Notas de Aula de Física

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1 Versão preliminar 8 de janeiro de 004 Notas de Aula de ísica 7. ONDAS - ONDAS E EOS EÁSCOS... ONDAS E PARÍCUAS... ONDAS... ONDAS RANSVERSAS E ONGUDNAS... ONDAS PROGRESSVAS... COPRENO DE ONDA E REQUÊNCA... 4 VEOCDADE DE PROPAGAÇÃO DE UA ONDA... 5 VEOCDADE DE UA ONDA NUA CORDA ESCADA... 6 ENERGA E POÊNCA NUA ONDA PROGRESSVA... 7 O PRNCÍPO DA SUPERPOSÇÃO... 8 NERERÊNCA - ONDAS NO ESO SENDO... 8 NERERÊNCA - ONDAS E SENDO CONRÁRO... 9 Relexão de ondas na extremidade de uma corda... ONDAS ESACONÁRAS E RESSONÂNCA... SOUÇÃO DE AGUNS PROBEAS

2 Pro. Romero aares da Sila 7. Ondas - Ondas em meios elásticos Quando ocê joga uma pedra no meio de um lago, ao se chocar com a água ela criará uma onda que se propagará em orma de um círculo de raio crescente, que se aasta do ponto de choque da pedra. As ondas também podem se propagar em um corda esticada, presa por suas extremidades; se introduzirmos uma perturbação num ponto qualquer dessa ela se propagará ao longo da corda. Esses são dois exemplos de ondas que necessitam de um meio para se propagar. O som necessita de um meio para se propagar. A luz também é uma onda, e em particular uma onda eletromagnética. Ondas eletromagnéticas podem se propagar em um meio ou no ácuo. Ondas e partículas Escreer uma carta ou usar o teleone são duas maneiras de se entrar em contato com uma amiga numa cidade distante. A primeira opção (a carta) enole o conceito de partícula. Um objeto material se desloca de um ponto para outro, carregando consigo a inormação e energia. A segunda opção (o teleone) enole o conceito de onda. Numa onda, inormação e energia se deslocam de um ponto para outro, mas nenhum objeto material está realizando esta iagem. Em uma onda não existe o transporte de matéria Ondas As ondas no mar moem-se com elocidade perceptíel. as cada partícula de água meramente oscila em torno de seu ponto de equilíbrio. As partículas descreem um moimento circular e temos uma combinação de um moimento na direção de moimento da onda com um moimento perpendicular à direção de moimento da onda. Ondas transersais e longitudinais nicialmente a corda está esticada horizontalmente e em repouso. ntroduz-se um perturbação de modo a se criar uma corcoa na corda, e a onda dessa orma se propaga. Depois da passagem da perturbação por um dado pedaço da corda ela retornará a sua situação original de repouso. Cap 7

3 Pro. Romero aares da Sila Numa corda esticada temos a propagação de ondas transersais. Nas ondas transersais, o meio no qual a onda se propaga oscila na direção perpendicular à direção de propagação da onda. Se isolarmos para obseração um elemento de corda, ele oscilará para cima e para baixo enquanto a onda se propagará horizontalmente. Por outro lado, se considerarmos uma mola, teremos a propagação de ondas longitudinais. Nas ondas longitudinais, o meio no qual a onda se propaga oscila na direção de propagação da onda. Um exemplo típico de onda longitudinal é mostrado ao lado, onde pulsos periódicos estão sendo comunicados à uma mola Ondas progressias Vamos considerar um pulso em orma de corcoa se propagando em uma corda. No instante t 0, o pulso tem o ormato da esquerda e num instante t posterior o pulso mantee o mesmo ormato, mas se moeu para a direita. x(0) x(t) x'(t) A unção que descree o ormato da corda em t 0 é dada por: (x,0) (x) Num instante posterior t, a unção que descreerá a orma da corda é dada por: (x,t) (x') Se o pulso na corda moe-se com elocidade com elocidade, depois de um tempo t, todos os pontos da corcoa moer-se-ão de uma distância t. Se estiermos obserando um dado ponto especíico da corcoa, por exemplo onde ela tem metade do alor máximo. Em t 0 esse ponto está distante de x da coordenada do ponto de máxima altura, mas num tempo t posterior ele estará distante x' do máximo, que se moeu de t com toda a corcoa. A relação entre essas grandezas é tal que: x x' + t x' x - t Cap 7

4 Pro. Romero aares da Sila Desse modo teremos que para uma onda progressia que se moe no sentido positio do eixo x, ( x, ) ( x - t ) Uma onda progressia, independente da sua orma, depende de x e t como mostrado na equação anterior. Por outro lado, se tiéssemos uma onda progressia iajando para a esquerda (quer dizer na direção negatia do eixo x ), ela teria uma dependência uncional em x e t da orma: ( x, ) g( x + t ) Se tiéssemos ondas progressias iajando nos dois sentidos, elas seriam representadas uncionalmente por: ( x, ) ( x - t ) + g( x + t ) Comprimento de onda e requência Se estiermos obserando a propagação de uma onda harmônica em uma corda, denominamos comprimento de onda distância entre dois pontos equialentes consecutios. Na igura ao lado consideramos o comprimento de onda como a distância entre dois máximos consecutios. Se estiermos obserando um pequeno pedaço da corda enquanto uma onda harmônica se propaga, notaremos que esse elemento de corda irá se moer para cima e para baixo.,0 Se medirmos cada posição desse pedaço de corda à medida que o tempo eolui, ao desenhar o gráico das posições desse pedaço ersus o tempo encontraremos uma cura do tipo mostrado à esquerda. 0,5 0,0 Y -0,5 0,0 0,5,0,5,0 Denominamos período o -,0 tempo entre dois pontos equialentes consecutios. Na igura ao t lado consideramos o período como a distância entre dois máximos consecutios. Cap 7 4

5 Pro. Romero aares da Sila Velocidade de propagação de uma onda Um caso particular muito importante de onda progressia tem a orma de uma senóide:,0 0,5 (x,t) sen(kx - wt) No instante t 0 a unção tem a orma da cura de traço contínuo e para um tempo posterior t a unção tem a orma da cura tracejada. Chamamos a grandeza k de número de onda (ou etor de onda) e o deinimos como: π k Chamamos w de requência angular e a deinimos como: Y 0,0 0,00 0,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00-0,5 -,0 X w π Chamamos de ase ϕ(x,t) o argumento da senóide, ou seja: ϕ(x,t) kx - wt Um ponto de ase constante ocupa uma certa posição relatia na onda. Se marcarmos um certo ponto de máximo e passarmos a acompanhá-lo, iremos eriicar que mesmo com a onda se moimentado á medida que o tempo eolui, a ase daquele máximo se mantém constante. Assim, se quisermos calcular a elocidade com que uma onda se propaga deemos acompanhar um dado ponto dela, ou seja um ponto de ase constante: ϕ(x,t) kx - wt constante dx dx w k w 0 dt dt k Cap 7 5

6 Pro. Romero aares da Sila Velocidade de uma onda numa corda esticada Para calcular a elocidade de uma onda em uma corda amos considerar um pequeno pulso se propagando da esquerda para a direita em uma corda de densidade linear de massa e que é esticada atraés de uma tensão aplicada nas suas extremidades. No sentido de acilitar a isualização apresentamos à seguir uma ampliação do pequeno pulso que se propaga. Vamos analisar um pequeno pedaço de comprimento na parte superior do pulso. esse pedaço pode se considerado aproximadamente com o ormato de um arco de círculo de raio R e deinindo um pequeno ângulo. A análise icará adequada aos nossos propósitos se obserarmos o moimento do pulso em um reerencial que o acompanha com mesma elocidade. Neste reerencial que se moe com elocidade! em relação aos suportes que prendem a corda, obseramos a corda se moer e tomar a orma de pulso. Se obserarmos apenas o pedaço de comprimento eremos que momentaneamente ele tem uma trajetória circular. eremos a percepção de um pulso congelado e a corda escorregando atraés dele, como se existisse um tubo na orma de pulso e a corda escorregasse por dentro desse pulso. Como as orças que atuam na corda não se alteram deido a essa mudança de reerencial, temos que é nula a resultante horizontal das orças que atuam no pedaço de corda e é não nula a resultante ertical. E como no reerencial que se moe com elocidade! o pedaço de corda descree moimento circular, esta resultante ertical é a orça centrípeta que atua neste pedaço de corda.! / /!! E D ogo: D cos E cos 0 D sen + E sen R Como a tensão da esquerda E é igual à tensão da direita D, ou seja: E D temos que: sen R Cap 7 6

7 Pro. Romero aares da Sila Considerando que o ângulo é muito pequeno, temos que: e por outro lado: logo: sen R R R m R m R R m Energia e potência numa onda progressia Quando consideramos a propagação de uma onda progressia em uma corda o moimento oscilatório de um elemento de corda será no sentido perpendicular à sua propagação. eando em conta que o deslocamento de um elemento de corda que se encontra na posição x no instante t é dado por (x,) (x,t) sen(kx - wt) esse elemento de corda deslocar-se-á transersalmente com uma elocidade dada por u(x,t) : ( x, t) u( x, t) w cos( kx wt) t Num dado instante a porção da corda à esquerda deste elemento de corda, exerce nele uma orça transersal à direção de propagação dada por Y sen Considerando que os ângulos enolidos serão muito pequenos, podemos aproximar! Y tan x x Portanto, a potência transmitida a um elemento de corda especíico por seu izinho da esquerda é dada pelo produto da orça exercida pela elocidade desse elemento: P x t ( x, t) ( x, t) u( x, t) [ k cos( kx wt) ][ w cos( kx wt] Y ( x, t) w k [ cos( kx wt) ] P Cap 7 7

8 Pro. Romero aares da Sila Para uma análise global da propagação da onda na corda é interessante que saibamos qual o alor médio da potência comunicada por um elemento ao seu izinho, e esse resultado é o luxo de energia na corda por unidade de tempo. Considerando que: τ [ cos( kx wt] dt [ cos( kx wt) ] τ 0 onde usamos que τ é o período da unção, e desse modo: onde usamos que e w k. P P ( x t) w, O Princípio da Superposição Quando estamos ouindo uma orquestra chegam simultaneamente aos nossos ouidos os sons de todos os instrumentos que estão sendo tocados num dado instante. sto signiica que uma o mais ondas sonoras podem se propagar ao mesmo tempo numa dada região do espaço. O eeito global que percebemos será a soma dos eeitos que cada uma das ondas produziria se estiesse se propagando isoladamente. Chamamos de princípio da superposição ao eeito global ser a soma dos eeitos isolados, como se depreende da igura ao lado que represente a interação entre duas ondas progressias em uma corda. Num dado instante as ondas iajam uma na direção da outra, produzem um eeito cumulatio ao se encontrar, e depois disso se aastam com o ormato original. ntererência - ondas no mesmo sentido Vamos considerar o eeito da interação entre duas ondas que iajam no mesmo sentido. Para simpliicar a análise, sem perder muito em generalidade, amos considerar que essas ondas tenham mesma requência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude, mas tenham uma deasagem. A primeira onda tem constante de ase nula e a segunda onda tem constante de ase ϕ. Elas têm a orma: (x,t) sen(kx - wt) (x,t) sen(kx - wt + ϕ) Cap 7 8

9 Vamos usar a identidade trigonométrica: Pro. Romero aares da Sila α + β α senα + sen β sen cos A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja: β logo: ( x, t) (x,t) (x,t) + (x,t) ϕ ϕ cos sen kx wt + A onda resultante tem uma amplitude modiicada de acordo com o alor da dierença de ase entre as ondas ormadoras. Alguns casos simples podem ser analisados acilmente: a. ϕ 0 (x,t) sen(kx - wt) Esse é um exemplo de uma intererência construtia, as ondas se somam de modo a alcançar a maior amplitude possíel. b. ϕ π (x,t) 0 Esse é um exemplo de uma intererência destrutia, as ondas interagem e o resultado é a anulação de uma pela outra. ntererência - ondas em sentido contrário Vamos analisar o resultado da interação entre duas ondas que se propagam em sentidos contrários (x,t) sen(kx - wt) (x,t) sen(kx + wt) Para simpliicar a análise, sem perder muito em generalidade, amos considerar que essas ondas tenham mesma requência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude, e mesma constante de ase. Noamente amos usar a identidade trigonométrica: α + β α senα + sen β sen cos Cap β

10 Pro. Romero aares da Sila A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja: logo: (x,t) (x,t) + (x,t) (x,t) [ sen(kx) ] cos(wt) Esta não é uma onda progressia, porque não depende de x e t na orma (kx -wt) mas no entanto a corda oscila para cima e para baixo. Existem alguns pontos na corda onde a amplitude é máxima, e eles são localizados quando kx assumem alores múltiplos ímpares de π/. Ou seja: kx π π 5π π ; ; kx n ( n + ) n + π ; 0;;;; " A partir do resultado anterior podemos encontrar os alores de x para os quais a amplitude é máxima. Esse pontos são chamados antinodos. emos que k π/, logo x N n + ; n 0;;;;" Por outro lado existem pontos onde a amplitude de oscilação é sempre nula, ou seja: a corda não se moe. Esses pontos são localizados quando kx assume alores múltiplos de π. kx 0 ; π;π ;π ;" kx nπ ; n 0;;; ;" A partir do resultado anterior podemos encontrar os alore de x para os quais a amplitude é nula. Esse pontos são chamados nós. emos que k π/, logo x N n ; n 0;;;;" Cap 7 0

11 Pro. Romero aares da Sila Relexão de ondas na extremidade de uma corda Uma corda pode ter a sua extremidade presa a um ponto ixo ou a uma presilha móel. Uma onda quando incide na extremidade de uma corda será reletida de um modo quando tem-se a extremidade ixa e de modo dierso quando a extremidade é móel. As duas situações podem ser istas nas iguras izinhas, e uma dedução desses resultados pode ser encontrada no Vol do Curso de ísica Básica de H osés Nussenzeig. Ondas estacionárias e ressonância Quando uma presa por ambas as extremidades é posta para ibrar em certa requência as ondas se propagam nos dois sentidos ormando um padrão de intererência, como já oi analisado anteriormente. Para algumas requências especíicas a corda entra em ressonância, e acontecem as ondas estacionárias Na primeira igura à direita temos uma onda estacionária com três nós intermediários. O nó é um ponto onde a corda não se moimenta. Obiamente, as extremidades são dois nós. Numa onda estacionária, essa situação deine o primeiro padrão de oscilação, ou seja: / Cap 7

12 É um padrão de oscilação onde a onda estacionária tem meio comprimento de onda. Num segundo padrão de oscilação temos um nó intermediário e desse modo: É um padrão de oscilação onde a onda estacionária tem um comprimento de onda. Num terceiro padrão de oscilação temos dois nós intermediário e desse modo: É um padrão de oscilação onde a onda estacionária tem três meios comprimentos de onda. / Pro. Romero aares da Sila Podemos generalizar dizendo que a condição para existir um padrão de oscilação para uma onda estacionária é que: n N n Já mostramos anteriormente que: as para uma corda presa pelas extremidades, apenas algumas requências especíicas podem desenoler uma onda estacionária, portanto: N n N n Essas requências especíicas são chamadas requências de ressonância, e como pode-se notar elas são múltiplas de uma certa requência mais baixa (n). Chama-se a requência mais baixa (n) de undamental ou primeiro harmônico. O segundo harmônico corresponde a (n). Chama-se série harmônica o conjunto dos possíeis modos de oscilação, enquanto n é chamado de número harmônico. Cap 7

13 Pro. Romero aares da Sila Solução de alguns problemas Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição 05 ostre que (x,t) sen(k x - w t) pode ser reescrito nas seguintes ormas alternatias: a) (x,t) sen[k (x - t)] kx wt k x w k t k ( x t) b) (x,t) sen[π (x / - t)] kx wt π x π t x π t c) (x,t) sen[w (x / - t) ] kx wt d) (x,t) sen[π [x / - t / )] w x wt w x t kx wt π π x t x π t Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 4 a. edição 09 Um pulso isolado, cuja orma de onda é dado pela unção h(x - 5 t) é mostrado na igura à seguir para t 0, onde x é dado em centímetros e t é dado em segundos. a) Qual a elocidade de propagação deste pulso? Um ponto com ase constante na onda é deinido por: 4 ϕ(x,t) x - 5 t cte A elocidade desse ponto é a elocidade da onda, logo: h(x) dx +5cm / s dt t X Cap 7

14 Pro. Romero aares da Sila b) Qual o sentido de propagação deste pulso? O sentido positio do eixo x. c) race o gráico h(x - 5 t) como uma unção de x para t s. Como é uma onda progressia em um meio não dispersio e sem atenuação, a orma da onda manter-se-á a mesma. Assim, basta calcular onde um ponto do pulso ai estar. Vamos escolher o ponto mais à esquerda da onda que se encontra na posição inicial cm. t 5s No interalo de tempo t s esse ponto moe-se de, onde A posição inal desse ponto será: t 5. 0cm cm d) race o gráico h(x - 5 t) como uma unção de t para x 0cm. Seja t E o tempo necessário para que a parte da esquerda do pulso alcance o ponto x 0cm. O máximo do pulso já passou por esse ponto um tempo t anterior e a parte da direita do pulso já passou um tempo t D. emos três tempos característicos t E ; t t E + t e t D t E + t D. h(x-t) 4 h(x-t) 0 t X ,4,6,8,0, t,4,6,8,0 d 0 5 E E, 8 x 0cm x t 0,4s t t E + t, s 5 x D 4 t D 0,6s t D t D + t, 4s 5 Cap s

15 Pro. Romero aares da Sila Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 4 a. edição A equação de uma onda transersal se propagando em uma corda é dada por: (x,t) (,0mm) sen[(0m - )x - (600s - )t] a) Ache a amplitude, requência, elocidade e comprimento de onda.,0mm w 600rad/s w/π 95,5Hz k 0rad/m π/k 0,m w/k 0m/s b) Ache a elocidade escalar máxima de uma partícula da corda. u( x, t) ( x, t) t ( 600s )(,0 mm) cos[ ( 0m ) x ( 600s ) t] u 00mm/s,m/s Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição A tensão num io preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança consideráel em seu comprimento. Qual é a razão entre as elocidades das ondas transersais nesse io, antes e depois do aumento de tensão?! A elocidade de propagação de uma onda numa io é dada por:! Como o io não oi alterado, não aconteceu mudança nas densidades de massa, logo:,44 Cap 7 5

16 Pro. Romero aares da Sila Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição A densidade linear de uma corda ibrante é,6x0-4 kg/m. Uma onda transersal se propaga na corda e é descrita pela seguinte equação: (x,t) (0,0m) sen[(,0m - )x + (0s - )t] a) Qual é a elocidade da onda? w/k 5m/s b) Qual é a tensão na corda?,6x0-4 kg/m w 0rad/s k rad/m 0,06N Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 4 a. edição 5 Proe que, se uma onda transersal está se propagando ao longo de uma corda, então a inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente igual à razão entre a elocidade escalar da partícula e a elocidade da onda naquele ponto (x,) sen(kx - wt) elocidade da onda w/k u(x,t) elocidade de um elemento de corda ( ) ( x, t) u x, t w cos( kx wt) t x tan inclinação da corda tan ( x, t) x k cos( kx wt) k u( x, t tan u( x, t) ) w Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição 0 Na igura à seguir a corda tem uma densidade linear,0g/m e a corda tem uma densidade linear 5,0g/m. Elas estão sob tensão deido a um bloco suspenso de massa 500g. Cap 7 6

17 Pro. Romero aares da Sila a) Calcule a elocidade da onda em cada corda.,0g/m 5,0g/m 500g Corda Corda As tensões e que distendem as cordas são iguais porque as cordas estão conectadas e esticadas pela ação da massa. Dito de outra orma: g Nó Estamos aptos a calcular as elocidades de propagação de uma onda em cada uma das cordas: 8,57m / s,m / s b) O bloco agora é diidido em dois (com massas + ), de acordo com a coniguração á seguir. Determine as massas e para que as elocidades de uma onda nas duas cordas sejam iguais. g Corda Corda g Como, temos: 5 5 as + 500g, logo 87,5g e,5g Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição Uma corda uniorme de massa m e comprimento está pendurada no teto. Cap 7 7

18 Pro. Romero aares da Sila Cap a) ostre que a elocidade de uma onda transersal na corda é unção de, a distância até a extremidade mais baixa, e é dada por g. Vamos considerar um elemento de corda de comprimento. Existem duas orças atuando nesse elemento: o pedaço acima puxa o elemento com uma orça, que é uma reação à orça peso do elemento de corda mais o pedaço abaixo. A segunda orça é o peso de pedaço abaixo do elemento de corda. Seja a resultante das orças que atuam no elemento de corda: + cos cos sen sen Y X Y /!!! / X onde ( ) m e g g + Por outro lado, amos considerar que a onda tenha uma amplitude pequena comparada com o seu comprimento, de modo que o ângulo possa ser considerado pequeno: << cos sen ; R se R ( ) ( ) ( ) ( ) cos sen R g R g R g g Y X Considerando que se << teremos que >> ( ), então teremos que:

19 Pro. Romero aares da Sila X g R Y 0 R X g R No entanto, em um reerencial que esteja se moimentando com a mesma elocidade do pulso, o elemento de corda tem moimento circular com aceleração centrípeta dada por: e desse modo encontramos que: R ( ) R g R R R ( ) g b) ostre que o tempo que uma onda transersal lea para percorrer o comprimento da corda é dado por t. g d dt g dt d g t dt' 0 0 d g t g 0 d g t g Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição 7 Duas ondas idênticas que se propagam, deslocando-se no mesmo sentido, têm uma dierença de ase de π/rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum das duas ondas? (x,t) sen(kx - wt) (x,t) sen(kx - wt + π/) (x,t) (x,t) + (x,t) as: logo: (x,t) (x,t) [ sen(kx - wt) + sen(kx - wt + π/) ] α + β α senα + sen β sen cos β π α + π π senα + senα + sen cos 4 Cap 7 9

20 Pro. Romero aares da Sila Cap e portanto + 4 sen 4 cos ), ( π π wt kx t x A amplitude A desta onda resultante é dada por: 4 cos A A π Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição Uma corda sob tensão, oscila no terceiro harmônico com uma requência, e as ondas na corda têm comprimento de onda. Se a tensão or aumentada para 4 e a corda or noamente leada a oscilar no terceiro harmônico, a) qual será a requência de oscilação em termos de? 4 n n N N n n N N N b) qual será o comprimento de onda em termos de? i i Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição 4 Duas ondas senoidais com amplitudes e comprimentos de onda idênticos se propagam em sentidos contrários ao longo de uma corda, com elocidade escalar de 0cm/s. Se o interalo de tempo entre os instantes em que a corda ica retilínea é 0,50s, quais os seus comprimentos de onda?

21 Pro. Romero aares da Sila (x,t) sen(kx - wt) (x,t) sen(kx + wt) (x,t) (x,t) + (x,t) [ sen(kx - wt) + sen(kx + wt) ] α + β α senα + sen β sen cos (x,t) sen(kx) cos(wt) O interalo de tempo entre os instantes em que a corda ica retilínea é igual à meio período, logo: t / 0,50s s 0cm/s 0,m/s (0,) () 0,m Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição 5 Uma corda ixada em ambas as pontas tem 8,40m de comprimento, com uma massa de 0,0kg. Ela está submetida a uma tensão de 96N e é colocada em oscilação. a) Qual a elocidade escalar das ondas na corda? 8,97m/s b) Qual o mais longo comprimento de onda possíel para uma onda estacionária? c) Dê a requência dessa onda. 8,4m 0,0kg 96N Cap 7 β ax / ax ax 6,8m / ax 4,87Hz Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 4 a. edição 8 Uma onte S e um detetor de ondas de rádio D estão localizados ao níel do solo a uma distância d, conirme a igura à seguir. Ondas de rádio de comprimento chegam a D, pelo caminho direto ou por relexão numa certa camada da atmosera. Quando a camada está numa altura H, as duas ondas chegam em D exatamente em ase. À medida que a camada sobe, a dierença de ase entre as duas ondas muda, gradualmente, até estarem exatamente ora de ase para uma altura de camada H + h. Expresse o comprimento de onda em termos de d, h e H.

22 Pro. Romero aares da Sila Vamos deinir as grandezas: d distância entre a onte e o receptor. h d distância percorrida pelo som ao ser reletido numa altura H. H d distância percorrida pelo som ao ser reletido numa altura H + h. Desse modo temos que: S d / d / D d d d H d d + d d + 4H d + d ( H + h) + 4( H + h) + d d d - d n ntererência construtia d d - d ( n + / ) ntererência destrutia d - d / ( d - d ) ( H + h) + d 4H + 4 d Capítulo 7 - Hallida, Resnick e Walker - 6 a. edição 40 Dois pulsos se propagam ao longo de uma corda em sentidos opostos, como na igura à seguir. a) Se a elocidade da onda,0m/s e os pulsos estão a uma distância de 6,0cm em t 0, esboce os padrões resultantes para t 5 ; 0 ; 5 e 0ms. Vamos chamar de x (t) a localização do máximo do pulso, x (t) a localização do máximo do pulso, e D(t) a separação entre os máximos. d! +! x nicialmente os pulsos estão localizados nas posições x 0 e x 0 respectiamente, e eles se moem com elocidade, logo Cap 7

23 Pro. Romero aares da Sila e portanto e Podemos dizer que: x (t) x 0 +t x (t) x 0 - t D(t) x (t) - x (t) D(0) x 0 - x 0 d 6,0cm D(t) (x 0 - x 0 ) - t d - t Os pulsos terão seus máximos no mesmo ponto quando D(t E ) 0, ou seja: d - t E 0 t E d / 0,05s 5ms Para t < t E os dois pulsos estão se aproximando um do outro. Quando t t E os máximos dos pulsos estão na mesma posição e tem lugar uma intererência destrutia Neste instante a corda tem a orma de uma linha reta. D(t)! +! D(t) x Quanto t > t E os dois pulsos estão se aastando um do outro!! + x b) O que aconteceu com a energia em t 5ms? Neste instante a corda tem a orma de uma linha reta e aparentemente não existem pulsos na corda. as é como se a energia dos pulsos estiesse armazenada em orma de energia potencial. Cap 7