de Busca Tabu. Os resultados experimentais mostram que a abordagem proposta é poderosa e supera os métodos existentes na literatura. Buriol et al. (2005) tratam de problemas de tráfegos de redes OSPF. A função objetivo para o problema tratado é minimizar o congestionamento da rede por meio da atribuição de pesos aos arcos. Para solucionar o problema, foi proposto um algoritmo genético híbrido. O algoritmo foi comparado com heurísticas de busca local, tendo-se concluído que os dois métodos são bem competitivos em termos de qualidade de solução e tempo. Um problema de caso e tamanho real é abordado em Hoff et al. (2010). O modelo de rede com serviços estocásticos foi estudado. A instalação de terminais, utilização de veículos e penalidade pela não entrega de algum produto são considerados. Neste trabalho, foi utilizado um método baseado na estrutura de vizinhanças, o método VNS (Variable Neighborhood Search). Os resultados indicaram que a meta-heurística lida com grandes instâncias desta classe de problemas complexos, em um tempo razoável Uso combinado de métodos exatos e meta-heurísticas Em Chouman e Crainic (2010) foi abordado o problema de rede multiproduto capacitado com carga-fixa. No trabalho é proposta uma combinação de método exato de Programação Inteira Mista (PIM) com uma meta-heurística (Busca Tabu). A parte exata do método inclui o cálculo dos limites inferiores baseado nos planos de corte e um algoritmo de Programação Matemática na resolução do problema restrito. A Busca Tabu destina-se aos cálculos dos limites superiores do problema. Além disso, apresentam as vantagens do tempo computacional gasto calculando os limites inferiores e superiores com essa integração de métodos exatos e aproximados.

30 Capítulo 3 Métodos de Resolução de Problemas de Otimização Combinatória Vários problemas de Otimização Combinatória podem ser modelados como problemas de Programação Linear Inteira Mista (PLIM). Um problema PLIM é um problema de otimização com uma função objetivo linear e restrições lineares. O problema é caracterizado como misto, devido ao fato de que algumas das variáveis devem ter apenas valores inteiros, enquanto outras podem assumir valores reais. Neste capítulo faz-se uma breve revisão dos conceitos e abordagens para a resolução de problemas de Otimização Combinatória. Alguns métodos de resolução de problemas de otimização combinatória são apresentados, bem como a classificação usual de métodos exatos e heurísticos. Em primeiro lugar, uma breve descrição sobre métodos exatos é apresentada. As abordagens exatas visam obter uma solução ideal comprovada, para uma dada instância de algum problema de otimização combinatória. Com essas abordagens exatas é possível obter uma prova da otimalidade da solução encontrada. No entanto, para problemas NP-difíceis (Garey e Johnson, 1979), aplicar métodos exatos pode envolver um número exponencial de passos. Assim, ao se resolver casos de tamanho real, comprovar a otimalidade muitas vezes acaba por ser muito demorado na prática. Os métodos heurísticos são uma boa opção para lidar com esses casos, uma vez que podem ser usados para gerar boas soluções, mas não necessariamente as melhores, com tempo computacional aceitável. Os métodos heurísticos são analisados na segunda parte do capítulo. A terceira parte deste capítulo é dedicada às abordagens híbridas, que tentam combinar as vantagens dos diferentes métodos de otimização, evitando os inconvenientes de cada método individual. A abordagem híbrida tratada nesta dissertação é dada pela programação matemática combinada a métodos heurísticos. Finalmente faz-se uma breve introdução sobre a abordagem matheurística, que combina métodos de resolução PLIM a meta-heurísticas. O Capítulo está dividido da seguinte forma: na Seção 3.1 são introduzidos os métodos exatos, descrevendo-os sucintamente. Na Seção 3.2 são apresentados métodos heurísticos existentes na literatura para resolução de um problema PLIM, pertinentes ao trabalho. Na seção 3.3 são descritas, brevemente, algumas técnicas que combinam Programação Matemática e Heurísticas. Por fim, a Seção 3.4 introduz a abordagem matheurística. 19

31 3.1 Métodos Exatos Métodos Exatos Resolver um problema de Programação Linear (PL) significa determinar valores (reais) para o conjunto de variáveis de decisão, que levem ao melhor valor de uma função objetivo linear, sujeito a um conjunto de restrições modeladas como inequações lineares. Já em um problema de Programação Linear Inteira Mista (PLIM), um subconjunto de variáveis de decisão pode assumir valores reais enquanto que um outro subconjunto tem que assumir valores inteiros. Vários problemas da Otimização Combinatória podem ser modelados como problemas de PLIM. Os conceitos da PLIM apresentados nesta seção seguem de Nemhauser e Wolsey (1988). Os métodos de solução propostos para a resolução desses problemas PLIM provaram ser, normalmente, uma boa escolha ao resolver instâncias de problemas de otimização combinatória de tamanho moderado. Uma formulação PL, em forma de minimização, é dada por: z P L = min c T x (3.1a) s. a: Ax b (3.1b) x R n + (3.1c) em que x é o vetor coluna n-dimensional de variáveis reais não-negativas. O produto c T x é a função objetivo que deve ser minimizada, em que c T é um vetor coluna n-dimensional transposto de custos associados. A matriz A de dimensão m n e o vetor coluna m-dimensional b definem o conjunto de m restrições de desigualdade. A função de maximização pode ser considerada mudando-se o sinal do vetor c. Sem perda de generalidade, as considerações a seguir são feitas para o problema de minimização. O PL pode ser reescrito de forma mais compacta, como: z P L = min{c T x : Ax b, x R n +} (3.2) Nos problemas de Otimização Combinatória provenientes de aplicações reais, as variáveis de decisão precisam ter valores inteiros ao invés de contínuos, como visto anteriormente. Estes problemas, geralmente, podem ser modelados como um problema de Programação Inteira (PI), como segue na forma compacta: sendo X = P Z n + e P = {x R n + : Ax b}. z P I = min{c T x : x X} (3.3) Teorema 3.1 Seja P = {x R n + : Ax b} e X = P Z n +. Então, a casca convexa conv(x) é um poliedro. Particularmente, o Teorema 3.1 implica que se pode resolver o PI dado por (3.3) resolvendo o problema PL da seguinte forma: min{c T x : x conv(x)} (3.4)

32 3.1 Métodos Exatos 21 Um dos conceitos mais importantes na PI é a relaxação, em que algumas ou todas as restrições de um problema são omitidas ou propriamente ditas relaxadas. As relaxações são utilizadas, na maioria das vezes, para resultar em um problema mais simples. Com essa simplificação, o problema pode ser resolvido de forma eficiente, obtendo limitantes para as soluções e até mesmo uma solução aproximada, não necessariamente viável para o problema original. Note que o problema PL (3.2) corresponde ao problema PI (3.3) quando se retiram as condições de integralidade. Pode-se dizer que o problema (3.2) é uma relaxação de PL do problema PI em (3.3). Portanto, a relaxação PL é obtida através da relaxação da restrição de integralidade em PI, produzindo, assim, um problema linear. Assim, qualquer solução viável para o problema PI (3.3) é também viável para o problema PL (3.2). Além disso, o valor da solução ótima do seu relaxamento PL é um limite inferior da solução ótima de PI, ou seja, z P L z P I. A título de simplicidade, considere P um politopo. Pelo Teorema 3.1, segue que qualquer um dos pontos de X pode ser escrito como uma combinação convexa de seus Q pontos extremos q i. Logo, para todo ponto x X, segue que: x = s. a: Q q i λ i i=1 Q λ i = 1 i=1 λ 0 (3.5a) (3.5b) (3.5c) Observe que, caso se considere P um conjunto ilimitado, um ponto de X será a combinação convexa dos seus pontos extremos e de seus raios extremos. Substituindo x escrito da forma (3.5) no problema PL (3.1), tem-se a seguinte formulação: z P L = min s. a: Q (c T q i )λ i (3.6a) i=1 Q (Aq i )λ i b i=1 Q λ i = 1 i=1 λ 0 (3.6b) (3.6c) (3.6d) Nessa formulação, tem-se a decomposição Dantzig-Wolfe (Dantzig e Wolfe, 1960). Essa decomposição transforma as variáveis originais em uma combinação convexa entre pontos extremos e raios extremos do espaço de busca original. Com isso, temse um problema mestre, o qual contém as restrições de ligação do problema original, mais as restrições de convexidade. O problema mestre é discutido na subseção Uma solução x pode ser caracterizada por:

33 3.1 Métodos Exatos 22 solução infactível: é a solução que não satisfaz pelo menos uma das restrições ou uma das condições de não-negatividade do problema; solução factível: é a solução que satisfaz todas as restrições e as condições de não-negatividade do problema; solução ótima: é uma solução factível, que gera o menor valor para a função objetivo; solução incumbente: melhor solução factível encontrada até o momento da busca. As soluções factíveis (infactíveis) podem ser chamadas também de solução viáveis (inviáveis) Geração de Colunas O método de Geração de Colunas (GC) gera variáveis dinamicamente, ao contrário dos métodos de plano de corte, que começam com um pequeno conjunto de restrições e, posteriormente, identificam e acrescentam as desigualdades válidas. Observe que, se um PL envolve um número muito grande de variáveis, sua relaxação linear pode não ser resolvida diretamente. Formulações à base de um conjunto (exponencialmente grande) de variáveis ocorrem após a reformulação de um modelo existente, por exemplo, aplicando a decomposição de Dantzig-Wolfe para apertar a relaxação linear. Para resolver um PL que envolve muitas variáveis, o método de Geração de Colunas é normalmente usado. A característica principal é que, em vez de considerar inicialmente o conjunto de todas as variáveis, o método GC começa com um pequeno subconjunto de variáveis e iterativamente acrescenta novas variáveis ao modelo, determinado pelo subproblema (ou problema pricing). A Geração de Colunas foi usada primeiramente por Gilmore e Gomory (1961) para o problema de corte de estoque, e tem sido aplicada a um grande número de problemas. Desde então, há pesquisas abrangentes e recentes sobre o assunto, por exemplo nos trabalhos de Wilhelm (2001); Desaulniers et al. (2005); Lübbecke e Desrosiers (2005). No método GC, o problema PL é dividido em dois, Problema Mestre e subproblema. Desta forma, o PL 3.7 denota-se por Problema Mestre (PM). (PM) min s. a: c j x j (3.7a) j J A j x j b j J (3.7b) x j 0, j J (3.7c) Se J contém índices das variáveis no problema, não será possível resolver o PM diretamente. Então, define-se o Problema Mestre Restrito (PMR) 3.8. Neste problema, considera-se somente um pequeno conjunto de variáveis x j, j J J.

34 3.1 Métodos Exatos 23 (PMR) min s.a: c j x j j J A j x j b j J (3.8a) (3.8b) x j 0, j J (3.8c) Definição 1 Seja x uma solução básica, B sua matriz associada e c B o vetor de custo das variáveis básicas. Para cada j, define-se o custo reduzido c j da variável x j por: c j = c j c T BB 1 A j (3.9a) Embora os custos reduzidos de todas as variáveis básicas sejam, obviamente, iguais a zero, o Teorema 3.2, a seguir, define condições para que uma solução básica viável seja ótima. Teorema 3.2 Seja c o vetor de custo reduzido correspondente à solução básica viável x e B sua matriz básica associada. Seguem as seguintes premissas: Se c j 0, j, então x é a solução ótima. Se x é a solução ótima e não-degenerada, então c j 0, j. De acordo com o Teorema 3.2 é preciso considerar variáveis adicionais x j, j J\ J desde que pelo menos uma variável tenha custo reduzido negativo. Dado o vetor µ 0 com valores de variáveis duais, os custos reduzidos de uma variável x j, j J são: c j = c j µ T a j (3.10) O problema pricing é encontrar pelo menos uma variável x j, j J \ J com custos reduzidos negativos ou provar que tal variável não existe. Em particular, não há necessidade de resolver o subproblema exatamente; uma aproximação é suficiente até que atinja a última iteração. Várias colunas de custo reduzido negativo podem ser acrescentadas ao PMR a partir de um subproblema. No subproblema, se x j tiver custo reduzido negativo então é inserido no PMR e o processo é repetido; senão, a solução atual é ótima. Resolver o Problema Mestre é equivalente a resolver a formulação inteira original. Entretanto, a relaxação linear do PM geralmente leva a limitantes mais apertados (no pior caso, igual) do que a relaxação linear da formulação original. Segue no algoritmo 1, o método GC. Algoritmo 1: Algoritmo Geração de Colunas Escolha um subconjunto de variáveis x j, j J J, definindo o PMR. Resolva o PMR. enquanto x j, j J \ J com c j < 0 existe faça Determine uma variável x j, j J \ J com custo reduzido negativo c j. Adicione esta variável x j ao PMR. Resolva o PMR. fim

35 3.1 Métodos Exatos 24 Portanto, no método de Geração de Colunas o problema é subdividido em dois problemas, o PM e o subproblema. Cabe lembrar que não se resolve diretamente o PM, mas sim sua relaxação linear, o PMR. A interação entre esses dois problemas é mostrada na Figura 3.1. O algoritmo para resolução alterna entre um subproblema e um PMR. A partir de um conjunto inicial de colunas, resolve-se o problema mestre, obtendo-se as variáveis duais que serão utilizadas pelo subproblema para determinar novas colunas a serem consideradas no problema mestre. Muitos trabalhos tratam essa relaxação com a decomposição Dantzig-Wolfe (Dantzig e Wolfe, 1960). Figura 3.1: Interação do Problema Mestre com o Subproblema no método Geração de Colunas Branch-and-Bound O método Branch-and-Bound (B&B) é baseado na ideia de enumerar implicitamente todas as soluções viáveis de um problema de Otimização Combinatória. O método foi proposto pela primeira vez por Land e Doig (1960). O termo branch refere-se ao processo de particionamento; o termo bound aos limitantes inferiores, no caso, de problemas de minimização, que são usados para construir a prova da otimalidade sem busca exaustiva. O B&B baseia-se no particionamento sucessivo do espaço de busca em subproblemas (ramos i) mais fáceis e no cálculo de limites inferiores (z i ) para cada subproblema. Além disso, um limite superior global U é mantido e atualizado ao encontrar soluções viáveis. A solução ótima estará entre esses dois limites, como apresentado na Figura 3.2. O esquema de decomposição pode ser representado por uma árvore binária de busca. A pesquisa começa no nó raiz, que corresponde ao problema relaxado do original PI. Assim, o método B&B funciona da seguinte forma: primeiramente é resolvida a relaxação linear do problema PI, que retorna uma solução x. Se x for uma solução inteira, então o problema terá sido solucionado. Se a solução x for fracionária, então ramos são abertos com variáveis x i de valores inteiros. Ou seja, são gerados, a partir dessa solução, dois subproblemas, tais que, em um subproblema S 1 a restrição x i x i é adicionada e no outro subproblema S 2 acrescenta a restrição x i x i. Este procedimento é representado pela Figura 3.3. Prosseguem-se com as ramificações até que os resultados z i atinjam os fins de poda (pruning), descritas a seguir. Resolvido um subproblema, os possíveis casos para poda, ou não, do ramo são devidos à umas das seguintes razões: z i = U: A solução ideal para o ramo foi calculada (poda por otimalidade);

36 3.1 Métodos Exatos 25 Figura 3.2: Limites no método B&B e a solução ótima. Figura 3.3: Representação do particionamento no método B&B. z i > U: O limite inferior é maior do que limite superior global. Assim, o ramo não pode produzir uma solução melhor e então será podado (poda por limitante); Caso esteja num subproblema de solução infactível ocorre a poda por inviabilidade. z i < U: O ramo pode conter uma nova solução melhor e, portanto, precisa ser particionado. Uma discussão mais aprofundada do método Branch-and-Bound pode ser encontrada em Papadimitriou e Steiglitz (1982) Plano de Corte e Branch-and-Cut O método de Planos de Corte foi desenvolvido por Gomory (1958), a fim de resolver problemas da PI usando o Método Simplex. Métodos de Planos de Corte são baseados no conceito de desigualdades válidas. Uma maneira de resolver um

37 3.1 Métodos Exatos 26 problema PI é resolver, iterativamente, o problema PL relaxado e, posteriormente, identificar e acrescentar novas desigualdades válidas (planos de corte). Definição 2 Seja a T x b j uma desigualdade de 3.1b. Será chamada desigualdade válida para um conjunto P se esta é satisfeita para todos os pontos x P. Definição 3 Dado um problema PI 3.3 e x R n +, x / conv(x), então um problema de separação é encontrar uma desigualdade válida a T x b j que é violada por x. De acordo com a Definição 3, um problema de separação é justamente encontrar tais desigualdades. O método de Plano de Corte é mostrado a seguir no Algoritmo 2. Algoritmo 2: Algoritmo de planos de corte Resolva a relaxação PL (3.2) do PI (3.3) Seja x uma solução ótima do PL enquanto x não for factível para o PI faça Encontre uma desigualdade válida para PI, violada por x Adicione esta desigualdade ao PL Resolva o PL fim As abordagens Branch-and-Bound em PL muitas vezes têm um desempenho relativamente ruim, já que muitos nós da ramificação precisam ser considerados. Não obstante, geralmente não é possível resolver, de forma eficiente, um problema geral de PI usando apenas uma abordagem de Planos de Corte. Nos métodos de Branch-and-Cut (B&C), planos de corte são gerados em cada nó da árvore Branch-and-Bound para apertar os limites inferiores. Métodos Branchand-Cut são algoritmos exatos que consistem na combinação de um método de Planos de Corte com um algoritmo Branch-and-Bound. Estes métodos trabalham pela resolução da relaxação linear PL para o problema PI. Segundo Mitchell (2002), uma abordagem do Branch-and-Bound pode ser acelerada consideravelmente, empregando um esquema de plano de corte, a cada nó da árvore ou apenas no topo da árvore. Isso é devido aos planos de corte, que conduzem a uma redução considerável no tamanho da árvore. Para mais detalhes do método Branch-and-Cut é sugerida a leitura de Mitchell (2002) Branch-and-Price No método de Geração de Colunas (GC), a relaxação linear do PL é resolvida e uma solução fracionária pode ser encontrada. Assim, faz-se necessário acrescentar o método Branch-and-Bound a fim de produzir soluções inteiras para o PI. O método GC é então combinado com a técnica de Branch-and-Bound resultando o método Branch-and-Price. Branch-and-Price combina dois métodos bem estabelecidos, o método de Geração de Colunas e o método Branch-and-Bound, para obter a melhor solução de problemas da Programação Inteira. Apesar desses dois métodos serem conhecidos

38 3.2 Métodos Heurísticos 27 desde 1950, apenas em 1984, com o trabalho de Desrosiers et al. (1984), foi desenvolvida a sua primeira combinação para obter soluções inteiras para um problema de roteamento e, só no final da década de 90, o primeiro trabalho sobre o método Branch-and-Price foi publicado por Barnhart et al. (1998). Similar ao Branch-and-Cut, no sentido de ramificações, o Branch-and-Price combina o método GC com Branch-and-Bound. Neste caso, a geração de colunas é usada para resolver cada subproblema relaxado PL. Ao resolver um nó do Branch-and-Price da árvore, o limite inferior determinado está disponível em cada iteração da GC. Se este limite inferior for maior que o limitante inferior da árvore então o nó pode ser podado, pois a melhor solução inteira encontrada no nó e em seus descendentes (se houver) terá um valor maior do que o encontrado Branch-and-Cut-and-Price Como o próprio nome sugere, Branch-and-Cut-and-Price refere-se às abordagens nas quais a GC é realizada juntamente com a geração de planos de corte em cada nó de busca do Branch-and-Bound (Barnhart et al., 2000). Mais recentemente, os chamados algoritmos Branch-and-Cut-and-Price robustos têm sido propostos, nos quais a estrutura dos subproblemas pricing não muda devido à geração de cortes (de Aragao e Uchoa, 2003; Uchoa et al., 2008). 3.2 Métodos Heurísticos Os problemas de Otimização Combinatória são considerados NP-difíceis (Garey e Johnson, 1979), ou seja, não é possível resolvê-los em tempo polinomial. Os métodos heurísticos sacrificam a garantia de encontrar soluções ótimas, na perspectiva de que é melhor ter boas soluções, não necessariamente as soluções ótimas, num tempo muito menor. As definições a seguir, dadas em Blum e Roli (2003), se julgam importantes para o entendimento de heurísticas. Considere S o espaço de busca (ou espaço de soluções) para o problema combinatorial P. Assim, cada elemento s S é candidato à solução ótima de P. Considere ainda, sem perda de generalidade, uma função objetivo de minimização f : S R. Resolver um problema de Otimização Combinatória é encontrar uma solução s com o menor valor da função objetivo f, isto é, f(s ) f(s), s S. Definição 4 Uma solução s é chamada de solução ótima global de (S, f) se, e somente se, f(s ) f(s), s S. Os algoritmos de busca local funcionam da seguinte forma: a partir de uma solução inicial tentam, iterativamente, substituir a solução atual por uma solução melhor, em uma vizinhança definida adequadamente pela solução atual. A vizinhança é formalmente definida como segue: Definição 5 Uma estrutura de vizinhança é uma função N : S 2 S que atribui a cada s S um conjunto de vizinhos N (s) S. N (s) é chamado vizinhança de s. Em particular, se uma solução s N (s) então s é chamado de vizinho de s.

39 3.2 Métodos Heurísticos 28 Definição 6 Uma solução mínima local (ou simplesmente mínimo local), em relação à estrutura de vizinhança N, é uma solução s tal que f(s ) f(s), s N. Os métodos heurísticos são uma técnica que melhora a eficiência de um processo de busca, sem garantir a otimalidade da solução. A seguir, uma definição de heurística dada por Weise (2009). Definição 7 Heurística é uma parte de um algoritmo de otimização que usa informações conhecidas para ajudar a decidir qual solução candidata será a próxima a ser testada ou qual a próxima solução a ser gerada. As heurísticas, geralmente, dependem das classes dos problemas tratados. Deste modo, uma heurística pode ser vista como uma técnica que se utiliza de informações particulares dos problemas para encontrar boas soluções a baixo custo computacional. As heurísticas podem ser divididas em três classes distintas: Heurística Construtiva, Heurística de Refinamento (Busca Local) e Meta-heurísticas Heurísticas construtivas As heurísticas construtivas são destinadas à geração de uma solução inicial para um problema de Otimização Combinatória. Essa heurística tem por objetivo construir uma solução, elemento por elemento. A forma de escolha de cada elemento a ser inserido a cada passo varia de acordo com a função de avaliação adotada, a qual, por sua vez, depende do problema abordado. Assim, a cada passo um elemento é inserido na solução parcial de acordo com uma função de avaliação, adequada ao problema em questão, até gerar uma solução completa. Nas heurísticas clássicas, os elementos candidatos são geralmente ordenados segundo a função de avaliação. A função de avaliação pode ser considerada como sendo a função objetivo ou uma função gulosa, que estima o benefício da inserção de cada elemento. Somente o elemento considerado melhor é inserido. As heurísticas construtivas gulosas, isto é, heurísticas que utilizam uma função gulosa, são determinísticas e muito utilizadas para gerar soluções iniciais que, possivelmente, serão melhoradas por outros procedimentos heurísticos. Outra maneira de se construir uma solução é de forma aleatória, ou seja, em cada passo, o elemento que será inserido na solução parcial é escolhido aleatoriamente dentre os elementos que ainda estão fora dela. Este método é bastante utilizado devido à sua facilidade de implementação e por gerar soluções diferentes, uma vez que não é determinístico. Contudo, essas soluções obtidas necessitam de um esforço maior na fase de refinamento, pois geralmente são de baixa qualidade Heurísticas de Refinamento As heurísticas de refinamento são destinadas à melhoria de uma solução. Essa melhoria é feita por meio de modificações nas componentes da solução. Também chamadas de heurísticas de melhoria, tentam encontrar uma solução melhor a partir de uma solução conhecida (s).

40 3.3 Programação Matemática/Métodos Heurísticos 29 As heurísticas de refinamento em problemas de otimização constituem uma família de técnicas baseadas em vizinhança (Souza, 2009). Essas heurísticas partem de uma solução inicial qualquer, normalmente gerada pela heurística construtiva ou aleatoriamente, e caminha, iterativamente, de vizinho a vizinho, de acordo com a definição de vizinhança adotada para o problema. As heurísticas pertencentes a esta classe também são conhecidas como técnicas de busca local e sempre se baseiam na noção de vizinhança Meta-Heurísticas O termo metaheuristic foi introduzido por Glover (1986) e deriva de duas palavras gregas: Heuristic do verbo heuriskein que significa encontrar e o sufixo meta que significa além, posterior, mudança. Segundo Blum e Roli (2003), meta-heurísticas são estratégias de alto nível para explorar espaços de busca através de diferentes métodos. Por este meio, um equilíbrio dinâmico é dado entre a diversificação e intensificação, sendo as metaheurísticas de grande importância. O termo diversificação geralmente se refere à exploração do espaço de busca, enquanto que o termo intensificação se refere à exploração da experiência de busca acumulada. Essa classe de algoritmos inclui Busca Tabu (BT), GRASP, Iterated Local Search (ILS), Simulated Annealing (SA), Algoritmos Evolutivos: Algoritmo Genético (AG), Colônia de Formigas (ACO), Enxame de Partículas (PSO), dentre outros; Mais detalhes sobre meta-heurísticas existentes na literatura podem ser encontrados no trabalho de Blum e Roli (2003). 3.3 Programação Matemática/Métodos Heurísticos Na seção 3.1 foram descritos alguns métodos exatos para resolver problemas de Programação Inteira. Métodos exatos pretendem encontrar a solução ótima e apresentam, como uma grande vantagem o fornecimento de informações acerca da qualidade das soluções encontradas ao longo do processo. Entretanto, na prática podem requerer esforço computacional e tempo proibitivos. As heurísticas, por outro lado, permitem que soluções sejam rapidamente encontradas, sem que se tenha conhecimento da qualidade de tais soluções. Este compromisso entre qualidade da solução e tempo computacional sugere a combinação de diferentes métodos para a obtenção de uma estratégia eficiente. Isto é o que se encontra nos resolvedores de Programação Inteira Mista (PIM) em uso hoje, os quais empregam, de forma sofisticada, tanto métodos exatos quanto heurísticas. As técnicas descritas a seguir são exploradas em Gan e Akartunali (2008). Para a descrição de algumas abordagens heurísticas na programação matemática, considere o seguinte problema inteiro misto: z P IM = min{c T x + h T y : Ax + Dy b, x R n +, y {0, 1} p } (3.11)

41 3.3 Programação Matemática/Métodos Heurísticos Rounding Considerada uma heurística construtiva, o algoritmo Rounding (arredondamento) atua da seguinte maneira: Seja ( x, ȳ) uma solução do problema PL. Para k e l, tais que 0 k l 1, segue que: { 0, se y k ȳi k = 1, se ȳ i l Resolva a relaxação PL novamente, com estas fixações. Em geral, o rounding é uma abordagem muito simples e, portanto, muitas vezes resulta em inviabilidade. Apenas para alguns problemas específicos tem se mostrado útil. Ainda assim, o rounding iterativo ou aleatório é amplamente utilizado nos métodos aproximados. Seu principal se dá com o intuito de obter soluções rápidas nos nós de profundidade da árvore de B&B Diving Uma nova classe de heurísticas é conhecida como diving (mergulho). É usada como estratégia para a busca em profundidade na árvore B&B. Essa técnica utiliza a solução relaxada para identificar um subconjunto de variáveis inteiras cujos valores devem ser fixados. Seja ( x, ȳ) uma solução do problema PL. Para ȳ i = min i [1,p] min (ȳ i, 1 ȳ i ) Resolva o seguinte PL: min{c T x + h T y : Ax + Dy b, x R n, 0 y 1, y i = ȳ i } Se esta solução não é inteira, volte para o primeiro Passo, caso contrário, pare. Diving é uma outra ideia básica que corrige uma variável de cada vez, ou seja, a cada iteração, exceto nos casos em que se obtém uma solução totalmente inteira em uma etapa intermediária. É um método de convergência rápida, embora tenha a possibilidade significativa de inviabilidade, como no rounding LP-and-Fix A heurística de fixação é baseada na técnica LP-and-Fix. Segundo Akartunali (2007), LP-and-Fix é uma técnica simples, intimamente relacionada com diving. Essa técnica funciona da seguinte forma: Resolve-se a relaxação PL. Então, algumas ou todas as variáveis que são encontradas inteiras na solução do PL, são fixadas em seus valores inteiros. Finalmente, o PIM restrito com variáveis fixadas é novamente resolvido, com a esperança de encontrar uma solução para o problema original rapidamente. Assim, ou o problema será inviável, com base na fixação, ou será capaz de fornecer uma solução cujo custo pode ser utilizado como um limite superior para o PIM.

42 3.3 Programação Matemática/Métodos Heurísticos 31 Seja ( x, ȳ) a solução do problema PL restrito. Seja Q = {i : ȳ i = 0 ou ȳ i = 1} Resolva o PIM: min{c T x + h T y : Ax + Dy b, x R n, y = {0, 1} p, y i = ȳ i, i Q} A estratégia geral consiste em fixar, em cada nó da árvores B&B, as variáveis y que são inteiras na solução do problema de PL relaxado e escolher uma das variáveis não inteiras para proceder com o processo de ramificação. Caso a solução deste novo problema indique uma solução inviável, a heurística terá falhado e deve ser terminada. Caso contrário, a solução heurística terá sido encontrada Relax-and-Fix Na heurística Relax-and-Fix (Wolsey, 1998) faz-se a relaxação de integralidade de algumas variáveis e, a partir daí, fixam-se as variáveis definidas inteiras em cada iteração. Mais especificamente, suponha que todas as variáveis inteiras em um problema de PIM possam ser particionadas em p conjuntos Q i, com i = 1,..., p, em que as decisões sobre as variáveis inteiras em Q i têm importância maior que as decisões sobre as variáveis inteiras em Q j, para qualquer i < j. Em uma iteração n, a relaxação parcial PL do problema PIM é resolvida, onde apenas as variáveis do conjunto Q n são definidas como inteiras e as demais variáveis inteiras são relaxadas. O submodelo resultante é então resolvido. Se para alguma partição Q o subproblema for inviável, o algoritmo será finalizado. Neste caso, não é possível encontrar uma solução viável para o problema original com as variáveis dos conjuntos Q i, i = 1,..., (n 1), que foram fixadas nos valores atuais. Se o submodelo for viável, as variáveis do conjunto Q n, ou parte delas, são fixadas em seu valor corrente e o processo se repete para os demais conjuntos. Essa heurística tem, como característica fundamental, a resolução de submodelos menores que o original, a cada iteração. A partição do conjunto de variáveis e o critério de seleção das variáveis a serem fixadas têm grande influência na dificuldade de solução dos submodelos. Partição de todas as variáveis binárias em k conjuntos, isto é, k i=1 Q i = {1,...p} Considere um conjunto Q i de maior importância que Q j, para todos os pares i, j tais que, 1 i j k. Para i = 1 até k faça Resolva o problema PIM: min x,y {ct x + h T y : Ax + Dy b, x R n, 0 y 1, y i {0, 1} j Q i } Seja ( x, ȳ) a solução deste problema PIM. Fixe y j = ȳ j para todo j Q i, i i e j / Q i, i > i.

43 3.3 Programação Matemática/Métodos Heurísticos 32 O método heurístico relax-and-fix é o mais adequado para problemas com uma estrutura especial e, também fornece um limite inferior, pelo menos tão forte quanto o limite do PL restrito Feasibility Pump Fischetti et al. (2005) propuseram a heurística feasibility pump, que é baseada na busca por soluções factíveis para PIM, formulados da seguinte maneira: Seja (.) a função distância. Escolha (x, y ) X P L = {Ax + Dy b, x R n +, y {0, 1} p } Repita Defina o rounding ỹ = y ; Resolva min { (y, ỹ) : Ax + Dy b}, obtenha a solução y. Até que (y, ỹ) = 0. Pode ser considerada, de um ponto y a um ponto ỹ, a função distância: (y, ỹ) = p y i ỹ i i=1 Mais especificamente, esse método inicia em um solução (x, y ) qualquer do PL relaxado, tendo ỹ como solução arredondada, geralmente um ponto inviável para o PIM. Se (y, ỹ) = 0 então a solução inicial é viável para o problema e o método é encerrado. Caso contrário, ỹ é substituído pelo arredondamento de y, e o PL: min{ (y, ỹ) : Ax + Dy b} é resolvido. Se a distância obtida (y, ỹ) > 0, então o processo de arredondamento acontece novamente. Esta simples heurística é a busca na vizinhança de um ponto viável do PL. É considerada computacionalmente útil para problemas muito difíceis Local Branching Fischetti e Lodi (2003) propõem um enfoque diferente chamado Local Branching (ramificação local). Apesar de possuir uma natureza exata, esta estratégia visa a obtenção de soluções de qualidade em curtos períodos de tempo. Seja ( x, ȳ) um ponto viável do PIM; Adicione o seguinte corte ao PIM: y i + (1 y i ) k Resolva o PIM. i:ȳ i =0 i:ȳ i =1

44 3.4 Métodos Matheurísticos 33 Estes cortes definem a k-vizinhança de ( x, ȳ). O corte adicionado ao PIM faz com que no máximo k variáveis binárias sejam exploradas simultaneamente, definindo uma vizinhança de tamanho 2 k. Como o próprio nome sugere, a restrição de local branching pode ser utilizada como critério dentro de um esquema enumerativo do PIM. Assim, dada uma solução ȳ, o espaço de soluções associado ao branching corrente pode ser particionado através da disjunção (y, ȳ) k ou (y, ȳ) k + 1, ramo esquerdo e direito, respectivamente. Fischetti e Lodi (2003) definem o parâmetro k como o tamanho da vizinhança. Desta forma, este deve ser escolhido de maneira que o subespaço associado ao ramo esquerdo seja pequeno o suficiente para que a solução ótima seja provada em um tempo computacional razoável, mas também grande o suficiente para, com certa probabilidade, conter soluções melhores que a incumbente. A busca em regiões menores possibilita que novas soluções sejam encontradas de maneira mais fácil e rápida, quando comparado com o desempenho dos resolvedores PIM existentes, que exploram todo o espaço de busca RINS - Relaxation Induced Neighborhood Search Danna et al. (2005) propõem uma abordagem chamada Relaxation Induced Neighborhood Search (RINS). Essa abordagem consiste em uma heurística a ser utilizada em conjunto com um resolvedor de resolução de PIM de forma a se obter soluções inteiras factíveis de qualidade. Seja ( x, ȳ) um ponto viável do PI e (x, y ) a solução ótima do PL relaxado. Adiciona a seguinte restrição ao PIM: y i = ȳ i, i : ȳ i = y Mais especificamente, essa heurística explora o subespaço de solução em um dado nó da árvore produzida pela execução do algoritmo Branch-and-Cut. Esse subespaço une a solução do PL relaxado (x, y ) a uma solução inteira viável conhecida ( x, ȳ), fixando as variáveis y i que tiverem os mesmos valores em ambas as soluções. Em seguida, é resolvido o subproblema PIM para as variáveis restantes. A solução obtida, caso seja viável quanto à integralidade, terá definido um novo limitante para a solução do problema. Este procedimento é repetido até que a solução ótima seja obtida. As abordagens Local Branching e RINS são consideradas estratégias de melhoria, enquanto as outras podem ser classificadas como construtivas. 3.4 Métodos Matheurísticos Considerando, ainda, as abordagens híbridas com métodos exatos, segue que, caso haja uma combinação entre um algoritmo exato e uma meta-heurística tem-se uma matheurística. Alguns estudos e surveys já foram publicados a respeito do tema (Puchinger e Raidl, 2005; Raidl e Puchinger, 2008; Hansen et al., 2009).

45 3.4 Métodos Matheurísticos 34 Segundo Hansen et al. (2009), há duas razões para dar ênfase a este tipo de combinação. Primeiro, a literatura tem demonstrado a possibilidade de utilização extremamente eficaz das meta-heurísticas para resolver problemas de otimização. No entanto, as meta-heurísticas atuais não fazem uso de ferramentas matemáticas explícitas. Em segundo lugar, ferramentas matemáticas inovadoras têm sido propostas e se mostrado bastante eficazes em problemas de otimização combinatória, estocástica ou contínua. Entretanto, essas ferramentas visam a solução exata desses problemas. Puchinger e Raidl (2005) apresentam uma classificação mais geral das abordagens que combinam algoritmos exatos e meta-heurísticas para problemas de Otimização Combinatória. Elas podem ser subdivididas em duas categorias principais: Combinações Colaborativas: a colaboração é no sentido da troca de informações entre os algoritmos. Contudo, não são parte um do outro. Nesta combinação, algoritmos exatos e heurísticos podem ser executados sequencialmente, em paralelo ou interligados. Combinações Integrativas: pela integração entende-se que uma técnica é um componente subordinado de outra técnica. Assim, existe um algoritmo mestre distinto, que pode ser um algoritmo exato ou meta-heurístico e, pelo menos um que seja o escravo integrado. Ainda em Puchinger e Raidl (2005) são descritas diversas técnicas que fazem uso desta combinação de método exato com meta-heurística. Suas principais classificações estão descritas na Figura 3.4. Figura 3.4: Principal classificação de combinações exatas/meta-heurísticas. Nos algoritmos de Branch-and-Cut e Branch-and-Price, as meta-heurísticas são usadas para separar, dinamicamente, planos de corte e as colunas pricing, respectivamente. A combinação de uma meta-heurística a um algoritmo exato pode ser feita de várias formas. As meta-heurísticas podem ser usadas para obter soluções e limites. A separação dinâmica de planos de cortes e o problema pricing de colunas às vezes são feitos por meio de heurísticas, incluindo meta-heurísticas, a fim de acelerar