ANÁLISE DA EFICÁCIA DAS ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDADE

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1 ANÁLISE DA EFICÁCIA DAS ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDADE Resumo Maria Helena Cordeiro UNIVALI Edson Francisco Floriani UNIVALI / IFES Este artigo apresenta parte de um estudo que descreve e caracteriza várias estratégias que estudantes do ensino fundamental e médio utilizam para resolver problemas multiplicativos. Buscou-se verificar, nas estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade, aspectos que seriam indícios da compreensão desse conceito. Os sujeitos foram 82 alunos de uma escola privada, situada na cidade de Itajaí, SC, na faixa etária de 12 a 17 anos, estudantes de 6ª e 8ª séries do ensino fundamental e 2 ª série do ensino médio. Foi solicitado aos alunos que resolvessem nove problemas multiplicativos do tipo isomorfismo de medidas adaptado de Vergnaud. A análise da eficácia das estratégias adotadas pelos alunos nos problemas revelou que é possível identificar elementos que demonstram a compreensão do conceito de proporcionalidade. Os resultados demonstraram, em vários problemas, que os alunos muitas vezes não conseguem reconhecer a proporcionalidade como uma relação multiplicativa; houve tentativas no sentido de utilizar relações aditivas para resolver estes problemas, o que se constitui em um indício da não compreensão do conceito de proporcionalidade. Também a utilização incorreta do algoritmo na regra de três nos problemas de proporção inversa mostra que alguns alunos a utilizam sem terem muita clareza das relações que nele estão representadas. Conclui-se que a construção do conceito de proporcionalidade não é uma questão de tudo ou nada, ou seja, trata-se de uma construção progressiva, em que pode ser observada a compreensão do conceito em umas situações e não em outras. Palavras-chave: Proporcionalidade, Resolução de Problemas, Ensino da Matemática.

2 149 Introdução Atualmente, é consenso entre os educadores matemáticos que, no ensino bem-sucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa compreensão é garantida quando eles participam da construção das idéias matemáticas. De acordo com Imenes (1999, p. 98), essa é uma mudança significativa! pois tradicionalmente, em nossas escolas, a maioria dos conteúdos de matemática do ensino fundamental e médio é ensinada por meio de uma codificação, coleção de regras, não oportunizando aos estudantes raciocinarem sobre um determinado conteúdo. É fornecido aos estudantes um emaranhado conjunto de fórmulas e, posteriormente, pede-se para que eles as utilizem e as apliquem nos exercícios propostos de um determinado assunto, que geralmente se assemelham aos modelos mostrados pelo professor, sem levar em consideração os conhecimentos que os alunos já possuem e sem reconhecer suas próprias estratégias de resolução. Claro que o emprego de fórmulas e regras na matemática para resolver um determinado problema é uma estratégia necessária para se chegar a um determinado resultado, muitas vezes mais rapidamente. Mas isso deveria acontecer como um desdobramento da compreensão já alcançada pelo aluno e não a substituindo. Vários conteúdos nos programas de matemática são de fundamental importância para o entendimento de questões relacionadas com o nosso cotidiano. Entre esses conteúdos está o conceito de proporcionalidade, trabalhado geralmente nas séries iniciais e, posteriormente, na 6ª série do ensino fundamental, com maior aprofundamento. Compreender e aplicar este conceito faz parte da formação geral do cidadão. Na vida cotidiana, o estudo da proporcionalidade é usado para determinar o custo relativo a atividades comerciais, e outras, assim como, a venda em diferentes quantidades. É usado para descobrir a distância entre dois lugares representados em um mapa, ou para calcular a quantidade de ingredientes em uma receita para um certo número de pessoas, ou ainda para decidir qual, dentre dois carros, é o mais rápido. Entretanto, muitas vezes, quando trabalhamos um determinado problema, envolvendo o conceito de proporcionalidade, não há uma reflexão por parte dos estudantes, sobre quais conceitos estão inseridos nesse problema. Muitas vezes

3 150 eles resolvem-no imitando os procedimentos demonstrados pelo professor sem mesmo identificarem as relações de proporção e/ou compreenderem como chegaram àquele resultado. Sabemos que uma das ferramentas muito utilizada na resolução dos problemas de proporcionalidade é o algoritmo da regra de três, porque é um processo rápido para se chegar a um determinado resultado, sem muita reflexão. Geralmente, em nossas escolas, o estudo sistemático de proporcionalidade só acontece na 6ª série, sendo a quantificação numérica (cálculos) e o uso do algoritmo da regra de três, as bases do ensino de proporção (CARRAHER, 1986a). Porém, poderemos afirmar que o uso desse algoritmo significa que os alunos compreendem que há uma relação de proporcionalidade entre os dados do problema? E, por outro lado, o não uso do mesmo significa que os alunos não têm essa compreensão? Para obtermos informações consistentes e pertinentes a estas indagações, nesta pesquisa investigamos o seguinte problema: Nas estratégias utilizadas por alunos que freqüentam o ensino regular na solução de problemas de proporcionalidade, que aspectos seriam indícios da compreensão desse conceito? Dentro dessa perspectiva, identificamos e descrevemos as estratégias que os alunos das 6 ª e 8 ª séries do ensino fundamental e da 2 ª série do ensino médio utilizaram para resolver diferentes problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade e também verificamos, nas estratégias de solução utilizadas pelos alunos, que procedimentos revelam relações por eles estabelecidas entre as classes e as quantidades expressas no enunciado. Nesse artigo, buscamos identificar quais as estratégias mais freqüentemente utilizadas pelos alunos em duas categorias de problemas: de proporção direta e de proporção inversa. Discutimos, também, a eficácia dessas estratégias na solução das duas categorias de problemas. Metodologia Sujeitos Participaram desta pesquisa 82 alunos: 26 e 21 alunos, respectivamente da 6ª e 8ª série do ensino fundamental e 35 alunos da 2ª série do ensino médio, de um colégio particular da cidade de Itajaí, SC.

4 151 Escolhemos a 6 ª série por incluir alunos que não tinham passado pelo ensino sistemático da proporção, sobretudo do algoritmo da regra de três. A 8ª série foi escolhida porque os alunos já haviam estudado esse conteúdo, num tempo ainda recente. Finalmente, na 2ª série do ensino médio, porque esse ensino estava mais distante, mas também porque eram alunos que estavam trabalhando com esse algoritmo na disciplina de Química e isso poderia trazer uma nova informação. Instrumentos e procedimentos de coleta de dados Foi apresentado aos 82 alunos um instrumento com problemas multiplicativos adaptados de Vergnaud (1991), do tipo isomorfismo de medidas. Esses problemas foram formulados levando-se em consideração várias condições, conforme observado na figura 1: PROBLEMAS DE PROPORÇÃO DIRETA INVERSA UNITÁRIA MÚLTIPLA NÃO MÚLTIPLA UNITÁRIA UNIDADE DIFERENTE mesma diferente mesma diferente mesma diferente MÚLTIPLA UNIDADE DIFERENTE NÃO MÚLTIPLA UNIDADE DIFERENTE Figura 1: Condições que foram consideradas na elaboração dos problemas de proporção utilizados no instrumento da pesquisa Os problemas de proporcionalidade, multiplicativos, do tipo isomorfismo de medidas, foram organizados levando-se em consideração duas grandes categorias, de acordo com a relação de proporção: grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Dentro de cada uma dessas categorias, foram consideradas três subcategorias, de acordo com as relações numéricas: Unitária: quando temos como referência no enunciado do problema a ;

5 152 Múltipla: quando há relação de multiplicidade entre os valores numéricos das grandezas utilizadas no problema; Não múltipla: quando não há uma relação de multiplicidade entre os valores numéricos das grandezas Dentro dessas subcategorias, no caso da categoria envolvendo grandezas diretamente proporcionais, ainda foram consideradas duas condições: problemas envolvendo a mesma de medida e problemas envolvendo s de medida diferentes. Cada sujeito resolveu todos os nove problemas (seis de proporção direta e três de proporção inversa), individualmente, em sala de aula, na presença do pesquisador. Para todos os sujeitos, os problemas de proporção direta foram apresentados antes dos de proporção inversa, mas, em cada uma destas categorias, a ordem de apresentação das subcategorias e das condições (s iguais ou diferentes) foi alternada entre os sujeitos, de acordo com um quadrado latino, para evitar possíveis efeitos de ordem que poderiam vir a confundir a interpretação dos resultados. Neste artigo, será discutida a eficácia das estratégias mais utilizadas, tanto nos seis problemas de proporção direta como nos três de proporção indireta. Resultados Estratégias mais frequentemente adotadas pelos alunos As estratégias mais frequentemente utilizadas pelos alunos já foram descritas na literatura (Carraher, 1986b; 1986c; Nunes e Bryant, 1997; Vergnaud, 1988, 1991). São as seguintes: Operação Aritmética: os alunos chegam à solução do problema, utilizando uma operação aritmética simples, por meio da multiplicação ou divisão. Vergnaud (1988) cita essa estratégia como modelo dos problemas multiplicativos da aritmética escolar. Adição Sucessiva: os alunos separam as duas grandezas, e irão estabelecer uma relação de proporção por meio da adição, calculando as duas grandezas conjuntamente até chegar à resposta do problema. Essa estratégia é descrita por Nunes e Bryant (1997) como uma progressão aritmética entre dois conjuntos.

6 153 Fator de Proporção: é explicada por Vergnaud (1991) como sendo a utilização de uma lei unária, onde os alunos estabelecem uma relação dentro da mesma grandeza, para posteriormente acharem o fator que vai determinar a relação proporcional aplicando-a na outra grandeza. Regra de Três: envolve o algoritmo: a/x = b/c; sendo dados a, b e c o aluno determina o termo desconhecido x. Esse tipo de estratégia é descrito por Vergnaud (1991) e encontrado na maioria dos livros didáticos, sendo geralmente ensinada nas escolas. Valor Unitário os alunos chegam ao resultado do problema, estabelecendo uma relação entre as grandezas, encontrando o valor unitário. Vergnaud (1991), descreve essa estratégia como sendo a utilização de uma lei binária, onde os alunos irão estabelecer uma relação entre as grandezas diferentes, por exemplo: litros e minutos, quilômetros e horas etc. Essa estratégia não foi registrada como solução pelos alunos nos problemas unitários, já que ela é desnecessária porque já temos o valor unitário. : Carraher (1986b; 1986c) observou que, ao resolverem certos problemas, os alunos utilizavam um procedimento inadequado para a situação, não estabelecendo uma relação multiplicativa e sim uma relação aditiva, entre as classes do problema. Eficácia das estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção direta O Quadro 1 mostra a eficácia das estratégias mais utilizadas em cada tipo de problema, por série. Como pode ser observado, no ensino fundamental, os alunos da 8ª série utilizaram várias estratégias para resolver os problemas de proporção direta. Na 6ª série, a diversificação das estratégias ocorreu com menor intensidade e, na 2ª série do ensino médio, vemos que foi predominante o uso da estratégia regra de três.

7 154 Tipo de séries problema 6ª 8ª 2ª DUMU DUUD DMMU DMUD DÑMMU DÑMUD Operação aritmética Operação aritmética.. Adição sucessiva Valor unitário Adição sucessiva Adição sucessiva Adição sucessiva Adição sucessiva Fator de prop. Valor unitário Legenda: Estratégia eficaz (mais de 70% de acertos) Estratégia parcialmente eficaz (de 50 a 70% de acertos) Estratégia ineficaz (menos de 50% de acerto) Quadro 1 Eficácia das estratégias mais freqüentes, por série, em cada tipo de problema de proporção direta Analisando o sucesso alcançado com a utilização das estratégias nas três séries, observamos que, na 8 ª série, os alunos que passaram pela instrução formal do estudo das proporções, não evidenciaram um melhor rendimento nos resultados do que os alunos da 6 ª série, que ainda não tinham recebido essa instrução formal. Aliás, os alunos da 6ª série obtiveram um melhor desempenho nessa categoria de problemas que os alunos da 8ª série. Na 2ª série, foi freqüente o uso da estratégia regra de três, provavelmente porque esses alunos estavam utilizando esse algoritmo na aula de Química. O uso de outra estratégia, a diferença, demonstra que, em certos problemas, os alunos manifestam que não compreendem o conceito de proporcionalidade, não

8 155 dão conta que a proporcionalidade é uma relação multiplicativa e pensam tratar-se de uma relação aditiva. Segundo Carraher (1986a) o aluno não examina o significado do problema e das operações que realiza, levando ao erro, revelando que as suas tentativas de resolver os problemas podem ser compreendidas como tentativas de manipulação dos dados, sem uma análise do significado do problema. Foi possível observar, no registro de solução dos problemas de proporção direta não múltipla, principalmente no ensino fundamental, a dificuldade dos alunos em encontrarem o fator de proporção, dando indícios de que eles não compreendem efetivamente o conceito de proporcionalidade. Eficácia das estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção inversa O Quadro 2 mostra a eficácia das estratégias mais utilizadas em cada tipo de problema, por série. Tipo de séries problema 6ª 8ª 2ª Operação IUUD Operação aritmética aritmética IMUD Fator de proporção. Fator de proporção Fator de proporção Operação aritmética IÑMUD Fator de proporção Fator de proporção Legenda: Estratégia eficaz (mais de 70% de acertos) Estratégia parcialmente eficaz (de 50 a 70% de acertos) Estratégia ineficaz (menos de 50% de acerto) Quadro 2 Eficácia das estratégias mais freqüentes, por série, em cada tipo de problema de proporção inversa Como pode ser observado no quadro, os alunos de qualquer uma das séries não tiveram dificuldade em resolver o problema de proporção inversa unitária. Na sexta séria, a estratégia mais utilizada foi o uso de operação aritmética, estratégia que é eficaz para este tipo de problemas. Na oitava série, foi utilizada também a

9 156 estratégia fator de proporcionalidade, não tendo sido encontradas dificuldades por parte dos alunos para encontrarem esse fator, já que se trata de um problema com uma relação numérica unitária. Na 2a série, foi utilizada também a regra de três. Na sexta série, a maioria dos alunos não conseguiram resolver o problema de proporção inversa múltipla, pois não tiveram sucesso em encontrar o fator de proporcionalidade, que foi a estratégia mais frequentemente adotada por eles. Nas outras duas séries, entre 50% e 70% dos alunos conseguiram resolver este problema, utilizando a estratégia fator de proporcionalidade ou a regra de três (esta última foi utilizada apenas pelos alunos da 2a série). Finalmente, nos problemas de proporção inversa não múltipla, a estratégia mais utilizada pelos alunos da 6a e da 8a série foi o fator de proporcionalidade, mas, os resultados mostram que os alunos não conseguiram utilizar esta estratégia eficazmente, pois o índice de acerto foi inferior a 50%. No ensino médio, o índice de acerto deste problema ficou entre 50% e 70%, tendo os alunos utilizado como estratégias de resolução o fator de proporcionalidade e a regra de três. Considerações finais O objetivo deste estudo foi identificar que aspectos serão indícios na compreensão do conceito de proporcionalidade, nas estratégias utilizadas por adolescentes que freqüentam o ensino regular na solução de problemas que envolvem esse conceito. A análise das estratégias utilizadas pelos alunos permite estabelecer as seguintes considerações: - Um dos indícios da compreensão do conceito de proporcionalidade é o reconhecimento de que a relação entre pares de valores de uma classe (relação de primeira-ordem) é equivalente à relação entre pares de valores de outra classe (relação de primeira-ordem). Chega-se assim à descoberta da invariância entre as relações das duas classes (relação de segunda ordem) (SPINILLO, 1993; 1994). O valor quantitativo dessas relações é o fator de proporção. Assim, quando os alunos descobrem o fator de proporção e o utilizam na resolução de problemas, podemos inferir que eles provavelmente já desenvolveram uma considerável compreensão do conceito de proporcionalidade. Neste estudo, verificamos que muitos

10 157 alunos da 6ª série já conseguem identificar e utilizar eficazmente o fator de proporção, nos problemas de proporção direta, mesmo sem terem sido instruídos formal e sistematicamente sobre o conteúdo proporcionalidade. Por outro lado, nem sempre os alunos tiveram sucesso na identificação do fator de proporção. Isso aconteceu com os alunos de 6ª série e de 8 série nos problemas de proporção direta não múltipla e com todas as séries nos problemas de proporção indireta. Portanto, a construção do conceito de proporcionalidade não é uma questão de tudo ou nada, ou seja, trata-se de uma construção progressiva, em que pode ser observada a compreensão do conceito em umas situações e não em outras. Essa diferença pode estar relacionada com a maior ou menor familiaridade das situações (por exemplo, problemas de proporcionalidade direta são mais familiares que de proporcionalidade inversa, tanto na escola como na vida cotidiana), como também com a maior ou menor complexidade das relações envolvidas (em problemas onde as relações são múltiplas torna-se mais fácil encontrar o fator de proporção). - A estratégia pela regra de três se demonstrou eficaz na resolução dos problemas de proporcionalidade direta, pelos alunos que já dominam a técnica do algoritmo. No entanto, o uso eficaz dessa estratégia nem sempre significa que os alunos compreendem o conceito de proporcionalidade. A utilização incorreta do algoritmo na regra de três nos problemas de proporção inversa mostra que alguns alunos a utilizam sem terem muita clareza das relações que nele estão representadas. Eles simplesmente os aplicam da mesma forma quando percebem que o problema envolve o estabelecimento de relações entre pares de valores de duas classes. - A utilização da estratégia diferença, já descrita na literatura, mostra que os alunos estabelecem, como afirma Spinillo (1993; 1994), relações de primeira ordem, mas não relações de segunda ordem. Assim, muitas vezes, não conseguem reconhecer a proporcionalidade como uma relação multiplicativa. Essa estratégia, portanto, se constitui em um indício da não compreensão do conceito de proporcionalidade.

11 158 Portanto, quando os alunos se apropriam do significado dos problemas, eles os resolvem por meio de estratégias construídas a partir dos conhecimentos anteriores. Assim, é interessante salientarmos a importância de a escola considerar esse conhecimento, não se preocupando, apenas, com o ensino de algoritmos. A utilização de diversas estratégias na escola poderia dar maior oport para os alunos atribuírem significado à resolução de problemas, mostrando-lhes que a matemática faz parte do seu cotidiano. Isso significa reconhecer que o aluno, quando chega à escola, traz consigo alguns conceitos matemáticos. Compete aos professores identificar esses conceitos e dar continuidade a esse processo construtivo, de forma dinâmica e com questões que tenham significado para a vida do aluno, isto é, que ele possa utilizar essas questões no seu dia-a-dia. Referências CARRAHER, T. N. et al. Proporção na Educação Científica e Matemática : quantidades medidas por razões. In: Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.67, n.155, p.93-97, 1986a.. Proporção na Educação Científica e Matemática: uma análise de tarefas piagetianas. In: Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.67, n.156, p , 1986b..Proporção na Educação Científica e Matemática: uma análise de tarefas piagetianas. In: Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, v.67, n.157, p , 1986c., Luiz M. et al. Matemática, 6ª série, São Paulo: Scipione, NUNES, Terezinha, BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artmed, SPINILLO, A. G. Raciocínio Proporcional em crianças: considerações acerca de alternativas educacionais. In: Proposições, São Paulo, v.5, n.13, p , As relações de primeira-ordem em tarefas de proporção: uma outra explicação quanto às dificuldades das crianças. In: Psicologia: Teoria e Pesquisa, Brasília, v. 9, n.2, p , VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la Realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas em la escuela primaria. México: Ed. Trillas, 1991 p Multiplicative Structures. In Number concepts and operations in the middle grades. Merlyn and E. Laurence. Reston: NCTM. 1988, p