CONCEITO E PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS E SEU ENSINO

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1 CONCEITO E PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS E SEU ENSINO Autora: Fabiana Brianez Orientador: Prof. Dr. Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone São Carlos-SP, 3 de Julho de 2013.

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3 CONCEITO E PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS E SEU ENSINO Autora: Fabiana Brianez Orientador: Prof. Dr. Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos- SP, 3 de Julho de Fabiana Brianez (Autora) Roberto Ribeiro Paterlini (Orientador)

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5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, pois sem a ajuda Dele nada seria possível. Aos meus familiares pelo apoio, dedicação, compreensão e incentivo perante todas as dificuldades durante meu curso de graduação. Por fim, agradeço ao meu orientador Roberto Ribeiro Paterlini que contribuiu muito na construção do meu conhecimento não só na realização deste trabalho, mas também durante todo o curso de Licenciatura em Matemática.

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7 RESUMO Este trabalho contempla alguns conceitos e propriedades elementares de poliedros. Na primeira parte discorremos sobre a presença desses sólidos geométricos na sociedade, na ciência e na escola, valorizando a importância do seu estudo. No segundo capítulo desenvolvemos a teoria necessária sobre polígonos para em seguida partirmos para as várias definições de poliedros que existem, destacando a que utilizaremos para o desenvolvimento deste texto e o porquê de algumas definições, serem consideradas incompletas, por nós. Neste capítulo também classificamos e exemplificamos alguns tipos de poliedros. No Capítulo III apresentamos algumas relações válidas apenas para poliedros convexos. No Capítulo IV há uma introdução histórica sobre a Relação de Euler, algumas demonstrações para esta relação e também alguns casos em que ela não é válida. No capítulo seguinte, definimos e classificamos os Poliedros de Platão, provando que são apenas cinco. No sexto capítulo analisamos o ensino de poliedros segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais além de dar um panorama geral de como deve ser o ensino de poliedros nas Séries Iniciais, no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Por fim, no sétimo capítulo refletimos criticamente sobre algumas atividades que envolvem o ensino de poliedros apresentando sugestões e possíveis alterações na dinâmica de tais atividades para que haja um melhor aproveitamento deste conteúdo.

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9 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 07 I. A PRESENÇA DOS POLIEDROS NA SOCIEDADE, NA CIÊNCIA E NO ENSINO 1.1 Introdução A presença dos Poliedros na sociedade A presença dos Poliedros na ciência A Presença dos Poliedros na escola 14 II. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE POLIEDROS 2.1 Introdução Polígonos Definições de Poliedros Principais elementos geométricos de um Poliedro Exemplos de Poliedros Poliedros Regulares Poliedros Não Regulares 27 III. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS CONVEXOS 3.1 As primeiras relações Duas desigualdades: 2A 3F e 2A 3V 33 IV. RELAÇÃO DE EULER 4.1 Breve histórico sobre a Relação de Euler Uma demonstração elementar da Relação de Euler A demonstração de Legendre para a Relação de Euler Alguns casos em que a fórmula de Euler não é válida 46 V. POLIEDROS DE PLATÃO 5.1 Breve histórico, definição e classificação dos Poliedros de Platão 51

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11 VI. O ENSINO DE POLIEDROS NO BRASIL 6.1 Breve histórico sobre o ensino de Geometria Espacial O ensino de Poliedros segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais O ensino de Poliedros nas Séries Iniciais O ensino de Poliedros no Ensino Fundamental O ensino de Poliedros no Ensino Médio 61 VII. ANÁLISE DE ALGUMAS ATIVIDADES SOBRE POLIEDROS 7.1 Introdução Uma atividade para as Séries Iniciais - O Cubo Soma Uma atividade para o Ensino Fundamental- Verificando a Relação 70 de Euler 7.4 Uma atividade para o Ensino Médio- Trabalhando com embalagens 74 VIII. CONSIDERAÇÕES FINAIS 77 IX. BIBLIOGRAFIA 79

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13 APRESENTAÇÃO Este trabalho faz parte da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso B, da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar. O estudo dos Poliedros foi escolhido, pois eles contemplam o mundo que nos cerca e estão presentes em inúmeras atividades do homem, como nas construções arquitetônicas, nas artes e objetos artísticos, nas embalagens dos produtos, nas ciências naturais, etc. Outro fator relevante para escolha deste tema deve-se a importância do conteúdo Geométrico no currículo de Matemática para o ensino Fundamental e Médio. É através da Geometria Espacial que os estudantes organizam, descrevem e representam o mundo ao seu redor desprendendo-se dos objetos reais. Feita a apresentação gostaríamos de fazer alguns esclarecimentos sobre as figuras deste trabalho. Para confecção de grande parte dos poliedros aqui ilustrados foi utilizado o software online Uma Pletora de Poliedros, disponível em Outras figuras foram feitas com a utilização do software Mayura. As figuras retiradas da internet são de domínio público, isto permite a utilização livre da imagem e todas apresentam link disponível. 7

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15 CAPÍTULO I A PRESENÇA DOS POLIEDROS NA SOCIEDADE, NA CIÊNCIA E NO ENSINO 1.1 Introdução A busca por entender o mundo ao nosso redor, identificar a existência de objetos e figuras e as relações entre essas formas no espaço real faz da Geometria um objeto de conhecimento relevante e motivador. Em particular, a Geometria Espacial pode ser vista como uma ferramenta que descreve e exerce uma interação matemática com o mundo, por ser ao mesmo tempo intuitiva, concreta e ligada à realidade. O trabalho com a geometria tridimensional possibilita o desenvolvimento da criatividade, da percepção espacial e do raciocínio hipotético-dedutivo, além de ativar as estruturas mentais, possibilitando a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas, contribuindo desta maneira, para a formação de um cidadão com pensamento crítico e autônomo. Buscando ajudar no desenvolvimento desse cidadão, seja ele professor ou aluno, e compreendendo que o saber geométrico tem um papel emancipador, surgiu esta pesquisa cujo objetivo consiste em unir o estudo teórico-abstrato sobre poliedros com o saber escolar. Neste capítulo vamos explorar os sólidos geométricos, observando sua presença na sociedade e nas ciências e discutiremos a cerca da presença dos poliedros nas escolas. 1.2 A presença dos Poliedros na sociedade A Geometria faz parte do mundo que nos cerca, e os poliedros estão presentes em inúmeras atividades do homem: nas construções arquitetônicas, nas embalagens de produtos, nas artes e objetos artísticos. Destacaremos agora como algumas atividades humanas contemplam os conceitos geométricos para alcançar seus objetivos. 9

16 Arquitetura Arquitetura significa construção, e é a técnica ou arte de planejar e edificar o ambiente habitado por nós. É a organização estética e funcional do espaço e dos seus elementos físicos, e dispõe da criatividade na manipulação de materiais e locais através de conceitos científicos e matemáticos. No planejamento de um ambiente há, pelo arquiteto, uma preocupação com as formas que serão construídas. Algumas formas derivam de figuras geométricas simples como os polígonos regulares, já outras construções são caracterizadas por formas complexas como a dos poliedros, o que evidencia que este profissional convive frequentemente com a Geometria, mais especificamente com propriedades e conceitos geométricos. Por exemplo, a necessidade de aproveitar ao máximo a área de um terreno em Tóquio, levou o arquiteto Yasuhiro Yamashita a utilizar a sua percepção visual e seus conhecimentos geométricos sobre poliedros para projetar, em um terreno de 45m², uma casa em formato de poliedro cuja área total construída é de 86m² (Figura 1.1). Figura 1.1- casa em formato de poliedro (disponível em arquitetandonanet.blogspot.com.br) Podemos notar também outros exemplos de construções que utilizaram os poliedros como referência. Na Figura 1.2 à esquerda, temos o projeto Vila da Barca em Belém onde a Sehab/Uni Engenharia buscou se afastar da ideia de bloco de apartamentos padronizados. Suas unidades se articulam de modo a formar um conjunto de poliedros. Já na direita da Figura 1.2, temos a criação do arquiteto colombiano Manuel Villa cuja ideia foi criar um espaço relaxante para o jardim de uma família em Bogotá. 10

17 Figura 1.2- construções que utilizaram o formato de diversos poliedros como referência (disponíveis em cooperaativa.blogspot.com.br e ddimaf.wordpress.com) Embalagens A embalagem influencia a primeira impressão que o consumidor tem de um produto. As cores, os desenhos, as informações e o formato são pontos observados, às vezes, indiretamente durante a compra. É certo que um artigo com embalagem muito grande, muito pequena ou desajeitada não atrai o consumidor, pois a embalagem é o cartão de visita do produto. Sendo assim empresas, com o intuito de chamar a atenção do consumidor, investem em embalagens diferenciadas, a maioria delas em formato de poliedros, o que mais uma vez destaca a presença desses sólidos geométricos no nosso dia-a-dia. A seguir temos algumas figuras que representam embalagens no formato de poliedros. Figura exemplos de embalagens com formato de poliedros 11

18 Arte e objetos artísticos Desde a antiguidade os poliedros são relacionados ao mundo da arte. O ápice desta relação provavelmente se deu no Renascimento. Muitos artistas deste período histórico acreditavam que os poliedros eram modelos que os desafiavam a provar seus conhecimentos sobre perspectiva. Para outros, esses sólidos geométricos representavam ideias da filosofia e da religião. No diálogo platônico Timeu, em que o filósofo Platão apresenta sua teoria sobre a origem e formação do mundo, ele faz uma relação entre os cinco sólidos geometricos regulares e os elementos fogo, terra, ar, água e um sólido que representa o universo. À terra, elemento imóvel, Platão associou ao cubo, poliedro cujas faces são quadradros e por isso apresenta maior estabilidade. O tetraedro representa o fogo por ser pontiagudo e com arestas cortantes e como tem menor número de bases é um poliedro de pouca mobilidade. A instabilidade do octaedro faz o mesmo se relacionar com o ar. O icosaedro retrata a água por ser o elemento mais úmido, segundo os antigos. Por fim, o dodecaedro é o universo, a alma do mundo e está relacionado com os aspectos do zodíaco. Figura 1.4 da esquerda para direita temos, em ordem, o cubo, o tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Porém, para outros artistas e escultores, os poliedros eram uma inspiração devido a suas formas e simetrias, fontes de entusiasmo que compunham suas obras. Na Figura 1.5 abaixo temos a famosa Estrela de Mauritus Corneli Escher, artista reconhecido pelas suas obras de ilusão de ótica e com construções espaciais elaboradas onde a geometria se tranformava em arte e vice-versa. Na Figura 1.6 temos o sistema solar desenhado por Kepler no livro Misterium Cosmographium de 1596, onde podemos notar a presença dos poliedros em sua representação. Finalmente na Figura 1.7 temos o Retrato de Luca Pacioli feito por Jacopo de Barbari (século XV) simbolizando a ligação entre a arte e a Geometria Espacial. 12

19 Figura 1.5- Estrela Figura 1.6- Sistema solar Figura 1.7- Retrato de Luca Pacioli (disponíveis em A presença dos Poliedros na ciência A Geometria estuda as abstrações das formas, sendo assim qualquer ciência que investiga as formas também tem interesses em comum com esta parte da Matemática. Podemos exemplificar o uso da Geometria Espacial na Química. Três pesquisadores ganharam o prêmio Nobel em 1996 pela descoberta da geometria molecular do fulereno C 60 (Figura 1.8) constituído por átomos de carbono cuja forma é um icosaedro truncado. Na biologia, o vírus da poliomelite, dentre outros, (Figura 1.9) e as verrugas, tem a forma de um icosaedro. As células do tecido epitelial têm fomato de cubos e prismas. Figura 1.8- molécula de fulereno Figura 1.9- formato poliedrico de alguns vírus Na natureza encontramos ainda poliedros nos alvéolos que formam o favo de mel das abelhas. Estes alvéolos lembram prismas hexagonais que se encaixam 13

20 perfeitamente. Há também as formas naturais e minerais das pedras preciosas. Enfim, os exemplos de poliedros são inumeráveis e a presença dos mesmos no nosso cotidiano é constante, por isso é de extrema importância o estudo da Geometria Espacial, sobretudo os poliedros, aguçando nossa percepção entre as formas e a nossa visão tridimensional. 1.4 A presença dos Poliedros na escola O conteúdo geométrico é parte extremamente relevante do currículo de Matemática para as Séries Iniciais, Ensino Fundamental e Médio. É por meio dos conceitos da Geometria Espacial que os estudantes desenvolvem uma maneira especial de pensar capaz de lhes possibilitar compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo no qual habitam. O trabalho com tais conceitos auxilia na aprendizagem de medidas, espaço e forma através da observação, percepção de semelhanças, diferenças e identificação de regularidades. E mais, se o ensino de poliedros se der a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao estudante estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. As Orientações Curriculares para o Ensino de Matemática (BRASIL, 2006) apontam que as habilidades de visualização, desenho e argumentação lógica podem ser desenvolvidas com base em um trabalho adequado feito desde os primeiros anos de ensino, para que as crianças possam dispor das formas e suas propriedades geométricas para representar partes do mundo ao seu redor. Naturalmente nossa visão física normal é tridimensional, planificar os objetos é uma abstração da nossa mente e, por isso, nas redes de ensino é importante que primeiro ocorra a aprendizagem dos sólidos geométricos para que de forma natural e consciente as crianças, posteriormente, possam reduzir os objetos tridimensionais para formas bidimensionais. Por esses motivos o ensino de poliedros desde os anos iniciais até os anos finais da escolaridade torna-se tão importante e essencial para a formação de um indivíduo. 14

21 CAPÍTULO II DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE POLIEDROS 2.1 Introdução A palavra poliedro tem sido usada em diferentes épocas por diferentes pessoas com os mais variados significados. Não é raro que uma mesma pessoa use o mesmo termo com interpretações diferentes em momentos diferentes. Sem uma definição precisa, interpretações equivocadas (como, por exemplo, sobre a validade da Relação de Euler) podem aparecer. Segundo Grünbaum, (2003) os erros e descobertas sobre a existência dos poliedros se devem ao fato de estudiosos diferentes terem atribuído, cada um à sua maneira, uma definição diferente para esses sólidos geométricos. Ainda, conforme o mesmo autor (tradução livre): todos os resultados estão corretos, o que mudou é o significado do termo poliedro adotado pelos matemáticos. Enquanto pessoas diferentes interpretarem o conceito (de poliedro) de maneira diferente, sempre existirá a possiblidade de que resultados sejam verdadeiros sob uma interpretação e sejam falsos sobre outra interpretação. De fato, mesmo variações sutis na definição podem produzir mudanças significativas na validade dos resultados. (GRÜNBAUM, 2003, p. 462) Devido a estes fatos, apresentaremos algumas definições de poliedros conforme diversos autores e a partir de tais definições adotaremos uma que seja mais adequada para o desenvolvimento do nosso estudo. Antes disso é necessário definirmos o que é polígono e também o que é conjunto convexo, para, por último definirmos o que significa um polígono ser convexo, já que estes termos aparecem frequentemente nas definições de poliedros. 2.2 Polígonos Nesta seção apresentaremos algumas definições básicas sobre polígonos. Estas figuras têm inúmeras propriedades e aplicações por servirem de base para a construção e estudo de outras figuras geométricas complexas, tanto do plano quanto do espaço. 15

22 Definição 1. (Polígono) Consideremos uma sequência de n pontos A1, A2,..., A n de um plano, com n 3. Diremos que A, n A, 1 A 2 são consecutivos, assim como A, A, A,..., A, A, A, A, 1 A n 2 n 1 n n n, 1 A e A, n A 1 e A 2. Suponhamos que quaisquer três pontos consecutivos não são colineares. Chama-se polígono A 1 A 2 A 3... An 1 An à reunião dos segmentos A1 A2, A2 A3,..., An 1An segmentos A1 A2, A2 A3,..., An 1An suas extremidades. e n 1 e n 1 AA se estiver satisfeita a seguinte condição: os AA, se interceptam, quando o fazem, apenas em Figura Exemplos de polígonos à esquerda e de não polígonos à direita Considerando o polígono A1 A2 A3... An 1An, vamos adotar a seguinte nomenclatura. i) os pontos A1, A2, A3,... An 1, A, são chamados vértices do polígono; n ii) os segmentos A1 A2, A2 A3,..., An 1An, An A1 são chamados lados dos polígonos; iii) A1 An A1 A2, A2 A1 A2 A3,..., An An 1An A1 são denominados ângulos dos polígonos; iv) dois lados que têm um vértice em comum são lados consecutivos; v) dois ângulos de um polígono são consecutivos se têm em comum um lado do polígono. Notemos que um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. Uma noção importante sobre polígonos é a de convexidade, que é diferente de conjunto convexo. Enunciamos a seguir as duas definições. Definição 2. (Conjunto convexo) Um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido emc. 16

23 Definição 3. (Polígono convexo) Um polígono P A... 1A2 A3 An se diz convexo quando um dos dois semiplanos determinados por cada uma das retas A1 A2, A2 A3,..., An 1An, An A1 não contém pontos de P. Esclarecemos que neste trabalho vamos considerar que um semiplano não contém a reta que é sua origem. Se um polígono não é convexo, diremos que ele é um polígono não convexo. Na Figura 2.2 temos exemplos de um polígono convexo (à esquerda) e outro não convexo (à direita). Figura 2.2- polígono convexo à esquerda e polígono não convexo à direita Outro conceito importante sobre polígonos é o de regularidade. Temos a Definição 4. (Polígono regular) Um polígono convexo é dito um polígono regular quando tem todos os lados congruentes, ou seja, é equilátero, e tem todos os ângulos congruentes, isto é, é equiângulo. Notamos que, para nós, polígono é uma linha poligonal fechada sem auto interseções, ou seja, cada lado tem apenas um ponto em comum com o lado anterior e com o seguinte, mas não com os demais. Observamos que muitos autores usam a palavra polígono para designar a região do plano limitada por uma linha poligonal fechada sem auto interseções. Essa abordagem exige a constatação de que existe essa região, e que ela é limitada e tem outras propriedades que permitem definir sua área. Para mais detalhes confira o trabalho de Marques (2012). Os principais resultados são os seguintes: 17

24 Teorema 1. Um polígono P determina no plano dois conjuntos disjuntos P i e denominados respectivamente de interior e exterior de P, de modo que P i é limitado e o plano é a reunião de P, P i e P e. P e, Lembramos que uma região triangular é a reunião de um triângulo com o seu interior. Temos agora o Teorema 2. Dado um polígono P, o conjunto PUP i é a reunião de uma quantidade finita de regiões triangulares tais que: (i) cada lado do polígono é lado de uma dessas regiões triangulares; (ii) se duas dessas regiões triangulares se interceptam, a interseção é um lado ou um vértice das duas regiões triangulares. Com isso podemos fazer a seguinte definição: Definição 5. (Região poligonal) Seja P um polígono e seja P i seu interior. O conjunto PUP i chama-se região poligonal determinada por P. Com base nestas propriedades e definições básicas sobre polígonos podemos partir para o estudo dos poliedros. 2.3 Definições de Poliedros Vamos apresentar três definições de poliedros com o objetivo de mostrar que essa noção não é muito simples, e que se pode adotar uma ou outra definição dependendo dos objetivos que se quer atingir. Começaremos com algumas definições retiradas de livros didáticos do ensino básico para vermos que não é fácil elaborar uma definição adequada de poliedro com uma linguagem informal. a) Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos de modo que cada lado de um qualquer desses polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono. (DANTE, 2005) 18

25 b) Poliedros são sólidos cuja superfície é formada por partes planas. Esses sólidos não têm formas arredondadas. (DOMÊNICO, 19--) c) Toda figura geométrica de três dimensões, formada por polígonos é chamada de poliedro. (IMENES, 2006) Observamos dessas definições que apenas a formulação a) guarda uma coerência. As formulações b) e c) contém termos muito vagos, por exemplo, partes planas e figura de três dimensões. Por exemplo, a Figura 2.3 tem três dimensões, mas não condiz com a nossa noção básica de poliedro. Vemos assim que essas duas formulações permitem figuras que não nos interessam como poliedros. As figuras abaixo foram extraídas de Sá (2010). Figura 2.3- faces com lados parcialmente interceptados Figura 2.4- Cubos unidos por uma aresta Figura 2.5- pirâmides unidas por um vértice Figura 2.6- sólidos com infinitas regiões poligonais A formulação a) é melhor, pois evita casos como os das Figuras 2.4, 2.5 e 2.6. Essa formulação certamente pode ser usada num contexto informal, mas ela carece de detalhes importantes. Por exemplo, ela não evita que as faces de um cubo sejam repartidas em dois triângulos através de uma diagonal. Vejamos algumas definições que são mais adequadas para o nível de estudo que se pretende desenvolver no presente texto. A Definição 6 dada a seguir foi adaptada de Sá (2010): 19

26 Definição 6. (Poliedro) Poliedro é uma coleção finita de regiões poligonais planas nas seguintes condições: i) esta coleção forma um conjunto conexo, ou seja, duas quaisquer regiões poligonais estão unidas por uma cadeia de regiões poligonais da coleção; ii) cada lado de uma região poligonal é o lado de somente uma outra região poligonal; iii) as regiões poligonais que rodeiam um vértice formam um circuito simples, ou seja, se começarmos numa das regiões poligonais e passarmos de região poligonal em região poligonal desde que elas tenham um lado com esse vértice em comum, então conseguimos percorrer todas as regiões poligonais que rodeiam o vértice antes de voltarmos à região poligonal inicial; iv) regiões poligonais com um lado em comum pertencem a planos distintos. Com as condições impostas na Definição 6 podemos eliminar a existência de poliedros estranhos. Ao dizermos que um poliedro é uma coleção finita de regiões poligonais excluímos a possibilidade de objetos espaciais com infinitas regiões poligonais, como acontece na Figura 2.6. Por outro lado, a Figura 2.3 também esta eliminada devido a condição ii). A condição i) por sua vez, impede que o objeto da Figura 2.4 seja um poliedro. Conforme a condição iii), as regiões poligonais que rodeiam um vértice devem formar um circuito simples. Assim, se considerarmos o vértice que separa as duas pirâmides da Figura 2.5, notaremos que as regiões poligonais em torno deste vértice compõem dois circuitos independentes. Dessa forma esse objeto não é considerado um poliedro. Finalmente a condição iv) nos previne de, por exemplo, ter num poliedro uma face na forma de hexágono regular repartida em seis triângulos equiláteros. Cromwell (1997) adota uma definição bem parecida com a anterior. Transcrevemos abaixo uma formulação adaptada: Definição 7. (Poliedro) Poliedro é um conjunto finito de regiões poligonais planas no espaço com as seguintes propriedades: i) duas regiões poligonais se intersectam somente em seus lados ou vértices, e a interseção é exatamente um lado ou exatamente um vértice; ii) toda aresta é lado de exatamente duas regiões poligonais; 20

27 iii) iv) é possível ir de uma região poligonal qualquer a outra região poligonal do poliedro por um caminho totalmente contido no poliedro; fixado um vértice V qualquer e as regiões poligonais P,..., 1 P n que o atingem, é possível ir de P j a P k para quaisquer j e k ente 1 e n, passando apenas pelos polígonos P i, com i= 1,...,n, e sem passar pelo vértice V. Parece que esse autor se esqueceu de dizer que duas regiões poligonais que se intersectam estão em planos diferentes. Para o estudo que desenvolvemos nesta pesquisa adotamos a formulação abaixo para definição de poliedro. Essa definição é simples, concisa, adotada pela maioria dos autores e não permite grandes liberdades. Adaptamos essa formulação de Lima (2006). Definição 8. (Poliedro) Poliedro é uma reunião de um número finito de regiões poligonais planas chamadas faces que obedecem a: i) cada lado de uma dessas regiões poligonais é também lado de uma, e somente uma outra região poligonal, situada em um plano diferente do plano da primeira. Se duas regiões se interceptam, elas estão em planos diferentes. ii) A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia. iii) É sempre possível ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra, sem passar por nenhum vértice. O estudo das propriedades básicas dos poliedros segundo a Definição 8 é bastante extenso. Veremos aqui algumas poucas propriedades. Começamos lembrando o seguinte resultado da Geometria Euclidiana. Dado um plano, os pontos do espaço que não pertencem ao plano formam dois conjuntos tais que: i) cada um dos conjuntos é convexo; ii) se o ponto A pertence a um dos conjuntos e o ponto B ao outro, então o segmento AB intercepta o plano. Os dois conjuntos chamam-se semiespaços determinados pelo plano ou lados do plano, e esse plano chama-se origem de cada um dos conjuntos. 21

28 Um plano se diz suporte de um poliedro quando contém uma das faces do poliedro e se o poliedro não tem ponto em comum com um dos lados do plano. Neste texto adotaremos a seguinte definição de poliedro convexo. Definição 9. (Poliedro convexo) Dizemos que um poliedro é convexo quando cada um dos planos que contém qualquer uma de suas faces é um plano suporte do poliedro. É fácil desenhar exemplos de poliedros convexos: paralelepípedos, prismas cuja base são polígonos convexos, cubos, tetraedros, pirâmides cuja base são polígonos convexos, octaedro regular, etc. É fácil ainda desenhar poliedros convexos e retas não paralelas a nenhuma de suas faces e tais que: i) a reta não intercepta o poliedro; ii) a reta intercepta o poliedro em um único ponto; iii) a reta intercepta o poliedro em exatamente dois pontos. O resultado da Proposição abaixo é usado por alguns autores como definição de poliedro convexo. Para nós é apenas uma consequência da definição. Proposição 1. Dado um poliedro convexo, qualquer reta não paralela a qualquer uma de suas faces o intercepta em, no máximo, dois pontos. Demonstração: Procederemos por redução ao absurdo. Suponhamos que exista um poliedro convexo P e uma reta r, não paralela a qualquer uma de suas faces, e que r intercepta P em três pontos, digamos A- B- C, nesta ordem. O ponto B pertence a, pelo menos, uma face de P, e essa face determina um plano. Assim r intercepta em B e r não é paralela a. Dessa forma o conjunto BA B está em um dos semiespaços determinados por e o conjunto BC B no outro. Assim o poliedro P tem pontos nos dois lados de, o que contraria o fato de ser um plano suporte de P. Portanto vale a afirmação da Proposição 1 e a demonstração está encerrada. está Em geral, um poliedro, convexo ou não, reparte o espaço em dois conjuntos, um deles denominado interior do poliedro. Se chamarmos o poliedro de P, seu interior de 22

29 P i e o outro conjunto de P, então o espaço é a reunião disjunta P Pi Pe. Os e conjuntos P i e P e são conexos por caminhos, isto é se os pontos A e B estão em um mesmo conjunto, existe uma linha poligonal ligando A a B inteiramente contida no conjunto. Por outro lado, se A Pi e e menos um ponto. Dessa forma P separa os conjuntos P i e P e. B P, o segmento AB intercepta P em pelo Vamos demonstrar esse resultado para poliedros convexos. Proposição 2. Seja P um poliedro convexo. Então os pontos do espaço que não pertencem a P formam dois conjuntos disjuntos P i e P e tais que P i é convexo. Demonstração: Sejam F1, F2,..., F n as faces de P, e 1, 2,..., n os planos que as contêm. Seja L j o lado de j que contém pontos de P. Definimos P i n j 1 L j. Como cada L j é convexo e como a interseção de conjuntos convexos é convexa segue que P i é convexo, e assim vale a afirmação. Definimos agora P e como o complementar de Pi P. Isto termina a demonstração. Muitos autores chamam de poliedro o conjunto Pi P, isto é, incluem na definição de poliedro o seu interior. Mas não demonstram, e nem mesmo definem, o que é interior e suas propriedades. Vejamos agora o que é diagonal de um poliedro. Definição 10. (Diagonal de um poliedro) Chamamos de diagonal do poliedro a qualquer segmento que une dois vértices quaisquer de um poliedro, desde que esses vértices não pertençam à mesma face. Temos então a Proposição 3. Se P é um poliedro convexo, então qualquer diagonal tem seu interior contido no interior do poliedro. Demonstração: Seja VT uma diagonal de P. Queremos provar que VT V T sendo P i o interior de P.,, Pi 23

30 Vamos inicialmente introduzir algumas notações. Sejam F1, F2,..., F m as faces de P, j o plano que contém F j e L j o lado de que contém pontos de P. Algumas dessas faces contêm o vértice V, digamos que sejam F1, F2,..., F l. Por definição de diagonal T Fj para todo 1 j l, de modo que,1 VT V L j l. j j Notamos agora que V L para todo l 1 j m, e, como o conjunto L j é j aberto em 3, assim como as interseções dos L j, l 1 j m, existe P VT, com P T e P V, tal que VP L, l 1 j m. j Em resumo, existe P VT com P T e P V, tal que VP { V} Lj,1 j m ou VP { V} Pi. Por simetria, existe Q VT, com Q V e Q T, tal que TQ {} T Pi. Podemos supor V-P-Q-T, isto é os pontos P e Q estão em VT na ordem V-P-Q-T. Agora, como P i é convexo, vem PQ Isso termina a demonstração. VT V T P. Pi. Daí {, } i Observamos que a propriedade da Proposição 3 é usada, por alguns autores, como caracterização de poliedro convexo. Para nós é uma consequência de nossa definição. 2.4 Principais elementos geométricos de um Poliedro Os poliedros são sólidos que apresentam alguns elementos geométricos em sua constituição, tais como face, aresta, vértice, diagonais e ângulos. Caracterizaremos aqui cada um desses elementos. i) Faces: cada região poligonal é chamada face de um poliedro. ii) Arestas: são os lados das regiões poligonais que definem o poliedro. Uma aresta é sempre lado comum entre duas faces. iii) Vértices: pontos onde as arestas das regiões poligonais se encontram. iv) Diagonais: são segmentos, diferentes das arestas, que ligam vértices não pertencentes a uma mesma face. 24

31 2.5 Exemplos de Poliedros Nesta seção descrevemos alguns tipos de poliedros e apresentamos exemplos de cada tipo. Lembramos que o foco deste trabalho diz respeito aos poliedros regulares, definidos logo a seguir. Entretanto vemos também exemplos de poliedros não regulares a título de informação e ilustração. Os poliedros regulares são os poliedros convexos, também denominados de Poliedros de Platão, e os não convexos, chamados de Poliedros de Kepler-Poinsot. Já os poliedros não regulares estão subdivididos em Poliedros de Arquimedes, Poliedros de Catalán, Prismas, Antiprismas e Pirâmides POLIEDROS REGULARES Começamos com a definição de poliedro regular. Definição 11. (Poliedro regular) Um poliedro se diz regular quando todas as suas faces são regiões poligonais regulares congruentes e quando todos os seus vértices são do mesmo tipo, isto é, a cada vértice concorre a mesma quantidade de arestas. Conforme comentamos um poliedro regular convexo costuma ser chamado de Poliedro de Platão. Provaremos no Capítulo 5, p. 51, que são apenas cinco os poliedros regulares convexos. Esses poliedros são denominados tetraedro, hexaedro ou cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Vemos a seguir um desenho de cada um. As figuras abaixo foram retiradas de Figura 2.8- tetraedro Figura 2.9- cubo Figura octaedro 25

32 Figura dodecaedro Figura icosaedro Uma forma de obter novos poliedros é, dado um poliedro convexo, unir os pontos centrais das faces adjacentes. Fazendo isso para os poliedros de Platão observamos que não aparece nenhum poliedro novo. Assim, o dual de um poliedro de Platão ainda é um poliedro de Platão. Vemos nas figuras a seguir cada poliedro de Platão com o seu dual (figuras retiradas de Figura tetraedo Figura octaedro Figura hexaedro Figura icosaedro Figura dodecaedro Vamos apresentar agora figuras dos chamados poliedros de Kepler-Poinsot. Conforme comentamos acima são poliedros regulares não convexos. Existem quatro desses poliedros. Dois deles, o grande dodecaedro e o grande icosaedro, são obtidos a 26

33 partir do dodecaedro e do icosaedro, respectivamente, fazendo com que o ponto central de cada face se aproxime do centro do poliedro. Os outros dois, o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado, são exemplos de poliedros não convexos. As figuras estão apresentadas a seguir e foram retiradas de Figura grande dodecaedro Figura grande icosaedro Figura pequeno dodecaedro estrelado Figura grande dodecaedro estrelado POLIEDROS NÃO REGULARES Poliedros não regulares são todos aqueles que não se classificam como regulares. Apresentaremos a seguir alguns tipos de poliedros não regulares: Poliedros de Arquimedes, Poliedros de Catalán, Prismas, Antiprismas e Pirâmides. Os Poliedros Arquimedianos são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de pelo menos dois tipos diferentes, e todos os seus vértices são do mesmo tipo, isto é, há o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Existem apenas treze poliedros de Arquimedes. Desse total, onze são obtidos a partir do truncamento dos sólidos platônicos e dois são obtidos por snubificação. A snubificação é uma operação que consiste em afastar todas as faces do poliedro, rodar as mesmas de um certo ângulo, normalmente 45º, e preencher os espaços vazios resultantes com triângulos. Truncar um poliedro consiste em fazer cortes parciais e simétricos nos seus vértices ou arestas de modo que após o corte as seções formadas sejam polígonos. 27

34 Vejamos abaixo os Poliedros de Arquimedes. Essas figuras foram obtidas de Figura tetraedro Figura cuboctaedro Figura octaedro truncado truncado Figura cubo truncado Figura pequeno Figura grande rombicuboctaedro rombicuboctaedro Figura cubo Figura icosidodecaedro Figura icosaedro snub truncado Figura dodecaedro Figura pequeno Figura grande truncado rombicosidodecaedro rombicosidodecaedro Figura dodecaedro snub 28

35 Eugène Charles Catalán, em 1865, estabeleceu uma nova família de poliedros que consiste nos sólidos duais obtidos a partir dos Poliedros Arquimedianos. As faces desses sólidos não são regulares. Existem treze Poliedros de Catalán. Essas figuras foram retiradas de Figura tetraedro Figura dodecaedro Figura hexaedro triakis rômbico triakis Figura octaedro Figura icositetraedro Figura dodecaedro triakis deltoidal disdiakis Figura icositetraedro Figura triacontaedro Figura dodecaedro pentagonal rômbico pentakis Figura 2.44-icosaedro Figura hexecontaedro Figura triacontaedro triakis deltoidal didiakis 29

36 Figura hexecontaedro pentagonal Um prisma é um poliedro convexo formado por duas faces, denominadas bases, que são polígonos convexos congruentes em dois planos paralelos e dispostos de modo que seus lados sejam paralelos. As outras faces são chamadas faces laterais e são compostas por paralelogramos. Um prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases e as faces laterais são retangulares. Um prisma oblíquo possui arestas oblíquas aos planos das bases e suas faces são paralelogramos. Um prisma cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. As bases de um prisma determinam seu nome. Por exemplo, se as bases forem triangulares, dizse que o prisma é triangular, se as bases forem pentágonos diz-se que o prisma é pentagonal. Existem inúmeros tipos de prismas retos e oblíquos que variam de acordo com as características da base. Abaixo apresentamos apenas dois cujas figuras foram retiradas de Figura prisma regular de base hexagonal Figura Prisma obliquo de base triangular No antiprisma os lados das bases não são paralelos. Em um antiprisma as bases são interligadas apenas por polígonos triangulares, denominados faces laterais. É o número de lados presentes nos polígonos das bases que determinam o nome do antiprisma. Existem inúmeros antiprismas, e abaixo temos dois exemplos. O da esquerda, cuja base é um pentágono regular, chamamos de antiprisma regular de base pentagonal e o da direita chamado antiprisma regular de base eneagonal. (Figuras obtidas de ) 30

37 Figura antiprisma regular de base pentagonal Figura antiprisma regular de base eneagonal Se considerarmos um plano, um polígono de n lados contido neste plano e um ponto V localizado fora dele, chamamos de pirâmide à reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade nos vértices do polígono e outra extremidade no ponto V. Tal ponto V é o vértice da pirâmide, e o polígono situado no plano é a base da pirâmide. Podemos descrever dois tipos de pirâmides. A pirâmide reta se caracteriza por ter faces laterais formadas por triângulos congruentes e a projeção do vértice desta pirâmide sobre a base coincide com o centro geométrico da base. A pirâmide obliqua é aquela em que os triângulos das faces laterais não são congruentes e a projeção do vértice na base da pirâmide não é o centro geométrico da base. Assim como nos outros exemplos, existe uma infinidade de pirâmides e a nomenclatura das mesmas é dada de acordo com o número de lados que o polígono da base possui. Figura pirâmide reta quadrangular Figura pirâmide obliqua de base octogonal 31

38 32

39 CAPÍTULO III PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS 3.1 As primeiras relações Com base nas definições de poliedro e conhecendo os seus elementos, podemos agora estudar algumas relações presentes nestes sólidos. Inicialmente vamos convencionar que em um poliedro, A representará o número de arestas, F o número de faces e V a quantidade de vértices. Como as faces dos poliedros podem ser polígonos diferentes, denotaremos por F n o número de faces que possuem n lados, n 3, pois cada face deve ter no mínimo três lados. De maneira análoga, V n representará o número de vértices onde concorrem n arestas sendo n 3, devido a cada vértice ser ponto comum de três ou mais arestas. E como cada aresta é comum a exatamente duas faces, podemos escrever: 2 A 3F3 4F4 5 F5... nfn (I) Podemos também observar os vértices dos poliedros e contar suas arestas. Em cada vértice podemos enumerar as arestas que concorrem nele e se somarmos os resultados também obteremos o dobro no número de arestas, porque cada aresta terá sido contada duas vezes: em um extremo e no outro. Assim, 2A 3V 3 4 V4... nvn (II) 3.2 Duas desigualdades: 2A 3Fe 2A 3V Das primeiras relações entre os elementos de um poliedro podemos deduzir duas desigualdades (i) 2A 3F e (ii) 2A 3V. Justifiquemos (i). 2 A 3 F 4 F 5 F A 3 ( F F F... ) F 2 F A 3 F F 2 F A 3F 33

40 Atentemo-nos para o fato de que a igualdade só vale se F4 = F5 =... = 0, isto é, se o poliedro for constituído apenas de faces triangulares. Justifiquemos (ii). 2 A 3 V 4 V 5 V A 3 ( V V V... ) V 2 V A 3 V V 2 V 2 A 3V 4 5 Em (ii) a igualdade só ocorre se em todos os vértices concorrerem três arestas. 34

41 CAPÍTULO IV RELAÇÃO DE EULER 4.1 Breve histórico sobre a Relação de Euler Os poliedros são conhecidos desde a antiguidade, mas até meados do Século XVIII nenhum estudioso havia identificado qualquer relação de natureza combinatória nesses sólidos, ou seja, ainda não haviam descoberto uma relação matemática que envolvesse apenas a disposição relativa dos elementos de um poliedro (vértices, faces e arestas) e a contagem dos mesmos, sem considerar medidas geométricas, como comprimentos e áreas. Foi por volta de 1750 que Leonhard Euler ( ) enunciou sua relação, acreditando em sua veracidade, embora não a tenha provado neste período. Mesmo assim apresentou-a para outros estudiosos da época. Ao longo dos anos, tanto Euler, quanto outros matemáticos, dentre eles, Legendre, Cauchy e Poincaré apresentaram demonstrações da veracidade de tal relação, porém atualmente sabemos que algumas tentativas continham falhas que foram corrigidas com o passar do tempo. A Relação de Euler consiste no fato de que todo poliedro convexo, com A arestas, F faces e V vértices tem característica de Euler igual a 2, isto é, o número V A F é chamado também de característica de Euler, assim para poliedros convexos temos V A F 2. Apresentamos neste capítulo duas demonstrações da Relação de Euler. 4.2 Uma demonstração elementar da Relação de Euler Neste tópico apresentamos uma demonstração elementar da Relação de Euler, que pode ser compreendida por estudantes do Ensino Médio. Esclarecemos que esta demonstração usa alguns procedimentos matemáticos que são apenas indicativos e feitos sem o rigor de uma verdadeira demonstração matemática, pois aqui o nosso intuito é apresentar uma dedução da Relação de Euler que possa ser entendida por alunos da escola básica. 35

42 No desenvolvimento da mesma utilizaremos um recurso que nos auxiliará a transferir o cálculo da relação de Euler do poliedro para a sua planificação, após a retirada de uma de suas faces. Ao analisar os dados obtidos através desta demonstração veremos que será possível estender a fórmula para outros poliedros. Usaremos um sólido bastante presente no nosso dia-a-dia, o cubo, mas alertamos que este procedimento é análogo se utilizarmos qualquer outro poliedro convexo. Também chamamos atenção para o fato de que esta demonstração é muito útil devido ao seu fácil entendimento e por isso, o objetivo de sua apresentação é, além de evidenciar uma maneira adequada e dinâmica de introduzirmos o estudo desta relação para alunos do ensino médio, fazer com que os estudantes visualizem faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer, projetado sobre uma superfície plana, após uma deformação do poliedro. Tal demonstração foi baseada em Barros (2011). Vamos a ela. Antes de a iniciarmos de fato, devemos realizar alguns procedimentos. 1) Encape um poliedro qualquer, no nosso caso um cubo, com um balão de borracha de modo que o sólido não fure o balão e que o balão fique bem ajustado ao sólido, sem bolhas de ar. 2) Marque no balão todas as arestas e vértices do poliedro que está encapado. 3) Retire o poliedro de dentro do balão. Quando encapamos o poliedro, o orifício do balão cobria uma das faces. Retiremos então a parte do balão que cobria esta face do poliedro cortando esta superfície do balão com uma tesoura bem rente às arestas e vértices desta face, de modo que as marcas dos vértices e arestas não sejam retiradas. 4) Após este recorte, devemos esticar a superfície restante do balão sobre uma folha grossa que deve estar apoiada sobre uma superfície plana. Prenda o balão na folha grossa com alfinetes, um em cada vértice da face que foi removida. Através das etapas de 1 a 4 descritas anteriormente, foi possível obter uma região plana, que é limitada pela linha poligonal formada pelas arestas e vértices da face retirada. A região que obtemos é formada em seu interior por polígonos resultantes da deformação das outras faces do poliedro original. No nosso caso, obtivemos a deformação do cubo, após a retirada de uma de suas faces seguido da planificação do restante do poliedro, tais procedimentos estão exemplificados pela Figura 4.1 que foi baseada em Barros (2011) assim como todas as outras ilustrações desta demonstração. 36

43 Figura 4.1- processo de planificação do cubo após a retirada de uma de suas faces Se quisermos deduzir a relação de Euler para qualquer outro poliedro, basta agirmos de maneira semelhante à descrita acima, ou seja, basta retirarmos uma das faces do poliedro escolhido e deformarmos o que restou formando uma região poligonal plana. O próximo passo é mostrar que se a região plana obtida tem V vértices, A arestas e F faces ela estará satisfazendo a relação de Euler, e a característica dessa região deverá ser 1, pois o poliedro, que tem característica de Euler igual a 2, tem uma face a mais do que a região que foi gerada por ele. Podemos perceber agora que nosso estudo sobre a característica do poliedro foi transferido para o plano. Figura 4.2- Processo de retirada de uma aresta da região poliédrica projetada no plano Notamos (Figura 4.2) que ao retirarmos uma aresta da região que foi projetada no plano, duas faces adjacentes passam a formar apenas uma região. Desta maneira a nova região passa a ter uma face e uma aresta a menos que a região original projetada, porém, continua com o mesmo número de vértices. Sendo assim a relação de Euler fica V ( A 1) ( F 1) V A F 37

44 Ou seja, o número de Euler da relação original é mantido. Há casos em que, ao removermos uma aresta há a eliminação de uma das faces adjacentes. Quando isto ocorrer haverá a diminuição de uma aresta e de uma face, mas o número de vértices continua o mesmo assim como a característica de Euler. Figura 4.3- Desaparecimento de uma face devido a remoção de uma aresta Avançando em nossa dedução da relação de Euler, seguimos a procura de arestas que sejam comuns a mais de uma região poligonal da figura. Ao eliminarmos esta aresta procurada, pode ocorrer o surgimento de uma aresta solta, isto é, uma aresta que já não determina um limite entre regiões adjacentes e que tenha um vértice que não é comum a mais nenhuma outra aresta, tal como acontece na terceira imagem da Figura 4.4. Figura 4.4 Processo de eliminação de uma aresta comum a mais de uma região poligonal onde a última imagem da direita mostra a presença de uma aresta solta Notamos que a retirada de uma aresta que provocou o surgimento de uma aresta solta, tal como mostra a sequência da figura acima, não alterou o número de vértices, mas diminuiu em uma unidade a quantidade de arestas e faces. Com isto a Relação de Euler para esta nova configuração ainda é: V A F V A F Toda vez que houver o aparecimento de uma ou mais arestas soltas, o passo seguinte será eliminar arestas deste tipo. A Figura 4.5 ilustra este procedimento. 38

45 Figura 4.5 Processo de eliminação de uma aresta solta Mais uma vez, a retirada de uma aresta solta não altera o número de faces, mas desta vez diminui em uma unidade o número de arestas e de vértices. O vértice retirado é aquele que não é comum a duas arestas adjacentes, sendo extremidade apenas da aresta retirada (Figura 4.6). A relação de Euler para esta nova configuração resultante é V 1 A 1 F V A F Figura 4.6 Processo de desaparecimento de uma face devido a retirada das arestas Em alguns casos, após a remoção de uma aresta uma face pode desaparecer completamente e ainda pode permanecer uma aresta solta (imagem central da Figura 4.6). Mesmo assim, recalculando a característica de Euler, observaremos que ele não se altera, pois não houve a retirada de nenhum vértice da figura: V A F V A F Por fim, após a retirada de uma determinada aresta, obteremos uma configuração formada por apenas uma região delimitada por uma linha poligonal fechada, sem subdivisões e sem arestas soltas. Esta região tem apenas uma face e o número de arestas é igual ao número de vértices. Assim, para esta configuração final (última imagem da Figura 4.7) a característica de Euler será dada por: 39

46 V A F V V 1 1 Figura 4.7 Processo de surgimento de uma região poligonal fechada sem subdivisões Como esse número também é o número de Euler da configuração original, então a nossa demonstração da relação de Euler está concluída. Estas etapas para a dedução da relação de Euler são válidas para qualquer poliedro convexo, se executarmos uma sequência de retirada de arestas. Essa retirada deve obedecer a retirada das arestas soltas, sempre que elas ocorrerem e, caso contrário devem ser retiradas as arestas comuns a mais de uma região poligonal até obtermos uma única região poligonal sem subdivisões internas e sem arestas soltas. Em cada etapa o número de Euler não se altera e ao final conclui-se que este número é sempre igual a A demonstração de Legendre para a Relação de Euler Adrien Marie Legendre ( ) foi um famoso matemático francês que desenvolveu importantes trabalhos na área de geometria assim como em outras áreas da matemática. Uma das mais reconhecidas obras deste estudioso é o livro Élements de Géometrie que devido a sua importância foi traduzido para o inglês, alemão, italiano, romeno e português. O texto de Geometria de Legendre auxiliou o desenvolvimento do estudo de vários matemáticos como Gauss, Abel e Galois, dentre outros. Suas obras costumavam ser escritas de maneira clara, simples e com extrema originalidade. Mas, de todo o trabalho desenvolvido por Legendre, o que nos interessa é a sua demonstração sobre a relação de Euler para poliedros convexos. Foi a primeira demonstração inteligível desta relação a ser publicada. A redação apresentada aqui é baseada em Lima (1984). 40

47 Seja P um poliedro convexo, com V vértices, A arestas e F faces. Por conveniência, supomos que as faces de P são triângulos. (Se isto não for verdade, por meio de diagonais decomporemos cada face em triângulos, sem alterar o número V A+F. Com efeito, cada vez que traçamos uma diagonal numa face, o número V não se altera, enquanto cada um dos números A e F aumentam de uma unidade, esses aumentos se cancelam na expressão V A+F). Consideremos uma esfera E, de raio r, cujo centro O é um ponto situado no interior do poliedro P. Projetando radialmente o poliedro P sobre a esfera E, obtemos uma decomposição de E em triângulos esféricos, dispostos de modo semelhante à situação das faces de P. Em particular, a esfera E fica recoberta por F triângulos esféricos, com um total de A lados e V vértices. Figura 4.8- O ponto x da esfera E é a projeção radial do ponto X do poliedro P. Figura 4.9- O triângulo esférico t, sobre a esfera E, é a projeção radial do triângulo T. Esclareçamos que uma figura sobre a esfera E chama-se um triângulo esférico quando seus três lados são arcos de círculos máximos (todos menores do que uma semcircunferência). Note que a interseção E L de uma esfera E com qualquer plano L que a encontre, é um círculo (ou um ponto, no caso excepcional em que o plano L é tangente à esfera). Quando o plano L passa pelo centro da esfera E, a interseção E L é chama-se um círculo máximo. A projeção radial de um segmento de reta AB é um arco de círculo máximo AB sobre a esfera E (salvo no caso em que A, B e o centro O da 41