ENSINO DOS NÚMEROS NATURAIS E DOS INTEIROS RELATIVOS

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1 ENSINO DOS NÚMEROS NATURAIS E DOS INTEIROS RELATIVOS Ross Alves do Nascimento ross.n@ig.com.br Resumo: Este estudo apresenta uma reflexão sobre a base de compreensão do conceito de número natural para atingir os inteiros relativos. O trabalho foi concebido a partir de uma pesquisa realizada para conclusão de curso de Mestrado em Educação-UFPE-2002, que investigou sobre obstáculos em adição e subtração com números inteiros relativos. No estudo trabalhamos a reta numérica a partir do LOGO. Portanto o objetivo desse trabalho é levantar questões e informações sobre a importância da compreensão dos números naturais para a aprendizagem dos números inteiros relativos. Percebemos que dificuldades e obstáculos referentes a aprendizagem dos números inteiros relativos são significativas e que pouco se discute o nível de conhecimento dos alunos no campo dos números naturais, visto que, para atingir os inteiros relativos o aluno deve possuir algumas compreensões que são próprias desse campo de conhecimento. Dessa forma, propomos discussões e conhecimentos no meio acadêmico sobre a ênfase no ensino de números naturais para atingir os inteiros relativos. Palavras-chave: Números naturais; Números inteiros; Reta numérica. Introdução A conceituação de número, partindo dos naturais, tem sua relevância por apresentar um caráter, tanto de continuidade como de obstáculos para a aprendizagem dos números inteiros relativos. Segundo Boyer (1974, p. 1) O desenvolvimento do conceito de número foi um processo longo e gradual, que envolveu várias civilizações, como: os Maias, os Egípcios, os Hindus, os Romanos, os Chineses, os Babilônicos, os Árabes, entre outros. Tal processo é um indício da complexidade da idéia de número. Explicar a alguém o que é o cinco é algo de difícil exercício para muitas pessoas, ainda no nosso século. Pesquisadores afirmam que a percepção de quantidades numéricas não é um ato exclusivo do ser humano. Boyer (1974, p. 1), destaca que: experiências com corvos, por exemplo, mostraram que pelo menos alguns pássaros podem distinguir conjuntos contendo até quatro elementos. A capacidade de perceber quantidades levou o homem primitivo a compreender a relação de igualdade entre um conjunto de três animais e um conjunto de três pedras. Assim, compreender a relação de igualdade entre dois conjuntos, levou ao 1

2 conhecimento de correspondência um a um, que hoje definimos como correspondência biunívoca. Comparar dois conjuntos com quantidades diferentes de elementos levou o homem a perceber o conceito de número, a partir do momento em que identificou uma quantidade maior em comparação a outra, sem levar em conta a característica do objeto. A representação de marcas correspondendo à quantidade de objetos foi um processo primitivo de contagem, pois, o homem, ao perceber que não identificava uma quantidade maior de objetos (não distinguia quantos), foi forçado a desenvolver um modelo de representação dessa quantidade. Esse processo, juntamente com o senso numérico (percepção de pequenas quantidades característica de homens e animais), alimentou a necessidade de aprimorar o processo de contagem. Segundo Boyer (1974): A idéia de número finalmente tornou-se suficientemente ampla e vivida para que se sentisse a necessidade de exprimir a propriedade de algum modo, presumivelmente a princípio somente na linguagem dos sinais... Grupos de pedras são demasiado efêmeros para conservar informação: por isso o homem pré-histórico às vezes registrava um número fazendo marcas num bastão ou pedaço de osso (BOYER, 1974, p. 2-3). Segundo Guelli (1996, p. 7) "O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisas"... "com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número". Tal processo gerou a criação dos sistemas numéricos antigos. Imenes e Lellis (1991) afirmam: ( ) nosso próprio corpo teve um papel importantíssimo ao longo dos milhares de anos que se levou para criar os números. Na língua falada por algumas tribos, para referir-se à quantidade "cinco", eles dizem mão. Para referir-se ao "dez", dizem duas mãos. Em alguns casos ainda, para dizer vinte, dizem um homem completo, indicando que, depois de contar com os dedos das mãos, passaram a usar também os dedos dos pés (IMENES E LELLIS, 1991, p.16). Cardinalidade e ordinalidade Sem resgatar a questão histórica para a definição do conceito de cardinalidade, podemos defini-la como a quantidade (medida) dos objetos de um conjunto. Por exemplo: a quantidade de cinco animais de um conjunto A, representado por A = {avestruz, elefante, iguana, ovelha, urso} será indicada pelo número cardinal 5, que representará a quantidade 2

3 total de animais do conjunto. De outro modo, quando no mesmo conjunto contamos os elementos (animais) como sendo: 1 º, 2 º, 3 º, 4 º e 5 º. (primeiro, segundo, terceiro, quarto e quinto), indicamos uma outra característica do número, a ordenação. Nesse caso, o quarto animal desse conjunto estaria representando o número ordinal 4 (quatro). O número cardinal e o número ordinal têm na história algumas indicações do seu surgimento. Segundo Boyer (1974): A arte de contar surgiu em conexão com rituais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal precedeu o conceito quantitativo. Em ritos cerimoniais representando mitos da criação era necessário chamar os participantes à cena segundo uma ordem específica, e talvez a contagem tenha sido inventada para resolver esse problema. Se são corretas as teorias que dão origem ritual à contagem, o conceito de número ordinal pode ter precedido o de número cardinal (BOYER, 1974, p. 4). A utilização da cardinalidade é, desde cedo, percebida pelas crianças, já na idade pré-escolar, a partir do momento em que observam no dia a dia de seus pais o uso da indicação de quantidade de objetos. Essas referências fazem-nas perceber quantidades. Mesmo assim, reconhecendo essas informações, uma criança de quatro anos, apesar de identificar quantidades numéricas e aprender a contar números, ainda não tem clara, em sua cabeça, a inferência do número a partir de um conjunto equivalente. Nota-se que a criança chega à idade escolar com o seu senso numérico (capacidade de perceber quantidades) bastante desenvolvido, quando, posteriormente, as orientações escolares sobre leitura e escrita corretas dos números, comparação e ordenação numérica vêm complementar, formalizar e ajustar o conhecimento da criança a novos conceitos que irão solidificar o conceito de número natural. Fica evidente que, quando esse não se desenvolve, as operações que o aluno executará com eles serão limitadas. Conceber número como cardinalidade já leva um bom tempo para algumas crianças, e quando tal conceito está solidificado, o surgimento dos números negativos vem desmoronar, um pouco, as bases desse conceito, pois, a criança está, agora, a visualizar um conjunto com falta de elementos. Antes o número, associado à idéia de cardinalidade, era estudado como a quantidade total de elementos de um conjunto, e, agora, o conceito de número negativo vem quebrar o conceito de número como quantidade de objetos, representando a falta deles. 3

4 O conceito de ordinalidade sofre, também, o seu revés, quando a representação da reta numérica para os inteiros relativos apresenta uma suposta ordem, visualmente crescente, para os negativos (representação da direita para a esquerda, a partir do zero). A criança, que antes visualizava a ordinalidade na reta natural como única, está agora a perceber uma falsa duplicidade de ordem. Aquela que é vista, na reta numérica dos naturais, da esquerda para a direita e a dos negativos que, visualmente, se apresenta como da direita para a esquerda (em uma concepção prévia dos alunos). Isso, desde já, leva-nos a uma compreensão de que alguns dos obstáculos didáticos e epistemológicos poderão estar presentes no processo de aprendizagem dos números inteiros relativos, em relação aos conceitos de ordinalidade e de cardinalidade que foram concebidos anteriormente pelo aluno. O conceito de número natural O conceito de número natural constitui-se num processo necessário, que servirá à sua própria utilização não simplesmente como números utilizados para contar, mas, para realizar operações numéricas e resolver problemas, segundo uma formalização Matemática, necessária, que é estabelecida através do saber e trabalhada na escola. Desde as primeiras séries, as crianças aprendem a contar um conjunto de objetos e, com isso, desenvolvem a compreensão da organização numérica em uma seqüência ascendente de magnitude (natureza ordinal dos números). Se 5 objetos correspondem a mais que 4 objetos, e 4 objetos correspondem a mais que 3 objetos, então, 5 objetos correspondem, também, a mais que 3 objetos. Essa compreensão da transitividade e de maior que são relações que facilitam a compreensão do conceito de número natural pela criança, solidificando, posteriormente, a compreensão de cardinalidade (o total de objetos de um conjunto). Essa é uma lógica que os alunos desenvolvem no processo de compreensão do conceito de número natural. Uma definição, para número natural, que mais se aproxima daquelas que encontramos nos livros didáticos é proposta por Vergnaud (1991, p 162) como aqueles que correspondem às medidas dos conjuntos dos objetos isolados, aos cardinais: 1, 2, 3, 4, 5...etc. Os matemáticos os chamam números naturais e denotam o número zero, que 4

5 corresponde à medida do conjunto vazio. Designam com um N o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n,...). Essa representação do conjunto dos naturais é trabalhada com as crianças, desde as primeiras séries, quando se utiliza a questão do significado, para que as crianças eliminem algumas dificuldades que possam ainda estar presentes na compreensão dos mesmos. É claro que, trabalhar o número na escola, através de algum significado, tem muito mais sentido para as crianças, como afirmam Nunes & Bryant (1997, p ). quando os números se referem a objetos em uma situação eles fazem muito mais sentido para as crianças novas do que quando não se referem à coisa alguma. Hughes (1986) documentou a dificuldade de crianças novas de entender adição e subtração simples quando números são apresentados a elas sem referirem-se a situações que poderiam torná-los significativos. A discussão, levantada por Nunes & Bryant, sobre a introdução do número para a criança remete-nos a um dos sentidos do número: o número como medida estática de quantidade discreta. Porém, como veremos, a introdução do número negativo exige que o aluno desenvolva outros sentidos para ele. É fácil encontrarmos alunos que questionam, já na 6 ª série: O que significam ( - 2 ) bolas?. O conceito de número negativo O questionamento sobre o que significa (- 2) bolas, para o aluno que está sendo introduzido ao campo dos inteiros relativos uma busca pela compreensão da representação que será oferecida para as quantidades negativas, como se fará para representar matematicamente, a ausência de alguma coisa. Fato esse que não lhe foi informado desde as primeiras séries, quando já escutava as palavras: perdeu, faltou, está devendo, está faltando, e, agora, essa nova informação, tratada de modo numérico, chega a ser confusa, mesmo tendo ele um conhecimento de falta ou ausência. Um outro sentimento que o aluno chega a conhecer é bem semelhante àqueles sentidos pelos matemáticos durante a representação histórica dos negativos, quando sentiam tal necessidade, mas, não concebiam um modo seguro de representar, achando-o incompleto ou não concebendo tal tentativa de formalização como correta. 5

6 Assim, fica claro que compreendem o número como quantificador de conjuntos discretos, sentido esse que foi construído durante a introdução do número natural. Dessa forma, vamos discutir os diversos sentidos do número, com as continuidades ou rupturas para a generalização para o número inteiro, pois, os números podem referir-se a diferentes sentidos, alguns dos quais não podem ser estendidos para os números negativos. A introdução de novo conjunto de números dotados de sinais, com qualidades especifica, representando um novo sentido (de transformações) pode apresentar-se como um elemento de dificuldade para a compreensão dos alunos. Eles terão que identificar o número natural como número sem sinal e os números inteiros como número dotado de sinal, seja ele positivo ou negativo. Essa nova compreensão surge quando o aluno percebe a visualização de uma nova representação da reta numérica (incluindo os números negativos) [fig. 1]. Nessa nova representação, os negativos e os positivos são dotados de sinais, sendo, portanto, uma nova representação, que difere completamente da reta numérica que apresentava, apenas, os naturais, sem indicação de sinal. Os alunos terão que perceber que os naturais foram absorvidos pelos inteiros positivos e, conseqüentemente, se modificaram para números com diferentes sentidos. Na escola, os alunos não são questionados sobre essa nova significação que os naturais estão recebendo, podendo esse fato levar à confusão na aquisição de alguns conceitos que são necessários à aprendizagem dos inteiros relativos. Figura 1: Representação dos naturais e inteiros na reta numérica. A generalização do número natural para o inteiro relativo, como é trabalhada na escola, pode provocar barreiras para a aquisição de conceitos referentes a números negativos, em virtude da significação que o aluno assume, do número natural, durante anos na escola. Portanto, o processo de construção do conceito de número inteiro encontra muitas dificuldades. Teixeira (1993, p. 62) destaca que A construção do conceito de número inteiro, do ponto de vista matemático, é uma ampliação dos naturais, sendo desta 6

7 perspectiva necessário demonstrar que as leis do sistema de numeração seguem sendo cumpridas. Na 6 a série do Ensino Fundamental, quando se introduz o conceito de número negativo na escola, os professores começam a perceber que os alunos não realizam corretamente operações de adição e de subtração, em determinadas situações. Muitos deles começam a demonstrar algumas dificuldades, tais como: Admitir, a partir de agora, algo menor que zero. Aceitar a representação (-4) visto que sua ideia de número positivo está conectada a cardinalidade de: Como pode existir ( 4) bolas? Realizar operações do tipo 3-5 = (se, até então, de três não se pode tirar cinco). Identificar, na ordenação dos números negativos (-2 como maior que -5). Se aparentemente a representação simbólica do valor cinco sempre lhe foi indicada como maior que a representação simbólica do valor dois. Realizar operações do tipo: 2 - (-5) = e (-7) = onde o sinal de - é apresentado com dois significados (subtração e indicação de número negativo). Identificar o valor zero não como ausência, mas, como resultado da operação de dois valores opostos ou como um valor que representa a separação numérica dos positivos e dos negativos representados na reta. Os diversos sentidos para o número inteiro Na abordagem dos números inteiros na escola, muitas vezes, não se enfatiza seus diferentes sentidos. Por exemplo, os números inteiros, apresentados na escala de temperatura, diferem do sentido de número inteiro trabalhado em uma situação de débito e crédito, e que muitos professores não exploram com seus alunos tal diferenciação e em que sentido ela existe. Podemos observar que o zero da escala de temperatura tem um valor referencial, convencionado, para indicar um determinado fenômeno (o zero refere-se à água no momento de sua solidificação). Enquanto que em uma situação de débito e crédito o zero representa uma situação onde o A e o A adquirem sentidos de oposição, tendo o zero como ponto de simetria, e não o sentido de valor indicativo ou valor referencial de um fenômeno, como é feito na escala de temperatura. No tópico a seguir, faremos um comentário sobre tal diferenciação. Os diferentes sentidos do sinal " - " 7

8 Um outro elemento que causa bastante dificuldade nesse processo de ampliação dos naturais para os inteiros relativos é, a partir de agora, a compreensão em relação aos sinais + e que, anteriormente, só representavam sinais de operações e, agora, chegam a ter três significados: ser "sinal de operação de subtração", ser um sinal de inversão" ou ser "sinal de número". A utilização desses sinais com mais de um significado, a partir da 6 a série do Ensino Fundamental, tem levado os alunos a apresentarem erros em operações simples de adição e de subtração. Segundo Galardo & Rojano (in Carraher, 1990), a utilização desses sinais, com mais de um significado É um recurso que leva a confusão. Nota-se que a não compreensão por parte dos alunos dos diferentes significados do sinal de " - " pode dificultar sua aprendizagem. Nota-se, um grau de dificuldade na compreensão, quando começam a operar com as duas ou com as três situações em uma mesma operação. O cálculo de adição e subtração de inteiros relativos O cálculo da adição e da subtração pode iniciar a partir da reta numérica dos naturais, nota-se que adicionar e subtrair são processos visualizados, apenas, como deslocamentos para a direita ou para a esquerda, mostrando que um valor pode ser acrescido ou retirado a partir de um número fixo. No caso da reta numérica (Z) dos números inteiros relativos, o processo de adição segue obedecendo tais leis utilizadas para os números naturais, mesmo em subtrações, só que o deslocamento deverá ser para a direita, quando o número a ser somado é positivo e será deslocamento para a esquerda, quando o número a ser somado é negativo. Até aqui, os alunos chegam a compreender bem o trabalho com a reta numérica (Z). O grande obstáculo observado nesse modelo é a compreensão da subtração com números inteiros relativos. Agora, os deslocamentos não seguem os modelos anteriores. Assim, subtrair um número positivo implica um deslocamento para a esquerda, como na reta dos naturais, e subtrair um número negativo implica um deslocamento para a direita. Dessa forma, uma nova compreensão deve ser trabalhada para que os alunos entendam um novo sentido para o sinal -, o da inversão do sentido do deslocamento. No processo de subtração na reta numérica (Z), a inversão refere-se a uma nova compreensão: inverter um deslocamento que seria para direita ou inverter um 8

9 deslocamento que seria para a esquerda. A subtração, nesse modelo, quebra todas as noções concebidas anteriormente. Agora, subtrair, em alguns casos, indicará que haverá um processo de inversão com novo sentido, que é o de tirar menos de menos (2 - (-5) =), isso quando nos referimos a números. Essa mesma compreensão pode ser observada em uma situação com um contexto diferente como, por exemplo, a diminuição de um débito -8 - (-5)=. Pode-se, de alguma forma, compreender que tal situação é um acréscimo =. Quer dizer, obter, em certo sentido, um crédito, pois, o sujeito que deve passará a dever menos. Nesse sentido, Fischbein (1987) e Murray (1985), in Hativa and Cohen (1995, p. 405), não recomendam tal situação, sugerindo o trabalho com a reta numérica apenas para a adição. Borba (1993, p. 36) afirma que: Murray (1981) constatou as dificuldades apresentadas por alunos do primeiro grau maior quando resolviam questões aritméticas utilizando-se da reta numérica. Apesar desse alerta, a pesquisa que foi desenvolvida para o curso de mestrado, onde trabalhamos com alunos de uma escola municipal da cidade do Recife, CMPA, mostrou que utilizando o artificio da reta numérica dinâmica, essa dificuldade foi eliminada. Os alunos compreendiam bem a adição e a subtração. Objetivo e experimento O objetivo desse trabalho é divulgar a importância que tem o conhecimento dos números naturais para a aprendizagem dos números inteiros relativos. Essa é uma preocupação que advém de uma série de dificuldades observadas nos alunos quando iniciam a aprendizagem dos números inteiros. Dificuldades essas, que são geradas pela ausência de algumas compreensões não fortalecidas pelos professores quando iniciam a passagem do campo dos naturais para o campo dos inteiros relativos com os alunos. O experimento foi realizado através de um pré teste, de uma sequência de atividades e de um pós-teste. Participaram do estudo 4 (quatro) alunos da 7 a série do Ensino Fundamental (obs: alunos da 6ª série ainda não tinham iniciado o ensino dos inteiros relativos), selecionados após a aplicação de pré-teste, no qual foram analisados os erros por eles cometidos e a verificação da relação, que eles apresentam, com os obstáculos apresentados na literatura. Os erros dos alunos foram identificados e enumerados, para uma 9

10 comparação, após a aplicação de um pós-teste, no sentido de verificar a ocorrência de aprendizagem e, também, se algum obstáculo relacionado a tais erros foi superado. Tanto o pré-teste quanto o pós-teste tinham questões sobre adição e subtração de números inteiros, apresentadas do mesmo modo como são sugeridas nos livros didáticos. Os valores numéricos, contidos nas operações, com um valor módulo que não ultrapasse a uma dezena. resolução dos problemas. Os alunos foram, posteriormente, entrevistados sobre as estratégias de Tanto as questões do pré-teste como as questões do pós-teste foram organizadas de forma a contemplar todas as situações que na literatura aponta-se como dificuldades por parte dos alunos, originadas de conhecimentos obstáculos. Todas as questões tinham apenas duas parcelas e foram distribuídas da seguinte forma: A questão nº 1 será formada da adição de dois números positivos, utilizando sinais e parênteses; As questões nº 2, nº 3, nº 8, e nº 9 serão formadas de adição de um número positivo e outro negativo (sendo que nas questões 2 e 3 o número positivo terá maior módulo que o número negativo e nas questões 9 e 10 o número negativo terá um módulo maior que o do número positivo); As questões nº 4 e nº 5 serão formadas da adição de dois números negativos; As questões nº 6 e nº 7 irão conter o algarismo zero como uma das parcelas; A questão nº 10 será representada pela adição de dois números simétricos. As questões foram organizadas dessa forma, visto que se pretendia contemplar todos os modelos possíveis de adição e de subtração de dois números inteiros relativos. QUADRO 1 ITENS DOS TESTES PRÉ-TESTE PÓS-TESTE a) 7-3= 8-3 = b) 5-8= 5 9 = c) = = d) = = e) -4 + (-2)= -7 + (-2) = f) -7 (-6)= -8 (-5) = g) 9 - (-2) = 5 (-2) = h) -3-6 = -4-2 = i) 0 +(-7)= 0 + (-4) = j) = = 10

11 Sequência de Atividades Foi desenvolvido para a pesquisa um mini-software na linguagem LOGO, onde questões de adição e subtração eram direcionadas aos alunos. O modo de resolução ocorria pela manipulação de um pequeno objeto (carro-cursor) que se movimentava em uma reta numerada, através de comandos: parafrente-pf, paratrás-pt, (Avance e Volte), Figura 2. Figura 2: Reta numerada apresentando o objeto de resolução do problema Thompson e Dreyfus (1988) já discutiram o uso de tal representação, tomando por base o sentido de transformação permitido em um micromundo dinâmico em torno da linguagem LOGO. Segundo a investigação desenvolvida por eles para o aprendizado da álgebra, esse tipo de trabalho foi essencial no sentido de generalização das operações. Os alunos selecionados foram trabalhados, previamente, com o programa que foi utilizado para a sequência de atividades submetendo-se a uma familiarização de 2h/a, antes de participarem da coleta de informações da pesquisa, de modo que estivessem aptos ao uso do programa. A sequência de atividades foi composta de resolução de problemas através do deslocamento de um objeto (tartaruga do LOGO) em uma reta numérica, posicionada no sentido vertical, onde o aluno visualiza tarefas (problemas de transformação a serem resolvidos) na tela do computador, sendo que, ao responder com os comandos necessários, deveria perceber o movimento do objeto sobre a reta para indicar a solução dada por ele e, conseqüentemente, um indicativo de erro ou de acerto era representado na tela (fig. 3). 11

12 Fig. 3 A sequência de atividades foi aplicada em três encontros de 1 hora, com cada aluno, em um trabalho Individual, a sequência de atividades foi desenvolvida em um ambiente computacional, utilizando o software MEGALOGO. Cada página (tela) da sequência apresentava uma nova questão (fig. 4) visualizando uma reta numérica e um cursor (tartaruga do LOGO) e o problema que deveria ser resolvido, no sentido de deslocar a tartaruga para algum ponto selecionado utilizando um comando AVANCE (PF - indicando ir para frente), um comando VOLTE (PT - indicando ir para trás) e por último o comando GIRE (GR indicando girar, para mudar o posicionamento do cursos em 180º). Comandos estes, necessários à solução dos problemas apresentados na tela do computador. Fig. 4 12

13 O cursor (tartaruga) movimenta-se sobre a reta na medida em que se promova a instrução comando AVANCE, VOLTE ou GIRE (resumidas por PF, PT e GR) para resolver cada questão. Os problemas trabalhados com os alunos apresentavam apenas adição e subtração de dois números inteiros relativos, com módulo não superior a uma dezena. Por exemplo: 1) Quero chegar ao ponto +9, utilizando um só comando. Como devo proceder sabendo que o cursor (carro) parte do ponto zero? modelo numérico 0 + = 9 7) Como chego ao ponto 5, usando um comando AVANCE se estou partindo do ponto zero? Análise de duas questões modelo numérico 0 + = -5 Notamos que ao trabalhar no computador com a referência da reta numérica é algo que propõe segurança aos alunos. Na análise das questões a seguir, nota-se que os problemas são melhor compreendidos. Eles encontram um suporte para representar sua análise mental do problema, enquanto que, ao utilizar o papel e lápis, sempre fazem referência a regras abstratas, ensinadas para dar solução aos problemas de adição e de subtração no campo dos inteiros relativos. Os protocolos 7P e 11P, da segunda seqüência, evidenciam esse fato. Questão 7P: 2 + ( - 9 ) = - 7. aluno S2: avance 2 (a fala de S2 mostra compreensão do significado do valor positivo (+2). Professor: Você leu aqui igual ao computador? Aluno S2: É avance 2. Professor: Quer dizer que você está lendo igual ao computador? Aluno S2: É. Professor: Continue. Aluno S2: É avance 2 e volte -9. Professor: Volte 9? Aluno S2: Não! Avance 2 e volte 9. (S2 analisa separadamente os valores. refaz sua compreensão no segundo valor do problema). Professor: E no modelo ensinado na escola, como seria? Aluno S2: Na escola dá -11. Professor: Por que dá -11? Aluno S2: Coloco nove na frente. Eliminei os parênteses e coloquei +9. Fiz igual. Coloquei o sinal do maior, então, vai dar 11. (retrata o fato de eliminar os parenteses e prevalecer o sinal do maior módulo regras ensinadas na escola, que S2 confunde com o sinal da operação. O Professor procura verificar se há duas compreensões para a mesma situação. Professor: Mas, no computador, já não aprendemos o que seria cada valor? Aluno S2: é. Seria volte 9 e avance 2. Professor: Daria quanto? 13

14 Aluno S2: É. Daria -7. Professor: E por que você fez errado, dando 11? Aluno S2: É a resposta que tá dando errado, é? Aqui, S2 parece compreender o problema como um conjunto de partes articuladas. Professor: Não importa. Você usou o modo da escola e errou. Aluno S2: Acho que é por que eu estou fazendo muito rápido. Questão 13C: Se estou na posição -8 e digitar avance -2, em que número vou parar? Aluno S2: -6 Professor: Por que dá -6? Aluno S2: Porque estou no menos 8, e avance 2. Avançar é subir para o lado do zero. Vai parar no -6. Verifica e erra. Professor: Agora, por que dá -10? Aluno S2: Porque estou no -8, e avance -2; aí, eu venho parar no -10. Professor: Por quê? Aluno S2: Porque, se eu já fiz para parar no -6, não deu, agora tem que ser no -10. Professor: Então, você testou pelo erro anterior. Mas, foi só por isso que ele foi para o menos 10? Aluno S2: Não! Foi, também, porque tem o avance -2. Resultados O conhecimento abordado no estudo contribui para uma análise das regras que são utilizadas para o ensino dos números naturais e dos inteiros relativos. Algumas questões merecem atenção na abordagem desses campos matemáticos pelos professores. Uma de nossas preocupações foi analisar por que alguns alunos erram nesse domínio de conhecimento e se o modo de compreensão que eles adquirem vem permeado de obstáculos a partir das regras comumente ensinadas na escola. A tabela abaixo descreve uma síntese da evolução dos sujeitos em relação a apresentação das respostas e os indicativos de erros/acertos cometidos no pré e pós-teste. 14

15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIGODE, A. J. L. Matemática Atual. v. 2. São Paulo: Atual, BORBA, R. E. S. R. O ensino de números relativos: contextos, regras e representações. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pós-graduação em Psicologia Cognitiva 1993 (Dissertação de Mestrado). BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, CARRAHER, T. N. Negative numbers without the minus sign. PME Conference International Group For the Psychology of Mathematics Education Proceedings. Fourteenth, july, 233, vol. IV. México, p DAMM, R. F. Registros de representação - Educação Matemática, Uma Introdução. Silvia Dias Alcântara Machado et alunos. São Paulo: Educ, FISCHBEIN, E. Intuition in Science and Mathematics: An Educationl Approach (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht), p

16 GUELLI, O. Contando a história da Matemática. - A Invenção dos Números. São Paulo: Ática, HATIVA, N. & COHEN, D. Self learning of negative number concepts by lower division elementary students through solving computer provided numerical problems. In: Revista Educational Studies In Mathematics. Vol. 28, N o 4. june, IMENES, L. M. & LELLIS, M. C. Matemática. 6 ª série. São Paulo: Scipione, Os Números na História da Civilização. São Paulo: Scipione, Coleção Vivendo a Matemática. MEDEIROS, A. & MEDEIROS, C. Números negativos: uma história de incertezas. Bolema. Ano 7, n o 8, Rio Claro/SP: Unesp, p MURRAY, J. Children s informal conceptions of integers arithmetic, Proceedings of the 9 th International Conference for the Psychology of Mathematics education, p NUNES, T. & BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, TEIXEIRA, L. R. M. Aprendizagem Operatória de números inteiros: obstáculos e dificuldades. Revista Pró-Posições, vol. 4, nº 1[10], UNICAMP. Março, VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad: Problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. México: Trillas,