Intersecções e Planificações Desenho de: Intersecções Sólidos com Planos e Sólidos com Sólidos

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3 MANUAL Nº 10 Intersecções e Planificações Desenho de: Intersecções Sólidos com Planos e Sólidos com Sólidos Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial. i

4 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : 11 - Desenho Técnico Módulo nº. : 10 Designação : Intersecções e Planificações Curso : Horas prevista : 30 OBJECTIVOS 1. Explicar os conceitos de planificação e de intersecção de sólidos 2. Utilizar os métodos geométicos auxiliares da geometria descritiva - mudanças de plano, rotações e rebatimentos - na determinação da verdadeira grandeza de segmentos de recta 3. Dar exemplos de sólidos planificáveis e não planificáveis 4. Efectuar a planificação de sólidos - prisma regular, pirâmide regular, cilindro e cone 5. Descrever a natureza das secções produzidas em sólidos por planos 6. Determinar a secção produzida por um plano em poliedros - prismas e pirâmides 7. Determinar a secção produzida por um plano em cones e cilindros, aplicando o método adequado 8. Efectuar a planificação de sólidos seccionados: tronco de prisma regular, tronco de pirâmide, tronco de cilindro e tronco de cone 9. Determinar a intersecção entre dois sólidos, aplicando o método adequado CONTEÚDOS 1. Explicação dos conceitos de planificação e de intersecção de sólidos 2. Utilização dos métodos geométicos auxiliares da geometria descritiva - mudanças de plano, rotações e rebatimentos - na determinação da verdadeira grandeza de segmentos de recta 3. Exemplos de sólidos planificáveis e não planificáveis 4. Efectuar a planificação de sólidos - prisma regular, pirâmide regular, cilindro e cone 5. Descrição da natureza das secções produzidas em sólidos por planos 6. Determinação da secção produzida por um plano em poliedros - prismas e pirâmides 7. Determinação da secção produzida por um plano em cones e cilindros, aplicando o método adequado 8. Efectuar a planificação de sólidos seccionados: tronco de prisma regular, tronco de pirâmide, tronco de cilindro e tronco de cone 9. Determinação da intersecção entre dois sólidos, aplicando o método adequado ii

5 ACTIVIDADES Desenho de intersecções de sólidos/planos e sólidos/sólidos Análise dos trabalhos realizados. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Rectro-projector PUBLICO ALVO Formadores da área Do Desenho Técnico BIBLIOGRAFIA Alberto C. Ornelas, José V. Ribeiro, Manuel C. Silva, Desenho e Geometria Descritiva, Desenho Técnico, Edições Asa Veiga da Cunha, Desenho Técnico, Fundação Calouste Gulbenkian Oscar Soares e Luis Filipe Carvalho, Desenho e Geometria Descritiva - 12º, Texto Editora Moreira de Sousa, Geometria Descritiva - 11º ano, Plátano Editora Guilherme Ricca, Geometria Descritiva - Método de Monge, Fundação Calouste Gulbenkian Data O Formador iii

6 Índice Introdução - Conceitos...2 Planificações...2 Intersecções...4 Métodos Geométricos Auxiliares...5 Objectivo...5 Mudanças de Plano...5 Mudança do Plano Vertical de Projecção...6 Mudança do Plano Horizontal de Projecção...7 Determinação da V.G. de um segmento, através de mudança de plano...8 Rotações...10 Rotações em torno de um Eixo Vertical...10 Rotações em torno de um Eixo de Topo...12 Rebatimentos...13 Rebatimento do Plano Vertical sobre? Rebatimento do Plano Vertical sobre? Rebatimento do Plano de Topo sobre? Rebatimento do Plano de Topo sobre? Planificação de Sólidos...19 Sólidos planificáveis e não planificáveis...19 Prisma Regular...20 Pirâmide Regular...21 Cilindro...22 Cone...23 Intersecção de Sólidos com Planos...24 Secções de sólidos...24 Prisma...25 Pirâmide...26 Cone...27 Secções planas do cone de revolução...27 Métodos de determinação das secções planas do cone...28 Método dos planos paralelos à base do cone...29 Método dos planos projectantes contendo o vértice e as geratrizes...32 Cilindro...34 Planificação de sólidos seccionados...35 Tronco de Prisma Regular...35 Tronco de Pirâmide...37 Tronco de Cilindro...39 Tronco de Cone...40 Intersecção de Sólidos com Sólidos...42 Método Geral...42 Cone com Cilindro...43 Cilindro com Cilindro

7 Introdução - Conceitos Planificações Planificar um sólido é fazê-lo coincidir com um plano, como se se 'desenrolasse' o mesmo. A figura abaixo ilustra o conceito: depois de 'aberta', a superfície do cone foi planificada, coincidindo num mesmo plano. Como adiante se verá, a planificação da superfície lateral do cone é um sector circular e a da base é um círculo. Fig.01 Quando desenhada num suporte, como chapa metálica ou cartão, a planificação, depois de convenientemente dobrada, permite a obtenção de um corpo oco de forma e tamanho iguais aos do sólido. -2-

8 Por exemplo, dobrando a planificação de um prisma pelas suas arestas, como mostra a figura, reconstitui-se o mesmo. Fig.02 A planificação é muito utilizada no desenho de trabalhos a executar em chapa metálica. Nestes casos, devem incluir-se sobrelarguras para abas de ligação na chapa a cortar. Estas abas são dimensionadas para permitir a soldadura ou outra técnica de ligação. As planificações devem ser desenhadas de forma a conseguir a maior economia possível de material e mão-de-obra. A sua disposição deve ser a que maximiza a área útil da chapa (ou de outro suporte) a cortar. Igualmente, devem escolher-se para arestas de ligação as menores, economizando na ligação - geralmente soldada ou rebitada. Para planificar um sólido, do qual se conhecem duas ou mais projecções, é necessário conhecer a verdadeira grandeza das suas arestas. Ora, verifica-se, muitas vezes, as projecções não representarem o sólido em verdadeira grandeza, pelo que se torna necessário utilizar um dos métodos geométricos auxiliares da Geometria Descritiva. Foi esta a razão que levou à inclusão, neste manual, de um capítulo dedicado ao tema. -3-

9 Intersecções Intersecções de sólidos são linhas que pertencem, simultaneamente, à superfície de contorno do sólido e a uma outra superfície, que o secciona. Um sólido pode ser intersectado por um plano ou pela superfície que limita outro sólido. A figura seguinte mostra dois exemplos de intersecção entre sólidos. À esquerda, a intersecção de dois sólidos limitados por faces planas - dois prismas; à direita, a intersecção de dois sólidos limitados por superfícies curvas - dois cilindros. Fig.3 Como se verá mais à frente, enquanto que no primeiro caso a intersecção é determinada de uma forma simples, no segundo, envolve um certo grau de complexidade. -4-

10 Métodos Geométricos Auxiliares Objectivo Uma figura plana só se projecta em verdadeira grandeza (V.G.) num plano de projecção, se o plano em que está assente lhe for paralelo, ou coincidente. Portanto, conhecer as projecções de uma figura que não está nestas condições não é suficiente para concluir das suas dimensões. Nestes casos, colocam-se as figuras em posições favoráveis à determinação dos comprimentos pretendidos. Ou se substituem os planos de projecção, mantendo imóveis as figuras, ou se deslocam as figuras, mantendo inalteráveis os planos. Destas duas técnicas resultam os três métodos auxiliares que se descrevem, sumariamente, de seguida. Mudanças de Plano Este método consiste em mudar a posição de um dos planos de projecção,? 0 ou? 0, de modo que, continuando perpendiculares entre si, permitam a obtenção de projecções mais esclarecedoras. -5-

11 Mudança do Plano Vertical de Projecção Uma das hipóteses é deslocar o plano vertical? 0. Como se pode ver na figura, os planos de projecção, após a mudança, continuam perpendiculares entre si e intersectam-se segundo a Linha de Terra L 1 T 1. Fig.04 Dado que o plano deslocado foi? 0 e não? 0, a projecção horizontal do ponto P não se alterou. Tão pouco se alterou a cota do ponto, que é, como se sabe, a distância deste ao plano horizontal. Portanto, mudando? 0, mantêm-se:?? o plano horizontal? 0 ;?? a projecção horizontal de qualquer ponto P;?? a cota de qualquer ponto P. -6-

12 Mudança do Plano Horizontal de Projecção Fig.05 Observando a figura acima, verifica-se que, mudando? 0, se mantêm:?? o plano vertical? 0 ;?? a projecção vertical de qualquer ponto P;?? o afastamento de qualquer ponto P (o afastamento é a distância do ponto a? 0, que não sofreu alteração). -7-

13 Determinação da V.G. de um segmento, através de mudança de plano Considere-se um segmento oblíquo - o segmento SP - cuja V.G. se pretende conhecer. Desloca-se? 0, por exemplo, para uma posição em que fique paralelo ao segmento. A nova intersecção do plano com? 0 é a Linha de Terra L 1 T 1, paralela à projecção horizontal S'P' do segmento. Como mostra a figura, neste novo referencial, o segmento passou a ser de frente. Fig.06 Pelas projecções horizontais S' e P', que se mantêm inalteradas, traçam-se as novas linhas de referência, perpendiculares a L 1 T 1, e marcam-se as cotas dos pontos S e P, obtendo assim S 2 '' e P 2 ''. -8-

14 A figura mostra os traçados descritos. Fig.07 Dado que o segmento, após a mudança de plano, se tornou de frente, a medida S1''P1'' é a V.G. do segmento. Em vez do plano vertical, poder-se-ia ter mudado? 0. Neste caso, o segmento ficava em posição de nível, e a sua V.G. seria a medida da nova projecção horizontal. -9-

15 Rotações Neste método, faz-se girar uma figura do espaço, de modo a torná-la paralela a um dos planos de projecção,? 0 ou? 0. A figura roda em torno de uma recta - eixo de rotação. Neste movimento, todos os pontos da figura descrevem arcos de circunferência com centro no referido eixo, assentes em planos perpendiculares ao mesmo. Os eixos devem ser rectas verticais ou de topo. Desta forma, os arcos descritos pelos pontos são de nível ou de frente, respectivamente. Rotações em torno de um Eixo Vertical Considere-se o segmento oblíquo AB, cuja V.G. se pretende conhecer, e a recta vertical e, que servirá de eixo de rotação. Fazem-se rodar os pontos A e B, extremos do segmento, em torno do eixo e, até que o segmento se torne de frente, projectando-se verticalmente em V.G.. Fig

16 Cada ponto descreve um arco de nível que se projecta horizontalmente segundo um arco de circunferência e, verticalmente, segundo um segmento paralelo à L.T.. Dado que o segmento se tornou de frente, a medida Ar''Br' ' é a V.G. do segmento. Fig

17 Rotações em torno de um Eixo de Topo Alternativamente, pode rodar-se o segmento AB em torno de um eixo de topo. Os pontos A e B rodam em torno do eixo e, descrevendo arcos de frente, até que a projecção vertical do segmento ( Ar''Br'') fique paralela à L.T.. Cada arco de frente projecta-se verticalmente num um arco de circunferência e, horizontalmente, num segmento paralelo à L.T.. Dado que o segmento se tornou de nível, a medida Ar'Br' é a V.G. do segmento. Fig

18 Rebatimentos Neste método, faz-se rodar, não a figura, mas o plano que a contém. O objectivo é o plano que contém a figura ficar coincidente ou paralelo a um dos planos de projecção. No primeiro caso, rebate-se o plano em questão sobre? 0 ou? 0 ; no segundo, sobre um plano de nível ou de frente. A figura mostra o rebatimento do plano? sobre? 0, que permitiu a determinação da V.G. do triângulo assente nesse plano. Fig. 11 Um rebatimento não é mais do que a rotação de um plano em que o eixo de rotação, denominado charneira de rebatimento, é a recta de intersecção do plano a rebater com o plano sobre o qual se vai efectuar o rebatimento. No caso da figura acima, a charneira é o traço horizontal de?- intersecção do plano a rebater (?) com o plano sobre o qual se realizou o rebatimento (? 0 ). O método dos Rebatimentos é muito utilizado na determinação da V.G. de figuras planas. Analisa-se, de seguida, o rebatimento de planos verticais e de topo, sobre? 0 e?

19 Rebatimento do Plano Vertical sobre? 0 Considere-se um segmento, pertencente a um plano vertical - o plano?. Um dos extremos desse segmento é o ponto M. Dado que? vai ser rebatido sobre? 0, a charneira do rebatimento é o traço vertical do plano. O ponto M, ao ser rebatido sobre? 0, descreve no espaço um arco de circunferência de nível, assumindo uma nova posição em? 0 - o ponto M r. Como se pode depreender da análise da figura abaixo, o traço vertical do plano mantém-se fixo, durante o rebatimento, e o traço horizontal fica coincidente com a L.T.. Fig. 12 No plano do desenho, o arco de circunferência projecta-se horizontalmente em V.G. com centro em (e') e raio igual a ( e ')M'. Verticalmente, projecta-se segundo o segmento M''Mr. Procedendo de igual forma para o outro extremo do segmento - o ponto N, obtém-se N r. O segmento rebatido MrNr indica a V.G. de MN. Fig

20 Rebatimento do Plano Vertical sobre? 0 Pretende-se rebater o segmento PQ sobre o plano horizontal de projecção. O segmento pertence ao plano vertical?. Logo, a charneira é o traço horizontal desse plano. O ponto P descreve no espaço, num plano perpendicular a h?, um quarto de circunferência de centro em P' e raio igual à cota de P. Após o rebatimento, o traço horizontal do plano mantém-se inalterado e o traço vertical fica assente em? 0. Note-se que os traços de? se mantêm perpendiculares. Fig. 14 No plano do desenho, traça-se uma perpendicular a h? que contenha P'. Marca-se, então, nesta recta auxiliar, a cota do ponto P. Obtém-se, assim, o ponto P r. Rebatendo também o ponto Q, obtém-se o segmento PrQr, cuja medida é a V.G. do segmento. -15-

21 Fig. 15 A cota do ponto P - distância PoP'' - pode ser transportada para P'P r do seguinte modo:?? uma paralela a LT que contém P'' intersecta v? no ponto P 1 ;?? uma circunferência de raio igual a VoP1 e de centro em V 0 intersecta v? r (perpendicular a h? ) no ponto P 2 ;?? uma paralela a h?, contendo P 2, permite, por fim, obter P r. Este processo de transferência de distâncias foi igualmente aplicado na determinação do ponto Q r. Rebatimento do Plano de Topo sobre? 0 Considere-se o segmento AB, assente no plano de topo?. Pretende-se conhecer a V.G. deste segmento através do seu rebatimento sobre? 0. A charneira do rebatimento é h?. O ponto A, ao ser rebatido, vai descrever um arco de frente. A projecção vertical deste arco é o arco de circunferência com raio igual a ( e' ')A'', e a projecção horizontal é o segmento A' Ar, paralelo à L.T. -16-

22 Fig.16 O plano rodou sobre o seu traço horizontal até ficar coincidente com? 0. Logo, v? ficou coincidente com a L.T., enquanto h? se manteve fixo. Rebatendo igualmente o ponto B, obtém-se o segmento rebatido ArBr, cujo comprimento indica a V.G. do segmento. Fig. 17 Rebatimento do Plano de Topo sobre? 0 No rebatimento de um plano de topo sobre o plano vertical de projecções, a charneira é o seu traço vertical. Considere-se o segmento AB, pertencente ao plano de topo?. Para determinar A r, traça-se, no plano do desenho, a perpendicular a v? que contém A''. Ar pertence a essa perpendicular, a uma distância de v? igual ao afastamento de A. -17-

23 Determinando B r do mesmo modo, define-se ArBr, cuja medida é a V.G. do segmento. Fig.18 Como se pode depreender da análise da figura, usou-se, na determinação dos pontos rebatidos, o processo de transferência de medidas anteriormente descrito. -18-

24 Planificação de Sólidos Sólidos planificáveis e não planificáveis Uma superfície planificável é aquela que se pode justapor de forma contínua a um plano. Nem todas as superfíceis são planificáveis. É o que acontece com a esfera - não é planificável. A planificação de um sólido implica rotações em torno de linhas que se vão sucessivamente apoiando sobre o plano. Por sua vez, estas rotações implicam que as linhas de apoio da superfície - eixos das rotações - sejam rectas. Assim, apenas as superfícies dos poliedros - prismas e pirâmides, por exemplo - e as superfícies de simples curvatura - cones e cilindros, por exemplo - são rigorosamente planificáveis. As restantes superfícies (empenadas ou não regradas) - hiperbolóides e elipsóides, por exemplo - só podem ser planificadas de um modo aproximado, através da sua decomposição em troços planificáveis. -19-

25 Prisma Regular Considere-se o prisma hexagonal regular representado em perspectiva e através de duas vistas na figura seguinte. Fig.19 A planificação é constituída pelas bases, dois hexágonos regulares, e pelos seis rectângulos correspondentes às faces laterais. Fig. 20 As dimensões das arestas laterais encontram-se em V.G. no alçado principal e as da base, em V.G. na planta. -20-

26 Pirâmide Regular A planificação da pirâmide é constituída pelo polígono correspondente à base, e por vários triângulos, tantos quantas as faces laterais. A figura seguinte representa uma pirâmide quadrangular regular, definida por duas vistas, e a respectiva planificação. Fig. 21 Os elementos importantes para definir esta planificação foram, tal como no caso do prisma, os comprimentos das arestas laterais e das da base. Para determinar a V.G. das arestas laterais, utiliza-se um dos três métodos auxiliares da Geometria Descritiva. Neste caso, rodou-se a aresta VP. Nesta rotação, utilizou-se um eixo vertical (recta e), que contém o vértice da pirâmide. Depois de rodada, a aresta torna-se de frente. Logo, a V.G. do segmento é a medida R do segmento V '' P'' r. As arestas da base encontram-se em V.G. na planta da pirâmide. -21-

27 Cilindro A figura seguinte mostra o processo de planificação de um cilindro. Fig.22 A planificação do cilindro é constituída pelos círculos das bases e pelo rectângulo correspondente à superfície lateral. O rectângulo tem largura igual ao perímetro da base (2? r ou? d) e altura igual à do cilindro. Fig.23 Os elementos necessários à construção da planificação - diâmetro da base e altura do cilindro - encontram-se em V.G. na planta e no alçado do cilindro, respectivamente. -22-

28 Cone A planificação do cone é constituída por um círculo, correspondente à base (em V.G. na planta) e por um sector circular, correspondente à superfície lateral. O sector circular tem raio (R) igual à geratriz do cone - em V.G. no contorno aparente do sólido, representado no alçado. O arco limitado pelo sector circular tem perímetro igual ao perímetro da base (2? r ou? d). Fig. 23, ASA 169, fig. 4 (assinalar o ângulo? ) Apesar de ser conhecido o perímetro do arco limitado pelo sector circular, o seu traçado não é imediato. Um processo aproximado é o de transferir o perímetro da base para o sector circular, de uma forma não rigorosa. Para tal, divide-se a circunferência da base em doze (ou mais) partes iguais, substituindo depois o comprimento de cada 1 12 da circunferência pelo da respectiva corda. Outro processo, mais analítico, é o de determinar o ângulo ao centro das geratrizes limites, depois de planificadas - ângulo?. A medida deste ângulo, em graus, é dada pela fórmula d??? R e R, o comprimento da geratriz do cone. 180, em que d é o diâmetro da circunferência da base -23-

29 Intersecção de Sólidos com Planos Secções de sólidos A intersecção de um plano com um poliedro (sólido limitado por superfícies planas) - prismas e pirâmides, por exemplo - é um polígono, cujos vértices são os pontos de intersecção de cada uma das arestas do sólido com o plano. Da intersecção de cilindros e cones por planos, resultam secções cónicas - elípticas (incluindo a circunferência, que é um caso particular da elipse), parabólicas ou hiperbólicas. No caso da esfera, as suas intersecções com planos são sempre circunferências, independentemente da posição relativa entre o sólido e o plano seccionante. -24-

30 Prisma Determinar a secção produzida por um plano num poliedro, equivale a resolver um problema de intersecção de rectas - as arestas do poliedro - com esse plano. Se o plano seccionante for projectante (perpendicular a um dos planos de projecção), o traçado da secção torna-se imediato. A V.G. da secção obtém-se, geralmente, através do rebatimento do plano secante sobre? 0 ou? 0. Na figura seguinte, pode observar-se um prisma triangular recto, com bases de frente, e a secção nele produzida por um plano vertical. Fig. 25 O plano secante? intersecta as três arestas laterais do prisma, produzindo neste a secção triangular? A, B, C?. Dado que? é projectante horizontal, as projecções horizontais dos pontos de intersecção do plano com as arestas (A', B' e C') coincidem com o seu traço horizontal h?. As projecções verticais dos pontos referidos coincidem, por sua vez, com as projecções verticais das bases do prisma. A V.G. da secção é o triângulo de vértices A r, B r e C r, obtido através do rebatimento de? sobre?

31 Pirâmide Considere-se uma pirâmide pentagonal regular, de base assente em? 0 e um plano seccionante de topo (plano? ). O plano intersecta a pirâmide, produzindo a secção? LMNOP?, cuja projecção vertical coincide com o traço v. Fig. 26 As projecções horizontais dos pontos L, M, N e O determinamse facilmente sobre a projecção horizontal das arestas a que cada um deles pertence. No caso do ponto P, e por pertencer à aresta de perfil VE, a determinação da sua projecção horizontal P' não é imediata. Para tal, foi necessário rebater a aresta. Neste caso, optou-se pelo seu rebatimento sobre? 0. Depois de construído o rebatimento? VrEr?, traçou-se uma paralela à LT, a partir de P'', determinando P r na aresta rebatida. Inverteu-se, de seguida, a operação de rebatimento, determinando desta forma a projecção horizontal P' em V ' E '. O polígono?? LrMrNrOr Pr - V.G da secção - foi obtido através do rebatimento de? sobre?

32 Cone Secções planas do cone de revolução Intersectando-se uma superfície cónica com um plano, obtêmse as seguintes secções, consoante a posição do plano secante relativamente ao sólido: Secção obtida Elipse Plano Secante Corta todas as geratrizes da superfície (em pontos diferentes do vértice) Hipérbole É paralelo a duas geratrizes Parábola É paralelo a uma e só uma geratriz Caso Particular Se o plano for perpendicular ao eixo da superfície, a secção obtida é uma circunferência Fig. 27 Fig. 28 A projecção de uma cónica num plano é outra cónica da mesma espécie. Ou seja, a projecção de uma elipse é outra elipse, a projecção de uma parábola é outra parábola e a projecção de uma hipérbole é outra hipérbole. -27-

33 Métodos de determinação das secções planas do cone Pretende-se determinar a secção produzida num cone por um plano?. Para tal, escolhe-se um plano? auxiliar, que produza no cone secções de fácil determinação (no caso da figura, é uma seccção circular). Fig. 29? intersecta o plano? na recta i e produz no cone uma secção circular, que se intersectam, por sua vez, nos pontos A e B. Os pontos A e B pertencem simultaneamente ao cone e ao plano secante. Logo, são pontos da intersecção pretendida. Repetindo estes procedimentos, obtêm-se mais pontos, tantos quantos os que se julgarem suficientes para o traçado da secção procurada. -28-

34 Método dos planos paralelos à base do cone 1º Exemplo: Considere-se um cone de base assente em? 0 e um plano seccionante?, de topo, que intersecta todas as suas geratrizes. A secção obtida é uma elipse, cuja projecção vertical é o segmento de recta A'' B'', contido no traço vertical v?. Fig. 30 Os extremos do eixo maior da elipse - pontos A e B - projectam-se em? 0 na projecção horizontal das geratrizes de contorno aparente do cone (coincidente com o diâmetro da base). São os pontos A' e B'. O ponto O, que divide ao meio o eixo maior AB, em V.G. na sua projecção vertical, é o centro da secção elíptica. O'', ponto médio do segmento A'' B eixo menor da elipse. '', é também a projecção vertical do O plano auxiliar de nível? 1, que contém O, intersecta o cone numa circunferência e o plano? numa recta de topo. As intersecções F e G destas duas linhas, por pertencerem ao plano secante e à superfície cónica, pertencem à secção procurada, constituindo os extremos do seu eixo menor. Conhecidos os eixos maior e menor da elipse, pode construirse a secção pelo processo geométrico adequado. Em alternativa, podem determinar-se outros pontos da elipse, utilizando mais planos auxiliares de nível (? e? 2, na figura), que intersectem o cone entre os pontos A e B. -29-

35 Determinou-se a V.G. da secção rebatendo o plano? sobre? 0. 2º Exemplo: Considere-se um cone de base assente num plano de nível e um plano seccionante?, de topo, paralelo a duas geratrizes. Intersectando o cone com um plano paralelo ao dado, que contenha o seu vértice, obtêm-se as geratrizes VA e VB. Conclui-se, assim, que? é paralelo às duas geratrizes indicadas, produzindo no cone uma secção hiperbólica. Como pode observar-se na figura, a secção foi determinada através da utilização de planos auxiliares de nível, à semelhança do exemplo anterior. Fig. 31 Determinou-se apenas um dos ramos da hipérbole. O outro ramo encontrar-se-ia na secção produzida por? na superfície cónica situada para cima do vértice. O rebatimento de? sobre? 0 permitiu a determinção da V.G. da secção. -30-

36 3º Exemplo: Considere-se um cone de base assente num plano de nível e um plano seccionante?, de topo, paralelo a uma e só uma geratriz. Se, pelo vértice do cone, se traçasse um plano paralelo a?, verificar-se-ia que o mesmo era tangente à base da superfície. Tal indica que? é paralelo a uma única geratriz - a geratriz VA - produzindo no cone uma secção parabólica. Tal como nos exemplos anteriores, utilizou-se o método dos planos auxiliares paralelos à base do cone, para obter a secção cónica, como se pode ver na figura. Fig. 32 A V.G. da parábola foi determinada através do rebatimento de? sobre?

37 Método dos planos projectantes contendo o vértice e as geratrizes Em vez de planos paralelos às bases do cone, pode utilizar-se igualmente planos auxiliares projectantes (de topo ou verticais), que intersectam a superfície cónica segundo geratrizes. Exemplo: Considere-se um cone assente num plano de frente e um plano secante?, vertical, que intersecta todas as suas geratrizes. A secção é uma elipse, cuja projecção horizontal se situa no traço h?. A medida do segmento A' B' é a V.G. do eixo maior da elipse. A'' e B'' encontram-se facilmente na projecção vertical das geratrizes de contorno aparente do cone (coincidente com o diâmetro da circunferência). O' é a projecção horizontal do eixo menor da secção, que é um segmento vertical. Escolhe-se um plano auxiliar projectante vertical que contém o vértice e o ponto O - plano? 2. Este plano auxiliar intersecta o cone nas geratrizes VC e VD, e o plano secante numa recta vertical projectada horizontalmente em O'. As intersecções C e D dessas geratrizes com a recta vertical são os extremos do eixo menor da elipse. Fig. 33 É já possível traçar a projecção vertical da secção - elipse cujos eixos são A' ' B' ' e C' ' D' '. -32-

38 Em alternativa, pode construir-se a elipse sem recorrer aos seus eixos, utilizando mais planos auxiliares. Para obter-se a V.G. da secção elíptica, rebateu-se o plano que a contém, desta vez sobre?

39 Cilindro A seccção produzida numa superfície cilíndrica por um plano é uma elipse. Considere-se o exemplo da figura: um cilindro, de bases de nível, seccionado pelo plano?, de topo. Fig. 34 A secção elíptica projecta-se verticalmente no traço v?. A sua projecção horizontal coincide com a projecção horizontal das bases. A V.G. do eixo maior da elipse é a medida do segmento E' ' F' ' - projecção vertical da secção. O ponto médio deste segmento é a projecção vertical do eixo menor GH, segmento de topo, que está em V.G. na projecção horizontal. Para construir a V.G. da secção, rebateu-se o plano? e os pontos E, F, G, H, I, J, L e M - extremos dos eixos e das diagonais da elipse. Pode igualmente construir-se geometricamente a elipse rebatida, a partir do rebatimento dos seus eixos. -34-

40 Planificação de sólidos seccionados Tronco de Prisma Regular Na figura representam-se duas vistas de um prisma quadrangular intersectado por um plano de topo. Fig. 35 A planificação deste tronco de prisma é composta pela base, em V.G. na planta, pela secção provocada no prisma pelo plano, e pela planificação da superfície lateral. A secção é um rectângulo, cujo lado maior se encontra em V.G. na vista de frente e o menor na planta. Para efectuar a planificação da superfície lateral, é necessário conhecer a medida das arestas laterais, em V.G. no alçado, e das distâncias entre estas arestas, em V.G. na planta. -35-

41 Fig. 36 A ligação da base e da secção à planificação da superfície lateral pode ser feita em qualquer das arestas adjacentes. No entanto, deve escolher-se a posição que permita a maior economia de material, principalmente se o objectivo for preparar um corte de chapa. Pela mesma razão, deve escolher-se as menores arestas para ocuparem a posição mais à direita e mais à esquerda da planificação - as arestas em que incidirá a operação de ligação, geralmente por soldadura ou pela aplicação de rebites. Se o plano de corte não for projectante, ou se o prisma estiver em posição oblíqua em relação aos planos de projecção, a planificação efectua-se de forma semelhante. Torna-se, no entanto, mais demorada a determinação da V.G. das várias arestas, por ser necessário utilizar um ou mais dos três métodos da Geometria Descritiva: rebatimentos, rotações e mudanças de plano. -36-

42 Tronco de Pirâmide Considere-se uma pirâmide quadrangular regular, intersectada por um plano de topo, como mostra a figura. Fig. 37 Para planificar um tronco de pirâmide, procede-se, numa primeira fase, como se se pretendesse planificar toda a pirâmide. Nesta fase, os elementos importantes são as arestas da base, em V.G. na planta, e as arestas laterais, cuja V.G. foi encontrada através de rotações. -37-

43 A figura seguinte mostra a planificação da pirâmide original, 'antes' de ter sido seccionada pelo plano. As letras A, B, C e D pretendem facilitar a interpretação do desenho, indicando os pares de pontos (vértice de triângulo / vértice da base) a unir, caso se queira reconstruir o sólido a partir da sua planificação. Fig. 38 Numa segunda fase, marcam-se, sobre as arestas laterais, as V.G. dos troços de aresta que ficam abaixo do plano seccionante. Para determinar a V.G. dos troços de aresta AA1, BB1, CC1 e DD1, rodaram-se os mesmos, até tomarem a posição de segmentos de frente. A planificação do tronco de pirâmide só fica completa se se incluir a secção produzida no sólido pelo plano - o polígono? A1B 1C1 D1?. Para tal, foi necessário determinar a sua V.G., através do rebatimento do plano de corte sobre? 0. Fig

44 Tronco de Cilindro Considere-se um cilindro seccionado por um plano de topo. A planificação deste tronco de cilindro é constituída pela base, em V.G. na planta, pela secção elíptica, cuja V.G. se pode obter rebatendo o plano secante, e pela planificação da superfície lateral. Para planificar a superfície lateral, considera-se que o cilindro é um prisma com infinitas arestas - as geratrizes. Recorrendo a um certo número delas, considerado suficiente, é possível definir, se bem que de uma forma aproximada, o contorno dessa planificação lateral. Considerando, por exemplo, 16 geratrizes, os procedimentos a seguir são:?? Dividir a base em 16 partes iguais;?? Dividir o lado maior do rectângulo correspondente à planificação do cilindro não- seccionado em 16 partes iguais;?? A partir de cada um dos 16 pontos assinalados no rectângulo, marcar, na vertical, os comprimentos das geratrizes do tronco a que pertencem (em V.G. no alçado). A figura abaixo exemplifica o processo descrito. Fig. 41 Fig

45 Tronco de Cone Para planificar um tronco de cone, procede-se de forma análoga à descrita no caso do tronco de cilindro. Considerando um cone seccionado por um plano de topo, a planificação do tronco de cone resultante é constituída por:?? um círculo, correspondente à base;?? uma elipse, correspondente à secção;?? uma porção do sector circular, correspondente à planificação da superfície lateral. A base encontra-se em V.G. na planta. Quanto à secção elíptica, obtém-se a sua V.G. rebatendo o plano de corte (sobre? 0, no caso do exemplo escolhido). À semelhança do que foi feito para o cilindro, considera-se que o cone é uma pirâmide com infinitas arestas laterais. Utilizando algumas delas, planifica-se, de forma não rigorosa, a superfície lateral do tronco do cone. Considerando, de novo, 16 geratrizes, os procedimentos a seguir são:?? Dividir a base em 16 partes iguais;?? Dividir o sector circular, resultante da planificação do cone não-seccionado, em 16 partes iguais;?? Marcar, de fora para dentro, nos raios do sector circular que resultaram da sua divisão em 16 partes iguais, o comprimento dos troços de geratriz respectivos, que ficam abaixo da secção do tronco de cone. -40-

46 Como os troços de geratriz referidos não são paralelos a nenhum dos planos de projecção, torna-se necessário realizar rotações ou outro método, a fim de conhecer a sua V.G.. Fig

47 Intersecção de Sólidos com Sólidos Método Geral O método geral para determinar a intersecção entre duas superfícies quaisquer foi já referido na intersecção de sólidos com planos. Este método consiste em considerar superfícies auxiliares - planos, na prática - que intersectam as superfícies dadas segundo linhas. Estas linhas, por sua vez, intersectam-se em pontos que pertencem à intersecção procurada. Unindo estes pontos, é possível definir a linha de intersecção entre as superfícies consideradas. Os planos auxiliares devem ser escolhidos por forma a facilitar a determinação das suas intersecções com os sólidos. Por vezes, principalmente quando os sólidos são poliédricos (limitados por superfícies planas), não é necessário utilizar o método geral para definir a sua intersecção. Nestes casos, determinam-se os pontos de intersecção das arestas de um dos sólidos com os planos que contêm as faces do outro, unindo-os depois, ordenadamente. -42-

48 Cone com Cilindro A figura exemplifica a intersecção de um cone de eixo vertical com um cilindro de eixo horizontal. Fig. 43 A intersecção determina-se utilizando o método geral. Considera-se, por exemplo, o plano auxiliar de nível? 1, que intersecta o cone segundo a circunferência de diâmetro d e o cilindro segundo o rectângulo de lado menor b e lado maior igual ao comprimento das geratrizes do cilindro. A circunferência e o rectângulo intersectam-se, no caso mais geral, em quatro pontos, que pertencem à curva procurada. Fig

49 Considerando outros planos auxiliares, obtêm-se mais pontos, que vão permitindo o desenho da curva de intersecção entre os sólidos. A exactidão do traçado será tanto maior quanto o número de vezes que for repetido o método. Cilindro com Cilindro Considerem-se dois cilindros, um de eixo vertical e outro de eixo horizontal, cuja curva de intersecção se pretende conhecer. Fig. 45 Optou-se, de novo, pela utilização de planos auxiliares de nível. Como se pode observar nas figuras seguintes, a intersecção do plano? 1 com o cilindro horizontal é um rectângulo de lado menor b e lado maior igual ao comprimento das suas geratrizes, que se encontra em V.G. na planta. Fig

50 O mesmo plano? 1 intersecta o outro cilindro, vertical, numa circunferência de diâmetro d, igual ao das suas bases, em V.G. na planta. Fig. 47 Determinam-se facilmente, na planta, os 4 pontos de intersecção entre a circunferência e o rectângulo. De seguida, posicionam-se estes pontos, que se sabe pertencerem ao plano? 1, no alçado lateral. Note-se que só os pontos 1 e 2 se encontram visíveis nesta vista. -45-

51 Repetindo o método mais algumas vezes, e tirando partido das simetrias existentes, obtém-se um traçado aproximado da curva de intersecção dos sólidos. Fig.47 Neste exemplo, podia-se igualmente ter utilizado planos de frente, que intersectariam o cilindro horizontal segundo circunferências e o vertical segundo rectângulos. -46-

52 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -47-

53 Modulo n.º 11 - Cotagem Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial. i

54 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 11 Designação : 11 - Desenho Técnico Cotagem Curso : Horas prevista : 20 OBJECTIVOS 1. Indicação das dimensões dos objectos representados. 2. Identificação das cotas necessárias à correcta definição de peça. 3. Definir superfícies, arestas, linhas e pontos de referencia necessários ao dimensionamento de cada peça. 4. Conhecer os princípios, os elementos e as normas de cotagem. 5. Aplicar os conceitos e princípios de cotagem a novas situações. CONTEÚDOS Cotagem simples: os princípios da cotagem. os elementos da cotagem (linhas de chamada, linhas de cota, setas, letras, algarismos e símbolos). o posicionamento dos elementos da cotagem. as regras e recomendações gerais da cotagem. ACTIVIDADES Expor as normas relativas à cotagem, salientando os aspectos mais relevantes. Apresentar os princípios e os elementos de cotagem exemplificando com casos de aplicação. Realizar exercidos de cotagem. Análise dos trabalhos realizados. Nível de aplicação das Normas. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Rectro-projector. PUBLICO ALVO Formadores da área Do Desenho Técnico BIBLIOGRAFIA Clerici, Carlo Dibujo Industrial Ediciones Tecnicas Rede Morais, Simões Desenho de Construções Mecânicas Porto Editora Cunha, L. Veiga da Desenho Técnico Fundação Calouste Gulbenkian Ornelas Alberto, Ribeiro José e Costa e Silva Manuel Desenho Técnico Edições Asa Data O Formador ii

55 Índice Introdução... 2 Dimensões Nominais... 3 Elementos de Cotagem dimensional... 5 Linhas de chamada... 5 Linhas de Cota... 6 Regras Gerais... 7 Setas e Barras Obliquas... 8 Inscrição das Cotas... 9 Letras e Símbolos...10 Cotagem de cilindros...10 Cotagem dos raios...10 Cotagem de secções Quadradas...10 Cotagem de barras e perfis...11 Cotagem de esferas...11 Critérios de Cotagem...12 Indicações Especiais...14 Tratamento superficial localizado...14 Linhas de suporte para referências especiais...14 Escalas...15 Cotagem Nominal de uma Peça...16 Cotagem de uma Peça Simples...16 Cotagem de peças representadas por cortes Cotagem de placas com furos...19 Cotagem de perfis...19 Pela indicação dos raios de curvatura...19 Pela indicação das coordenadas...20 Cotagem para programação...21 Verificação dos Desenhos...22 Exercícios

56 Introdução Para produzir uma peça deveremos ter bem definidas a sua forma geométrica e as suas dimensões nominais, expressas na cotagem, complementadas pelas tolerâncias dimensionais ou de forma. É este objectivo da cotagem expresso na Norma Portuguesa NP 297 e Norma ISO 129 (1985). A forma e as dimensões de uma peça dependem dos seguintes factores:?? aspectos funcionais a que a peça deve responder,?? esforços que as peças devem suportar,?? a solução tecnológica de fabricação das peças,?? condições de montagem e de desmontagem uma vez inseridas nos conjuntos de que fazem parte,?? aptidão das peças ao seu desempenho. Assim, depois da representação gráfica que define a forma das peças, o desenho terá de ser complementado com informações, como:?? distância entre superfícies,?? localização dos vários elementos constituintes,?? tolerâncias das dimensões, da forma e da posição,?? acabamento das superfícies,?? tipos de materiais,?? tipos de protecção superficiais,?? outras. Este conjunto de informações obedecem a Normas nacionais e internacionais designadas, que definem os símbolos, figuras, linhas e notas que constituem a cotagem. -2-

57 Dimensões Nominais As dimensões lineares nominais devem ser, sempre que possível, indicadas por números normais. Os números normais foram normalizados em conformidade com os estudos realizados em França no final do Séc. XIX pelo capitão de engenharia Charles Renard. Em todos os domínios de actividade em que se mostre necessário, um escalonamento de valores numéricos, deve adoptar-se uma ou mais sucessões numéricas de modo a cobrir o conjunto de necessidades correntes com o mínimo de termos. Os números normais são termos (convencionalmente arredondados) de sucessões geométricas que contêm as potências inteiras de 10 e de razões, respectivamente: , 10, 10, e excepcionalmente Fig 01 Estas sucessões são designadas pela letra R seguida de um número correspondente á razão, e desta forma considera-se, respectivamente:?? R5, R10, R20, R40 e excepcionalmente R80. Na falta de norma dimensional especial para as peças, escolhe-se para as suas dimensões lineares nominais, valores das sucessões R de números normais de acordo com o quadro figura 02. A ordem de preferência é R10, R20, R40-3-

58 Fig 02-4-

59 Elementos de Cotagem dimensional. Linhas de chamada São pequenos segmentos de recta, em traço continuo fino, perpendiculares ao segmento a cotar, nos pontos do desenho que se pretende indicar as cotas. Fig 03 As linhas de contorno ou de eixo podem ser usadas como linhas de chamada. Fig04-5-

60 Linhas de Cota São segmentos rectos ou curvilíneos, em traço continuo fino, em geral paralelos ao contorno ou elemento do desenho, cuja dimensão se pretende definir. Fig 05 Deve evitar-se, tanto quanto possível, cruzar linhas de cota entre si ou com outras linhas. Fig 06 As linhas de cota devem ficar fora dos contornos do desenho do objecto. Fig 07-6-

61 Regras Gerais Quando as linhas de construção que definem a extremidade de uma dimensão a cotar, as linhas de chamada devem ultrapassar ligeiramente o ponto em que se cruzam. Fig 08 As linhas de chamada podem ser obliquas (ângulos de 60º ou 75º) conforme figura 09. Fig09-7-

62 Setas e Barras Obliquas Para indicar os limites da linha de cota, podem apresentar-se setas com a forma da ou barras obliquas (pequenas linhas traçadas a 45º). Fig 10 As pontas das setas devem ficar sobre as linhas de chamada, de contorno, ou de eixo a que a seta diz respeito. Nos casos em que a linha de cota são muito pequenas, as duas setas opostas são substituídas por um ponto ou por uma barra. Fig 11 Quando se cota um raio, só se deve colocar seta na extremidade da linha de cota que parte do centro. Fig 12 No mesmo desenho só se devem utilizar como opção, ou setas ou barras oblíquas, nunca os dois tipos no mesmo desenho. No desenho de construção civil é mais corrente o uso de barras oblíquas. Fig 13-8-

63 Inscrição das Cotas As cotas são representadas por algarismos de tamanho aproximado de 3mm. Devem dispor-se os caracteres de forma a que:?? não sejam cortados nem separados por linha nenhuma,?? ao meio, acima e ligeiramente separados da linha de cota Fig 14 No caso de linhas de cota sobrepostas e muito longas, cotar como indica a figura 15. Fig 15 Se houver falta de espaço, a cota poderá ficar sobre o prolongamento da linha de cota, de preferência do lado direito. Fig 16 Deve-se sublinhar as cotas fora de escala (figura 16). Os caracteres devem de ser escritos de forma a que a leitura se faça a partir da parte inferior ou da parte direita do desenho. Fig 17-9-

64 Letras e Símbolos Cotagem de cilindros A cota é precedida do símbolo? (diâmetro). Fig 18 Cotagem dos raios A cota é precedida da letra R. Fig 19 Cotagem de secções Quadradas A cota da largura da face quadrada será precedida pelo símbolo?. Fig

65 Cotagem de barras e perfis A cota será precedido do símbolo correspondente conforme a figura 21. Fig 21 Cotagem de esferas A cota será precedida pela palavra esfera, conforme a figura

66 Critérios de Cotagem Para além dos critérios de disposição das linhas de chamada, linhas de cota, letras e símbolos já identificados, interessa definir os critérios que presidem à estruturação da cotagem, considerada no seu conjunto. A norma Portuguesa NP 297 (1963), estabelece o seguinte critério de cotagem:?? cotagem em série, conforme figura 22 Fig 22?? cotagem em paralelo, conforme figura 23 Fig 23?? cotagem com cotas sobrepostas, conforme figura 24 Fig 24?? cotagem por coordenadas, conforme figura 25 Fig

67 ?? cotagem de chanfros, conforme figura 26 e 27 Fig 26 Fig 27?? cotagem de dimensões iguais, conforme figura 28 Fig 28?? cotagem de elementos equidistantes, conforme figura 29 Fig

68 Indicações Especiais Tratamento superficial localizado Colocar um traço misto, grosso, paralelamente à extensão que deve receber o tratamento, cotando a respectiva posição. Fig 30 Linhas de suporte para referências especiais Estas linha são quebradas e terminam por uma seta ou por um ponto conforme figura 31 Fig

69 Escalas A cotagem em desenho técnico é independente da escala em que o desenho se executa. Em regra a escala é escolhida apenas em função das dimensões do objecto a representar, das dimensões do papel disponível e do fim a que se destina o desenho, tendo sempre em vista a obtenção de uma representação eficiente. A escala é, como se sabe, a relação entre uma determinada dimensão no desenho e a correspondente dimensão real do objecto representado. A escala pode ser de redução ou de multiplicação, conforme as dimensões do desenho são menores ou maiores do que as dimensões reais. A norma portuguesa NP 717 (1968) define as seguintes escalas de redução: 1:2,5 1:5 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1: : : : e as seguintes escalas de ampliação: 2:1 5:1 10:1 Além destas escalas considera-se ainda a escala 1:1 que corresponde á representação em tamanho natural. A escala deve inscrever-se na legenda do desenho no lugar próprio a ela reservado. -15-

70 Cotagem Nominal de uma Peça A cotagem de uma peça pode ser apresentada de várias maneiras, de qualquer modo, devem sempre ser respeitadas as regras da cotagem. A cotagem de uma peça não pode estar errada e ser ambígua. Com efeito, não poderá haver falta de cotas nem cotas em excesso. Em qualquer caso não pode haver incompatibilidade entre cotas e o desenho da peça deve apresentar-se como um todo relativamente equilibrado e agradável. Cotagem de uma Peça Simples Consideremos a peça representada na figura 32. Fig 32 Para definição da cotagem completa procedemos do seguinte modo:?? cotagem de atravancamento: 40 X 28 X 25?? cotagem de forma da base: 40 X 9 X 28?? cotagem de forma do corpo paralelepípedo: 24 X 16 X 13?? cotagem de forma da nervura prisma triangular: 12 X 16 X 8?? cotagem de forma dos furos cilíndricos:? 6 e altura 9?? cotagem de forma do apoio de veio semi- cilindro:?18 espessura 13?? cotagem de posição: -16-

71 ?? consideramos como elementos de referência as faces planas inferior, posterior e lateral esquerda, temos as coordenadas:?? corpo 24 e 5;?? nervura 5;?? furos 22 X 6 e 22 X 34; ou distância 28 Fig 33 Realizada a cotagem completa deve proceder-se a uma verificação cuidada sempre na perspectiva do utilizador do desenho. Fig

72 Cotagem de peças representadas por cortes. Se um objecto está representado por cortes parciais, as cotas relativas ao seu exterior devem ficar agrupadas do lado da vista, e as cotas relativas ao seu interior (representada em corte) devem ficar do lado do corte como indicado nas figuras 35 e figura 36. Fig 35 Fig

73 Cotagem de placas com furos. Consideremos a figura 37, que representa uma peça em chapa de espessura e=10 que tem furos de diversos tipos. A cotagem nestes casos começa por estabelecer as cotas de forma de cada furo e dos grupos de furos iguais com a indicação da sua quantidade (3X? 3) e as suas posições relativas. Como elementos de referência adoptamos as faces inferior e a lateral esquerda sendo estas a base de referência para estabelecer as cotas de posição do elementos simples e dos grupos de furos. Fig 37 Cotagem de perfis Quando se pretende representar um dado perfil podemos proceder á sua cotagem usando os seguinte métodos: Pela indicação dos raios de curvatura. As coordenadas de localização dos centros dos respectivos arcos são a base de referência para os sucessivos arcos concordantes (as cotas são constituídas pelos valores dos raios antecedidos pela letra R) Fig

74 Pela indicação das coordenadas. A indicação das coordenadas dos diferentes pontos necessários para definir o perfil, pode fazer-se nestes casos, directamente sobre o desenho geométrico conforme as figuras 39 e figura 40 (coordenadas cartesianas), ou utilizando um quadro para inscrever as coordenadas e as respectivas cotas de forma, como mostra a figura 41 (coordenadas polares). Fig 39 Fig 40 Fig

75 Cotagem para programação Para estabelecer as coordenadas de um vértice de um centro de um furo, podemos usar um plano de situação que pode tomar a forma de uma folha (tabela) em que fixamos as coordenadas de um qualquer ponto. Na figura 42, podemos verificar que as coordenadas dos vértices do polígono representado, estão inscritas junto de cada vértice. Estas coordenadas relativas, são coordenadas rectangulares (em mm) consideradas no plano de situação. Fig 42 Fig 43 No caso do desenho representado a 3D, as coordenadas dos vértices são relativos a um referencial tri- rectangular com origem situada aproximadamente a meio do poliedro. Neste caso, o quadro de dados pode indicar os vértices conforme a figura 44. Fig

76 Verificação dos Desenhos Ao concluir um desenho, deve sempre proceder-se a uma verificação cuidada. Além desta verificação feita pelo desenhador, é de toda a conveniência que um desenho dado por concluído seja cuidadosamente verificado por uma pessoa que não tenha participado directamente na sua elaboração. A verificação do desenho deve fazer-se de acordo com uma metodologia a saber:?? 1 as vistas devem descrever a forma da peça;?? 2 não são indicadas vistas desnecessárias;?? 3 a escala escolhida deverá permitir e evidenciar claramente todos os pormenores.?? 4 as cotas indicadas são claras e definem completamente as dimensões da peça;?? 5 estão especificados os materiais e as referências de cada peça (caso de desenho de conjuntos)?? 6 todas as referências e esclarecimentos complementares estão indicados nos locais apropriados incluindo a legenda;?? 7 está bem identificada a origem e a identidade do desenhador;?? 8 o desenho é considerado válido e actualizado pela entidade emissora. -22-