Pesquisa Pesquisa Operacional. Anderson Lopes Belli Castanha Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

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1 Pesquisa Pesquisa Operacional Anderson Lopes Belli Castanha Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

2 Copyright Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Universidade Aberta do Brasil. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autores.

3 PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EM EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Hélio Chaves Filho SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COMISSÃO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC Marina Isabel Mateus de Almeida (UFPR) Teresa Cristina Janes Carneiro (UFES) DESIGNER INSTRUCIONAL Denise Aparecida Bunn Fabiana Mendes de Carvalho Patrícia Regina da Costa PROJETO GRÁFICO Annye Cristiny Tessaro Mariana Lorenzetti DIAGRAMAÇÃO Annye Cristiny Tessaro REVISÃO DE PORTUGUÊS Claudia Leal Estevão Brites Ramos ORGANIZAÇÃO DE CONTEÚDO Anderson Lopes Belli Castanha Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

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5 Sumário Apresentação...07 UNIDADE 1 Introdução à Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional...11 Alguns conceitos iniciais para a Programação Linear...13 Modelagem de um Problema de Mix de Produção...17 Solução gráfica do Problema de Mix de Produção...22 Solucionando Problemas de Otimização com o uso de Planilhas Eletrônicas...29 Solução do Problema de Mix de Produção no Excel...31 O Algoritmo Simplex de Otimização...37 Resumo...47 Atividades de aprendizagem...48 UNIDADE 2 Problemas de Mistura O Problema da Dieta...51 Solucionando o Problema da Dieta com o uso da Planilha Eletrônica...56 Problema sugerido...62 Problema de Composição de Tintas...65 Solucionando o Problema de Composição de Tintas com o uso do Excel...67 Problema de Mix de Investimentos...72 O Problema de Mix de Investimentos Solucionado na Planilha Eletrônica...74 Problema Sugerido de Mix de Mídias...79 Resumo...80 Atividades de aprendizagem...81

6 UNIDADE 3 Problemas de Capacidade Produção de Laticínios...85 Solucionando o Problema de Produção de Laticínios com o uso da Planilha Eletrônica...88 Problema de Produção de Vidros...93 Solucionando o Problema de Produção de Vidros com o uso do Excel...95 Resumo Atividades de aprendizagem UNIDADE 4 Problemas de Transportes Problemas de Transporte Problema de Escoamento da Produção # A resolução do Problema de Transporte através de Planilha Eletrônica Problema de Escoamento de Produção # Solucionando o Problema de Transporte com o uso do Excel Resumo Atividades de aprendizagem UNIDADE 5 Outras Aplicações em Pesquisa Operacional Ampliando o uso da Pesquisa Operacional Programação Inteira Programação Não-Linear Resumo Atividades de aprendizagem Referências Minicurrículos...128

7 Apresentação Caríssimo aluno, Neste momento você inicia seus estudos sobre Pesquisa Operacional. Em uma definição bastante simples, a Pesquisa Operacional é um método de tomada de decisão com suporte científico utilizado em problemas nos quais tentamos buscar a melhor solução possível. Mesmo nesta simplificação, podemos destacar sua principal importância nos dias atuais: buscar a melhor solução possível. Na vida do Administrador, existe uma quase obsessão dentro das organizações: operar com o menor custo. Paralelo a isso, o Administrador também persegue nas empresas o melhor lucro, certo? E por outro lado, ele se depara em seu cotidiano com questões que envolvem limitações de insumos, de capacidade e de tantos outros recursos; ainda mais em tempos modernos! Ora, como alcançar o menor custo ou o maior lucro com recursos escassos é um problema típico de Pesquisa Operacional. E, da mesma forma que este, pode-se imaginar, ou ainda, vivenciar diversas outras situações similares com impactos consideráveis no campo de atuação das organizações. Separamos algumas destas situações para apresentar a você neste curso! O estudo de Pesquisa Operacional também cresce em importância nos dias atuais devido à facilidade do contato com ferramentas informatizadas. Hoje, com a ajuda de um microcomputador e de softwares cada vez mais interativos e populares, podemos solucionar grande parte dessas situações problemáticas habituais do mundo dos negócios. Neste material, procuramos elaborar justamente isso: aplicações que você futuro administrador poderá utilizar em situações profissionais com a ajuda de suporte computacional. Para isso, nós utilizamos como ferramenta nesta apostila a planilha eletrônica do Microsoft Excel. Se você se sentir um pouco enferrujado, existem diversos tutoriais gratuitos simples do Excel na Internet. Entre no Google com

8 os termos, tutorial e Excel, e vários resultados aparecerão. Um deles, bastante simples, é o da Fundação Bradesco, disponível em: < Acesso em: 5 maio Outra fonte importante é o site da própria Microsoft < Acesso em: 5 maio Sugerimos ainda que, já no decorrer desta etapa de seus estudos, você desenvolva grande interação com o seu professor e com o seu tutor. Não hesite em expor suas dúvidas, seja de forma presencial ou nos fóruns por meio do ambiente virtual. Esta articulação nos parece essencial em seu processo de aprendizagem. O material está dividido em 5 Unidades. Na primeira Unidade, apresentamos a introdução do tema, com uma abordagem mais teórica, discorrendo sobre os conceitos básicos de Pesquisa Operacional. Nas Unidades seguintes focamos em aplicações de Pesquisa Operacional. Assim, na segunda Unidade, desenvolvemos os chamados Problemas de Mistura. Na terceira Unidade, os Problemas de Capacidade. E, na quarta Unidade, apresentamos os Problemas de Transporte. Por último, tecemos comentários sobre outros métodos utilizados em PO. Aproveite seu estudo!

9 UNIDADE 1 Introdução à Pesquisa Operacional

10 Curso de Graduação em Administração a Distância Objetivo Nesta Unidade de estudo, vamos conhecer as definições e principais conceitos acerca da Pesquisa Operacional. Estes fundamentos teóricos nos darão suporte às etapas subsequentes. Veremos também como escrever um Problema Linear chamaremos esta ação de modelar e como solucioná-lo usando técnicas gráficas e computacionais. Devemos nos recordar das equações e inequações matemáticas e dos gráficos de equações, pois estes serão conhecimentos básicos necessários nesta Unidade. 10

11 Módulo 7 Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional. O que é isso? Embora possa ser definida de diversas formas, o conceito de Pesquisa Operacional foi apresentado, de forma clara, por Colin (2007) como o uso de métodos matemáticos necessários para resolver problemas nos quais existam o desejo constante por otimização, ou seja, o melhor resultado possível e, principalmente, orientados para aplicações práticas. O dia-a-dia do Administrador está repleto de problemas que necessitam de decisões de otimização, tais como maximizar lucro e minimizar o custo, não é mesmo? Então, nestas aplicações o uso da Pesquisa Operacional se destaca na construção de soluções melhores possíveis as chamadas Soluções Ótimas. A Pesquisa Operacional, ou somente PO, nasceu na Inglaterra no esforço de guerra, da tentativa de alocar eficientemente os recursos escassos, como nos conta Colin (2007). Tais problemas de operações militares durante a guerra tinham semelhanças suficientes com os encontrados nas empresas no pós-guerra para animar seus administradores a investir neste conhecimento. E foi principalmente pelo impacto financeiro positivo obtido com sua utilização, que a PO alcançou maior aceitação em decisões gerenciais. Saiba mais... Para conhecer mais sobre o desenvolvimento de Pesquisa Operacional visite a página da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional no site: < Acesso em: 4 maio 2009, e clique em O que é PO? A Pesquisa Operacional abrange diversas técnicas Programação Linear, Programação Não Linear, Programação Inteira, Programação Dinâmica, Programação Hierárquica etc., mas nos concentra- 11

12 Curso de Graduação em Administração a Distância Verifique no seu Excel se o Solver está habilitado. Acesse o Excel do Office 2003, no menu ferramentas clique em Suplementos. Marque o Solver e Clique Ok. Se for preciso instalar, clique na opção sim. Depois, você encontrará o Solver no menu ferramentas. Atenção! Nem todas as instalações do Office disponibilizam automaticamente o Solver. Se este for o seu caso, será necessário utilizar o cd de instalação. remos aqui na Programação Linear; tradicional e poderosa o suficiente para apresentar soluções às diversas questões de otimização na área gerencial. Grandes empresas utilizam ou já utilizaram esta técnica gerando economias consideráveis. A definição de Mix de Produção o que e o quanto produzir de cada produto, dados os respectivos custos e lucros é um dos exemplos de aplicação de PO. Você já pensou nesta questão? Ou nesta: se uma empresa tem vários depósitos e atende várias cidades, quantos e de onde saem os produtos para cada cidade de forma a transportar e atender todos pelo menor custo? Estas são aplicações típicas de PO. Basta você transformar estes problemas em um Modelo que represente a realidade, utilizar um software adequado (para facilitar a parte matemática nós utilizaremos uma planilha de cálculo, tipo Excel através da ferramenta Solver) e encontrar uma possível melhor solução. Em uma orientação prática, a ênfase neste material pretende familiarizar você aluno, com as aplicações mais usuais de Pesquisa Operacional. E, principalmente, familiarizar a Modelagem*, ou seja, como escrever um problema real em uma linguagem matemática. A intenção é apresentar problemas simples, mas de aplicações práticas. Aprendendo a modelar os problemas básicos propostos, você poderá avançar para aplicações mais complicadas. GLOSSÁRIO *Modelagem é o processo de escrever algum aspecto da realidade através de simbologia. No caso da PO, as simbologias são as equações e inequações matemáticas. A Modelagem sempre simplifica a realidade. Fonte: elaborado pelos autores. 12

13 Módulo 7 Alguns conceitos iniciais para a Programação Linear Como vocês já estudaram em matemática, uma função é chamada de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis, assim: y = f(x 1, x 2, x 3,... x n ) y = c 1.x 1 + c 2.x 2 + c 3.x c n.x n Vamos agora imaginar esta situação na prática: quando você realiza uma compra no supermercado, o valor final que você irá pagar y no caixa, ou seja, f(x 1, x 2, x 3,... x n ), será a quantidade do item 1 (x 1 ) vezes o preço do item 1 (c 1 ) mais a quantidade do item 2 (x 2 ) vezes o preço do item 2 (c 2 ) e assim por diante... O (c) como preço é a constante conhecida. Ou seja, o y (valor a pagar) mantém uma relação linear com seus argumentos itens de compra x 1, x 2, x 3,... x n, e com suas constantes conhecidas c 1, c 2, c 3... c n, preços dos itens de compra. Por outro lado, uma função não-linear seria do tipo: 3 2 y = f(x 1, x 2, x 3 ) = c 1.x 1 + c 2.x 2 + c 3.x 3 Observe que em uma função não-linear você encontra pelo menos uma variável elevada a uma potência não unitária (2, 3 etc.). No exemplo, x 1 está elevado ao cubo (três) e x 2 está elevado ao quadrado (dois), ou seja, está caracterizada a não-linearidade da função. Assim, um Problema de Programação Linear (PPL) é um problema no qual todas as equações, por exemplo, (f(x 1, x 2, x 3 ) = A) e inequações, por exemplo, (f(x 1, x 2, x 3 ) > A) são lineares. Dito isso, alguns conceitos iniciais são necessários para você compreender melhor a Pesquisa Operacional. Então veja bem: estamos preocupados com problemas de otimização e para isso vamos formu- 13

14 Curso de Graduação em Administração a Distância lar Modelos objetivando a melhor solução possível em processos de tomada de decisão, alocando de forma otimizada recursos escassos para produzir/realizar/investir em alguma coisa. Aqui podemos identificar algumas palavras chaves: um objetivo, um modelo, otimização, a decisão, os recursos. Vamos ver alguns conceitos (COLIN, 2007; BRONSON, 1986): GLOSSÁRIO *Mix de Produção conjunto dos produtos produzidos por uma unidade de operação, fábrica ou empresa. Fonte: elaborado pelos autores. *Sofisticação do Modelo é o quanto o Modelo simplifica ou se aproxima da realidade. Quanto maior a sofisticação, mais próximo da realidade, mais perfeito é um Modelo. Ao contrário, quanto mais simples for o Modelo, maior será a probabilidade de erro na solução.) Fonte: elaborado pelos autores. Problema de Otimização: Em um Problema de Otimização, a pessoa que irá tomar a decisão busca maximizar ou minimizar uma quantidade especificada, por exemplo, maximizar lucro ou minimizar custos. Em um problema de cálculo do quanto produzir de cada item em uma fábrica um Problema de Mix de Produção* o objetivo seria maximizar o lucro buscando a melhor quantidade de cada produto a ser produzida. Modelo: Podemos chamar de Modelo aquilo que representamos em uma situação real, como um problema de gestão, por exemplo, de modo simplificado por meio de equações e inequações matemáticas de forma a modelar a realidade. A Sofisticação do Modelo* dependerá do nível de tomada de decisão que pretendemos. Por exemplo, em um Problema de Mix de Produção, o Modelo representaria todos os custos de produção: a capacidade de produção de cada item, a sua quantidade disponível, a sua demanda e o seu lucro. Variáveis de Decisão: São as variáveis utilizadas no Modelo que podem ser escolhidas e controladas pela pessoa que irá tomar a decisão. A melhor solução possível a Solução Ótima é uma combinação de resultados das Variáveis de Decisão. No Problema de Mix de Produção, uma variável de decisão seria a quantidade do produto versus o que eu deveria produzir. Parâmetros: São as variáveis utilizadas no Modelo que não podem ser controladas pela pessoa que irá tomar a decisão. São valores muitas vezes pré-determinados e a solução encontrada é considerar fixos estes valores. No Problema de Mix de Produção, um Parâmetro seria a capacidade máxima de uma máquina de produzir um determinado produto x 14

15 Módulo 7 este valor é pré-determinado para aquela máquina por questões técnicas ou de segurança, e não é possível produzir mais do que aquilo que foi especificado. Função-Objetivo: É a função que expressa o principal objetivo da pessoa interessada na decisão. Como vimos, procuraremos maximizar ou minimizar o resultado desta função. Maximizar quando a função se referir a lucro, receita, ganhos, bem-estar etc. Minimizar quando a função se referir a custos, riscos, perdas etc. No nosso exemplo, poderia ser maximizar lucro. Restrições: Estamos buscando decisões de como melhor utilizar recursos escassos, não é isso? Pois então, recursos escassos são limitados, e, essas limitações restringem nossas opções de decisão: são as Restrições do Problema! Como vimos na conceituação dos Parâmetros, a capacidade máxima de uma máquina tem que ser respeitada: isto é uma Restrição de Capacidade, ou seja, é uma limitação que devemos obedecer. (Você consegue pensar em mais coisas que você poderia maximizar ou minimizar?) Solução Viável: Diz-se que uma solução é viável quando os valores das Variáveis de Decisão desta solução resolvem o problema, atendendo as restrições, mas não necessariamente oferecendo o melhor resultado possível. Por exemplo, em um Problema de Mix de Produção, uma Solução Viável seria uma solução que resolve as Restrições de Capacidade, que atende a demanda, mas não fornece o maior lucro possível para a empresa. Solução Inviável: Diz-se que uma solução é inviável quando pelo menos um valor das Variáveis de Decisão desta solução não atende a pelo menos uma Restrição do Problema, assim, ela não satisfaz as necessidades impostas. Neste caso, no Problema de Mix de Produção, uma Solução Inviável não satisfaz as restrições que podem ser de capacidade ou de demanda, por exemplo. Solução Ótima: É a Solução Viável que maximiza ou minimiza o resultado da Função-Objetivo. Ela, por ser viável, atende e satisfaz todas as Restrições do Problema e retorna à empresa o melhor resultado possível. 15

16 Curso de Graduação em Administração a Distância Propriedades divisibilidade, aditividade, proporcionalidade e certeza: Você se lembra que já comentamos sobre os Problemas de Programação Linear? Pois algumas características são necessárias para estes tipos de problemas. São elas: Divisibilidade: indica que as Variáveis de Decisão podem ser fracionadas, isto é, elas não precisam assumir valores inteiros. Certeza: presume que todos os Parâmetros são conhecidos com certeza. Isto nem sempre é verdade, mas podemos utilizar Parâmetros fixos e analisar os resultados para conferir o efeito de alguma incerteza. Aditividade: indica que a relação entre uma variável e outra é sempre de adição ou de subtração e nunca de outras operações: o lucro máximo de uma empresa será o lucro obtido pela produção da quantidade x 1 do produto 1 mais o lucro obtido pela quantidade x 2 do produto 2 mais o lucro obtido pela quantidade x 3 do produto 3 e assim por diante. Nunca seria assim: o lucro máximo de uma empresa é o lucro obtido pela produção da quantidade x 1 do produto 1 vez o lucro obtido pela quantidade x 2 do produto 2, ok? (Reflita sobre o assunto. Isto seria de se esperar? Pense como ficaria se, ao invés de lucro, fosse o custo? Pesquise sobre Economias de Escala.) Proporcionalidade: diz respeito à contribuição de uma variável de decisão na Função-Objetivo ou das restrições serem proporcionais ao valor daquela variável. Exemplificando: se o lucro associado à produção de uma unidade do produto 1 é de R$ 1,00; o lucro obtido pela produção de 100 unidades será de R$ 100,00 e o lucro para unidades será de R$ ,00. Desta forma, o lucro unitário não se altera conforme a quantidade produzida. 16

17 Módulo 7 Modelagem de um Problema de Mix de Produção Neste momento, vamos tentar modelar matematicamente um problema real. A chamada Modelagem é um processo de entendimento e interpretação do problema e requer muita atenção. Vamos ao nosso exemplo: A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro possível fabricando dois tipos de produtos que denominaremos produto A e produto B. Cada produto A dá um lucro para a fábrica de R$ 50,00 reais e cada produto B, um lucro de R$ 40,00. Entretanto, o produto A leva 30 minutos para ser montado, e o produto B, apenas 20 minutos. Depois de montados, os produtos têm de ser embalados. Devido às dimensões e outros fatores, o produto A precisa de apenas 5 minutos para este procedimento, ao passo que o produto B necessita de 10 minutos para a embalagem. A mão-de-obra utilizada na empresa é constituída de funcionários que realizam igualmente as duas atividades, em uma jornada de 8 horas de trabalho. Assim, o tempo dos funcionários é alocado parcialmente para a montagem e parcialmente para a embalagem dos produtos. A empresa estabeleceu que, por dia, a montagem não deveria ocupar mais do que 6 horas (360 minutos,) e a embalagem não deveria gastar mais do que 2 horas (120 minutos). Outra restrição, obtida pela experiência da empresa, estabeleceu que não mais do que 20 produtos A produzidos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor. Agora se pergunte: o que a empresa deseja? Vamos lá! Maximizar o lucro? Veja só: A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro possível fabricando dois tipos de produtos, que denominaremos produto A e produto B. Como os dados são referentes ao período de um dia, para simplificar vamos maximizar o lucro diário! 17

18 Curso de Graduação em Administração a Distância Quais os produtos que a empresa Manufactura produz? A e B, não é? Então, como podemos representar o lucro diário da empresa Manufactura? Seria assim, veja: Lucro Dia = (Lucro do Produto A x Quantidade diária de A) + (Lucro do Produto B x Quantidade diária de B) Você concorda? Então vamos escrever matematicamente recordando que: cada item A dá um lucro para a fábrica de R$ 50,00 reais e cada item B, um lucro de R$ 40,00. Lucro Dia = R$ 50,00 x Quantidade de A + R$ 40,00 x Quantidade de B. Vamos chamar o lucro dia de z ; a quantidade diária de A de x 1 e a quantidade diária de B de x 2. Substituindo a expressão acima, teremos: z = 50 x x 2 E a empresa objetiva o que mesmo? Maximizar o lucro diário! Assim, temos a nossa Função-Objetivo: Max z = 50 x x 2 Tudo tranquilo até aqui? Então, quais são as Variáveis de Decisão? São as quantidades de A e de B a serem produzidas por dia, ou seja, x 1 e x 2. São estas as variáveis que o responsável pela tomada de decisão pode controlar e alterar para obter o melhor lucro. Mas a Manufactura pode produzir, em um dia, o quanto quiser de A e de B, à vontade? Não, não pode. Produzir nesta empresa como nas demais, está sujeito às restrições. Assim, uma restrição salta aos olhos: a experiência obtida pela empresa estabelece que não mais do que 20 itens A produzidos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor. Ou seja, a quantidade de A por dia tem que ser menor ou igual a 20! Matematicamente temos: Restrição 1: x

19 Módulo 7 Mas vamos lá, continuemos com a Modelagem identificando mais restrições. O dia trabalhado dentro da Manufactura tem 8 horas e a empresa deixa 6 horas para montar e 2 horas para embalar, não é isso? Relembre: A empresa estabeleceu que, por dia, a montagem deveria ocupar não mais do que 6 horas (360 minutos), e a embalagem não deveria gastar mais do que 2 horas (120 minutos). Mas quantos minutos o item A gasta para ser montado? O item A leva 30 minutos para ser montado! E o B? O Item B, apenas 20 minutos. Se a empresa estabelece que, por dia, apenas 6 horas de trabalho podem ser destinadas à montagem, ou seja, 360 minutos de montagem; quantos itens A e B são possíveis montar em 1 dia? Para cada A = 30 min., então x 1 Unidades de A vão gastar: 30x 1 min. Para cada B = 20 min., então x 2 Unidades de B vão gastar: 20x 2 min. Ok? Estes dois tempos somados o que se gasta montando A e o que se gasta montando B não podem ultrapassar 6 horas ou 360 minutos por dia de montagem. Repare que se a empresa quiser montar mais do A, terá que reduzir o B para dar tempo e vice-versa. Isto é uma Restrição de Capacidade. E a decisão é justamente tentar otimizar a relação entre A e B: o quanto eu produzo de A e de B para ocupar o tempo todo e gerar mais lucro: Restrição 2: 30x x Para esta restrição, uma Solução Viável seria x 1 = 10 Unidades e x 2 = 2 Unidades. Assim, teríamos 30 x x 2 = 340 minutos, respeitando as 6 horas disponíveis. Uma Solução Inviável seria x 1 = 10 Unidades e x 2 = 4 Unidades. Assim, teríamos 30 x x 4 = 380 minutos, o que excede as 6 horas disponíveis. 19

20 Curso de Graduação em Administração a Distância Se você repetir o raciocínio para a área de embalagem vai verificar que é muito parecido: o item A precisa de apenas 5 minutos para este procedimento, enquanto que o Item B necessita de 10 minutos para a embalagem. Ou seja, na embalagem: Para cada A = 5 min., então x 1 Unidades de A vão gastar: 5x 1 min. Para cada B = 10 min., então x 2 Unidades de B vão gastar: 10x 2 min. E como a Manufactura só disponibiliza 120 minutos por dia para embalar, temos: Restrição 3: 5x x Uma última restrição é uma condição física inerente ao problema: os valores de x1 e x2 devem ser positivos. Isto é, não podemos fabricar uma quantidade negativa de um produto. Esta restrição, chamada de não-negatividade, é bastante comum em problemas de Programação Linear. Então temos: Restrição 4: x 1 0; x 2 0 Assim, terminamos de modelar nosso problema e resumimos todo o texto em poucas equações: Encontrar: z, x 1 e x 2 Maximizar: z = 50x x 2 GLOSSÁRIO *Forma Canônica tipo de representação formal de um Modelo por meio de um sistema de equações e inequações. Fonte: elaborado pelos autores. Restrito a: 30x x x x x 1 20 x 1 0 e x 2 0 A esta formulação chamamos de Forma Canônica* do problema. Seguindo uma sequência, proposta por Bronson (1986), resumimos, a seguir, o que fizemos: 20

21 Módulo 7 Passo 1: Identifique o objetivo do problema, que pode ser maximizar (lucro, receita, ganhos, etc.) ou minimizar (custos, perdas, riscos, etc.). Formule este objetivo em uma equação com as Variáveis de Decisão: z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n Passo 2: Identifique todas as exigências, restrições e limitações estipuladas pelo problema. Formule estas restrições matematicamente. Geralmente, você irá encontrar equações e inequações do tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n d 1 e/ou b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x b n x n d 2 e/ou b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x b n x n = d 2 Passo 3: Expresse as condições implícitas no problema. As condições de não-negatividade: x 1 0; x 2 0; x 3 0;... ; x n 0 21

22 Curso de Graduação em Administração a Distância Solução gráfica do Problema de Mix de Produção (Procure na Internet mais sobre algoritmos e Simplex. Pesquise sobre George Dantzig, o criador do método Simplex.) GLOSSÁRIO *Algoritmo procedimentos de lógica computacional ou não que descrevem os passos para a resolução de um problema proposto. Fonte: elaborado pelos autores. Um problema de Programação Linear é geralmente solucionado com a aplicação de algoritmos*, como o Simplex, que será explicado mais detalhadamente ao final deste capítulo. Entretanto, para uma compreensão mais clara do problema e do tipo de solução que pode ser encontrada, pode-se dar uma interpretação gráfica a ele. Para tanto, é importante que o problema escolhido como exemplo possua apenas duas Variáveis de Decisão, para permitir a visualização num único plano. Assim, utilizaremos o problema de Mix de Produção, que possui esta característica (apresentando as variáveis x 1 e x 2 ) e que pode ser descrito, em sua Forma Canônica, como: Encontrar: z, x 1 e x 2 Maximizar: z = 50x x 2 Restrito a: 30x x x x x 1 20 x 1 0 e x 2 0 Os eixos cartesianos (horizontal e vertical) delimitam uma região no plano para as soluções de nosso problema. Note bem. A construção da solução começa estabelecendo-se dois eixos cartesianos, um para cada variável do problema. Neste caso específico, o eixo horizontal é reservado para a Variável de Decisão x 1 e o eixo vertical para a outra Variável de Decisão x 2. A região deste gráfico que contém as soluções possíveis para o problema é denominada Região Viável. Se não houvesse Restrições, esta região seria todo o plano infinito cortado pelos eixos x 1 e x 2. Entretanto, como você já sabe, o Problema de Programação Linear se caracteriza essencialmente pelas Restrições impostas, e são estas Restrições que diminuirão o plano para uma região viável com limites bem definidos. 22

23 Módulo 7 Vamos lembrar que a Solução Ótima procurada deve estar apenas na região onde x 1 e x 2 assumem valores positivos. São as Restrições de não-negatividade do problema, que já foram citadas e são representadas pelas inequações da última linha do problema: x 1 0 e x 2 0 Veja que, graficamente, isto limita o espaço de soluções possíveis à região do gráfico mostrada na Figura 1: Figura 1: O espaço de soluções possíveis Fonte: elaborada pelos autores Da mesma forma, podemos introduzir as outras Restrições do Problema. Assim, a restrição x 1 20, estabelece que somente são viáveis as soluções no gráfico à esquerda da reta definida pela equação x 1 = 20. A Região Viável é assim reduzida para (ver Figura 2): Figura 2: Região Viável para uma das Restrições Fonte: elaborada pelos autores 23

24 Curso de Graduação em Administração a Distância A restrição 30x x é apenas um pouco mais complicada de ser traçada, mas também não apresenta nenhum problema de determinação. Podemos começar considerando o valor de x 1 igual a zero para descobrirmos em que ponto a reta corta o eixo x 2. Fazendo as contas, verificamos x 1 = 0, x 2 = 18. Depois, da mesma maneira, vamos considerar o valor de x 2 igual a zero e determinaremos então o ponto em que a reta corta o eixo x 1. Neste caso, veja que x 2 = 0, x 1 = 12. Com estes dois pontos, a reta pode ser traçada, obtendo-se o gráfico da Figura 3. Note que para esta restrição, a Região Viável é o triângulo ressaltado em cinza delimitado pela reta e pelos dois eixos. Mas o que significa isso? Com a interpretação gráfica podemos observar que quaisquer dos dois valores de x 2 e x 1 dentro desta região, determinam um ponto que é uma solução possível para o problema e satisfaz a Restrição determinada pela inequação 30x x Figura 3: Região Viável para uma segunda Restrição Fonte: elaborada pelos autores Agora verifique a última Restrição do problema. Note que a inequação 5x x 2 120, é semelhante à anterior. Usando a mesma abordagem, obtemos os dois pontos x 1 = 0; x 2 = 12 e x 2 = 0; x 1 = 24. Traçando a nova reta com este dois pontos, obteremos uma nova Região Viável para esta outra Restrição, como pode ser observado na Figura 4. 24

25 Módulo 7 Figura 4: Região Viável para a terceira Restrição Fonte: elaborada pelos autores Desta forma, é possível obter as Regiões Viáveis para cada uma das Restrições. Entretanto, é claro que o problema proposto exige que todas as Restrições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, e assim, devemos compor um gráfico que sobreponha cada uma delas e que nos permita visualizar a região viável global. A composição das Restrições pode ser vista na Figura 5 e na Figura 6. A região mais escura do gráfico representa a área que pode conter soluções que satisfazem a todas as Restrições do Mix de Produção: é a nossa Região Viável procurada. Lembre-se que o Ponto Ótimo de produção, aquele que maximizará o lucro da empresa Manufactura Ltda, deverá estar contido nesta área. Figura 5: Composição das Regiões Viáveis para as três Restrições Fonte: elaborada pelos autores 25

26 Curso de Graduação em Administração a Distância Figura 6: Região Viável para todas as Restrições Fonte: elaborada pelos autores 26 Agora que já conhecemos a Região Viável para as soluções do problema, podemos passar para o próximo passo, que é exatamente determinar o Ponto Ótimo, ou a Solução Ótima que maximize os lucros da empresa. Observe que a função que fornece o lucro é dada por z = 50x x 2. Note que, graficamente, para cada valor de z podese traçar uma reta diferente. Mas quais são os aspectos destas diferentes retas? Vamos traçar qualquer uma delas no gráfico e ver o que podemos concluir. Considere, por exemplo, a reta que contém o ponto x 1 = 0; x 2 = 5. Se substituirmos estes dois valores na equação, obteremos um valor de z = 200. Veja: z = (50 x 0) + (40 x 5) = 200 Conhecendo o valor de z, podemos então tentar obter as coordenadas para x 1 e x 2 de outro ponto desta mesma reta. Por conveniência, vamos estabelecer que o novo valor de x 2 seja igual a zero. Assim, só nos restará obter o valor de x 1. Substituindo x 2 = 0 na equação para obtermos o novo ponto, teremos: 200 = 50x 1 + (40 x 0) x 1 = 4 O novo ponto possui então as coordenadas x 1 = 4; x 2 = 0. Agora já é possível traçar esta primeira reta que liga os dois pontos x 1 = 0; x 2 = 5 e x 1 = 4; x 2 = 0. Na Figura 7 você pode ver o seu traçado.

27 Módulo 7 Observe que, por estar contida dentro da Região Viável, qualquer ponto desta reta representa uma Solução Viável para o problema com um lucro para a empresa de R$ 200,00 (z = 200). Entretanto, como você pode claramente inferir, esta ainda não é a Solução Ótima. Mas já conhecemos, pelo menos, os aspectos que as diversas retas têm representando os diversos lucros (diferentes valores para z ). Figura 7: Reta da função lucro para z = 200 Fonte: elaborada pelos autores Note que quando o valor de z aumenta, por exemplo, quando z = 400, a reta se move de forma paralela à apresentada na figura. Desta forma, a reta mais alta que toca na figura em apenas um ponto é a Solução Ótima. Seguindo este raciocínio, podemos garantir que para todo e qualquer valor de z, há uma reta única com a mesma inclinação daquela primeira reta que acabamos de determinar. Isso porque os coeficientes de x 1 e x 2 são sempre constantes e iguais a 50 e 40, respectivamente. Portanto, todas as retas de z serão paralelas umas as outras. Resta então uma única questão a se responder: quais destas retas indicam o valor máximo do lucro? Olhando novamente o gráfico, percebemos que à medida que x 1 e x 2 aumentam seus valores, a reta da equação de z se afasta da origem. Se continuarmos traçando retas paralelas e lembrando que estas retas devem possuir pelo menos um ponto dentro da Região Viável, veremos que a reta que procuramos é aquela que passa pelo ponto extremo representado pela interseção das restrições cujas inequações são: 27

28 Curso de Graduação em Administração a Distância 30x x e 5x x Este ponto, como podemos observar na Figura 8 e na Figura 9, tem como coordenadas x 1 = 6; x 2 = 9. Se substituirmos estes dois valores na equação de z temos: z = (50 x 6) + (40 x 9) = 660 Este é o lucro máximo que pode ser obtido para o problema proposto. Assim resolvemos o problema de Mix de Produção. Para maximizar seus lucros, cada empregado da empresa deve então produzir lotes de 6 itens de A e 9 itens de B. Cada lote resultará em um lucro de R$ 660,00. Figura 8: Reta da função lucro máximo e respectivos valores de x 1 e x 2 Fonte: elaborada pelos autores Figura 9: Reta da função lucro máximo para z = 660 Fonte: elaborada pelos autores 28

29 Módulo 7 Solucionando Problemas de Otimização com o uso de Planilhas Eletrônicas Como você pode imaginar, na prática cotidiana das empresas, o cálculo de um problema de otimização é realizado com o auxílio de ferramentas computacionais e, não com o método gráfico visto anteriormente. Existem dois tipos, básicos, de programas desenvolvidos para esta finalidade. Softwares dedicados, geralmente utilizados quando o Modelo matemático vai ser usado frequentemente, dentro de uma rotina operacional da empresa; e softwares mais flexíveis, que devem ser usados quando o Modelo será trabalhado poucas vezes. Neste último caso, uma boa opção é se servir de algoritmos de solução de problemas (Solvers) que fazem parte das ferramentas disponíveis em planilhas eletrônicas de uso generalizado, como o Lotus123 ou o Microsoft Excel. Assim, e considerando a ampla difusão do Excel entre os usuários brasileiros você provavelmente já utiliza o Excel, os exemplos desta apostila serão baseados no Solver disponível na versão padrão desta planilha eletrônica. Para construir uma planilha eletrônica de fácil utilização e compreensão você precisará considerar algumas características importantes: (Procure na Internet por outras ferramentas computacionais para a solução de Problemas de Programação Linear. Uma dica é o site da Lindo System: < Acesso em: 4 maio 2009.) Em primeiro lugar, sugere-se que, antes de partir para a efetiva utilização do software, o problema seja bem estudado e os dados bem organizados. Isto é fundamental para a construção do Modelo matemático. Outra sugestão é que se estruture a planilha de forma que haja uma leitura fácil de quais células contêm as Variáveis de Decisão, a Função-Objetivo, os coeficientes das Restrições e assim por diante. Finalmente, é importante que haja comunicabilidade com o usuário, na forma de títulos explicativos que exponham cla- 29

30 Curso de Graduação em Administração a Distância ramente o que cada região da planilha contém e, qual sua função no problema. Seguindo estas diretrizes, podemos passar então à solução de um primeiro exemplo de Problema de Otimização através do Excel, ou de Mix de Produção, cuja formulação já foi vista anteriormente. 30

31 Módulo 7 Solução do Problema de Mix de Produção no Excel Novamente, como no item de interpretação gráfica de um Problema de Programação Linear, antes de partir para a construção da planilha eletrônica, vamos relembrar o Modelo determinado para o problema de Mix de Produção, em sua Forma Canônica: Encontrar: z, x 1 e x 2 Maximizar: z = 50x x 2 Restrito a: 30x x x x x 1 20 x 1 0 e x 2 0 A Figura 10 mostra como uma planilha poderia ser construída para conter o Modelo matemático deste problema. Figura 10: Planilha construída para resolução do problema Fonte: elaborada pelos autores 31

32 Curso de Graduação em Administração a Distância Veja que procuramos separar as regiões horizontalmente e explicitá-las de modo que facilmente se perceba onde se encontram cada parte do Modelo. A linha 2 foi escolhida para descrever a Função-Objetivo do problema. A linha 5 para o número de itens fabricados. Na linha 8, colocamos o lucro unitário que a empresa obtém para cada um dos itens. Finalmente, as linhas 12, 13 e 14 são reservadas para a entrada das Restrições do Problema. Para facilitar ainda mais a visualização do problema, alguns blocos foram sombreados em cinza claro. Serão estas células que terão seus conteúdos modificados pelo Solver do Excel. As outras células utilizadas, em fundo branco, contêm valores numéricos ou fórmulas que devem ser introduzidas diretamente pelo usuário. Vamos começar inserindo, na célula D2, a fórmula da função que desejamos maximizar. No caso, o lucro total da produção, representado pela soma dos lucros conseguidos com cada item; estes calculados pela multiplicação dos seus lucros unitários (células D8 e E8) pelas respectivas quantidades produzidas (células D5 e E5). Assim, na célula D2, digitamos: = (D5*D8) + (E5*E8) O próximo passo é inserir os valores dos lucros unitários de cada item produzido pela empresa nas células D8 e E8. No nosso exemplo, D8 deve conter o valor 50, e E8 o valor 30. Em seguida, devemos preencher os blocos de células reservados para os coeficientes das Restrições (lado esquerdo e direito das inequações). Na planilha, os coeficientes são inseridos nas células D12, D13, D14, E12, E13 e E14. Os valores para o lado direito das Restrições ficam nas células I12, I13 e I14. Veja um exemplo na Figura 11: 32 Figura 11: Esquema de alocação das Restrições na planilha Fonte: elaborada pelos autores

33 Módulo 7 Assim que acabar de digitar os coeficientes, você pode prosseguir inserindo as fórmulas do lado esquerdo das Restrições do Modelo no bloco de células reservado para tal. Em nossa planilha de exemplo, este bloco de células trata-se das células G12, G13 e G14. Assim, G12 deve conter: = (D12*D5)+(E12*E5) que representa a soma das multiplicações dos coeficientes em D12 e E12 pelas respectivas quantidades produzidas de cada item, contidas nas células D5 e E5. Da mesma forma, as outras inequações são inseridas em G13: = (D13*D5)+(E13*E5) e, em seguida, na célula G14: = D5 Assim, finalizamos a entrada de dados na planilha. Tudo o que resta agora é recorrer ao Solver do Excel para a realização dos cálculos. Para isso, basta ir até o menu do Excel, escolher ferramentas, e clicar na opção Solver. Veja a Figura 12: (O Solver faz através de seu algoritmo o que foi visto na abordagem gráfica anteriormente.) Figura 12: Localização do Solver no menu do Excel Fonte: elaborada pelos autores 33

34 Curso de Graduação em Administração a Distância Uma janela para entrada de Parâmetros se abrirá. É preciso agora informar ao Solver em que posições na planilha se encontram as células contendo a Função-Objetivo, as Variáveis de Decisão (que no Solver do Excel são chamadas de células variáveis ) e os lados esquerdo e direito das Restrições. Veja na Figura 13 a posição de cada um dos blocos de células e o aspecto final da tela de entrada de dados do Solver, para o Modelo do problema do Mix de Produção a ser calculado. Caso você encontre dificuldades no uso do Solver, consulte o seu tutor sobre os passos necessários para entrada dos dados e a execução dos cálculos. Figura 13: Tela do Solver Fonte: elaborada pelos autores Na janela de Parâmetros do Solver existe também o botão opções que dá acesso à janela da figura a seguir. Para os exemplos que utilizaremos nesta apostila, devemos presumir que o Modelo é linear e que as soluções deverão ser sempre não negativas. Assim, selecione essas duas opções de Parâmetros, no local indicado pela seta na Figura 14. Note que existem outras opções na tela do Solver que não se aplicam aos problemas que estamos tratando neste curso. 34

35 Módulo 7 Figura 14: Tela de opções do Solver Fonte: elaborada pelos autores Depois de preencher as opções como indicado, pressione a tecla ok. A janela se fechará e a tela anterior será mostrada. Agora para executar o algoritmo de otimização, basta clicar no botão resolver e instantaneamente o Excel calculará a solução. Se você aceitar o cálculo, o programa retornará automaticamente para a planilha, onde podem ser observados os resultados. Note que as células sombreadas em cinza claro tiveram seus valores modificados, como esperado. De principal importância, são as células D2, que contém a Função-Objetivo a ser maximizada (lucro máximo que pode ser obtido pela empresa) e as células D5 e E5, mostrando a quantidade de itens que devem ser fabricados para que se obtenha este lucro máximo. Além disso, as células (G12 a G14) mostram agora os valores obtidos com a solução para cada uma das Restrições. Veja na Figura 15 que todos estes valores se encontram dentro dos limites desejados. Como vimos anteriormente, o lucro máximo para este Problema de Mix de Produção é de R$ 660,00, obtido com a fabricação diária de 6 itens A e 9 itens B por cada funcionário da empresa. 35

36 Curso de Graduação em Administração a Distância Figura 15: Planilha resolvida para o problema de Mix de Produção Fonte: elaborada pelos autores 36

37 Módulo 7 O Algoritmo Simplex de Otimização Vimos no item anterior como um Problema de Programação Linear pode ser resolvido com o uso de uma planilha eletrônica. Mas você pode ter curiosidade em saber como o programa acha a Solução Ótima. Para isso, ele utiliza um algoritmo numérico mais antigo e mais conhecido como Simplex. Saiba mais... Para obter mais informações sobre o método Simplex escolha um dos livros indicados em nossa bibliografia para consultá-lo. O Simplex pode ser divido, de maneira bastante simplificada, em três passos distintos, são eles: Inicialização: preparação dos dados de entrada. Iteração: repetição dos procedimentos de busca de uma solução. Regra de Parada: verificação se a solução obtida é a Solução Ótima. Vejamos agora como o algoritmo funciona, descrevendo detalhadamente o processo para o exemplo de Mix de Produção. A solução manual que propomos é feita utilizando um quadro, ou tableau*, do Simplex. Este quadro tem como única função auxiliar a realização dos cálculos e das iterações de forma mais amigável. Começamos por transformar o Problema de Programação Linear, dado em sua forma padrão, numa disposição que seja mais adequada à entrada dos valores no quadro do Simplex. É o primeiro passo do Simplex: a Inicialização. Para isso, tomamos todas as equações e inequações do problema e movemos os termos de tal forma que eles se apresentam como uma série de equações cujos termos à direita sejam GLOSSÁRIO *Tableau termo em francês para quadro, ou ainda tabela, tradicionalmente utilizado em PO para denominar as tabelas do método Simplex. Fonte: elaborado pelos autores. 37

38 Curso de Graduação em Administração a Distância apenas constantes positivas. Veja a seguir. O problema de Mix de Produção, que é dado por: Maximizar: z = 50x x 2 Restrito a: 30x x x x x 1 20 x 1 0 e x 2 0 se transforma em: z 50 x 1 40 x 2 = x x 2 + f 1 = x x 2 + f 2 = x x 2 + f 3 = 20 Note que as Restrições x 1 0 e x 2 0 (Restrições de nãonegatividade) foram excluídas do problema pois são consideradas padrão pelo método. Além disso, foram criadas novas variáveis f 1, f 2 e f 3, denominadas Variáveis de Folga, para transformar as desigualdades das Restrições em igualdades. Estas variáveis são somadas ou subtraídas conforme as desigualdades originais sejam elas do tipo maior ou igual ou do tipo menor ou igual : Assim: Desigualdades do tipo soma + f n Desigualdades do tipo subtração f n Transformado o sistema de equações, passa-se ao preenchimento do tableau do Simplex. Os coeficientes das variáveis do sistema são colocados de forma matricial, um em cada célula da tabela (tableau). Do lado de fora da tabela, devemos numerar cada linha inserindo uma coluna com um índice para indicar cada linha; e inserindo outra coluna à direita, para indicar a qual variável o lado direito da equação (LD) está associado. Veja o modelo no Quadro 1 abaixo: 38

39 Módulo 7 Quadro 1: Tableau # 1 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores A primeira linha (sem numeração) indica a variável cujos coeficientes estão dispostos no quadro e o valor do lado esquerdo das equações. A numeração das linhas está à esquerda, fora da tabela. A linha 0 representa a equação da Função-Objetivo. As linhas 1, 2 e 3 representam as equações das Restrições. O quadro reserva ainda uma coluna denominada Quociente, cuja função será demonstrada ao longo da resolução do problema. À direita, fora da tabela, escrevemos a indicação da variável associada ao valor do lado direito das equações. Montado o quadro, você pode passar ao segundo passo do método Simplex: a Iteração. Primeira iteração: Inicie o processo verificando, na linha 0, qual é o menor coeficiente que pode ser encontrado. Veja o Quadro 2 a seguir. É o coeficiente de x 1, igual a 50. Quadro 2: Tableau # 2 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores A coluna que possui este coeficiente passa a ser denominada coluna-pivô, e é definida como a coluna cujo coeficiente da linha 0 é o menor de todos. Veja o Quadro 3 a seguir: 39

40 Curso de Graduação em Administração a Distância Quadro 3: Tableau # 3 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores O próximo passo é calcular os Quocientes em que os coeficientes forem estritamente positivos, ou seja, vamos calcular as razões entre os valores do Lado Direito (LD) das equações e cada respectivo coeficiente da coluna-pivô. Por exemplo, para a linha 1, o valor do Quociente é igual a 360 divididos por 30, o que dá como resultado um valor igual a 120. Fazendo o mesmo cálculo para as linhas 2 e 3, obtemos o Quadro 4: Quadro 4: Tableau # 4 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores Os valores dos quocientes calculados vão indicar agora uma linha que é denominada linha-pivô. O critério de escolha desta linha é: aquela que apresentar o menor Quociente calculado. No nosso exemplo, é a linha 1, pois o menor Quociente é igual a 12. Veja o Quadro 5 abaixo: Quadro 5: Tableau # 5 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores 40

41 Módulo 7 Determinada a coluna-pivô e a linha-pivô, encontramos o coeficiente-pivô, que está na interseção entre a linha-pivô e a coluna-pivô. No Quadro 6, podemos visualizar que o coeficiente-pivô é igual a 30. Quadro 6: Tableau # 6 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores. Aplicamos, então, um algoritmo para modificação das linhas, utilizando o coeficiente-pivô encontrado. Este algoritmo é, na verdade, uma maneira simples de utilizar o método de eliminação na resolução de sistemas de equação. Veja na Figura 16 o procedimento: Figura 16: Algoritmo para modificação da linhas no Simplex Fonte: elaborada pelos autores. Veja que aparece no algoritmo uma linha-pivô modificada. Esta linha é obtida modificando-se a linha-pivô através da divisão de seus valores pelo valor do coeficiente-pivô. Veja o caminho para obtê-la no nosso exemplo e o aspecto do tableau (Quadro 7) após a modificação: Linha-Pivô Modificada [ ] / 30 = [0 1 0,666 0, ] Note que pegamos a linha 1 e dividimos todos os seus valores por 30 e reescrevemos esta linha com os novos valores calculados (resultados da divisão por 30). 41

42 Curso de Graduação em Administração a Distância Quadro 7: Tableau # 7 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores Obtida a nova linha-pivô, continuamos então, aplicando o resto do algoritmo. Veja o que acontece com a linha 0 : Nova Linha 0 [ ] ( 50) [ 0 1 0,666 0, ] Nova Linha 0 [ ] + [ ,333 1, ] Nova Linha 0 [1 0 6,666 1, ] Perceba que para obtermos a nova linha 0 multiplicamos a linha 1 por 50 e a somamos com a linha 0 original. Da mesma forma, a linha 2 se transforma, ao aplicarmos o algoritmo: Nova Linha 2 [ ] (5) [0 1 0,666 0, ] Nova Linha 2 [ ] [0 5 3,333 0, ] Nova Linha 2 [0 0 6,666 0, ] E, para a linha 3 : 42

43 Módulo 7 Nova Linha 3 [ ] (1) [0 1 0,666 0, ] Nova Linha 3 [ ] [0 1 0,666 0, ] Nova Linha 3 [0 0 0,666 0, ] O tableau assume o aspecto apresentado no Quadro 8: Quadro 8: Tableau # 8 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores Atenção! Veja que o coeficiente-pivô pertence à coluna da variável x1 e à linha da variável de folga f1. No algoritmo Simplex, quando escolhemos o coeficiente-pivô, verificamos a variável relacionada à coluna-pivô e denominamos essa variável como Variável-Entrante. A variável relacionada à linha-pivô é, por sua vez, denominada como Variável-Sainte. O que fazemos então é substituir no quadro, a Variável-Sainte pela Variável-Entrante: Figura 17: Substituição da Variável-Sainte pela Variável-Entrante Fonte: elaborada pelos autores Finalmente, podemos preencher o quadro do Simplex com as novas linhas calculadas e com a nova Variável-Entrante. Veja no Quadro 9 o seu novo aspecto: 43

44 Curso de Graduação em Administração a Distância Quadro 9: Tableau # 9 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores Neste ponto, devemos aplicar o terceiro passo do Simplex: a Regra de Parada. No quadro, ela se traduz pela existência ou não de um coeficiente negativo da linha 0. Se tal coeficiente existir, significa que a Função-Objetivo ainda pode ser melhorada, ou seja, a solução ainda não representa a Solução Ótima. Neste caso, outra iteração deve ser calculada. Olhando o quadro anterior, você pode observar que na linha 0 o novo coeficiente de x2 é negativo, igual a 6,666. Então, no nosso exemplo, devemos realizar outra iteração. Vamos a ela. Segunda iteração: Seguindo o mesmo processo visto anteriormente, olhe a linha (0), e procure o menor coeficiente do novo quadro do Simplex que acabamos de obter. Agora, o menor coeficiente é igual a 6,666, estabelecendo a coluna de x2 como a nova coluna-pivô. Lembre-se que isto transforma x2 na nova Variável-Entrante. Veja o Quadro 10 a seguir: Quadro 10: Tableau # 10 do Simplex Fonte: elaborado pelos autores Seguindo o algoritmo, verifica-se que esta coluna apresenta dois coeficientes positivos, então calculamos os Quocientes para cada uma destas duas linhas. Assim, obtemos: 44