O USO DE QUADRICULADOS NO ENSINO DE GEOMETRIA

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1 O USO DE QUADRICULADOS NO ENSINO DE GEOMETRIA Mércia de Oliveira Pontes UFRN Maria Gilvanise de Oliveira Pontes UECE RESUMO Os diversos tipos de malhas podem ser utilizados como recursos para a introdução intuitiva de conceitos geométricos visando posterior compreensão desses conceitos, propiciando uma aprendizagem significativa da Geometria. Este minicurso objetiva introduzir a geometria de modo intuitivo, encorajando a resolução de problemas e aplicações no mundo real, usando sequências, simetria, congruência e semelhança; elaborar explorações, representações, construções, descobrindo propriedades através de atividades investigativas e desenvolver o pensamento geométrico através da percepção, da visualização espacial e do reconhecimento de formas. Dessa forma pretendemos proporcionar experiências ricas com formas e relações espaciais com o intuito de desenvolver o senso espacial concomitantemente à construção de conceitos geométricos. A atividade destina-se a professores da Educação Básica, licenciandos em Matemática e interessados em conteúdo e metodologia da Matemática. Terá como ponto de partida as atividades perceptivas de manipulação e observação, tendo em vista uma posterior sistematização na forma de classificar figuras pelas suas propriedades e representação e construção do pensamento geométrico. As atividades serão desenvolvidas de acordo com a teoria dos van Hiele para o desenvolvimento do pensamento geométrico. Apóia-se em Ochi et all (1992) e Van de Walle (2009). Palavras-chave: Ensino de Geometria; Pensamento geométrico; Malhas quadriculadas. A GEOMETRIA DO CURRÍCULO ESCOLAR Durante certo tempo, o estudo da Geometria foi considerado necessário à formação intelectual dos indivíduos e ao desenvolvimento da capacidade de hábitos de raciocínio, porem, ainda hoje os matemáticos têm opiniões divergentes quanto ao papel da Geometria no ensino e na pesquisa em Matemática. Segundo Pavanello (1993, p. 7 e 8): Alguns acreditam que ela deve ceder espaço a outros ramos mais em evidência no campo da pesquisa matemática contemporânea. Outros, entretanto, assumem a posição contrária e enfatizam exatamente as relações que a geometria mantém com estes mesmos ramos, bem como sua contribuição valiosa para a construção do conhecimento matemático ao longo do processo de escolarização.

2 A nossa vivência junto à comunidade docente de Matemática tem indicado que a Geometria passou por um abandono nas últimas décadas como pode ser observado em pesquisas desenvolvidas por Pavanello (1993) e Pires; Curi; Campos (2000). A origem do abandono da Geometria deve-se ao Movimento da Matemática Moderna (MMM) que teve iniciou no final da década de cinquenta do século passado, persistindo por toda a década de 60 e início dos anos 70. Nesse ínterim, foi dada destaque às estruturas algébricas e à linguagem simbólica da teoria dos conjuntos. Nesse período, juntamente com o despreparo dos professores para abordar a Geometria via estruturalismo lógico, ainda podemos observar que o fato do conteúdo de Geometria ser apresentado no final do livro também contribuiu para o afastamento da Geometria no currículo escolar, uma vez que na maioria das vezes não era estudado porque não havia tempo. Atualmente, embora os conteúdos aritméticos, geométricos e algébricos estejam mesclados ao longo do livro didático, pesquisas têm encontrado que o professor salta o conteúdo de geometria, certamente porque não o domina ou não tem segurança para abordá-lo. De acordo com Pires; Curi; Campos (2000, p. 15), essa tendência ao abandono também surge como consequência de [...] os professores não têm boas lembranças de seu tempo de estudante, em relação à Geometria. As discussões relativas ao abandono da Geometria no currículo escolar, dentre outros temas, vêm norteando pesquisas voltadas para a melhoria do ensino de Matemática. Pautadas nas propostas de autores como Ochi et. all. (1992) e Van de Walle (2009), optamos por trabalhar através do recurso didático papel quadriculado e diversos tipos de malha para o desenvolvimento dos processos de ensino e de aprendizagem em Geometria na tentativa de superação do ensino tradicional que faz uso de métodos exclusivamente expositivos. Nessa perspectiva o professor baseia-se na crença de que o conhecimento se dá por transmissão em vez de [...] compreender que o conhecimento matemático não se transmite, mas é essencialmente construído pelos alunos (SERRAZINA; MATOS, 1988, p. 1). Nesse segundo entendimento, os autores citados sugerem quatro alterações para que ocorram mudanças:

3 utilização de gestão de sala de aula que contribua para a construção do próprio conhecimento dos alunos; utilização de materiais que permitam uma boa base para a formação de conceitos; ligação da Matemática com o real; abordagem matemática voltada para a resolução de problemas. De acordo com Ochi et all (1992), [...] para isso considera-se imprescindível que ele tenha a oportunidade de fazer explorações, representações, construções, discussões, que ele possa investigar, descobrir, descrever e perceber propriedades, uma vez que o raciocínio geométrico está permeado de habilidades importantes para a percepção mais apurado do mundo circundante ao indivíduo. Tais habilidades promovem no indivíduo uma ação reflexiva perante às questões as quais o mundo o apresenta. Nessa visão, este minicurso objetiva: introduzir a geometria de modo intuitivo, encorajando a resolução de problemas e aplicações no mundo real, usando sequências, simetria, congruência, semelhança, área e perímetro; elaborar explorações, representações, construções, descobrindo propriedades através de atividades investigativas; desenvolver o pensamento geométrico através da percepção, da visualização espacial e do reconhecimento de formas. Muitos recursos podem ser utilizados no ensino de Geometria para a consecução dessas finalidades, dentre eles destacam-se as malhas. TIPOS DE MALHAS Malhas são elementos usados no desenvolvimento de atividades, podendo ser quadriculadas, pontilhadas, triangulares ou outras, como podem ser vistas a seguir. Fonte: Ochi et all (1992, p. 13)

4 Alguns tipos de malhas, preferencialmente as quadriculadas, serão utilizados como recursos para a introdução intuitiva de conceitos geométricos, visando posterior compreensão desses conceitos e propiciando uma aprendizagem significativa da Geometria. Serão desenvolvidas atividades relacionadas com sequências, simetrias, congruências, semelhanças, área, perímetro e visualização espacial. Desse modo, pretendemos proporcionar experiências ricas com formas e relações espaciais com o intuito de desenvolver o senso espacial concomitantemente à construção de conceitos geométricos uma vez que no trabalho com Geometria faz-se necessário que o aluno reconheça figuras, suas relações e suas propriedades. O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO Os indivíduos nem sempre pensam da mesma maneira sobre as ideias geométricas, não são iguais, mas são todos capazes de crescer e desenvolver habilidade de pensar e raciocinar em contextos geométricos. Segundo Van de Walle (2009), as pesquisas dos van Hiele têm favorecido a identificação de diferenças no pensamento geométrico e de como essas diferenças são estabelecidas. O modelo dos níveis de pensamento geométrico de van Hiele consiste numa hierarquia de cinco níveis relacionados aos modos de compreensão de ideias espaciais, a saber: visualização, análise, dedução informal, dedução e rigor. Os níveis indicam como pensamos e quais os tipos de ideias geométricas sobre as quais pensamos. Cada nível possui objetos e produtos de pensamento específicos. Níveis do pensamento Objetos de pensamento Produtos de pensamento geométrico Nível 0 visualização As formas e o que elas parecem Classes ou agrupamentos de formas que são parecidas Nível 1 análise Classes de formas Propriedades das formas Nível 2 dedução informal Propriedades das formas Relações entre as propriedades de objetos geométricos Nível 3 dedução Relações entre as propriedades de objetos geométricos Sistemas axiomáticos dedutivos para a geometria Nível 4 rigor Sistemas axiomáticos dedutivos para a geometria Fonte: Elaboração própria a partir de Van de Walle (2009) Comparações e confrontos entre as diferenças entre diferentes sistemas axiomáticos da geometria

5 Nos níveis do pensamento geométrico, os produtos de pensamento de um determinado nível tornam-se os objetos de pensamento do nível seguinte. Portanto, uma atividade que se encontra em um nível pode ser adaptada para um nível adjacente pela maneira com que ela é apresentada aos alunos. As atividades a seguir foram selecionadas de modo a contemplar alguns dos cinco níveis do pensamento geométricos dentro dos quatro temas formas e propriedade, transformação, localização, visualização nos quais podemos, segundo as orientações do NCTM, agregar os objetivos para o ensino de Geometria. ATIVIDADES PROPOSTAS Atividade 1 Observe cada uma das sequências que seguem, em cada uma dela descubra a regra de formação. Grupo I Fonte: Ochi et all (1992, p ) Grupo II Fonte: Ochi et all (1992, p. 17) Qual a diferença que você notou entre as sequências dos grupos I e II? Atividade 2 Apresente no quadro, no retroprojetor ou data-show seis ou sete sequências. Ensine os alunos a usar um método A, B, C de ler uma sequência. Metade da turma pode fechar seus olhos enquanto a outra metade usa o esquema A, B, C para ler uma sequência que você aponta. Depois de ouvir a regra de formação através do esquema, os alunos que

6 ficaram de olhos fechados examinam as sequências e indicam a sequência que foi lida. Se duas das sequências apresentadas tiverem a mesma estrutura, a discussão pode ser muito interessante. Atividade 3 Copie no geoplano as formas apresentadas nos cartões a seguir: Fonte: Van de Walle (2009, p. 449) Atividade 4 Copie em uma malha quadriculada ou geoplano as formas dos cartões e decomponha-a, corte-a ou divida-a em formas menores congruentes. Fonte: Van de Walle (2009, p. 450) Qual o maior ou menor número de triângulos que preenchem a figura 1? Preencha a figura 2 com três retângulos. Atividade 5 Observe as tecelagens a seguir e indique que ladrilho ou ladrilhos simples forma cada um dos padrões.

7 Fonte: Van de Walle (2009, p. 452) Atividade 6 Desenhe um triângulo retângulo sobre uma folha quadriculada. Desenhe um quadrado sobre cada cateto e a hipotenusa. Descubra a área de cada quadrado. Escreva as áreas dos seus quadrados numa tabela coletiva da turma e juntamente com seus colegas procure por uma relação entre os quadrados. Atividade 7 Copie em uma folha quadriculada as três figuras padrões a seguir e faça, respectivamente, as seguintes translações:horizontal de 4, 8, 12 e 16 unidades; horizontal de 4, 10 e 17 unidades; Vertical de 5 e 10 unidades. Fonte: Ochi et all (1992, p. 19 e 23) O que observou de diferente entre o material produzido pelos itens anteriores? Atividade 8 Em cada um dos quadros, construa a figura simétrica em relação ao eixo indicado. Fonte: Van de Walle (2009, p. 463)

8 Atividade 9 Faça rotações de,, e de volta na figura a seguir, em torno do ponto O. Fonte: Ochi et all (1992, p. 27) Quantos e quais os eixos de simetria de reflexão você pode encontrar na figura obtida? Atividade 10 Desenhe uma pequena figura em forma de L perto de um canto de uma folha quadriculada e em seguida desenhe-a novamente perto do centro da mesma folha na posição que desejar (virado ou girado). Troque sua folha com um colega e descubra alguma combinação de deslizamentos, viradas e giros que transforme a forma no canto da folha na forma desenhada no centro. Atividade 11 Pentaminós são formas construídas por cinco quadrados, cada um tocando outro quadrado e com todos os quadrados compartilhando um lado inteiro. Desenhe em uma malha quadriculada os 12 pentaminós possíveis. Descubra quantas posições diferentes na malha cada peça possui. Descubra uma relação entre as simetrias de reflexão e de rotação para cada peça e o número de posições que ela pode ter na malha quadriculada. Atividade 12 Desenhe em uma malha quadriculada de 2cm um retângulo de dimensões 3 e 4 u.c. Utilizando como unidade de área o triângulo metade do quadrinho que forma o quadriculado, calcule a área do retângulo desenhado. Qual a área do retângulo se tomarmos como unidade de área o quadrinho?

9 Recorte o retângulo em quatro partes seguindo as linhas do quadriculado e monte com essas quatro peças uma nova figura e encontre sua área e seu perímetro. O que você observa em relação às áreas dessas figuras e à área do retângulo original? E em relação ao perímetro? Atividade 13 Considere o retângulo a seguir como unidade de medida. Fonte: Ochi et all (1992, p. 50) Determine a área das figuras. Quais as figuras que possuem área maior que a unidade? Qual estratégia você utilizou para fazer as medições? Atividade 14 Considerando como unidades de medida U, u e a, faça o que se pede: Fonte: Ochi et all (1992, p. 52) Complete o quadro abaixo:

10 Figura D Figura E Área em U Área em u Perímetro em a Construa um retângulo que tenha a mesma área da figura D. O retângulo muda se utilizarmos como unidades U ou u? Construa uma figura que tenha perímetro 4a e área 3u. Atividade 15 Crie uma figura em uma malha quadriculada e em seguida reproduza-a em outras malhas quadriculadas com quadriculado maior e menor que o original. Recorte as figuras e verifique se elas podem ser superpostas. O que aconteceu com a figura original para que formasse as duas reproduções? Justifique sua resposta. Sobreponha os ângulos correspondentes das três figuras. O que você observa? Que relação existe entre as três figuras? REFERÊNCIAS OCHI, H. F. et all. O uso de quadriculados no ensino de geometria. 5. ed, IME-USP, PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké, v. 1, n. 1, mar./ ISSN , p PIRES, C. M. C.; CURI, E.; CAMPOS, T. M. M. Espaço & Forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: PROEM, SERRAZINA, L.; MATOS, J. M. O Geoplano da Sala de Aula. APM: Lisboa, VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicações em sala de aula. Trad. Paulo Henrique Colonese. Porto Alegre: Artmed, 2009.