TI-Ciências. education.ti.com/portugal. Editorial. Índice. TI-Ciências Abril 2002

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1 TI-Ciências TI-Ciências Abril 00 Editorial Vivemos num mundo em constante mudança, movimento e crescimento. Estas modificações criam em nós, a necessidade de conhecer e compreender as velocidades com as quais elas se produzem. No entanto, estas velocidades não são uniformes, elas alteram-se, por vezes bastante rapidamente, em função de transformações produzidas no próprio universo. Há dezenas de séculos, que o Homem tenta compreender as leis que regem o universo. Cada geração aproveita todas as descobertas científicas herdadas das gerações precedentes e alarga este domínio do conhecimento, através da junção das suas próprias contribuições. As etraordinárias descobertas realizadas ao longo dos séculos, sobre as quais nos falam os livros e que agora usamos com um objectivo didáctico, não resultaram somente de golpes de génios, mas de pacientes esforços e refleões daqueles que as conceberam. No entanto deve-se realçar que, ao longo dos tempos, a grande maioria dos problemas práticos dos homens sempre foram resolvidos com recurso aos conhecimentos matemáticos da época. Assim, a Matemática tem-se desenvolvido com a civilização e tornou-se a chave de quase todas as actividades dos homens e é ela que nos dá uma ajuda preciosa na vida quotidiana. É essencialmente na relação entre da Matemática com as outras ciências que se encontram surpreendentes e eficazes resultados, ao nível da modelação dos fenómenos (naturais e sociais) que nos rodeiam. É interessante observar que é raro eistir um desenvolvimento concomitante dos conceitos em todas as ciências. Contudo eiste um espaço central onde as diversas ciências se encontram com a Matemática, dando origem a alguns importantes momentos históricos e privilegiados, nos quais o desenvolvimento de processa de uma forma paralela. Presentemente, nós vivemos um desses momentos. Índice Editorial A Parábola como Lugar Geométrico, com o GeoMaster Estudo de Assímptotas, Usando a TI-83 Plus Silver Edition Estudo da Lei de Boyle-Mariotte Programa VIP Partilha de Actividades Calculadoras Autorizadas e Recomendadas para o 3º Ciclo e Secundário Bibliografia Disponível T 3 Teachers Teaching with Technology Programa de Empréstimo Isabel Cleto dos Santos José Alberto Rodrigues education.ti.com/portugal

2 A Parábola como Lugar Geométrico, com o GeoMaster Raul Aparício Gonçalves Escola Secundária de Paredes Como se sabe, a parábola é, por definição, o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de uma recta e de um ponto que não lhe pertença. Convencer um aluno do 0º ano de que esta definição leva àquele desenho parabólico não é normalmente uma tarefa trivial. As capacidades dinâmicas de algum software de geometria podem constituir uma enorme ajuda. No entanto, nem sempre é possível dispor de computadores na sala de aula, pelo que pode haver alguns limites inultrapassáveis quanto à utilização desse software. costa, pois como é obvio, a distância de P à costa é obtida na perpendicular a esta. Para fazer estas construções, voltamos a utilizar o menu DRAW e, desta vez, as funções Perpendicular e Intersection. Uma ecelente forma de resolver este problema é a aplicação GeoMaster disponibilizada pela Teas Instruments, para as suas calculadoras gráficas com tecnologia FLASH, como é o caso da já vulgar TI-83 Plus. Ora vejamos como se pode utilizar o GeoMaster para proporcionar ao aluno a compreensão do lugar geométrico referido. Será provavelmente mais interessante desenvolver o trabalho a partir de um problema simples e motivador. Por eemplo, pode colocar-se a questão de encontrar a trajectória mais segura para um barco passar entre uma rocha localizada no mar e uma costa igualmente rochosa, rectilínea. Comecemos por traçar uma recta (costa) e um ponto eterior à recta (rocha), utilizando, no menu DRAW, as funções Line e Point, respectivamente. De seguida, consideremos um ponto livre na recta, utilizando no mesmo menu a função Point on Object. Note-se que ao movimentar o ponto livre sobre a costa, como a construção é dependente, vamos obter diferentes posições para o ponto P, sempre satisfazendo as condições de equidistância, pelo que, desta forma é gerado o lugar geométrico pretendido. O Geomaster tem uma função, em MISC, Trails On/Off, que marca as sucessivas posições de um objecto que é arrastado. Outra função, no mesmo menu, Pointer, arrasta um objecto. Para evitar uma sobrecarga de objectos traçados, podemos esconder os que são menos importantes para traçar o lugar geometrico, e fazê-mo-lo com a função Hide/Show do menu MISC. Ora, activando a função Trails On/Off no ponto P e arrastando o ponto livre na costa, após activar a função Pointer, obtemos o esboço de uma curva (a parábola) nas condições pretendidas (os pontos equidistantes de uma recta e de um ponto eterior). Estamos agora prontos a construir um ponto nas condições pretendidas, ou seja, na trajectória mais segura, que é o mesmo que dizer, um ponto equidistante da rocha e da costa. Começamos por construir o lugar geométrico dos pontos equidistantes da rocha e do ponto livre sobre a costa. Para tal constroí-se a mediatriz do segmento de recta definido por estes pontos. Para o fazer, utilizamos novamente o menu DRAW e as funções, Midpoint e Perpendicular. Ora, se traçarmos uma perpendicular à costa a passar por este ponto, ela vai intersectar a mediatriz num ponto, a seguir designado por P, que dista igualmente da rocha e da É possível fazer eplorações, por eemplo: analisar o efeito da variação da posição da rocha em relação à costa, no traçado da parábola. Será deiado ao cuidado do leitor, a construção dos desenhos necessários a esta eploração, no entanto será conveniente referir que sempre que se pretenda guardar um desenho na memória da calculadora, o podemos fazer recorrendo à função Save File do menu FILE. TI-Ciências

3 Estudo de Assímptotas, Usando a TI-83 Plus Silver Edition Isabel Cleto Santos Pretendemos, através de um conjunto de quatro actividades, estudar a eistência de assímptotas verticais e/ou horizontais, a partir da análise do gráfico de uma função racional e levar o aluno a conjecturar sobre a relação eistente entre as assímptotas horizontais e os graus dos polinómios, que constituem a epressão analítica da função. Uma função racional f pode ser definida pelo quociente de dois polinómios: f() 5 p ( ). q( ) Se p() 0, então a função racional f fica definida quando q() 0. Como sabemos as assímptotas são rectas que orientam o traçado do gráfico de uma função e este ou parte dele aproima-se da assímptota, de tal forma que acaba por se confundir com a própria assímptota, quando a distância à origem do referencial tende para infinito. Nos eemplos seguintes eploraremos a relação eistente entre a divisão por zero e as assímptotas verticais. Tomemos, como eemplo, a função racional f() 5 A partir da observação do gráfico verifica-se que eistem dois tipos de assímptotas ao gráfico desta função: uma vertical e outra horizontal, cujas equações são respectivamente: 5 0 e y 5 0. Analisemos o gráfico de uma outra função racional definida por: g() 5 Constata-se facilmente que também eiste uma assímptota vertical de equação 5 e uma assímptota horizontal de equação y 5 0. Um outro caso interessante para ser analisado é o eemplo da função racional h () 5 É bastante visível, partindo da observação do gráfico, uma alteração no número de assímptotas verticais, eistindo neste caso duas, a saber: 5 e 5. Este aumento no número de assímptotas verticais está directamente relacionado com o número de zeros do polinómio. Actividade Introdução ao estudo das assímptotas verticais ao gráfico de uma função.. Introduz, na calculadora TI-83 Plus Silver Edition, a epressão analítica de cada uma das funções indicada na primeira coluna do quadro e a partir da análise dos respectivos gráficos completa-o: Epressão analítica Número de zeros Número de zeros Número de Equações das da função racional do numerador do denominador assímptotas verticais assímptotas verticais y 5 4 y 5 9 y 5 4 y Com base na análise dos dados do quadro anterior, eplica que relação podes estabelecer entre o número de zeros dos polinómios do numerador e do denominador e o número de assímptotas verticais ao gráfico de uma função. 3. Escreve as equações das assímptotas horizontais ao gráfico de cada uma das funções referenciadas no quadro. NOTA: Nas actividades, 3 e 4 consideremos sempre as funções racionais definidas pelo quociente de dois polinómios, p( ) isto é, na forma: f() 5 q. ( ) TI-Ciências 3

4 Estudo de Assímptotas, Usando a TI-83 Plus Silver Edition continuação Actividade Grau de p(), grau de q() e a relação com as assímptotas horizontais. Nesta actividade vamos analisar os graus dos polinómios do numerador e do denominador e estudar a sua relação com a eistência de assímptotas horizontais.. Completa o quadro seguinte, começando por introduzir as epressões analíticas das funções na calculadora gráfica e analisando os gráficos obtidos: Epressão analítica Equação da Grau de Grau de da função racional assímptota horizontal (numerador) (denominador) y 5 3 y 5 3 y y Em funções racionais em que o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, descreve a localização das assímptotas horizontais. 3. O gráfico de uma função racional em que o grau de p(), grau de q() cruza sempre a assímptota horizontal? Actividade 3 Grau de p()5 grau de q() e a relação com as assímptotas horizontais. p( ) Pretendemos eplorar o estudo de funções racionais do tipo f() 5 q, onde p() 5 a m m a m- m- a 0 e ( ) q() 5 b m m b m- m- b 0 são polinómios com o mesmo grau, mas com os coeficientes dos termos de maior grau diferentes, ao nível da localização das assímptotas horizontais.. Recorrendo à calculadora e com base na análise da representação gráfica de cada uma das funções indicadas, completa o quadro: y 5 Epressão analítica a m : coeficiente do termo b m : coeficiente do Equação da assímptota da função racional de ordem m de p() termo de ordem m de q() horizontal 3 y 5 y y y 5 3 y 5 4 TI-Ciências

5 Estudo de Assímptotas, Usando a TI-83 Plus Silver Edition continuação Actividade 3 continuação. Na alínea. o grau do numerador é igual ao grau do denominador e observa-se que cada um dos gráficos admite uma assímptota horizontal. A equação da assímptota horizontal relaciona-se com o quociente coeficientes dos termos de maior grau de p() e de q(). Estabelece esta relação. 3. O gráfico de uma função racional em que o grau de p()5 grau de q() cruza sempre a assímptota horizontal? Actividade 4 Grau de p(). grau de q() e a relação com as assímptotas horizontais. Depois de termos analisado a localização das assímptotas horizontais ao gráfico de uma função racional, quando grau de p() grau de q(), pretendemos nesta actividade eplorar a localização do mesmo tipo de assímptotas, mas no caso em que grau de p(). grau de q().. Recorre à calculadora gráfica para esboçares e analisares o gráfico de cada uma das funções indicada na primeira coluna do quadro, completando-o: Epressão analítica Equação da Grau de p() Grau de q() da função racional assímptota horizontal (numerador) (denominador) y y 5 y y 5 y 5 3. Tendo como base o quadro da alínea anterior, que se pode concluir acerca da eistência de assímptotas horizontais, quando grau de p(). grau de q()? 3. Utilizando os resultados obtidos nas actividades, 3 e na alínea desta actividade e os conhecimentos matemáticos sobre as assímptotas verticais e horizontais ao gráfico de uma função, completa as seguintes frases: Se o grau de p() for inferior ao grau de q(), então... Se o grau de p() for igual ao grau de q(), então... Se o grau de p() for superior ao grau de q(), então... Bibliografia. LIMA, Iolanda, GOMES, Francelino, XEQMAT Matemática º ano, Editorial O Livro, Lisboa, 00. TI-Ciências 5

6 Estudo da Lei de Boyle-Mariotte Abel Eça Escola Secundária de Amares Pretende-se com esta actividade estudar a relação entre a pressão e o volume de um gás contido numa seringa. Deve ter obtido o seguinte gráfico: Sensor de pressão Tubo de ar Seringa TI-83 Plus Vá para o editor estatístico e poderá visualizar o volume na lista L e a pressão na lista L, em atm. CBL. Na TI-83 Plus, eecute o programa ou a aplicação DataMate. Aparece o ecrã principal.. No ecrã principal, prima SETUP. Actividades:. No editor estatístico visualize os dados e complete a tabela seguinte: Volume (cc) Pressão (atm) Produto da pressão pelo volume 3. Utilize ou para se deslocar para CH e prima Aparece o ecrã SELECT SENSOR. Prima 4-PRESSURE. Prima PRESSURE SENSOR. Prima -PRESSURE(ATM) O programa começa a detectar o sensor pretendido. 4. Utilize ou para se deslocar para z e prima. Seleccione 3- EVENTS WITH ENTRY e prima. 5. Abra a torneira da seringa e pue o êmbolo para a marca 0 cc. Feche a torneira. Prima OK e depois -START A calculadora começa a ler a pressão. Prima para guardar a pressão registada. A calculadora pede-lhe agora o volume, que neste caso é 0 cc. Introduza 0 e prima. 6. Coloque a seringa em 5 cc e prima. A calculadora pede-lhe o volume. Introduza 5cc e prima. Repita o processo para 0 cc. e 5 cc.. Encontre uma relação que dê o volume em função da pressão. 3. Como verificou eiste uma relação inversamente proporcional entre a pressão e o volume. Qual é a constante de proporcionalidade? 4. Faça uma regressão potência. Compare esta função com a que obteve na alínea dois, sobrepondo o gráfico da função ao diagrama de dispersão. Que conclui? Referências Brueningsen, Bower, Antinone, and Brueningsen-Kerner; Real-World Math with the CBL System: Activities Using the TI-83 and TI-83 Plus: Activity 6. [TI Eplorations Series book, Teas Instruments] 6 TI-Ciências

7 Programa VIP FLASH permite actualizar a versão da sua Calculadora! Poderá ter o Sistema Operativo mais actualizado para a sua calculadora, sempre com mais funcionalidades e melhoramentos! CellSheet Inequações FLASH permite personalizar a Calculadora às suas necessidades! Molde a calculadora às suas necessidades. Eemplos de algum software disponível para a TI-83 Plus / TI-83 Plus Silver Edition: Para adquirir estas Aplicações de Software e Muitas Outras, registe-se no Programa VIP! Requisitos: Tem de ser Professor de Matemática, Física/Química, Biologia ou de algum Curso Tecnológico, ter , bem como uma calculadora TI-83 Plus ou TI-83 Plus Silver Edition. Microsoft Ecel GeoMaster Inequações e Domínios Planos Preencha o cupão aneo e envie-nos. Nos próimos dias irá receber um com a confirmação. Bom Trabalho! Geometria Dinâmica Programa VIP Cupão de Registo SIM, sou Professor e desejo ter acesso Gratuito a Software para a TI-83 Plus SE! Teas Instruments c/o SITEL Woluwelaan Diegem Bélgica ou por Fa: Nome: Rua / Nr.: Escola: Apelido: Cod. Postal / Local: Tel.: Matemática Biologia Física/Química Outros ti-cares@ti.com education.ti.com/portugal Os dados recolhidos serão processados informáticamente e destinam-se à gestão do seu pedido. Garantimos ao subscritor, nos termos da lei, o direito de acesso e rectificação de qualquer dado que lhe diga respeito. A Teas Instruments reserva-se o direito de terminar este Programa ou alterar as suas regras sem proceder a aviso prévio. TI-Ciências 7

8 Partilha de Actividades Já está online a nossa web page de Partilha de Actividades com a calculadora gráfica. Nesta página poderá consultar trabalhos de colegas relacionados com a utilização de novas tecnologias (calculadoras gráficas) na sala de aula. Se quiser colocar as suas actividades com calculadoras no nosso site, basta enviá-los para: 0amaral@ti.com ou t-meneses@ti.com Para eplorar os trabalhos eistentes consulte: idades.htm 8 TI-Ciências

9 Calculadoras Autorizadas e Recomendadas para o 3º Ciclo e Secundário 3º CICLO...Utilização das tecnologias na aprendizagem da Matemática Todos os alunos devem aprender a utilizar não só a calculadora elementar, mas também, à medida que progridem na educação básica, os modelos científicos e gráficos... -citação retirada do Currículo Nacional do Ensino Básico DEB SECUNDÁRIO...As calculadoras gráficas (...), ferramentas que cada vez mais se utilizarão correntemente devem ser entendidas não só como instrumentos de cálculo mas também como meios incentivadores do espírito de pesquisa. O seu uso é obrigatório neste programa. -citação retirada do Programa Homologado Matemática A DES Advoga-se o uso de calculadoras gráficas familiar aos alunos pela sua utilização permanente nas aulas da disciplina de Matemática. É necessário retirar peso à memorização e à resolução repetitiva de eercícios, privilegiando-se estratégias de compreensão, técnicas de abordagem e de resolução de problemas. -citação retirada do Programa Homologado Física e Química A 0º Ano DES Bibliografia Disponível Na internet no endereço home.asp pode escolher os vários títulos de bibliografia de apoio à calculadora, da qual escolhemos apenas alguns livros: Em português: Análise TI-80, TI-8, TI-83, TI-9 Estatística TI-80, TI-8, TI-83, TI-9 Equações TI-80, TI-8, TI-83, TI-9 Modelação TI-9 Da geometria às funções passando pela estatística (Joaquim Pinto) Programação no ensino secundário TI-80, TI-8, TI-83, TI-86 (César Viana) Acções de Formação e Pedidos de Apoio: Organizam-se acções de formação gratuitas sobre a utilização e aprendizagem de calculadoras. Para pedidos de apoio a outros projectos e mais esclarecimentos, contacte: Teas Instruments Programa Educacional Rua 5, Espinho Tel.: Fa: amaral@ti.com TI-Ciências 9

10 T 3 Teacher Teaching with Technology (Professores ensinam com tecnologia) Temas abordados nos cursos: O projecto T 3 tem como principal objectivo a formação de professores no uso das calculadoras gráficas, acessórios, tais como o CBL, CBR, TI-GRAPH LINK e Software de geometria para as calculadoras (Aplicações para calculadoras com Tecnologia FLASH) no ensino e aprendizagem da Matemática e da Físico-Química. Todos os cursos são dados por professores formadores com elevada eperiência na utilização da tecnologia na sala de aula. Em Portugal o projecto decorre desde 997 em parceria com uma entidade ligada ao ensino e aos professores. Modelação Matemática Probabilidades, simulações, distribuições e testes com a calculadora gráfica Eperimentar a matemática com a TI-9 Plus Estatística e Calculadoras Gráficas Física e Matemática Cabri Géomètre II Sessões práticas com calculadoras gráficas e sensores de 4 horas, 5 horas e 35 horas. Preços Muito Especiais de calculadoras (apenas versão retroprojectável) e acessórios para os professores participantes! Para mais informações e pedidos de acções contacte com: APM (Associação de Professores de Matemática) Rua Dr.João Couto,7A Lisboa Tel.: Fa: apm@netcabo.pt Internet: TI-Ciências

11 Programa de Empréstimo A Teas Instruments oferece empréstimos gratuitos WOLOP de calculadoras e acessórios para professores de matemática. Os pedidos deverão ser feitos com um mês de antecedência e terão uma duração máima de duas semanas. Os empréstimos têm como objectivo principal a realização de acções de formação e workshops. Quando fizer o seu pedido de empréstimo, por favor mencione: Razão da Acção de Formação. Enuncie a data e o local do workshop. Quantidades, tipo de calculadora(s) e acessórios necessários. Endereço de entrega e número de telefone. O dia de entrega preferencial. Os seguintes produtos estão disponíveis no Programa de Empréstimo de Calculadoras: Peça um Painel ViewScreen, pois este é opcional. Peça sensores para a sua acção com o CBL. Peça posters, transparências e literatura para distribuir aos participantes durante a sua acção. Para fazer o pedido de empréstimo pode enviar uma carta para: CSC Centro de Suporte ao Cliente C/O Sitel Belgium Woluwelaan Diegem Belgium Telefone (numero gratuito): Envie um fa: Contacte por ti-loan@ti.com TI-83 Plus TI-89 Voyage 00 CBL (Calculator-Based Laboratory Systems probes) CBL (Calculator-Based Laboratory)* CBR (Calculator-Based Ranger System) Cabri Géomètre II TI-Presenter * * Disponibilidade de produtos limitada em quantidades. NOTA: Os empréstimos estão sujeitos à disponibilidade do material, sendo dada prioridade aos cursos do T 3. TI-Ciências

12 Publicações Gratuitas! Peça já o seu CD de Actividades e assine gratuitamente as nossas revistas! Se pretender o CD escreva à frente dos quadrados de opção Matemática/Físico-Química CD de Actividades. Fotocopie,recorte e cole num postal! (Fotocopie este formulário e distribua-o pelos seus (suas) colegas). Selo 54$90 Nome Matemática: Físico/Química: Nível de Ensino Rua C. Postal/Local. Tel.: Teas Instruments Programa Educacional Rua 5, Espinho Escola: Para adquirir calculadoras para escolas e professores contacte os nossos distribuidores escolares: DISMEL Rua Coronel Ferreira do Amaral, 9 C 900 Lisboa Tel.: Fa: info@dismel.pt TETRI Estrada da Circunvalação, Rio Tinto Tel.: Fa: tetri@cli.pt education.ti.com/portugal ti-cares@ti.com Posters e Acetatos Pode encomendar posters e acetatos de todas as calculadoras.estes materiais são de maior utilidade na sala de aula. Enquanto a Teas Instruments e os seus agentes tentam garantir a validade dos comentários e das afirmações escritos nesta publicação, não será aceite qualquer responsabilidade em nenhuma circunstância por imprecisões de conteúdo, artigos ou reclamações efectuadas pelos colaboradores. As opiniões publicadas podem não ser necessariamente as opiniões da Teas Instruments. Todas as calculadoras disponíveis na Europa são fabricadas de acordo com a certificação ISO Cabri Géomètre II é uma marca comercial da Université Joseph Fourier. Todas as outras marcas comerciais são propriedade dos respectivos proprietários. A Teas Instruments reserva-se o direito de alterar produtos, especificações, serviços e programas sem aviso prévio. Impresso em papel isento de cloro 00% reciclável por Thamesdown Colour Limited, Inglaterra. Composiçião Cloud 9 Publishing Limited, Inglaterra. 00 Teas Instruments Incorporated CL00NLM/P