FACULDADE DE ARQUITECTURA DA UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA ÁREA CIENTÍFICA DE DESENHO E COMUNICAÇÃO GRUPO DE DISCIPLINAS DE GEOMETRIA

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1 FACULDADE DE ARQUITECTURA DA UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA ÁREA CIENTÍFICA DE DESENHO E COMUNICAÇÃO GRUPO DE DISCIPLINAS DE GEOMETRIA PROJECÇÕES COTADAS (exercícios resolvidos) 2006 EXERCÍCIOS C_er_01 1) Intersecções entre planos e rebatimentos. Considere dois planos a e b. αn 0 αn 3 βn 1 βn 5 Determine: a) a recta de i de intersecção dos planos planos; b) a distância entre as rectas de nível do plano a. αn 5r0 A 0 αn 4r0 A 1 αn 3r0 A 2 αn 2r0 A 3 A 5 A 4 αn 1r0 αn 0 = αn 0r0 αn 1 α n 2 n 0n1 β βn 2 β n 3 βn 4 β n 5 i dα αn 3 αn 4 αn 5 Para determinar a recta i de intersecção dos dois planos procede-se à graduação de ambos (operação omitida no desenho) e de seguida intersectam-se pares de rectas de nível a igual cota (note que apenas são necessários dois pares de rectas). Para determinar a distância entre as rectas de nível do plano a procede-se ao seu rebatimento. Neste caso tomou-se a sua recta de cota 0 como charneira (note que todos os pontos de a descrevem arcos contidos em planos perpendiculares à charneira).

2 2) Secções. Considere um plano α definido por duas rectas de nível, e um círculo [c] à cota 0 como base de uma semiesfera de cota positiva. [c] 0 αn 6 αn 0 Determine a secção produzida pelo plano a na semi-esfera [c] αn 5 αn 6 αn 5.5 αn 4 αn 2 αn 3 αn 2.5 αn 1 αn 0 O primeiro passo da resolução consiste em graduar o plano a (operação omitida no desenho) e a superfície da semi-esfera. De seguida intersectam-se pares de linhas com a mesma cota. A linha que delimita a secção (a azul no desenho) será desenhada através da união dos vários pontos determinados (note que neste exercício foram utilizadas linhas de nível auxiliares que não estão a cota redonda a verde no desenho).

3 3) Graduações. Considere o segmento [VE] como eixo de um cone de revolução de vértice V e centro de base E com raio r. V 3 E 9.5 Represente o cone e efectue a graduação da sua superfície. I r0 T F r0 raio = r X r0 A r0 E r0 M r0 B r0 Y r0 O r0 Z r0 G r0 V r0 C 9 T' P 9 S N 9 g' n 9 raio = r V =I 3 A 9 F Y 9 X Z G B 9 E 9.5 M 9 g'' j D 9 T'' W Q 9

4 Começa-se por rebater o plano vertical do eixo para o plano de referência (note que o rebatimento pode ser feito para qualquer plano de nível) obtendo os pontos V r0 e E r0. O plano vertical do eixo intersecta o plano da base do cone segundo o segmento [FG] que mede 2r. Estes pontos são determinados em rebatimento sendo depois determinadas as suas projecções. Pelo ponto E passa um diâmetro de nível cuja projecção se encontra em verdadeira grandeza. Os extremos da projecção deste diâmetro e as projecções dos pontos F e G correspondem aos extremos dos eixos maior e menor da projecção da base do cone (que é obviamente uma elipse). Para determinar os pontos T e T (por onde passam as geratrizes g e g de contorno aparente) determinam-se os planos verticais tangentes à superfície do cone. Para o efeito considera-se a recta vertical que passa por V, determina-se I (a sua intersecção com o plano da base) pelo qual se conduzem rectas tangentes à circunferência que delimita a base nos pontos T e T (operação equivalente à que corresponde, no desenho, ao traçado da recta I r0.t). De seguida passa-se à graduação da superfície do cone (apenas foi considerada a determinação da linha de nível de cota 9). Neste caso as linhas de nível são elípticas (contudo, noutra circunstância poderiam ser parabólicas, hiperbólicas ou circunferenciais). Os pontos A e B correspondem aos extremos do eixo maior da elipse de cota 9. Os pontos O e N correspondem aos extremos do eixo menor da elipse de cota 9. Note que a geratriz j corresponde a um dos lugares geométricos de extremos de eixos menores de linhas de nível. O ponto M corresponde ao centro da elipse. Os pontos P e Q correspondem à intersecção da elipse com a circunferência que delimita a base. Por P e Q passa a porção recta da linha de nível de cota 9. Os pontos C e D correspondem à passagem da linha de nível pelas geratrizes de contorno aparente. O arco PBQ não existde de facto. Os arcos CP e DQ são invisíveis. O arco CAD é visível. Após se ter determinado os pontos notáveis da linha de nível e outros que possa ser convenientes para auxiliar o seu traçado gráfico, procede-se ao desenho da linha de nível. 4) Pertenças. Considere a recta P.O. P 4

5 Conduza pela recta P.O um plano b com inclinação aº relativamente ao Plano de Referência. O r0 [c] 4 X r0 αº X 4 β n 4 P r0 T 4 P 4 Toma-se o ponto O como vértice de uma superfície cónica de revolução de eixo vertical cujas geratrizes fazem aº com o plano de referência. O plano vertical da recta P.O intersecta a superfície cónica segundo duas geratrizes sendo uma delas a geratriz O.X. Considera-se a circunferência [c] 4 de intersecção da superfície cónica com o plano de nível de cota 4. Pelo ponto ponto P passa a recta de nível de cota 4 do plano b que deverá ser tangente a [c] (note que há duas soluções possíveis). A recta O.P e a recta bn 4 definem o plano b que é obviamente tangente à superfície cónica. 5) Pertenças. Considere a linha torsa [c]. E 4 [c] D 3 C 2 B 1 A 0

6 Conduza pela linha [c] uma superfíce de inclinação constante aº com o Plano de Referência. E 4 D 3 n 3 n 2 C 2 [c] n 1 B 1 n 0 A 0 Toma-se cada ponto cotado da linha [c] como vértice de uma superfície cónica (determinada nos termos do exercício anterior) e intersecta-se cada superfície cónica com os planos de nível de cota inteira. A superfície pretendida será a envolvente das várias súperfícies cónicas desenhadas, isto é, será tangente a todas as súperficies cónicas ao longo de uma geratriz. O traçado das linhas de nível é um traçado de erro que deve observar que estas são normais às geratrizes de contacto e que são tangentes a todas as circunferências de igual cota das várias superfíces cónicas auxiliares.