23 - Campo Magnético

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1 PROLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departaento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo Últia atualização: 8/11/006 15:00 H 3 - Capo Magnético Fundaentos de Física Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996 Cap O Capo Magnético Física Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996 Cap O Capo Magnético Física Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 003 Cap. 3 - O Capo Magnético Prof. Anderson (Itacaré, A - Fev/006)

2 HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3 CAPÍTULO 30 - O CAMPO MAGNÉTICO EXERCÍCIOS E PROLEMAS Halliday, Resnick, Walker - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 30 O Capo Magnético

3 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA 3 CAPÍTULO 34 - O CAMPO MAGNÉTICO PROLEMAS U elétron te velocidade v = 40i 35j k/s, nu capo agnético unifore. Sabendo-se que x = 0, calcule o capo agnético que exerce sobre o elétron ua força F = 4,i 4,8j fn. (Pág. 149) A força agnética é dada pela expressão: F = qv Podeos desenvolver a expressão acia, substituindo-se o valor dado de v e ua expressão genérica para (lebre-se que x = 0): ( x y ) ( y z ) F = q v i v j j k Operando-se o produto vetorial, tereos: F = q( vyzi vxzj vxyk) Coo a expressão da força dada no enunciado não possui coponente k, teos: ( y z vxz ) F = q v i j Substituindo-se por valores nuéricos: ( 1,60 C) ( 35 /s) z ( 40 /s) ( 5, 60 C./s) z ( 6, 40 C./s) z F = i 10 j z F = 10 i 10 j Coparando-se co o valor dado de F: ( ) ( F = 4, 10 N i 4,8 10 N)j Conclui-se que: ( 10 ) = ( 10 ) 4, N 5, 60 C./s z z = 0,75 T 3

4 Coo só possui coponente e z, teos: = ( 0,75 T) k 10. U elétron te ua velocidade inicial de 1,0j 15,0k k/s e ua aceleração constante de (, /s )i no interior de ua região onde existe u capo elétrico e u capo agnético unifores. Deterine o capo elétrico E, sabendo-se que = 400i μt. (Pág. 150) A força resultante F sobre o elétron é a soa da força elétrica F E co a força agnética F. F = FE F =ea qe qv = e a e E= a v q Substituindo-se por valores nuéricos: 31 ( 9,11 10 kg) ( ) ( 1, 00 /s ) i 19 1, C 3 3 ( ) ( ) ( E= , 0 10 /s j 15, 0 10 /s k T i ( 11,3875 N/C) ( 6,00 N/C) ( 4,80 N/C) E= i j ( ) E 11, 4i 6, 00j 4,80 k N/C k ) 1. U elétron co 1, kev está circulando nu plano ortogonal a u capo agnético unifore. O raio da órbita é 4,7 c. Calcule (a) a velocidade escalar do elétron, (b) o capo agnético, (c) a freqüência de revolução e (d) o período. (Pág. 150) 15. Ua partícula alfa (q = e, = 4,0 u) se ove e ua trajetória circular co 4,5 c de raio, nu capo agnético co = 1, T. Calcule (a) sua velocidade escalar, (b) seu período de revolução, (c) sua energia cinética e ev e (d) a diferença de potencial necessária para que a partícula alcance essa energia. (Pág. 150) (a) A força agnética F que atua sobre a partícula assue a função da força centrípeta Fc do oviento circular. Logo: F = F c 4

5 v r = ev 19 ( 10 )( )( ) er 1,60 C 0,045 1,0 T v = = = 10 6 v, 6 10 /s 7 ( 6, kg) (b) O período de revolução da partícula vale: ( ) π r π 0,045 T = = = 10 v T 0,11 μs 6 (, /s) 7 1, 0864 s 6, 604 /s (c) A energia cinética da partícula vale: 1 1 ( 6,64 7 kg 6 )(,604 /s ),484 K = v = = J ev 5 K =, J 6,4 10 = 1, ev J K 0,14 MeV (d) A diferença de potencial necessária para que a partícula alfa atinja a energia K é dada pela razão entre a energia da partícula, representada por K e a sua carga q: 14 (, J) 19 ( 10 ) K K Δ V = = = = 706, V q e 1,60 C ΔV 70 kv 16. U feixe de elétrons, cuja energia cinética é K, eerge de ua lâina fina na janela da extreidade do tubo de u acelerador. Existe ua placa de etal, perpendicular à direção do feixe eergente, a ua distância d desta janela. Veja Fig. 30. (a) Mostre que podeos evitar que o feixe colida co a placa aplicando u capo agnético, tal que K, ed onde e e são a assa e a carga do elétron. (b) Qual deve ser o sentido de? 5

6 y z x (Pág. 150) (a) Para seguir a trajetória descrita no esquea acia, o feixe de elétrons deve interagir co u capo agnético que tenha a direção z. A trajetória será circular co raio d e força centrípeta F c igual à força agnética F sobre os elétrons. F = F c v ev d = v = ed v = (1) ed A velocidade v dos elétrons pode ser obtida a partir da energia cinética K: 1 K = v K v = () Substituindo-se () e (1): K K = = ed ed K = (3) ed Para este valor de capo agnético o feixe de elétrons irá tangenciar a placa etálica. U valor aior de auentará a força centrípeta que, por sua vez, reduzirá o raio da trajetória circular. Isto fará co que o feixe se afaste da placa etálica. Portanto, valores aiores de, dado por (3) tabé são soluções para este problea. Logo: K ed (b) Vetor capo agnético: = K ed k 6

7 . A Fig. 3 ostra u dispositivo usado para edir as assas dos íons. U íon de assa e carga q é produzido basicaente e repouso pela fonte S, a partir de ua descarga através do gás no interior de ua câara. O íon é acelerado por ua diferença de potencial V e penetra u capo agnético. Ele se ove no interior do capo e seicírculo, colidindo co ua chapa fotográfica a ua distância x da fenda de entrada. Mostre que a assa do íon é dada por q = x., 8V (Pág. 150) O oviento do íon no interior da câara é circular, sendo que a força centrípeta F c é a força agnética F : F c = F v v v qv r = x = x = q = x v q = x (1) 4v Agora precisaos deterinar a velocidade do íon na câara. No início do experiento, o íon parte do repouso e é acelerado pela diferença de potencial V. O íon fica sujeito a u oviento co aceleração constante, que pode ser descrito por: v v ad = 0 Na Eq. (), a velocidade inicial v 0 é zero, pois o íon parte do repouso. A aceleração a pode ser obtida por eio da seguinte operação, onde F E é a força elétrica que age no íon, E é o capo elétrico na região onde o íon é acelerado e d é a distância que o íon percorre durante o tepo de aceleração: () 7

8 V q FE qe d qv a = = = = (3) d Substituindo-se (3) e (): qv qv v = d d = (4) Substituindo-se (4) e (1): q = x qv 4 q = 8V x 5. Ua partícula neutra está e repouso nu capo agnético unifore de ódulo. No instante t = 0 ela decai e duas partículas carregadas de assa cada ua. (a) Se a carga de ua das partículas é q, qual a carga da outra? (b) As duas partículas sae e trajetórias distintas situadas nu plano perpendicular a. Moentos depois as partículas colide. Expresse o tepo, desde o decaiento até a colisão, e função de, e q. (Pág. 151) 6. U dêuteron se desloca no capo agnético de u cíclotron percorrendo ua órbita de 50 c de raio. Devido à leve colisão co u alvo, o dêuteron se divide e u próton e u nêutron, co ua perda de energia cinética desprezível. Discuta os ovientos subseqüentes de cada partícula. Suponha que, na quebra, a energia do dêuteron seja igualente dividida pelo próton e pelo nêutron. (Pág. 151) 7. (a) Qual a velocidade escalar que u próton necessitaria para circular a Terra na altura do equador, se o capo agnético da Terra é sepre horizontal e perpendicular ao equador naquela região? Deve ser considerados os efeitos relativísticos. Adita que o ódulo do capo agnético da Terra, na altura do equador é 41 μt. (b) Represente os vetores velocidade e capo agnético que corresponde a essa situação. (Pág. 151) 8

9 33. Calcule a distância total percorrida por u dêuteron, nu cíclotron, durante o processo de aceleração. Suponha que o potencial entre os dês é de 80 kv, o raio dos dês, 53 c, e a freqüência do oscilador, 1 MHz. (Pág. 151) Nossa abordage consiste e soar o copriento de cada ua das trajetórias percorridas pelo dêuteron no ciclotron. Considere o seguinte esquea: v4 v r3 s4 r4 s r v0 r1 s1 v1 s3 v3 d A trajetória total (S) do dêuteron consiste na soa de N trajetórias parciais s i (s 1, s,..., s N ), que corresponde cada ua delas a eias circunferências, cada qual co raio r i (r 1, r,..., r N ). Logo: N N N ri S = s = πr = π i i i= 1 i= 1 i= 1 O raio de cada trajetória pode ser obtido pela análise da freqüência natural f de rotação da carga no interior do cíclotron, e que T é o período (constante) de rotação: 1 v f = = T π r v r = π f O valor de cada raio r i (r 1, r,..., r N ) depende do valor correspondente de cada velocidade v i (v 1, v,..., v N ). Logo: vi r = i π f () Substituindo-se () e (1): N vi 1 S = π = π f f N vi (3) i= 1 i= 1 Agora só falta deterinar v i e N para copletar o cálculo. Supondo que o dêuteron parte do repouso (v 0 = 0) a partir do centro do cíclotron, a velocidade v 1 será dada por: v v ad 1 = 0 Nesta equação, a é a aceleração sofrida pelo dêuteron a cada passage pela zona central do cíclotron, onde o capo elétrico atua sobre ele, e d é a distância de separação dos dês. A aceleração pode ser obtida a partir da força elétrica, por aplicação da segunda lei de Newton: (1) (4) 9

10 FE = a V qe = q = a d qv a = (5) d Substituindo-se (5) e (4): qv v1 = v0 O valor de v 1 é: v qv 19 3 ( )( ) ( 3,34 10 kg) 1,60 10 C V 6 1 = 0 = =, /s 7 De fora geral, tereos: qv vi = vi 1 Vaos analisar ua pequena série de valores de v: qv qv qv 4qV qv v = v1 = = = = v1 qv 4qV qv 6qV qv v3 = v = = = 3 = v1 3 E assi por diante. Logo: v = v i (5) i 1 A aior velocidade que o dêuteron poderá atingir será v N, o que corresponderá a u raio r N, que é conhecido, pois é o próprio raio do cíclotron. Podeos aplicar este raciocínio cobinando as Eqs. () e (5): r N vn v1 N = = π f π f 1 6 ( ) ( ) 6 (, /s) 4π f r N 4π 1 10 Hz 0,53 N = = = 08,34 eias-voltas v N 08 eias-voltas Finalente podeos calcular a trajetória total substituindo (5) e (3): 6 (, /s) ( ) 1 v S = v i = i = ( 006,89 ) = 31,504 f 1 10 Hz S 30 N i= 1 f i= Mostre que a razão entre o capo elétrico Hall E e o capo elétrico E c, responsável pela corrente, é 10

11 Probleas Resolvidos de Física E E c =, neρ onde ρ é a resistividade do aterial. (b) Calcule nuericaente a razão, no Exeplo 3. Veja Tabela 1, no Cap. 3. (Pág. 15) Considere o seguinte esquea: i Ec vd FE F E Quando ua corrente elétrica i trafega por ua chapa etálica sujeita a u capo agnético ortogonal à chapa, ua força agnética F atua sobre os elétrons, forçando-os para ua das laterais da chapa (direita, no esquea acia), sendo que o lado oposto fica carregado positivaente. A separação das cargas gera u capo elétrico (capo elétrico Hall, E) que tabé age sobre os elétrons, por eio de ua força elétrica FE, forçando-os no sentido oposto ao da força agnética. No equilíbrio eletroagnético, tereos: F E = F ee = ev d d E = v Na expressão acia, e é carga dos elétrons e v d é a velocidade de deriva dos elétrons na chapa etálica, que está relacionada co a densidade de corrente J por eio da seguinte expressão: Ec J = nevd = ρ Na expressão acia, E c é o capo elétrico que age na direção da corrente elétrica, sendo este capo o responsável pela corrente, n é o núero de portadores de carga por unidade de volue e ρ é a densidade de corrente. Resolvendo-se para E c : Ec = neρv d () Dividindo-se (1) por (): E E c = neρ (1) 39. Ua tira de etal de 6,5 c de copriento por 0,88 c de largura e 0,76 de espessura se desloca, co velocidade constante v, por u capo agnético = 1, T perpendicular à tira, confore ilustra a Fig. 34. Ua diferença de potencial de 3,9 μv é edida entre os pontos x e 11

12 Probleas Resolvidos de Física y. Calcule a velocidade escalar v. Considere o seguinte esquea: v (Pág. 15) v FE F E V d A ação do capo agnético () sobre os elétrons de condução da tira de etal resulta nua força agnética (F ) sobre os esos, dada por: F = qv Pela regra da ão direita, F te sentido apontando de x para y, ao longo da largura da fita (lebrese que elétrons tê carga negativa, que deve ser levado e conta na equação acia). O acúulo de elétrons do lado direito da tira de etal gera u capo elétrico (E) cuja força (FE) sobre os elétrons, no equilíbrio, deve ser igual à força agnética. F E F = 0 qe qv = 0 E= v O ódulo do capo elétrico, que é a razão entre a diferença de potencial V entre as laterais da tira de largura d, é dado por: V E = = v d Logo: V v = d 1

13 -6 3,9 10 V -3-3 (1, 10 T).(8,8 10 ) v= = 0,3693 / s v 37 c/s 41. U fio rígido de 6,0 c de copriento e 13,0 g de assa está suspenso por u par de fios flexíveis, nu capo agnético de 440 T. Deterine a intensidade e o sentido da corrente no fio rígido, necessários para anular a tensão nos fios flexíveis de suporte. Veja Fig. 35. (Pág. 15) 4. U fio de etal de assa desliza, se atrito, sobre dois trilhos horizontais separados por ua distância d, confore veos na Fig. 36. Os trilhos estão nu capo agnético unifore vertical. Ua corrente constante i, fornecida por u gerador G, passa de u trilho para o outro através do fio de etal, retornando ao gerador. Deterine a velocidade (ódulo e sentido) do fio e função do tepo, supondo que e t = 0 ele está e repouso. Considere o esquea abaixo: F i A velocidade do fio e função do tepo é dada por: v= v0 at d x x z z y y (Pág. 15) Para o cálculo da aceleração a, prieiro precisaos da força agnética F que age sobre o fio: (1) 13

14 F= il F = id ( i) ( k) F = idj Agora a aceleração pode ser obtida por eio da segunda lei de Newton: F id a= = j () Lebrando que o fio parte do repouso, v 0 = 0, e substituindo-se () e (1): id v = 0 j t idt v = j Obs.: Neste cálculo foi desprezada a fe induzida devido à variação do fluxo do capo agnético através do circuito, que é provocada pelo oviento do fio. A fe induzida te sinal contrário à fe do gerador, o que provoca a atenuação da corrente no circuito. O resultado disso é a diinuição da intensidade da força sobre o fio, co as conseqüentes alterações na aceleração e na velocidade do fio. 43. Considere o projeto de u novo tre elétrico. A áquina seria ipulsionada pela força da coponente vertical do capo agnético da Terra sobre u eixo do condutor. a corrente passaria de u trilho para o outro através das rodas e do eixo condutor, retornando à fonte. (a) Qual a corrente necessária para fornecer a odesta força de 10 kn? Considere que a coponente vertical do capo agnético da Terra é 10 μt e o copriento do eixo é de 3,0. (b) Qual a potência dissipada e cada oh de resistência dos trilhos? (c) Esse projeto é totalente absurdo ou está nos liites de realização? (Pág. 15) 44. A Fig. 37 ostra u fio de ua fora qualquer, que conduz ua corrente i entre os pontos a e b. O plano do fio é ortogonal a u capo agnético unifore. Prove que a força sobre o fio é a esa, caso a corrente i fluísse entre a e b por u fio reto. (Sugestão: Substitua o fio por ua série de degraus paralelos e perpendiculares, à linha reta que une a e b.) (Pág. 15) 14

15 46. U bastão de cobre de 1,15 kg repousa sobre dois trilhos horizontais, separados de 95,0 c, e conduz ua corrente de 53, A de u trilho para o outro. O coeficiente de atrito estático é 0,58. Deterine o enor capo agnético (não necessariaente vertical) que seria capaz de fazer o bastão deslizar. (Pág. 15) Considere o esquea abaixo: i N z F y x i Fa P i l Para que a barra horizontal deslize, a força agnética deve ser aior do que a força de atrito estático áxia. No liiar do oviento, tereos: F F =0 a A força de atrito estático sobre o bastão é descrita pela seguinte equação, onde μ e é o coeficiente de atrito estático, é a assa do bastão de cobre e g a aceleração da gravidade: Logo: Fa = μ g e j F = F =μ g e j (1) a A força agnética sobre a barra é dada por: F= il, () onde l = li. (3) Na equação acia, l é o copriento da barra de cobre. Extraindo-se de (): il F = (4) il Substituindo-se (1) e (3) e (4) = ( ili) ( μegj) ( il) ilμeg = k ( il) μ g e = k il = 0,1946 T 0,13 T 15

16 47. U condutor rígido, coprido, está na direção do eixo x e transporta ua corrente de 5,0 A, no sentido negativo de x. U capo agnético = 3i 8x j, co x e etros e e T, é estabelecido. Calcule a força nu segento de,0 do condutor, entre os pontos x = 1, e x = 3,. (Pág. 153) 49. Ua bobina de ua única espira fora u triângulo retângulo de lados iguais a 50 c, 10 c e 130 c e conduz ua corrente de 4,00 A. A espira está nu capo agnético unifore de 75,0 T que te sentido idêntico ao da corrente na hipotenusa da espira. (a) Deterine a força agnética e cada u dos três lados da espira. (b) Mostre que a força agnética total sobre a espira é nula. (Pág. 153) 50. O raio da face de u relógio de parede circular te 15 c. E volta dessa face são enroladas seis voltas de fio, que conduz ua corrente de,0 A no sentido horário. O relógio está dentro de u capo agnético unifore, constante, de 70 T (as continua funcionando perfeitaente). Exataente às 13:00 h, o ponteiro das horas aponta no sentido do capo agnético externo. (a) Depois de quantos inutos o ponteiro dos inutos apontará no sentido do torque provocado pelo capo agnético sobre o enrolaento? (b) Qual o ódulo desse torque? (Pág. 153) (a) Considere o esquea abaixo: y z x 1 1 θ μ R 3 i O torque do capo agnético sobre o enrolaento é dado por: τ = μ O enunciado do problea nos revela que o vetor capo agnético aponta para o arcador 1 do relógio e, portanto, faz u ângulo de θ = 60 o co a horizontal. Vetor capo agnético: = cosθ i senθ j O oento agnético das espiras μ (direção e sentido segundo a regra da ão direita) é função no núero de espiras N, da corrente i e da área do enrolaento A: μ = NiAk Substituindo-se as expressões de μ e e (1): (1) 16

17 ( NiA ) ( cosθ sen NiA( senθ cosθ ) τ = k i θ j τ = i j ) Considerando-se que θ = 60 o, percebe-se que τ aponta para a arca 4 do relógio (veja esquea abaixo). Logo, serão necessários 0 in para que o ponteiro dos inutos atinja esta direção. 1 1 τ 3 4 (b) O ódulo do torque vale: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 (, 0 A)( 0,15 ) ( T) 0, N. τ = NiAsenθ NiA cosθ = NiA senθ cosθ = Ni πr 1 τ = Nπir = π = τ 0,059 N. 51. U fio de copriento L conduz ua corrente i. Mostre que se o fio fora ua bobina circular, o torque áxio desenvolvido por u deterinado capo agnético acontece quando a bobina te apenas ua espira e seu ódulo é dado por τ 1 =. 4π L i (Pág. 153) Coo o copriento do fio é fixo, quanto aior o núero de espiras enor será a área de cada ua. O copriento do fio (L) deve ser igual ao núero de voltas (N) vezes o copriento de cada volta (πr). L= π rn L r = (1) π N O torque da força agnética sobre a espira vale: τ = μ τ = NiAsenθ τ = Ni( πr ) senθ Naturalente o ângulo θ deverá ser igual a π/ para axiizar o torque: τ = πnir Substituindo-se (1) e (): L τ = πni π N () 17

18 il τ = 4π N Coo τ 1/N, conclui-se que para axiizar o torque o núero de espiras deverá ser o enor possível, ou seja, igual a 1 (N = 1). τ = il 4π 53. A Fig. 40 ostra u fio e anel de raio a, perpendicular à direção de u capo agnético divergente, radialente siétrico. O capo agnético te a esa intensidade e todos os pontos do anel, e seu sentido faz u ângulo θ co a noral ao plano do anel e todos os pontos. A ponta torcida do fio não tê nenhu efeito sobre o problea. Se o anel conduz ua corrente i, deterine o ódulo e o sentido da força que o capo exerce sobre ele, confore ostrado na figura. (Pág. 153) Considere o seguinte esquea, que ostra a vista lateral do sistea: z x y df θ dl O eleento de força agnética df que age no anel pode ser decoposta e três coponentes, dfx, dfy e dfz: df = df i df j dfk x y z A força total F é obtida por integração ao longo da circunferência do anel: F = df i df j df k x y z As duas prieiras integrais são nulas devido à sietria envolvida no problea. Logo: F = df sen θ k O eleento de força df sobre u eleento de fio dl vale: df= idl df = idl Substituindo-se () e (1): π a ( 0 ) F= idlsenθk = isenθ dl F= π aisenθ k k (1) () 18

19 55. A Fig. 41 ostra u cilindro de adeira co assa = 6 g e copriento L = 1,7 c, co u fio enrolado longitudinalente e volta dele, de aneira que o plano do enrolaento, co N = 13 voltas, conté o eixo do cilindro e é paralelo a u plano que te ua inclinação θ co a horizontal. O cilindro está sobre esse plano inclinado, e o conjunto está sendo subetido a u capo agnético unifore, vertical, de 477 T. Qual a enor corrente que deve circular no enrolaento, de fora a evitar que o cilindro role para baixo? Considere o seguinte esquea, que ostra as forças externas que age sobre o cilindro: (Pág. 153) F y z x Fa P F N No esquea, fora oitidas as duas forças agnéticas e z, que age sobre os lados das espiras paralelos à pagina. Para que o cilindro não role rapa abaixo ou acia, o torque resultante e relação ao centro de assa, ou e relação ao ponto de contato do cilindro co a rapa, deve ser zero. E relação ao centro de assa do cilindro age apenas os torques devido à força agnética τ e à força de atrito estático τ a. Logo: τ τa =0 (1) Note que ne a força peso ne a noral exerce torques e relação ao centro de assa. O torque da força agnética e relação ao eixo do cilindro e z vale: τ = μ = NiAsenθk () O torque da força de atrito e relação ao eso eixo é dado por: τa = ra Fa (3) O cálculo da força de atrito pode ser feito pelas coponentes das forças e x e y. Forças e x: N F = 0 x ax 19

20 Nsenθ F a cosθ = 0 N = Forças e y: F a cosθ senθ N F P = 0 y ay Ncosθ Fsenθ = g Substituindo-se (4) e (5): Fa cosθ cosθ Fasenθ = g senθ Fa cos a θ sen θ = g senθ F = gsenθ a Pode-se agora resolver (3): τa = rgsenθk Substituindo-se () e (7) e (1): NiAsenθk rg senθk = 0 Ni( rl) = rg NiL = g ( 0,6 kg)( 9,81 /s ) g i = = = 1,6318 A NL 13 0,17 0,477 T i 1,63 A ( )( )( ) (4) (5) (6) (7) 0

21 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 003. FÍSICA 3 CAPÍTULO 3 - O CAMPO MAGNÉTICO EXERCÍCIOS PROLEMAS Resnick, Halliday, Krane - Física 3-5 a Ed. - LTC Cap. 3 O Capo Magnético 1