COMO OS ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL REPRESENTAM PROBLEMAS DE DIVISAO?

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1 COMO OS ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL REPRESENTAM PROBLEMAS DE DIVISAO? Edileni G. J. de Campos Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Resumo: Neste estudo buscou-se investigar as representações do conceito de divisão por meio de duas situações-problema criadas pelos próprios alunos para um dado cálculo de divisão. Especificamente, procurou-se investigar: a) o significado atribuído à divisão; b) as situações reconhecidas pelos alunos como relacionadas à divisão; c) as dificuldades relacionadas ao conceito da divisão. Foram entrevistados 45 alunos de uma Escola Estadual de Campo Grande MS. Os alunos foram escolhidos aleatoriamente, compondo três grupos de sujeitos, sendo: 5º ano 15 alunos; 6º ano - 15 alunos e 8º ano 15 alunos. Por meio da escrita dos problemas, pode-se identificar que houve predomínio da representação da divisão como distribuição, mais particularmente, das situações baseadas no domínio de esquemas de ação relativos à correspondência. Notou-se que, de modo geral, que os alunos tiveram dificuldades em compreender as relações existentes entre os termos da divisão; compreender o significado das operações aritméticas em relação à situação-problema; tratar o resto adequadamente. Palavras-chave: Divisão partitiva; Divisão por quotas; Situações-problema. INTRODUÇÃO O objetivo deste estudo foi o de investigar as representações do conceito de divisão expressas na situação imaginária de dois problemas criados pelos próprios alunos para um dado cálculo de divisão. A opção pela investigação da compreensão do conceito da divisão impõe-se por uma série de razões. Do ponto de vista pedagógico, a divisão é a operação aritmética que apresenta maior dificuldade para os alunos do Ensino Fundamental (BRITO e CORREA, 2004). A divisão, como afirma Vergnaud (1983; 1991) envolve regras operatórias complexas (utilização de divisões sucessivas multiplicação, subtração, busca de um quociente que pode envolver um resto e resultar em números fracionários) e requer o estabelecimento de relações diversas (considerar o tamanho do todo, o número de partes, o tamanho das partes que deve ser o mesmo, a relação direta entre o total de elementos e o tamanho das partes, a relação inversa entre o tamanho das partes e o número de partes). 1

2 Além desses aspectos, Nunes e Bryant (1997) destacam os invariantes lógicos presentes na organização das ações dos indivíduos na compreensão do conceito de divisão, a saber: a) o todo deve ser distribuído em quantidades iguais (divisão eqüitativa das partes); b) o todo deve ser distribuído igualmente entre todas as partes até que não exista a possibilidade de uma nova rodada de distribuição; c) o todo inicial é constituído pelo número de partes multiplicado pelo tamanho das partes mais o resto; d) quanto maior (ou menor) o número de partes, menor (ou maior) o tamanho de cada parte (relação inversa entre o tamanho das partes e o número de partes); e) o resto nunca pode ser maior ou igual ao número de partes ou tamanho das partes. No ensino da divisão no contexto escolar, geralmente são exploradas duas classes de problemas: a divisão partitiva e a divisão por quotas. Embora a resolução desses problemas envolva a realização de uma operação de divisão, o grau de dificuldade varia, como discutido a seguir. Em problemas de partição é dada uma quantidade inicial e o número de vezes (número de partes) em que esta quantidade deve ser distribuída, devendo-se encontrar o tamanho de cada parte (número de elementos). Exemplo: Paguei R$ 12,00 por quatro garrafas de vinho. Qual o preço de uma garrafa? (VERGNAUD, 1991, p.198) Para resolver problemas deste tipo, é preciso considerar que o quociente a ser obtido refere-se ao tamanho das partes, que o dividendo é representado pelo todo (valor/quantidade a ser dividida) e que o divisor refere-se ao número de partes em que o todo é dividido. Em problemas de divisão por quotas é dada uma quantidade inicial que deve ser dividida em quotas preestabelecidas (tamanho das partes). Exemplo: Pedro tem R$ 12,00 e quer comprar alguns pacotes de caramelo que custam R$ 4,00 cada pacote. Quantos pacotes ele pode comprar com esta quantia? (VERGNAUD, 1991, p.198). Para resolver problemas de divisão por quotas, deve-se considerar que o quociente a ser obtido refere-se ao número de partes em que o todo foi dividido, que o dividendo é representado pelo todo e o divisor refere-se ao tamanho das partes (quota). Mesmo mantendo-se os mesmos valores em ambos os tipos de problema, estes não podem ser considerados como de uma mesma natureza. A mudança da incógnita a ser encontrada altera a natureza da operação a ser aplicada. Estes exemplos ilustram a idéia de que 2

3 existem diferentes situações que apelam para o domínio de propriedades diferentes relativas a um mesmo conceito. A partir destas conceituações, o presente estudo teve como objetivo investigar as representações do conceito de divisão por meio de duas situações-problema criadas pelos próprios alunos. Especificamente, procurou-se investigar: a) o significado atribuído à divisão; b) as situações reconhecidas pelos alunos como relacionadas à divisão; c) as dificuldades relacionadas ao conceito da divisão. METODOLOGIA Participaram deste estudo 45 alunos de uma Escola Estadual de Campo Grande MS, divididos em três grupos, sendo: 5º ano - 15 alunos; 6º ano - 15 alunos e 8º ano - 15 alunos. Cada aluno foi entrevistado individualmente por meio de uma prova contendo as seguintes instruções: 1) Invente um problema usando a divisão 123:4 = 30 e resto 3; 2) Crie um problema em forma de estória, usando a divisão, cuja solução seja 16. RESULTADOS Tabela 1- Tipos de Situações-problema elaboradas pelos alunos para o problema 1. 5º Ano 6º Ano 8º Ano Total Categorias de resolução F % F % F % F % Situação-problema adequada Situação-problema adequada (consideraram o resto) 6 13,3 2 4,4 6 13, ,1 Total 6 13,3 2 4,4 6 13, ,1 (não considerou o resto) (sem enredo) 3 6,7 5 11,1 6 11, ,1 4 8,9 4 8,9 2 4, ,2 Subtotal 7 15, , ,3 Situação problema (outras operações) Situação-problema com adição ,2 1 2,2 Subtotal ,2 1 2,2 Total de situações-problema inadequadas 7 15, ,5 Afirmaram não saber resolver 2 4,4 4 8, ,3 3

4 Total 15 33, , , Na tabela 1 pode-se observar os tipos de situações-problema quando foram solicitados a elaborar um problema usando a divisão 123:4 = 30 e resto 3. É possível verificar na tabela 1, que a maioria dos alunos teve dificuldades em elaborar um problema para o cálculo apresentado. Dos 45 alunos pesquisados, 25 criaram situações-problema inadequadas. Destes, 14 alunos não obtiveram êxito porque não consideraram o resto na situação-problema apresentada, como se pode observar nos exemplos a seguir. Uma possível explicação para tais dificuldades pode estar relacionada ao fato de que, entender a divisão requer compreender a relação existente entre seus termos: dividendo, divisor, quociente e resto, ou seja, exige do indivíduo uma compreensão que está para além da observação direta dos números ou objetos envolvidos em uma determinada conta ou problema. Na realidade, demanda uma comparação constante entre os elementos a serem divididos e o número de partes ou tamanho das partes em que o todo está sendo dividido, podendo o mesmo gerar um resto ou não. Compreender essas relações implica entender os invariantes operatórios que regem o conceito de divisão (NUNES; BRYANT, 1997). Quanto aos 11 alunos que pertencem a esse grupo, observou-se que 10 não conseguiram formular uma situação-problema propriamente dita para o cálculo apresentado talvez, porque, no enunciado não se seguia uma pergunta relacionando as informações presentes no texto, ou então porque os problemas escritos por eles não apresentavam um enredo, nem tampouco uma pergunta relacionada ao enunciado, como se pode ser evidenciada nas figuras 1 e 2 a seguir. 4

5 O outro aluno não obteve êxito, porque elaborou um problema de adição utilizando os números presentes no enunciado, porém ao resolvê-lo, empregou a divisão, como mostra o exemplo a seguir. E - Leia o problema em voz alta. S - O aluno lê. E - Explica para mim o que o problema está pedindo? S - Que eu invente um problema com esses números (aponta) E - Leia o problema que você inventou e responda: Você acha que está certo esse problema? S - Espera aí. Humm me deixa ver. E - E aí, você acha que está certo esse problema? S - Xiiii, fiz errado. E - Então, o que você errou? S - Eu errei porque tinha que colocar o três (resto) e eu não coloquei. Conforme apontam Brito e Correa (2004), a dificuldade em usar o princípio multiplicativo; produz como conseqüência uma série de outros obstáculos ao entendimento do conceito de divisão, dentre os quais: a) dificuldade na atribuição de significado aos 5

6 termos da divisão e b) a redução de situações de natureza multiplicativa a problemas aditivos. Observou-se, ainda, que 6 alunos não conseguiram elaborar uma situação-problema para o cálculo apresentado, argumentando: É muito complicado fazer um problema com todos esses números. Eu não consigo encaixar esse número aqui (apontou para o resto). Eu nunca fiz problema desse jeito. Diante dos resultados apresentados, pode-se afirmar que o problema gerou dificuldades para a maioria dos alunos, pois dos 45 alunos pesquisados, apenas 14 alunos foram capazes de criar uma situação-problema adequada, ou seja: um problema que apresentava um enredo e contendo todos os termos da divisão (dividendo, divisor, quociente e resto), como no exemplo a seguir. Notou-se que dentre os 14 alunos que realizaram corretamente o que havia sido proposto, 6 (13,3%) pertencem ao quinto ano; 2 ao sexto ano e 6 (13,3%). Pode-se perceber tanto o sexto ano quanto o oitavo ano apresentaram o mesmo desempenho. Em relação aos tipos de problemas (partição ou quotas), percebeu-se que nenhum aluno foi capaz de elaborar uma situação-problema relacionada à divisão por quotas. Observou-se, portanto, não só a predominância do modo de divisão partitiva, nas situações-problema elaboradas pelos alunos como, mais particularmente, das situações baseadas no domínio dos esquemas de ação relativos à correspondência. O emprego da correspondência seja ela feita de um a um ou de um para muitos, é apontado como fundamental para o conceito da divisão (Nunes & Bryant, 1997), pois é por meio dela que se pode articular o sentido social da divisão e seu significado aritmético. No entanto, como o ensino das operações aritméticas na escola é, ainda, voltado para a memorização e repetição de procedimentos do que para a construção de 6

7 competências de natureza cognitiva, o processo de atribuição de significados é dificultado e o desenvolvimento de esquemas de ação, construídos a partir das experiências cotidianas e o estabelecimento de relações entre a Matemática escolar e as situações extra escolares que envolvem a Matemática. Deste modo, as representações dos alunos acerca dos conceitos matemáticos tornam-se, então, fragmentadas e ambíguas, estando a meio caminho entre o seu conhecimento intuitivo e a manipulação de uma série de procedimentos convencionais de resolução de problemas (BRITO e CORREA, 2004). A tabela 2, a seguir, mostra os tipos de situações-problema apresentadas pelos alunos ao elaborarem o segundo problema. Invente um problema em forma de estória, usando a divisão, cuja solução seja16. Tabela 2-Situações problema elaboradas pelos alunos para o problema 2. 5º Ano 6º Ano 8º Ano Total Categorias de resolução F % F % F % F % Situação-problema adequada Situação-problema adequada (solução = 16) 2 4,4 5 11,1 8 17, ,3 Total 2 4,4 5 11,1 8 17, ,3 (sem enredo) 4 8,9 2 4,4 3 6, Subtotal 4 8,9 2 4,4 3 6, (outras operações) 5 11,1 5 11,1 3 6, ,9 Subtotal 5 11,1 5 11,1 3 6, ,9 Total de situações-problema inadequadas ,5 6 13, ,9 Afirmaram não saber resolver 4 8,9 3 6,7 1 2,2 8 17,8 Total geral 15 33, , , Como se pode verificar na tabela 2, os alunos tiveram dificuldade em criar uma situação-problema para o cálculo apresentado, pois dos 45 alunos pesquisados, 22 não obtiveram êxito. Destes, 13 (28,9%) elaboraram problemas relacionados às outras operações aritméticas (adição e subtração), como pode ser evidenciado nos exemplos a seguir. 7

8 Observa-se que a elaboração por parte dos alunos de problemas aditivos pode ser entendida a partir das dificuldades que os alunos de maneira geral apresentam com as operações de natureza multiplicativa. Tal dificuldade deve-se, principalmente, a quantidade de fatores e a natureza diferenciada dos esquemas cognitivos envolvidos para as operações multiplicativas e aditivas. As operações multiplicativas implicam no estabelecimento de relação proporcional entre pelo menos dois fatores ou variáveis. Os problemas aditivos, por sua vez, envolvem apenas uma variável ou fator. Em relação aos 9 alunos restantes que pertence a esse grupo, observou-se que não tiveram sucesso porque não conseguiram formular uma situação propriamente dita para o cálculo apresentado, como pode ser evidenciado nas figuras 1 e 2, a seguir. Verificou-se, ainda, que 8 alunos não conseguiram formular qualquer situaçãoproblema que apresentasse como resultado o número 16. As razões explicitadas foram: Eu não consegui fazer, é muito complicado. Não sei fazer porque ainda não aprendi. - A professora não ensinou fazer problema desse tipo. 8

9 Os resultados evidenciam que somente 15 alunos foram capazes de elaborar uma situação-problema que desse como resultado o número 16, como podem ser evidenciados nos exemplos abaixo. Em relação ainda aos 15 alunos que foram bem sucedidos, percebeu-se que a maioria deles empregou números baixos (32) e sem resto. Quando a entrevistadora perguntou por que escolheram o número 32, responderam: Eu usei o 32 porque é o dobro de 16. Eu somei = 32 Porque eu achei mais fácil. É importante ressaltar que, todos os problemas apresentados pelos alunos se referiam à idéia de divisão partitiva. A análise destes problemas revelou que houve predomínio da representação da divisão como distribuição de uma determinada quantidade entre um dado número de pessoas. Em síntese, pode-se afirmar que o problema não foi fácil, considerando que dos 45 alunos entrevistados, somente 15 (33,3%) conseguiram elaborar um problema envolvendo a divisão que apresentasse como resultado o número 16. Esse índice corresponde a 2 (4.4%) alunos do quinto ano, 5 (11,1%) do sexto ano e 8 (17,8%) do oitavo ano. Segundo Vergnaud (1991), a situação em que o problema está inserido influi na forma como o sujeito interpreta e representa o problema e nas estratégias que ele adota para resolver. Na visão do autor, problemas matemáticos envolvendo um mesmo conceito assumem características e níveis de dificuldade diferentes, dependendo da situação, das formas de representação oferecidas e do tipo de problema. CONSIDERAÇÕES 9

10 Por meio da escrita dos problemas, pode-se verificar que as estórias criadas pelos alunos eram bastante simples, semelhantes àquelas utilizadas em sala de aula pelo professor, retiradas de livros didáticos, contendo de uma a duas frases curtas nas qual se apresentava a situação e as quantidades envolvidas, sendo que todos os dados necessários à solução apareceram na ordem em que deveriam ser utilizados na aplicação do algoritmo. Observou-se que houve predomínio apenas do modo de divisão partitiva, pois nenhum aluno foi capaz de elaborar uma situação-problema envolvendo a divisão por quotas. Nunes e Bryant (1997) consideram que os problemas de partição são mais simples, porque a noção inicial que a criança tem sobre a divisão é decorrente da idéia de repartir (distribuir), estando a atenção da criança voltada para a distribuição de quantidades iguais. Esta noção seria compreendida desde muito cedo, uma vez que a criança realiza ações de repartir em situações sociais diversas, como por exemplo: dividir balas com os amigos, dividir figurinhas; devendo, portanto, os problemas de partição serem resolvidos com sucesso antes dos problemas de divisão por quotas. Foi possível verificar que o insucesso dos alunos na elaboração das situaçõesproblema se deveu ao fato de que a maioria deles teve dificuldade em compreender as relações existentes entre os termos da divisão (dividendo, divisor, quociente e resto); compreender o significado das operações aritméticas; tratar o resto adequadamente. Os resultados apontam para a importância de uma prática de sala de aula que envolva a solução de problemas, num ambiente em que o professor valorize a participação ativa dos alunos na elaboração das estratégias de solução, na descoberta das relações entre os conceitos matemáticos, desafiando-os a produzir diferentes soluções para um mesmo problema e provocando-os para que evoluam na elaboração e na compreensão do conceito de divisão. Neste caso, maior atenção deve ser dada ao desenvolvimento dos esquemas relativos à correspondência, às subdivisões sucessivas do todo, às relações parte-todo e parte-parte. Uma vez que são as situações que dão sentido aos conceitos, tornar significativo o aprendizado da aritmética implica transformar a resolução de problemas em uma tarefa de caráter cognitivo, levando os alunos a compreenderem o significado de conceitos e princípios, e não apenas a memorizarem modelos de problemas e suas respectivas estratégias de solução. É também necessário relacionar o conhecimento escolar à 10

11 Matemática presente nas diferentes soluções do cotidiano dos alunos (BRITO e CORREA, 2004). REFERÊNCIAS BRITO, M. R. F. & CORREA, J. Divisão e representação no processo de solução de problemas aritméticos. Pedagogia Cidadã: cadernos de Formação. Educação Matemática. São Paulo: Unesp, NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças Fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, VERGNAUD, G. Multiplicative structures. Em R. Lesh & M. Landau (Orgs.), Acquisitionof mathematics: Concepts and process (pp ). London: Academic Press, VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. México: Trillas,