Simulac~ao Graca em Computador do Comportamento. (Computer graphic simulation of the linear atomic chain behaviour) Departamento de Fsica,

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1 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 2, junho, Simulac~ao Graca em Computador do Comportamento de uma Cadeia At^omica Linear (Computer graphic simulation of the linear atomic chain behaviour) Luciano Terra Peixoto e Keydson Quaresma Gomes Departamento de Fsica, Universidade Federal do Esprito Santo Vitoria, ES, Brasil Trabalho recebido em 4 de abril de 1997 No presente trabalho exploramos a possibilidade de uso da computac~ao graca para simulac~ao de um laboratorio dedicado ao estudo do comportamento din^amico da cadeia at^omica linear. Preliminarmente desenvolvemos um programa para visualizar a construc~ao, passo a passo, da expans~ao de Fourier de algumas func~oes. Trabalhamos ent~ao com a cadeia linear, buscando visualizar, primeiro dentro da aproximac~ao harm^onica, a excitac~ao de modos normais, de ondas estacionarias e de pulsos gaussianos, e depois, extrapolando a aproximac~ao harm^onica, o comportamento da cadeia na preseca de dois ou mais pulsos gaussianos, neste caso tentando observar o processo de colis~ao entre excitac~oes localizadas necessario para explicar a conduc~ao do calor em solidos dieletricos. In this work we explore the possibility of using computer graphics to simulate a laboratory dedicated to the study the dynamical behavior of the linear chain of atoms. Preliminarly we developed a computer program to visualise a step to step construction of functions from their Fourier expansions. Then working with the linear chain, our aim was to visualise, rst in the harmonic approximation, the excitation of normal modes, of standing waves and of gaussian pulses, and then, going beyond the harmonic approximation, the behavior of the chain in presence of two or more gaussian pulses, in this case trying to observe the colision process of localized excitations required to explain the heat conduction in dielectric solids. I. Introduc~ao A computac~ao graca esta se tornando um importante instrumento de apoio ao ensino de Fsica, por permitir, com o recurso de animac~ao de imagens, n~ao so a visualizac~ao de fen^omenos fsicos, mas mesmo a simulac~ao do comportamento din^amico de sistemas, e dessa forma introduzir um substituto (vantajoso sob muitos aspectos) para o laboratorio. E ao mesmo tempo instrutivo lidar com o problema da simulac~ao, pois ele torna explcito a modelagem de sistemas e acaba sempre levantando a quest~ao do desempenho do algortimo utilizado. O fen^omeno estudado e o comportamento vibracional de uma cadeia at^omica linear, tomada como modelo unidimensional de um solido. A simulac~ao foi realizada com base na equac~ao de Newton, considerada primeiramente dentro da aproximac~ao harm^onica -comoseosatomos estivessem ligados por pequenas molas - para se ter a observac~ao da resposta do sistema diante de condic~oes iniciais e de contorno correspondentes a ativac~ao de modos normais, de ondas estacionarias e de pacotes de onda que se propagam ao longo da cadeia. Depois consideramos o efeito n~ao-harm^onico da interac~ao entre pacotes de ondas, eles vindo a constituir excitac~oes localizadas necessarias para explicar a conduc~ao de calor em solidos. A cadeia linear e aqui representada por uma sequ^encia horizontal de pequenos crculos na tela do computador, capazes de se movimentar verticalmente Estudante de Fsica, bolsita de Iniciac~ao Cientca (CNPq)

2 112 Luciano T. Peixoto e Keydson Q. Gomes com a passagem de excitac~oes transversais, ou horizontalmente com a passagem de excitac~oes longitudinais. As condic~oes iniciais determinam as posic~oes iniciais dos crculos, mas a partir da asnovas posic~oes s~ao determinadas por soluc~ao numerica da equac~ao de Newton. Uma vez que a construc~ao de um pacote de ondas se baseia na ideia do princpio da superposic~ao, decidimos incluir no trabalho a visualizac~ao de como este princpio permite a construc~ao gradativa da forma de uma func~ao a partir da soma dos termos consecutivos de sua expans~ao em serie de Fourier. Em particular consideramos a func~ao Gaussiana, procurando mostrar como esta func~ao pode ser obtida pela superposic~ao de ondas senoidais. O interesse particular no pacote Gaussiano esta em que ele e a forma aqui escolhida para representar excitac~oes localizadas no sistema. Utilizamos aqui a express~ao usual da expans~ao de Fourier de uma func~ao f(x) c f(x) =A 0 (x)+ 1X n=1 onde L e operodo da func~ao e os coecientes s~ao dados por A n cos 2n L x+b nsen 2n L x A n = 2 L Z L=2 ;L=2 f(x)cos 2n L xdx B n = 2 L Z L=2 ;L=2 f(x)sen 2n L xdx d II. O algortmo de simulac~ao O tratamento do problema consiste em resolver numericamente o par de equac~oes diferenciais ordinarias de 1a. ordem dv p (t) dt = k m [y p+1(t)+y p;1 (t) ; 2y p (t)] dy p (t) dt = v p (t) onde v p (t) ey p (t) representam a velocidade e a posic~ao instant^aneas do p-esimo de uma sequ^encia de N atomos, k e a constante de mola e m a massa do atomo. primeira delas e a equac~ao de Newton, escrita para a situac~ao em que cada atomo interage apenas com os dois vizinhos mais proximos (ASHCROFT, 1976), e a segunda e a equac~ao de denic~ao da velocidade. Ao se discretizar este sistema de equac~oes, tendo em vista sua resoluc~ao numerica, e importante a busca de algortmos sucientemente rapidos, para que, ao se im- A primir toda a sequ^enciadecrculos na tela do computador em ciclos sucessivos do processamento, se tenha impress~ao de continuidade de movimento dos mesmos. Neste sentido e apropriada a escolha dos chamados algortmos explcitos, para os quais a variavel dependente (v p ou y p ) so aparece no lado direito da express~ao quando valida para um instante anterior. Tais metodos apresentam entretanto o problema da instabilidade, por causa da magnitude do erro numerico - da ordem do proprio incremento do tempo - a que est~ao sujeitos. Metodos implcitos, por outro lado, podem apresentar erro de segunda ordem no incremento do tempo, e s~ao estaveis, mas tem a desvantagem da maior lentid~ao, porque um sistema de equac~oes algebricas lineares tem que ser resolvida em cada ciclo de processamento (Butcher, 1994). Utilizamos aqui um algortmo explcito, em que as velocidades e as posic~oes s~ao dadas em instantes de tempo alternados (Visscher, 1991), capaz de eliminar ambas as desvantagens. Tal metodo conduz as express~oes

3 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 2, junho, v p (t + =2) = v p (t ; =2) +! 2 0 [y p+1(t)+y p;1 (t) ; 2y p (t)] y p (t) =y p (t ; )+v p (t ; =2) (1a) (1b) onde! 0 e a frequ^encia natural de oscilac~ao, dada por! 0 = p (k=m), e d e o incremento de tempo. d Em cada ciclo de execuc~ao, o programa faz exibir na tela do computador os varios crculos com os respectivos centros nas posic~oes (x p y p ), sendo y p dado pela express~ao acima e x p dado por x p = p:a, onde a e a separac~ao entre os centros de crculos vizinhos. No Ap^endice discutimos o criterio de escolha do incremento de tempo adequado ao bom funcionamento do algortmo. A resposta do sistema e determinada pela escolha das condic~oes iniciais e de contorno. Consideramos aqui a condic~ao de contorno periodica, y N+1 = y 1,tal como se os atomos estivessem dispostos ao longo de uma circunfer^encia. Isso permite que as excitac~oes da cadeia, ao atingir uma de suas extremidades, reapareca na outra extremidade, e desde ja imp~oe a escolha de condic~oes iniciais com formas de onda de comprimento de onda igual a uma frac~ao inteira do comprimento da cadeia. Trabalhamos com as seguintes condic~oes iniciais: Modos normais. y p (;d) =Asen(qx p ;! q ) v p (;d=2) = A! q cos(qxp ;! q =2) onde! q deve satisfazer a relac~ao de dispers~ao! q = 2! o sen(qa=2) (ASHCROFT, 1981), sendo q onumero de onda, dado por q =2= e o comprimento de onda, que deve satisfazer a condic~ao = Na=n (n inteiro). Ondas estacionarias. y p (;) =Acos(qx p ) cos(! q ) v p (;=2) = ;A! q cos(qx p )sen(! q =2): Tambem aqui o comprimento de onda deve ser igual a uma frac~ao inteira do comprimento da cadeia. Pacotes de onda. y p (;) =A exp(;((x p ; x o + )=) 2 ) v p (;=2) = ;2:A(x p ; x o + =2)=g 2 exp(;((x p ; x o + =2)=) 2 ) d onde x o e a posic~ao do centro do pacote no instante inicial, e s~ao sua velocidade de grupo e sua largura iniciais. Pacotes de onda gaussianos estreitos quando comparados com a largura da tela, como aqueles com que aqui trabalhamos, s~ao gerados pela superposic~ao de ondas com comprimentos de onda em geral n~ao satisfazendo a condic~ao de contorno periodica. Se na expans~ao de Fourier considerada acima tomassemos L igual ao comprimento da cadeia, satisfaramos a condic~ao de contorno, mas teramos umunico pulso ocupando todo o comprimento da cadeia. Por outro lado, e possvel relaxar a condic~ao de contorno e veri- car qual e exatamente a consequ^encia de sua presenca sobre a evoluc~ao do sistema. Colis~ao de dois pulsos. Dentro da aproximac~ao harm^onica, dois pulsos que se propagam em direc~oes opostas, se cruzam sem sofrer modicac~ao. De acordo com a Mec^anica Qu^antica, para se observar efeitos de

4 114 Luciano T. Peixoto e Keydson Q. Gomes colis~ao e necessario introduzir uma perturbac~ao n~aoharm^onica, que, nos dois termos de ordem mais baixa, modica a lei de Hooke para F = k(y + cy 2 + dy 3 )=k(y) y k(y) =k(1 + cy + dy 2 ) (2) onde y =(y p+1 ; y p )ouy =(y p;1 ; yp). O termo em y 2 sozinho produz o efeito de catastrofe, o que leva a inclus~ao do termo em y 3. A introduc~ao destes dois termos requer o necessario cuidado quanto a possvel violac~ao do argumento desenvolvido no Ap^endice, pois em princpio eles alteram a matriz de evoluc~ao do sistema, laintroduzida. O argumento pode ser preservado com a escolha apropriada dos valores dos par^ametros c e d da express~ao (2), tais que k(y), quando utilizado para determinar a quantidade b(y) =[! 0 (y)] 2 =(k(y)=m) 2 (3) resulte em valores de b(y) entre 0 e 1, como discutido no Ap^endice. III. Resultados e Conclus~oes Os programas foram construdos com a linguagem C ++ (Press et al, 1992). A gura 1 mostra o aspecto da tela do computador em dois estagios da execuc~ao do programa para a expans~ao de Fourier da func~ao dentede-serra. Este aspecto e tpico tambem para a expans~ao da func~ao onda-quadrada e da func~ao gaussiana. Embora a gura n~ao reita toda a riqueza de detalhes da tela do computador, verica-se a converg^encia para a func~ao desejada e pode-se considerar que o resultado so n~ao e melhor devido a limitac~ao na precis~ao de calculo, de tal forma que a propagac~ao de erros acaba se re- etindo na forma um pouco difusa da distribuic~ao de pontos ao longo da linha que mostra a forma nal da func~ao. Figure 1. Aspecto da tela do computador em dois estagios do processamento do programa para a expans~ao de Fourier da func~ao dente-de-serra. A Figura 2 mostra o aspecto da tela em um instante durante a execuc~ao do programa para simulac~ao dos modos normais, no caso o modo normal com comprimento de onda igual a 1/5 do comprimento da cadeia. Podemos dizer que aqui os objetivos do laboratorio s~ao atingidos sem restric~oes, sendo possvel simular modos normais e ondas estacionaria de diferentes comprimentos de onda, vericar a invari^ancia do comportamento da rede quando o vetor de onda do modo normal e modicado para outro equivalente fora da primeira zona de Brillouin (ASHCROFT, 1976), e observar a propagac~ao de pulsos gaussianos. No caso da propagac~ao de pulsos estreitos, o sistema responde com uma forma peculiar de dispers~ao: aparecem pulsos secundarios acompanhando o pulso principal, com intensidade e numero que crescem gradativamente. A, a diferenca signicativa que se observa entre a situac~ao com a condic~ao de contorno periodica e a situac~ao sem ela e que,nosegundo caso, o pulso sofre reex~ao ao atingir uma extremidade da cadeia, ao passo que no primeiro caso ele reaparece na outra extremidade da cadeia. Quando aumentamos a largura do pulso, o efeito de formac~ao dos pulsos se-

5 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 2, junho, cundarios diminui, o que se pode ent~ao atribuir ao fato de que ele ca menos sensvel ao carater discreto da distribuic~ao de massa. Ou seja, a formac~ao dos pulsos secundarios tem a ver com a distribuic~ao discreta de massa e n~ao com a condic~ao de contorno. Figure 2. Aspecto do o modo normal correspondente a N=70 e =14a. Na tentativa de caracterizar a colis~ao entre dois pulsos, vericamos que dentrodaaproximac~ao harm^onica n~ao ha alterac~ao da forma quando eles se cruzam, o que, no caso, caracteriza a aus^encia de interac~ao. Quando introduzimos os termos n~ao-harm^onicos na express~ao da lei de Hooke, tambem n~ao ha alterac~ao visvel na forma dos pulsos, mas a cadeia como um todo passa a se deslocar transversalmente. O deslocamento ocorre na direc~ao de y, positiva ou negativa, em que a curva de V (y) passa a exibir o mnimosecundario pela presenca dos termos n~ao- harm^onicos (na direc~ao contraria, os termos n~ao harm^onicos fazem V (y) crescer). A direc~ao pode ser controlada trocando-se o sinal dos termos n~aoharm^onicos, e de fato, ela ca invertida quanto invertemos os sinais dos termos de segunda e terceira ordem na express~ao (2). Na Figura 3 indicamos a situac~ao em que V (y) exibe o mnimo secundario na direc~ao positiva de y. Ocorre neste caso um favorecimento ao deslocamento da posic~ao media de cada atomo na direc~ao positivadey, que se reete produzindo o movimento da cadeia como um todo. Este movimento, no caso de pulsos longitudinais, se da ao longo do comprimento da cadeia. E ele, como vericamos tanto para pulsos transversais como para longitudinais, e t~ao mais rapido quanto maior o numero de pulsos iniciais presentes. Este resultado, em termos de uma cadeia real, corresponde a ela possuir uma temperatura mais elevada. Assim, de acordo com o nosso modelo classico, um solido n~ao-harm^onico livre no espaco e incapaz de sofrer dilatac~ao termica, mas simplesmente experimenta um movimento contnuo de translac~ao, tanto mais rapido quanto mais elevada a temperatura. Fixando-se o atomo de uma das extremidades, de modo a impedir sua translac~ao mas n~ao sua oscilac~ao, o resultado, em termos da presenca de pulsos longitudinais, e umaumento do comprimento medio da cadeia, aumento tanto maior (e com menor utuac~ao de valor) quanto maior o numero de pulsos presentes. Neste ponto, vale a pena acrescentar que imaginavamos tirar proveito do poco de potencial secundario que aparece na curva de V (y) quando escolhemos apropriadamente os coecientes dos termos n~ao-harm^onicos. Novamente a Figura 3 serve de ilustrac~ao. Com a superposic~ao de dois ou mais pulsos, um atomo, que de outro modo estaria oscilando dentro do poco principal, poderia cair no poco secundario e a, desde que oscilasse com amplitude inferior a largura do poco, permanecer. Como y representa a separac~ao entre atomos vizinhos, tal efeito, considerados pulsos longitudinais, implicaria no aumento do comprimento da rede. A explicac~ao da falha do argumento e dadana mesma Figura 3. No graco da esquerda, a condic~ao 0 <b(y) < 1(ver eq. (3)) e satisfeita, mas mostramos que para ocorrer a transic~ao da posic~ao de equilbrio para o poco secundario os valores de y devem superior 1500 unidades. No graco da direita mostramos, dentro da mesma escala de unidades, os valores de y atingidos na nossa simulac~ao: para eles, no entanto, n~ao se cumpre a condic~ao de estabilidade. O graco da esquerda mostra ainda a possibilidade de efeito de catastrofe quando tomamos d = 0 (situac~ao indicada pela linha tracejada). Contudo, no nosso tratamento ja encontramos, no efeito de dispers~ao caracterizado acima, a explicac~ao do processo de conduc~ao de calor. Uma vez que a distribuic~ao de massa em um solido real e discreta, se de incio concentrarmos varios pulsos em uma regi~ao do sistema, com o tempo teremos um maior numero de pulsos com menor amplitude distribudos pela cadeia como um todo, correspondendo a situac~ao em que, injetado calor em um ponto do solido, o aumento local de temperatura acaba se expandindo para o resto da barra, ate que seja atingida a temperatura de equilbrio.

6 116 Luciano T. Peixoto e Keydson Q. Gomes Uma vers~ao experimental do programa para simulac~ao pode ser solicitado pelo endereco eletr^onico luciano@cce.ufes.br. Figure 3. Graco de V (y) =y 2 ;jcjy 3 =3+jdjy 4 =4 para os valores de y a esquerda a condic~ao 0 <b(y) < 1e satisfeita (a linha tracejada vale para d = 0) a direita mostramos o intervalo de valores de y alcancados na nossa simulac~ao, mas com a condic~ao de estabilidade violada. Ap^endice O algortmo para o presente tipo de calculo pode tambem ser unitario, no sentido de que, escrevendo-se a equac~ao de evoluc~ao do sistema na forma (aqui, para simplicar, escrita para uma cadeia com 4 atomos), se acontecer da matriz de transformac~ao possuir todos autovalores com modulo igual a 1. Utilizamos o programa Mathematica e constatamos que tal acontece se o par^ametro b =(! o d) 2 tiver valores entre 0 e 1, independentemente da ordem da matriz. A propriedade unitaria garante que a soma dos quadrados dos elementos da matriz coluna jamais excedera ovalor inicial, e ter-se-a desta forma a desejada estabilidade do sistema. Notar que, dado o valor de b, a escolha de! o ou d e arbitraria, de modo que a rapidez de oscilac~ao do sistema e determinada pela escolha do proprio b: quanto mais alto for este valor, mais rapida sera a oscilac~ao. Refer^encias Bibliogracas N. W. Ashcroft e N. D. Mermin. Solid State Physics. Philadelphia, Holt-Saunders, J. C. Butcher. Computers in Physics 8(4): , B. P. Flannery, W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling,. Numerical Recipes in C: the Art of Scientic Computing. Cambridge, Cambridge University Press, P. B. Visscher.Computers in Physics nov/dec 1991: