CALCULANDO A ROTA MÍNIMA UTILIZANDO A METAHEURÍSTICA COLÔNIA DAS FORMIGAS

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1 CALCULANDO A ROTA MÍNIMA UTILIZANDO A METAHEURÍSTICA COLÔNIA DAS FORMIGAS Mayara Rohenkohl Ricci (UTFPR) maya.ricci@hotmail.com Elder Luiz pozzebon (UTFPR) elderbll@hotmail.com Juliane de Freitas Battisti (UTFPR) julianedefreitasbattisti@gmail.com Gabriela Chiele Joner (UTFPR) gabriela.chj@hotmail.com LEVI LOPES TEIXEIRA (UTFPR) prof.levilopes@gmail.com Através do comportamento de formigas, criou-se uma técnica metaheurística para solucionar problemas de otimização chamada Otimização por Colônia de Formigas. O estudo começou por meio do depósito de feromônio, um hormônio que facilita o rreconhecimento mútuo entre as espécies, assim guiando as outras formigas da colônia até a fonte de comida atraindo um número cada vez maior de formigas. O problema consiste em, dado um conjunto de cidades e a distância entre elas, encontrar o menor caminho possível para que todas as cidades sejam visitadas somente uma vez. As cidades em que se anotou a distância localizam-se no Oeste do estado do Paraná. Assim propondo uma rota mais curta entre elas. Palavras-chaves: Rota, otimização, metaheurística

2 1. Introdução Uma série de métodos de otimização foram experimentados nas últimas décadas, desde técnicas de programação matemática, tais como programação linear e branchand-bound (Land e Doig, 1960) até sistemas especialistas, algoritmos genéticos, busca tabu entre outros (FREITAS; VIEIRA, 2010). A definição de um caminho mais curto através de métodos de otimização vem se destacando continuamente no mercado. As empresas estão sempre buscando por essas inovações. A otimização como define Castro apud Koide (2010), são métodos e aplicações relacionadas com a determinação da melhor ou das melhores soluções para um dado problema. Envolve o estudo das condições ótimas, desenvolvimento e análise de algoritmos, aplicações e experimentações computacionais. No entanto, Dorigo et al. (1991) apresentam um novo método aproximado de Otimização por Colônia de Formigas (ou Ant Colony Optimization - ACO), tratando-se de uma técnica enquadrada em um ramo específico da inteligência artificial (inteligência coletiva ou swarm intelligence), inspirada no comportamento social que as formigas apresentam ao buscarem por fontes de alimento para seus ninhos (HUANG; LIAO, 2008). O comportamento de uma formiga pode ser usado para estudo de, por exemplo, percurso de rota mínima. A área de roteirizarão será nosso foco de estudos, que tem como objetivo na base do modelo matemático escolhido, designar pontos de parada e as sequências em que esses pontos de parada serão visitados, com isso estabelecendo as rotas. Pode ser estudado também para definir alguns objetivos específicos, sendo eles: minimizar a quantidade de veículos, reduzir o tempo total do percurso das rotas, determinar as rotas de comprimentos mínimos, entre outros. O objetivo principal é apresentar a aplicação de metaheurística, conhecida como otimização por colônia de formigas. Esta aplicação tem como base o comportamento de algumas espécies de formigas que depositam feromônio, um hormônio que facilita o reconhecimento mútuo entre as espécies, assim guiando as outras formigas da colônia até a fonte de comida. Segundo Vieira e Minikovski (2009), a analogia com o problema de Planejamento Mestre de Produção (MPS) diz que as formigas procurariam o melhor planejamento buscando o menor custo produtivo e menor percurso entre eles, em tempo (esforço) computacional aceitável (muito inferior ao baseado em soluções de programação matemática, por exemplo). 2. Material e métodos O primeiro estudo realizado baseou-se no Experimento da Ponte Binária realizado por Deneubourg et al. (1990), consistia de uma montagem experimental em que se ofereciam dois caminhos a uma colônia de formigas (ASSIS; ASSIS, 2007). Os dois experimentos são mostrados na figura 1. Quando as formigas começam a caminhar, se dividem em partes iguais (Figura 1 (a)) em cada ramo da ponte para ir e voltar. Com o passar do tempo, há mudança na escolha pelo caminho. As formigas passam a usar o caminho que contém maior quantidade de feromônio, assim toda migração de formiga se concentrará cada vez mais em apenas um caminho (TELES, 2003). 2

3 No experimento seguinte, uma das pontes teria um comprimento bem maior que a outra (Figura 1 (b)). As formigas escolhem seu caminho aleatoriamente, o que levam algumas delas a escolherem o caminho maior, nesse caso, levarão mais tempo para chegar da colônia até o alimento. Enquanto as que escolheram o caminho mais curto farão de maneira mais rápida, assim, após algum tempo haverá mais feromônio nesse caminho, pelo fato de que este foi percorrido mais vezes no mesmo tempo (MEDEIROS, 2009). Figura 1: Experimento da Ponte Binária. a) dois ramos de comprimentos iguais. b) ramos de comprimentos distintos. Através deste comportamento, criou-se uma técnica metaheurística para solucionar problemas de otimização. Por ser um problema iterativo, a cada iteração constroem-se soluções para o problema. Por meio do depósito de feromônio, irá atrair um número cada vez maior de formigas, significando que o problema foi solucionado. Podendo assim solucionar problemas de rota mínima. Para resolver um problema de rota mínima, umas das formas para o cálculo é a utilização da metaheurística Otimização por Colônias de Formigas (ACO). Rodrigues (2007) cita Dorigo et al. (1999), que fazem o Ant System (AS), ou seja, um protótipo de um número de algoritmos da formiga que encontram aplicações interessantes e bem sucedidas. Posteriormente tomou-se a forma de uma metaheurística denominada Ant Colony Optimization (ACO), ou Otimização por Colônias de formigas. Chama à atenção a complexidade das tarefas executadas pelo formigueiro quando comparada com a simplicidade de cada formiga individualmente. A metaheurística da colônia das formigas foi inspirada na observação das colônias de formigas reais, em particular, como elas encontram o menor caminho entre a fonte de alimentos e o formigueiro (BABA, et al, 2004). O princípio da heurística Ant System é simular o comportamento de um conjunto de formigas que cooperam para resolver um problema de otimização por meio de comunicação simples (CHAVES, 2011). O problema consiste em, dado um conjunto de cidades e a distância entre elas, encontrar o menor caminho possível para que todas as cidades sejam visitadas somente uma vez. Com base na dissertação de mestrado de Rodrigues (2007), o problema de roteamento ACO pode ser representado como descrito a seguir: t (número de iteração vigente) m (número de formigas) 3

4 n (número de cidades do problema) i, j (linha e coluna, respectivamente) τ ij (t) (quantidade de feromônio) k (formiga) α e β (parâmetros que controlam o peso relativo entre o feromônio e a distância entre as cidades ρ (coeficiente de evaporação) Para que uma formiga possa escolher a próxima cidade a ser visitada, considera-se uma função de probabilidade que leva em conta a quantidade de feromônio e também a distância entre nós, de maneira que os caminhos mais próximos e/ou com maior quantidade de feromônio tenham maior probabilidade de serem escolhidos (JÚNIOR, 2009). A função: (01) Ao terminar sua trajetória, ou seja, percorrerem todas as cidades significa que as soluções foram construídas. Cada formiga deposita uma quantidade de feronômio (, Medeiros (2009) ressalta que a distribuição de feromônio é a etapa mais importante do algoritmo, pois esta é a única informação que os indivíduos captam do meio para se orientarem. Baseado pela seguinte equação (02): (02) De acordo com a equação, fica claro que quanto mais curto for o caminho percorrido pela formiga, maior é a quantidade de feromônio. A atualização do feromônio bem como sua evaporação é dada pela seguinte fórmula (03): (03) A implementação para a solução do problema foi feito da seguinte maneira: Criação da matriz de distâncias Eucledianas (D ij ) em quilômetros; Criação da matriz inversa de distâncias Eucledianas (η ij ), dada pela equação (04): 4

5 (04) Cálculo de a ij, são obtidos pela composição dos valores locais de feromônio com os valores heurísticos locais, dado pela equação (05): (05) Cálculo de ; Traçar a rota de maior probabilidade, assim obter o menor caminho; Atualizar os feromônios, para todos os nós, obtendo assim uma matriz para cada formiga (k). Após tornar uma só; Calcular a taxa de evaporação; Analisar o número de ciclos. Após seguir os itens para resolução do problema, obtêm-se o menor tour, ou seja, o caminho mais curto. Para resolução do problema proposto foi feita uma iteração, porém, para melhores resultados aconselha-se que se faça mais de uma iteração para ter resultados mais precisos. As cidades estudadas, ou seja, as cidades em que se anotou a distância entre as mesmas localizam-se no Oeste do estado do Paraná. São quatro como mostra na figura a seguir: 5

6 Fonte: (2012) Figura 2: Mapa territorial das cidades estudadas O objetivo deste trabalho é utilizar a metaheurística colônia de formigas, para calcular qual a rota mais curta entre as cidades descritas a seguir. Primeiramente, seguindo os dados pesquisados no site (2010), anotou-se a distância (km) entre as cidades. Conforme o quadro 1 abaixo: Santa Helena Toledo Cascavel Mal. C. Rondon Santa Helena ,5 Toledo Cascavel ,1 Mal. C. Rondon 57, ,5 0 Fonte: (2011). Quadro 1: Distâncias entre cidades (i, j) 3. Resultados e discussão O procedimento descrito anteriormente foi aplicado para calcular a rota mínima entre quatro cidades localizadas no oeste do Paraná. O procedimento foi efetuado em passos, descritos a seguir: Criação da Matriz de distâncias Euclidianas (D ij ), dada em quilômetros. 6

7 D ij = , ,1 57, ,1 0 Figura 3: Matriz de distâncias Euclidianas (D ij ) com os respectivos valores obtidos Método de resolução, de acordo com a equação supracitada em (04): Roteamento ACO. η ij = 0,012 0, ,017 0,012 0,027 0,024 0, ,027 0,0116 0,017 0,024 0,0116 Figura 4: Matriz com os resultados obtidos através da Equação (04) Matriz dos feromônios (τ ij (t)) na iteração inicial: τ ij = Figura 5: Matriz de iteração inicial Considerar: duas formigas (m=2), dispostas inicialmente nos nós um e quatro respectivamente. Resultados obtidos pelos cálculos da equação (05): Matriz a ij : a ij = 0 0,462 0,304 0,809 0, ,75 0,615 0,232 1,35 0 0,328 0,472 0,828 0,280 0 Figura 6: Matriz dos resultados obtidos pela Equação (05) Resultados obtidos através da equação (01): 7

8 p ij k = 0 0,292 0,192 0,512 0, ,469 0,384 0,121 0, ,172 0,300 0,524 0,177 0 Figura 7: Matriz dos resultados obtidos pela Equação (01) Após os cálculos da probabilidade segue o critério: sabendo o nó que a formiga foi alocada, ir para o nó com maior probabilidade. Se a formiga já visitou a cidade, ir para a próxima com maior probabilidade. Cada formiga segue um tour T k. Para cada formiga calcular o comprimento L k. Usa-se o menor comprimento feito pelas formigas. Para k=1: Formiga 1 (T 1 ): L 1 : 57, = 135,5 Para k=2: Formiga 2 (T 2 ): L 2 : = 191 Atualizando os feromônios, para todas as arestas (i, j), de acordo com a equação (02): Para k=1 temos: ,5 τ ij k = , ,5 0 0 Figura 8: Matriz obtida pela Equação (02), para k=1 Para k=2 temos: τ ij k = Figura 9: Matriz obtida pela Equação (02), para k=2 Logo: 8

9 τ ij k (1) = τ ij k (2) = , , , , , , Figura 10: Resultado obtido nas figuras 1 e 2 Assim, somando-se as duas matrizes anteriores, de acordo com a equação (06): (06) τ ij 1 = , , , , Figura 11: Resultado obtido de acordo com a equação (06) Calcular a taxa de evaporação, de acordo com a equação (03), com ρ=0,8. Obtem-se: τ ij 1 = 1 0,8 τ ij 1 + τ ij 1 τ ij 1 = 0, , , , , τ ij 1 = 0,2 0,2 0,2 0, ,2 0,2 0,2126 0,2 0, ,2 0,2 0,2 0,2 0,2126 0,2 0,2 Figura 12: Resultado obtido de acordo com a equação (03) Obteve-se pela primeira iteração a seguinte rota: Com o comprimento total de 135,5 km. 4. Conclusões 9

10 Neste trabalho apresentou a metaheurística da colônia das formigas para a solução da rota mínima entre as cidades do Oeste do Paraná. Através da pesquisa bibliográfica efetuada obteve-se resultados claros, porém para ter resultados mais precisos, o melhor seria a coleta de números maiores de dados. E como já supracitado, fazer mais iterações para ter rotas precisas. Referências ABRAHÃO, F. T. M., GUALDA, N. D. F. A metaheurística colônia de formigas para solução do problema de programação de manutenção preventiva de frotas de veículos. São Paulo, BABA, C. M., CORREA, F. H. M., SOUZA, S. A. C. de, WAHBA, T. M., MEDINA, A. C. Otimização da colônia de formigas aplicada ao problema da programação e roteirização de veículos para o transporte de pessoas portadoras de deficiência. ENEGEP, XXIV Encontro Nac. de Eng. De Produção. Florianópolis, 03 a 05 nov CHAVES, A. A. Metaheurística. Disponível em < Acesso em: 25 jun FREITAS, F. F. T. de, VIEIRA, G. E. Tendências de aplicações da otimização por colônia de formigas na programação de job-shops. Revista Produção, UFSC, v. X, n. 1, JÚNIOR, R. R. Um método de solução baseado na metaheurística colônia de formigas e em uma técnica de mineração de dados para resolução do problema do caixeiro viajante. Relatório final da disciplina Princípios e Aplicações de Mineração de Dados do Programa de Pós-graduação em Computação Aplicada. INPE, São José dos Campos, LORENZONI, L. L., AHONEN, H. T., ALVARENGA, A. G. de. Um algoritmo híbrido baseado em colônia de formigas e recozimento simulado para problemas de escalonamento com restrição de recursos e múltiplos modos de processamento. XXVI ENEGEP, Fortaleza, 09 a 11 out MEDEIROS, A. S. de. Resolução do fluxo de carga utilizando a metaheurística colônia de formigas. Trabalho de conclusão de curso (Centro de tecnologia Departamento de engenharia de computação e automação). UFRN, Natal, RODRIGUES, S. B. A metaheurística colônia de formigas aplicada a um problema de roteamento de veículos: caso da Itaipu Binacional. Dissertação (Mestrado em métodos numéricos em engenharia área de concentração em programação matemática). Setor de tecnologia e ciências exatas, UFPR, Curitiba, TELES, W. M. Sistema adaptativo para web sites baseado no comportamento da formiga. Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação). Instituto de Ciências Exatas, Universidade de Brasília, Brasília, VIEIRA, G. E., MINIKOVSKI, L. J. Otimização do planejamento mestre da produção por metaheurística colônia de formigas. Revista INGEPRO, Santa Maria, v. 1, n. 2, abril