1- PARTÍCULA OU CORPO EXTENSO É a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo.

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1 CINEMÁTICA - CONCEITOS INICIAIS REPOUSO E MOVIMENTO: Um ponto material éstá em movimento quando sua posição varia no decorrer do tempo em relação a um referencial. Se a posição não muda, então o corpo está em repouso. Ex.: Quando estamos sentados num ônibus que está andando, o mesmo está em repouso em relação a nós mas está em movimento em relação à rua, casas, postes, etc. 3- TRAJETÓRIA REFERENCIAL: é o ponto ou corpo tomado como referência para o estudo do movimento. 1- PARTÍCULA OU CORPO EXTENSO É a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo. Ex.: As marcas deixadas pelos esquis de um esquiador em movimento, que representa o caminho percorrido pelo esquiador em relação a uma pessoa parada no solo. A trajetória depende do referencial adotado. De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os seguintes nomes: - movimento retilíneo: a trajetória é uma reta PONTO MATERIAL: é todo corpo cujas dimensões não interferem no estudo de um determinado fenômeno. É também chamado de partícula. - movimento curvilíneo: a trrajetória é uma curva CORPO EXTENSO: é todo corpo cujas dimensões interferem no estudo de um determinado fenômeno. Exemplo: Um automóvel que transita por uma estrada entre uma determinada cidade até outra é considerado ponto material, ao passo que, se estiver manobrando para ocupar um lugar no estacionamento é considerado corpo extenso 2- REPOUSO OU MOVIMENTO 4- POSIÇÃO ESCALAR ESPAÇO (POSIÇÃO ESCALAR): é a medida da distância do corpo até a origem das posições, num determinado instante. - As posições à direita da origem tem sinal positivo - As posições à esquerda da origem tem sinal negativo 1

2 5 - DESLOCAMENTO E CAMINHO PERCORRIDO da velocidade escalar em cada instante. Essa velocidade é denominada velocidade escalar instatânea. - se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória teremos v > 0 - se o carro se movimentar no sentido negativo da trajetória teremos v < 0-1m/s = 3,6km/h - Deslocamento de um móvel num dado intervalo de tempo é a diferença entre a posição final e a posição inicial que ocupa nos extremos desse intervalo. - Caminho percorrido, também chamado, espaço percorrido é e distância efetivamente percorrida (andada) pelo móvel. Ex.: Um aluno saiu de sua casa, às 7h, foi até a escola e às 12h voltou para sua casa, pelo mesmo caminho. A distância entre a casa e a escola é de 450m. Qual foi o deslocamento desde o instante em que saiu de casa até o instante em que retornou? Qual foi a distância percorrida pelo aluno? 6 - VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA: - Movimento Progressivo: móvel caminha no sentido positivo da trajetória/ sua velocidade é positiva. - Movimento Retrógrado (Regressivo): móvel caminha no sentido negativo da trajetória/ sua velocidade é negativa. PROBLEMAS 1) Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com velocidade constante igual a 80 km/h. No instante em que o trem passa por uma estação, cai um objeto, inicialmente preso ao teto do trem. A trajetória do objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem, será: É o quociente entre a variação do espaço do móvel, no decorrer do tempo, e o intervalo de tempo necessário para essa variação. Onde: S = S S 0 e t = t t 0 2) Em relação à situação descrita no teste anterior, qual será a trajetória do objeto vista por um observador parado na estação? (A seta imediatamente abaixo representa o sentido do movimento do trem para esse observador.) A unidade de velocidade no Sistema Internacional (SI) é o metro por segundo e se indica por m/s. Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora, que se indica km/h. Obs.: - o velocímetro de um carro nos fornece o valor absoluto 3) Numa corrida de Fórmula 1 a volta mais rápida foi feita em 1 min e 20 s a uma velocidade média de 180 km/h. 2

3 Pode-se afirmar que o comprimento da pista, em m, é de: a) 180 b) 4000 c) 1800 d) e) ) A velocidade escalar média de um atleta que corre 100 m em 10 s é, em km/h: a) 3 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36 5) Um automóvel passou pelo marco 24 km de uma estrada às 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo marco 28 km da mesma estrada às 12 horas e 11 minutos. A velocidade média do automóvel, entre as passagens pelos dois marcos, foi de aproximadamente: a) 12 km/h b) 24 km/h c) 28 km/h d) 60 km/h e) 80 km/h 6) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem o formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro a 120 km/h e o quarto a 150 km/h. Qual a velocidade média da moto nesse percurso? a) 110 km/h b) 120 km/h c) 130 km/h d) 140 km/h e) 150 km/h 7) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo cerca de 1000 km. Sendo de 4 km/h a velocidade média das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas águas da chuva em aproximadamente: a) 30 dias. b) 10 dias. c) 25 dias. d) 2 dias. e) 4 dias. 8) Ao fazer uma viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velocidade média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consumiu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se, durante a viagem, o motorista gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as duas cidades? a) 3 h b) 3 h 30 min c) 4 h d) 4 h 30 min e) 5 h 9) Um atleta em treinamento percorre uma distância de 4000 m em 20 minutos, procurando manter a velocidade constante e o ritmo cardíaco em 100 batidas por minuto. A distância que ele percorre no intervalo entre duas batidas sucessivas de seu coração é, em m, de: a) 2 b) 4 c) 10 d) 20 e) 40 10) Um menino sai de sua casa e caminha para a escola, dando, em média, um passo por segundo. Se o tamanho médio do seu passo é 0,5 m e se ele gasta 5 minutos no trajeto, a distância entre a sua casa e a escola, em m, é de: a) 15 b) 25 c) 100 d) 150 e) ) Um carro percorre 1 km com velocidade constante de 40 km/h e o quilômetro seguinte com velocidade constante de 60 km/h. A sua velocidade média no percurso descrito é: a) 50 km/h b) 48 km/h c) 60 km/h d) 40 km/h e) n. r. a. 12) Em 10 min, certo móvel percorre 12 km. Nos 15 min seguintes, o mesmo móvel percorre 20 km e nos 5 min que se seguem percorre 4 km. Sua velocidade média em m/s, supondo constante o sentido do movimento, é: a) 1,2 m/s b) 10 m/s c) 17 m/s d) 18 m/s e) 20 m/s 13) Um carro faz um percurso de 140 km em 3 h. Os primeiros 40 km ele faz com certa velocidade escalar média e os restantes 100 km com velocidade média que supera a primeira em 10 km/h. A velocidade média nos primeiros 40 km é de: a) 50 km/h b) 47 km/h c) 42 km/h d) 40 km/h e) 28 km/h 14) Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de 3

4 tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velocidade, encontrem sempre os sinais abertos (onda verde). Sabendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e o seguinte é de 12 s, com que velocidade os carros devem trafegar para encontrar os sinais abertos? a) 30 km/h b) 40 km/h c) 60 km/h d) 80 km/h e) 100 km/h 15) Um corpo deve percorrer 1500 m com velocidade média de 30 m/s. Se ele parar no meio do caminho durante 10 s, que velocidade média deverá desenvolver na outra parte para chegar na hora marcada? a) 60 m/s b) 50 m/s c) 40 m/s d) 30 m/s e) 15 m/s GABARITO GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME Os gráficos facilitam a visualização global do movimento, permitindo-nos focalizar um determinado instante sem perder de vista o que aconteceu antes e depois do instante focalizado. Gráfico Velocidade x Tempo No movimento uniforme, como a velocidade escalar é constante, sua representação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos tempo. Progressivo Retrogrado Já o gráfico do Espaço em função do tempo é o gráfico de uma função afim (polinomial do 1º grau) MOVIMENTO UNIFORME O movimento é uniforme quando a velocidade escalar do móvel é constante em qualquer instante ou intervalo de tempo, significando que, no movimento uniforme o móvel percorre distâncias iguais em tempos iguais. O movimento é retilíneo uniforme quando o móvel percorre uma trajetória retilínea e apresenta velocidade escalar constante. O movimento de uma pessoa transportada numa escada rolante, o da Lua em torno da Terra e o dos ponteiros de um relógio são exemplos de movimentos praticamente uniformes. Função Horária A função horária do espaço do movimento uniforme nos fornece o espaço de um móvel em qualquer instante t 0, desde que sejam conhecidos o espaço inicial e a velocidade. S = S 0 + vt EXERCÍCIOS 1. (Fuvest) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem o formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro, a 120 km/h, e o quarto, a 150 km/h. Qual a velocidade média da moto nesse percurso? a) 110 km/h b) 120 km/h c) 130 km/h d) 140 km/h e) 150 km/h 4

5 2. (UFMG) Uma pessoa vê um relâmpago e três segundos (3,00 s) depois, escuta o trovão. Sabendo-se que a velocidade da luz no ar é de aproximadamente km/s e a do som, no ar, é de 330 m/s, ela estima a distância a que o raio caiu. A melhor estimativa para esse caso é: a) 110 m b) 330 m c) 660 m d) 990 m e) 220 m 3. (Vunesp) Ao passar pelo marco "km 200" de uma rodovia, um motorista vê um anúncio com a inscrição "Abastecimento e Restaurante a 30 minutos". Considerando-se que esse posto de serviços se encontra junto ao marco "km 245" dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade média, em km/h, de: a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) (UM-SP) Um caçador dá um tiro e ouve o eco dele 6,0 s depois. A velocidade de propagação do som no ar é de 340 m/s. A que distância do anteparo refletor do som se encontra o caçador? a) 340 m b) 1,02 x 10 3 m c) 2,04 x 10 3 m d) 680 m e) 750 m 5. (FUEL-PR) Um automóvel mantém uma velocidade escalar constante de 72,0 km/h. Em 1h10min ele percorre, em quilômetros, uma distância de: a) 79,2 b) 80,0 c) 82,4 d) 84,0 e) 90,0 6. (UFRN) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velocidade, encontram sempre os sinais abertos (verdes). Sabendo que a distância entre os sinais sucessivos (cruzamentos) é de 175 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a abertura do seguinte é de 9,0 s, com que velocidade devem trafegar os carros para encontrar os sinais sempre abertos? a) 40 km/h b) 50 km/h c) 70 km/h d) 80 km/h e) 100 km/h 7. (UA-AM) Para atravessar um túnel de m de comprimento, um trem de 400 m de comprimento, com velocidade de 20 m/s, gasta um tempo de: a) 10 s. b) 1 min. c) 200 s. d) 1 min 50 s. e) N.R.A. 8. (Fatec-SP) Um veículo percorre 100 m de uma trajetória retilínea com velocidade constante de 25 m/s e os 300 m seguintes, com velocidade constante de 50 m/s. A velocidade média durante o trajeto todo é de: a) 37,5 m/s. b) 40 m/s. c) 53,3 m/s. d) 75 m/s. e) 80 m/s. 9. (UFRN) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea AB, onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e MB. A velocidade da partícula no trecho AM é de 3,0 m/s e no trecho MB é de 6,0 m/s. A velocidade média entre os pontos A e B vale: a) 4,0 m/s. b) 4,5 m/s. c) 6,0 m/s. d) 9,0 m/s. e) 18 m/s. 10. (Cesgranrio) Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veículo leva para percorrer um trecho de 400 metros de estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 140 km/h. Sendo de 80 km/h a velocidade-limite permitida, qual deve ser a maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar ser multado? a) 20 km/h b) 48 km/h c) 56 km/h d) 60 km/h e) 80 km/h Para as questões 11 e 12 Considere um movimento cuja posição s, em função do tempo t, está representado no gráfico. 5

6 11. A distância percorrida pelo móvel entre os instantes t = 0 e t = 20s, em metros, vale: a) -40 b) zero c) 20 d) 40 e) O móvel passa pela origem no instante: a) zero b) 5,0s c) 10s d) 15s e) 20s constante em qualquer instante ou intervalo de tempo, tal que : amédia = ainstantânea = V T Este movimento também é acelerado porque o valor absoluto da velocidade do pára-quedista aumenta no decorrer do tempo (0,0 m/s, 9,8 m/s, 19,6 m/s, 29,4 m/s). Observação: Quando o pára-quedas é acionado (V = 29,4 m/s), o movimento passa a ser uniforme porque a força peso é equilibrada pela força de resistência do ar. Vamos analisar agora o que acontece quando um carro está sendo freado. GABARITO 1 - B 7 - D 2 - D 8 - B 3 - B 9 - A 4 - B 10 - C 5 - D 11 - E 6 - C 12 - C Quando um carro está com uma velocidade de 20 m/s e freia até parar, como varia a sua velocidade? Carro freando em movimento uniformemente variado. Sua velocidade inicial pode diminuir de 5 m/s em cada segundo. Isto significa que em 1 s a sua velocidade passa de 20,0 m/s para 15,0 m/s; decorrido mais 1 s a velocidade diminui para 10,0 m/s e assim sucessivamente até parar. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Você já pensou o que acontece com a velocidade de um pára-quedista quando ele salta sem abrir o pára-quedas? Neste caso o movimento é uniformemente variado e é retardado, porque o valor absoluto da velocidade diminui no decorrer do tempo (20,0 m/s, 15,0 m/s, 10,0 m/s, 5,0 m/s, 0,0 m/s). A aceleração é constante e igual a -5 m/s 2 (o sinal negativo indica que a velocidade está diminuindo). Equação da velocidade/ Equação horária - Movimento uniformemente variado Equação da velocidade - MUV Desprezando a resistência do ar, a força que atua sobre o pára-quedista é a força peso. A força peso vai acelerar o pára-quedista de forma que a sua velocidade aumentará de 9,8 m/s em cada segundo. O pára-quedista terá uma aceleração de 9,8 m/s 2, que é constante para corpos próximos à superfície da Terra e é denominada aceleração da gravidade. O movimento do pára-quedista apresenta trajetória retilínea e aceleração constante; este tipo de movimento é denominado Movimento Uniformemente Variado. No Movimento Uniformemente Variado a aceleração é A aceleração média é definida como sendo: a = V T = V V 0 T T 0 Para t 0 = 0 unidades de tempo e resolvendo a expressão para V, tem-se que : V = V 0 + a t Equação da velocidade - MUV 6

7 Gráfico V X t - MUV Para a equação da velocidade - MUV, V = V 0 + at, sendo uma função do 1 o grau, o gráfico é uma reta passando ou não pela origem (UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10cm? PROBLEMAS Gráfico V versus t - MUV Equação horária - MUV A variação de espaço pode ser calculada a partir do gráfico V versus t pela área abaixo da reta obtida, tem-se que: S = S 0 + v 0 t + (a t 2 )/2 Equação horária - MUV Gráfico S X t - MUV A equação horária do MUV, S-S 0= V 0t + ( at 2 )/2 é uma função do 2 o grau. A representação gráfica desta função é uma parábola. EQUAÇÃO DE TORRICELLI Até agora, conhecemos duas equações do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se prático encontrar uma função na qual seja possível conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido. 1. (Fuvest-SP) Um carro viaja com velocidade de 90 km/h (ou seja, 25 m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia, quando, subitamente, o motorista vê um animal parado na pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carro percorre 15 m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0 m/s 2, mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o tempo, se o tiver percebido a uma distância de, no mínimo, a) 15 m b) 31,25 m c) 52,5 m d) 77,5 m e) 125 m 2. Um passageiro corre em direção a um trem com velocidade constante 2 m/s. O trem parte do repouso com aceleração escalar 2 m/s 2, estando o passageiro a 5 m do trem. Nestas condições, a menor distância que ele chega perto do trem é: a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) Alcança o trem e) N.R.A. 3. (Mackenzie-SP) Um móvel parte do repouso com MRUV e, em 5 s, desloca-se o mesmo que o outro móvel B em 3 s, quando lançado verticalmente para cima, com velocidade de 20 m/s. A aceleração do móvel A é (adote g = 10 m/s 2 ): a) 2,0 m/s 2. b) 1,8 m/s 2. c) 1,6 m/s 2. d) 1,2 m/s 2. e) 0,3 m/s Dois móveis A e B se movimentam numa mesma trajetória e a partir de uma mesma origem com equações horárias: S A = t e S B = -2t + 6t 2 (SI). O encontro entre elas se dará no instante: a) t = 4 s b) t = 6 s 7

8 c) t = 2 s d) Não haverá encontro. e.r.a. 5. (ITA-SP) Um projétil de massa m = 5,00 g atinge perpendicularmente uma parede com velocidade v = 400 m/s e penetra 10,0 cm na direção do movimento (considere constante a desaceleração do projétil na parede). a) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 15,0 cm. b) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 225 cm. c) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 22,5 cm. d) Se v = 600 m/s, a penetração seria de 150 cm. e) A intensidade da força imposta pela parede à penetração da bala é 2 N. 6. (Fuvest-SP) Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e atinge a velocidade de 360 km/h em 25 s. Qual o valor da aceleração, em m/s 2? a) 9,8 b) 7,2 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0 7. (Fuvest-SP) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 m/s 2. Pode-se dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 s, valem, respectivamente: a) 6 m/s e 9 m. b) 6 m/s e 18 m. c) 3 m/s e 12 m. d) 12 m/s e 36 m. e) 2 m/s e 12 m. 8. (UECE) Um trem, que se desloca com aceleração constante, percorre a distância entre dois pontos separados de 320 m em 4 s. Se a velocidade, ao passar pelo segundo ponto, é 100 m/s, sua aceleração vale em m/s 2 : a) 15 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 9. (FUEL-PR) Um trem deve partir de uma estação A e parar na estação B, distante m de A. A aceleração e a desaceleração podem ser, no máximo, de 5,0 m/s 2, e a maior velocidade que o trem atinge é de 20 m/s. O tempo mínimo para o trem completar o percurso de A a B é, em segundos, de: a) 98. b) 100. c) 148. d) 196. e) (Cesesp-PE) Um carro parte do repouso e mantém uma aceleração de 0,50 m/s 2 durante 40 segundos. A partir desse instante, ele viaja 60 segundos com velocidade constante. Finalmente, ele freia uniformemente durante 30 segundos, até parar. A distância total, em m, percorrida pelo carro, foi de: a) b) c) 800 d) e) (PUCC-SP) No instante em que a luz verde do semáforo acende, um carro ali parado parte com aceleração constante de 2,0 m/s 2. Um caminhão, que circula na mesma direção e no mesmo sentido, com velocidade constante de 10 m/s, passa por ele no exato momento da partida. Podemos, considerando os dados numéricos fornecidos, afirmar que: a) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo. b) o carro não alcança o caminhão. c) os dois veículos seguem juntos. d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo. e) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo. 12. (Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimento se desloca com velocidade escalar de 20 m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo completamente dela 10 s após, com velocidade escalar de 10 m/s. O comprimento da ponte é de: a) 150 m. b) 120 m. c) 90 m. d) 60 m. e) 30 m. 13. (UPE) Uma partícula que se move com aceleração constante de -4,5 m/s 2 reduz a sua velocidade inicial para a metade do seu valor enquanto percorre 27 m. A velocidade inicial vale, em m/s: a) 24 b) 20 c) 18 d) 15 e) (CESGRANRIO) Um atleta desloca-se em MUV. Às 2 horas, 29 minutos e 55 segundos, sua velocidade é de 1 m/s e, logo a seguir, às 2 horas, 30 minutos e 25 segundos, está com 10 m/s. Qual a aceleração escalar desse atleta em m/s 2? a) 0,03 b) 0,1 c) 0,3 d) 1,0 8

9 e) 3,0 15. (UFRN) Um trem corre a 20 m/s quando o maquinista vê um obstáculo 50 m à sua frente. A desaceleração mínima ( em m/s 2 ) que deve ser dada ao trem para que não haja uma colisão é de: a) 4 b) 2 c) 1 d) 0,5 e) (UFAL) Um corpo descreve um movimento regido pela função horária S = 20 t - 2 t 2, sendo S medido em metros e t medido em segundos. No instante t = 3 s, sua velocidade é, em m/s, de: a) 8 b) 14 c) 20 d) 42 e) (UFAL) Um móvel descreve um movimento retilíneo obedecendo a função horária S = t - 2,5 t 2 onde S é o espaço do móvel medido em metros e t, o tempo em segundos. O espaço do móvel, em metros, ao mudar de sentido vale: a) 72 b) 50 c) 40 d) 30 e) zero 18. (UFAL) Um veículo, partindo do repouso, move-se em linha reta com aceleração de 2 m/s 2. A distância percorrida pelo veículo após 10 s é: a) 200 m b) 100 m c) 50 m d) 20 m e) 10 m 19. (UFRS) Uma grande aeronave para transporte de passageiros precisa atingir a velocidade de 360 km/h para poder decolar. Supondo que essa aeronave desenvolva na pista uma aceleração constante de 2,5 m/s 2, qual é a distância mínima que ela necessita percorrer sobre a pista antes de decolar? a) m b) m c) m d) m e) m 20. (U.E. Londrina-PR) Um trem começa s ser observado quando sua velocidade é de 30 m/s, e ele mantém essa velocidade durante 15 s. Logo após, ele freia com aceleração constante de módulo 0,50 m/s 2 até parar numa estação. O trem começou a ser observado quando estava distante da estação: a) 450 m b) 900 m c1 350 m d) m e) m 21. (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s 2. Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente: a) 6,0 m/s e 9,0m; b) 6,0m/s e 18m; c) 3,0 m/s e 12m; d) 12 m/s e 35m; e) 2,0 m/s e 12 m 22. (FUND. CARLOS CHAGAS) Dois móveis A e B movimentam-se ao longo do eixo x, obedecendo às equações móvel A: x A = ,0t e móvel B: x B = 5,0t 2, onde x A e x B são medidos em m e t em s. Pode-se afirmar que: a) A e B possuem a mesma velocidade; b) A e B possuem a mesma aceleração; c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado; d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distância; e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s (MACKENZIE) Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s 2 em uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniformemente até parar a 500m do ponto de partida. Em valor absoluto, a aceleração de freada foi: a) 8,0 m/s 2 b) 6,0 m/s 2 c) 4,0 m/s 2 d) 2,0 m/s 2 e) 1,6 m/s (UFMA) Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s 2. A velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s é: a) zero b) 5,0 m/s c) 10 m/s 9

10 d) 15 m/s e) 20 m/s 25. (UFPA) Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e, após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração escalar do ponto material, em m/s vale: a) 1,5 b) 1,0 c) 2,5 d) 2,0 e) n.d.a. 26. (UNIP) Na figura representamos a coordenada de posição x, em função do tempo, para um móvel que se desloca ao longo do eixo Ox. Os trechos AB e CD são arcos de parábola com eixos de simetria paralelos ao eixo das posições. No intervalo de tempo em que o móvel se aproxima de origem dos espaços o seu movimento é: a) uniforme e progressivo; b) retrógrado e acelerado; c) retrógrado e retardado; d) progressivo, retardado e uniformemente variado; e) progressivo, acelerado e uniformemente. 27. (PUCC) Um vaso de flores cai livremente do alto de um edifício. Após ter percorrido 320cm ele passa por um andar que mede 2,85 m de altura. Quanto tempo ele gasta para passar por esse andar? Desprezar a resistência do ar e assumir g = 10 m/s 2. a) 1,0s b) 0,80s c) 0,30s d) 1,2s e) 1,5s 28. (PUCC) Duas bolas A e B, sendo a massa de A igual ao dobro da massa de B, são lançadas verticalmente para cima, a partir de um mesmo plano horizontal com velocidades iniciais. Desprezando-se a resistência que o ar pode oferecer, podemos afirmar que: a) o tempo gasto na subida pela bola A é maior que o gasto pela bola B também na subida; b) a bola A atinge altura menor que a B; 10 c) a bola B volta ao ponto de partida num tempo menor que a bola A; d) as duas bolas atingem a mesma altura; e) os tempos que as bolas gastam durante as subidas são maiores que os gastos nas descidas. 29. (UFPR) Um corpo é lançado verticalmente para cima, atinge certa altura, e desce. Levando-se em conta a resistência do ar, pode-se afirmar que o módulo de sua aceleração é: a) maior, quando o corpo estiver subindo; b) maior, quando o corpo estiver descendo; c) igual ao da aceleração da gravidade, apenas quando o corpo estiver subindo; d) o mesmo, tanto na subida quanto na descida; e) igual ao da aceleração da gravidade, tanto na subida quanto na descida. 30. (UCPR) Num local onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s 2 uma pedra é abandonada de um helicóptero no instante em que este está a uma altura de 1000m em relação ao solo. Sendo 20s o tempo que a pedra gasta para chegar ao solo, pode-se concluir que no instante do abandono da pedra o helicóptero: (Desprezam-se as resistências passivas) a) subia b) descia c) estava parado d) encontrava-se em situação indeterminada face aos dados; e) esta situação é impossível fisicamente. GABARÍTO 1 - D 6 - D 11 - E 16 - A 21 A 26 D 2 - E 7 - A 12 - E 17 - B 22- E 27 C 3 - D 8 - C 13 - C 18 - B 23 A 28 D 4 - A 9 - E 14 - C 19 - D 24 A 29 A 5 - C 10 - A 15 - A 20 - C 25 A 30 - A MOVIMENTO VERTICAL No estudo de física a queda livre é uma particularização do movimento uniformemente variado (MRUV). O movimento de queda livre foi estudado primeiramente por Aristóteles. Ele foi um grande filósofo grego que viveu aproximadamente 300 a.c. Aristóteles afirmava que se duas pedras caíssem de uma mesma altura, a mais pesada atingiria o solo primeiro. Tal afirmação foi aceita durante vários séculos tanto por Aristóteles quanto por

11 seus seguidores, pois não tiveram a preocupação de verificar tal afirmação. Séculos mais tarde, mais precisamente no século XVII, um famoso físico e astrônomo italiano chamado Galileu Galilei, introduziu o método experimental e acabou por descobrir que o que Aristóteles havia dito não se verificava na prática. Considerado o pai da experimentação, Galileu acreditava que qualquer afirmativa só poderia ser confirmada após a realização de experimentos e a sua comprovação. No seu experimento mais famoso ele, Galileu Galilei, repetiu o feito de Aristóteles. Estando na Torre de Pisa, abandonou ao mesmo tempo esferas de mesmo peso e verificou que elas chegavam ao solo no mesmo instante. Por fazer grandes descobertas e pregar idéias revolucionárias ele chegou a ser perseguido. Quando Galileu realizou o experimento na Torre de Pisa e fez a confirmação de que Aristóteles estava errado, ele percebeu que existia a ação de uma força que retardava o movimento do corpo. Assim sendo, ele lançou a hipótese de que o ar exercesse grande influência sobre a queda de corpos. Quando dois corpos quaisquer são abandonados, no vácuo ou no ar com resistência desprezível, da mesma altura, o tempo de queda é o mesmo para ambos, mesmo que eles possuam pesos diferentes. O movimento de queda livre, como já foi dito, é uma particularidade do movimento uniformemente variado. Sendo assim, trata-se de um movimento acelerado, fato esse que o próprio Galileu conseguiu provar. Esse movimento sofre a ação da aceleração da gravidade, aceleração essa que é representada por g e é variável para cada ponto da superfície da Terra. Porém para o estudo de Física, e desprezando a resistência do ar, seu valor é constante e aproximadamente igual a 9,8 m/s2. As equações matemáticas que determinam o movimento de queda livre são as seguintes: Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra, fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na vertical, em direção ao centro do planeta. Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical. Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado. As funções que regem o lançamento vertical, portanto, são as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com aceleração da gravidade (g). Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo da direção do movimento: Lançamento Vertical para Cima g é negativo Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento será acelerado negativamente, até parar em um ponto, o qual chamamos Altura Máxima. Lançamento Vertical para Baixo g é positivo No lançamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento é acelerado positivamente. Recebe também o nome de queda livre. O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é: g=9,80665m/s² No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores: g=10m/s² Lançamento Vertical Exemplos: 1º) Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 40m/s. 11

12 a) Qual a altura máxima atingida pela bola? b) Qual o tempo gasto na subida? c) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo. d) Após quanto tempo a bola estará a 60 m do solo? e) Qual a sua velocidade a 60 m do solo? f) Qual a sua velocidade ao retornar ao solo? 2º) (PUC-RIO) Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos dizer que no ponto mais alto de sua trajetória: A) a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo. B) a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para cima. C) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é nula. D) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo E) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para cima. 3º) (PUC-RIO) Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 30 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, determine o tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado. A) 3 s B) 4 s C) 5 s D) 6 s E) 7 s 4º) (PUC-RIO) Um objeto é lançado verticalmente para cima, de uma base, com velocidade v = 30 m/s. Indique a distância total percorrida pelo objeto desde sua saída da base até seu retorno, considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar. A) 30 m B) 55 m C) 70 m D) 90 m E) 100 m 5º) (PUC-RIO) Em um campeonato recente de vôo de precisão, os pilotos de avião deveriam atirar um saco de areia dentro de um alvo localizado no solo. Supondo que o avião voe horizontalmente a 500 m de altitude com uma velocidade de 144 km/h, e que o saco é deixado cair do avião, ou seja, no instante do tiro a componente vertical do vetor velocidade é zero, podemos afirmar que: (Considere a aceleração da gravidade g = 10m/s 2 e despreze a resistência do ar) A) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 100 m do alvo; B) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 200 m do alvo; C) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 300 m do alvo; D) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 400 m do alvo; E) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 500 m do alvo. 6º) (PUC-RIO) Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, e atinge uma altura máxima de 20 m. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s², a velocidade inicial de lançamento e o tempo de subida da bola são: A) 10 m/s e 1s B) 20 m/s e 2s C) 30 m/s e 3s D) 40 m/s e 4s E) 50 m/s e 5s 7º) (PUC-RIO) Duas esferas de aço, de massas iguais a m = 1,0 kg, estão amarradas uma a outra por uma corda muito curta, leve, inquebrável e inextensível. Uma das esferas é jogada para cima, a partir do solo, com velocidade vertical de 20,0 m/s, enquanto a outra está inicialmente em repouso sobre o 12

13 solo. Sabendo que, no ponto de máxima altura h máx da trajetória do centro de massa, as duas esferas estão na mesma altura, qual o valor, em m, da altura h máx? (Considere g = 10 m/s²) A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 8º) (PUC-RIO) Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto. Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo, calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s²). A) 160 m. B) 180 m. C) 18 m. D) 80 m. E) 1800 m. PROBLEMAS 1. Um balão sobe com velocidade constante V. Quando ele está a uma altura h do solo, um projétil é disparado em direção ao balão com velocidade V/2. Desprezando-se a resistência do ar, poderemos afirmar que: a) O projétil atingirá o balão. b) O projétil chega mais perto do balão no instante t = (V/2)g. c) O projétil chega mais perto do balão no instante t = (2V)/g. d) O projétil atinge o balão na sua altura máxima. e) N.R.A. 2. (UFRJ) Um corpo em queda livre percorre uma certa distância vertical em 2 s. A distância percorrida em 6 s será: a) dupla. b) tripla. c) seis vezes maior. d) nove vezes maior. 13 e) doze vezes maior. 3. (UECE) Uma pedra, partindo do repouso, cai de uma altura de 20 m. Despreza-se a resistência do ar e adota-se g = 10 m/s 2. A velocidade da pedra ao atingir o solo e o tempo gasto na queda valem, respectivamente: a) v = 20 m/s e t = 2 s. b) v = 20 m/s e t = 4 s. c) v = 10 m/s e t = 2 s. d) v = 10 m/s e t = 4 s. e) N.R.A. 4. (UFPA) Em um local onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s 2, deixa-se cair livremente uma pedra de uma altura de 125 m, em direção ao solo. Dois segundos depois, uma segunda pedra é atirada da mesma altura. Sabendo que essas duas pedras atingiram o solo ao mesmo tempo, a velocidade com que a segunda pedra foi atirada vale: a) 12,3 m/s. b) 26,7 m/s. c) 32 m/s. d) 41,2 m/s. e) 57,5 m/s. 5. (UFSCar-SP) Um foguete é lançado de uma base. Ao atingir uma altura de 480 m, o combustível do primeiro estágio acaba e ele é desacoplado do foguete. Neste instante, sua velocidade é de 100 m/s. Usando g = 10 m/s 2, a velocidade com que o primeiro estágio atingirá o solo será de: a) 200 m/s. b) 150 m/s. c) 100 m/s. d) 140 m/s. e) 148 m/s. 6. (Unisinos-99/2) Após saltar de um avião, e já com o pára-quedas aberto, um pára-quedista desce com velocidade vertical constante. Nessa situação, o módulo do peso do conjunto (páraquedas+pára-quedista) é... módulo da resistência do ar e a aceleração resultante... As lacunas são corretamente preenchidas, respectivamente, por : a) igual ao; é nula. b) igual ao; está orientada para baixo. c) maior que o; está orientada para baixo. d) maior que o; é nula. e) menor que o; está orientada para cima. 7. (Unifor-98) Um chumaço de algodão umedecido desceu verticalmente, a partir do repouso, em movimento que pode ser considerado retilíneo uniformemente acelerado. Quando o algodão completou 4,5 m de percurso, a velocidade era de 1,5 m/s. Com essas informações pode-

14 se determinar a velocidade do algodão ao completar 2,0 m de percurso que é, em m/s, igual a: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,75 e) 1,0 8. (UFAL) Um corpo é deixado cair em queda livre, a partir do repouso, da altura de 80 m. Adotando-se g = 10 m/s 2, pode-se afirmar que a velocidade média na queda é, em m/s, de: a) 80 b) 60 c) 40 d) 30 e) (UFAL) Uma esfera de aço cai, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 80 m. Considerando g = 10 m/s 2, o tempo de queda é: a) 8 s b) 6 s c) 4 s d) 2 s e) 1 s 10. (UFAL) Um corpo é atirado verticalmente para cima com velocidade de 40 m/s. Considerando-se a aceleração da gravidade g = 10 m/s 2, a altura máxima que o corpo atinge, a partir do ponto de lançamento, é, em metros: a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 160 GABARITO 1 - E 6 - A 2 - D 7 - E 3 - A 8 - E 4 - B 9 - C 5 - D 10 - D "Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo." COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS O lançamento oblíquo estuda o movimento de corpos, lançados com velocidade inicial V0 da superfície da Terra. Na figura a seguir vemos um exemplo típico de lançamento obliquo realizado por um jogador de golfe. A trajetória é parabólica, como você pode notar na figura acima. Como a análise deste movimento não é fácil, é conveniente aplicarmos o princípio da simultaneidade de Galileu. Veremos que ao projetramos o corpo simultaneamente no eixo x e y teremos dois movimentos: - Em relação a vertical, a projeção da bola executa um movimento de aceleração constante e de módulo igual a g. Trata-se de um M.U.V. (lançamento vertical) - Em relação a horizontal, a projeção da bola executa um M. U. Observações: Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde, e desce aumentando a velocidade. O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0. A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja,. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento. LANÇAMENTO OBLÍQUO O lançamento oblíquo é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta particularidade do movimento balístico. Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade: 14 LANÇAMENTO HORIZONTAL O lançamento balístico é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta particularidade do movimento balístico. Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade: "Se um corpo apresenta um movimento composto, cada

15 um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo." COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS O princípio da simultaneidade poderá ser verificado no Lançamento Horizontal. Um observador no solo, (o que corresponde a nossa posição diante da tela) ao notar a queda do corpo do helicóptero, verá a trajetória indicada na figura. A trajetória traçada pelo corpo, corresponde a um arco de parábola, que poderá ser decomposta em dois movimentos: porém o módulo aumenta a medida que se aproxima do solo PROBLEMAS 1) (CEFET) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés da mesa. Adote g= 10 m/s², despreze a resistência do ar e determine: a) a altura da mesa. b) o tempo gasto para atingir o solo. 2) (STA CASA-SP) Um canhão, em solo plano e horizontal, dispara uma bala, com ângulo de tiro de 300. A velocidade inicial da bala é 500 m/s. Sendo g = 10 m/s² o valor da aceleração da gravidade no local, qual a altura máxima da bala em relação ao solo, em km? 3) (PUCC-SP) Calcular o alcance de um projétil lançado por um morteiro com velocidade inicial de 100 m/s, sabendo-se que o ângulo formado entre o morteiro e a horizontal é de 300. Adotar g = 10 m/s². 4) (OSEC-SP) Um corpo é lançado obliquamente para cima, formando um ângulo de 300 com a horizontal. Sabese que ele atinge uma altura máxima hmáx = 15 m e que sua velocidade no ponto de altura máxima é v = 10 m/s. Determine a sua velocidade inicial. Adotar g = 10 m/s². 5) (FEI-SP) Um objeto voa numa trajetória retilínea, com velocidade v = 200 m/s, numa altura H = 1500 m do solo. Quando o objeto passa exatamente na vertical de uma peça de artilharia, esta dispara um projétil, num ângulo de 600 com a horizontal. O projétil atinge o objeto decorrido o intervalo de tempo Dt. Adotar g = 10 m/s2. Calcular a velocidade de lançamento do projétil. 6) (FEI-SP) Calcular o menor intervalo de tempo t em que o projétil atinge o objeto, de acordo com os dados da questão anterior. - A projeção horizontal (x) do móvel descreve um Movimento Uniforme. O vetor velocidade no eixo x se mantém constante, sem alterar a direção, sentido e o módulo. - A projeção vertical (y) do móvel descreve um movimento uniformemente variado. O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido 7) (PUCC-SP) Um avião, em vôo horizontal, está bombardeando de uma altitude de 8000 m um destróier parado. A velocidade do avião é de 504 km/h. De quanto tempo dispõe o destróier para mudar seu curso depois de uma bomba ter sido lançada? (g = 10 m/s² ). 8) (F.C.CHAGAS-SP) Um avião precisa soltar um saco com mantimentos a um grupo de sobreviventes que está numa balsa. A velocidade horizontal do avião é constante e igual a 100 m/com relação à balsa e sua altitude é 2000 m. Qual a distância horizontal que separa o avião dos sobreviventes, no instante do lançamento? (g = 10 m/s²). 9) (UF-BA) De um ônibus que trafega numa estrada reta e horizontal com velocidade constante de 20 m/s desprende- 15

16 se um parafuso, situado a 0,80 m do solo e que se fixa à pista no local em que a atingiu. Tomando-se como referência uma escala cujo zero coincide com a vertical no instante em que se inicia a queda do parafuso e considerando-se g = 10 m/s², determine, em m, a que distância este será encontrado sobre a pista. 10) (CESGRANRIO-RJ) Para bombardear um alvo, um avião em vôo horizontal a uma altitude de 2,0 km solta a bomba quando a sua distância horizontal até o alvo é de 4,0 km. Admite-se que a resistência do ar seja desprezível. Para atingir o mesmo alvo, se o avião voasse com a mesma velocidade, mas agora a uma altitude de apenas 0,50 km, ele teria que soltar a bomba a que distância horizontal do alvo? RESPOSTAS 1) a) 0,8m b) 0,4s 2) 3125 m 3) 870 m 4) 34,6 m/s 5) 400 m/s 6) 4,6 s 7) 40 s 8) 2000 m 9) 8 m 10) 2000 m 16