Relatório - 5ª Experiência - Calorimetria, ajuste de reta e propagação de erros

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1 Universidade de São Paulo Instituto de Física FAP 115 Profº. Kiyomi Koide São Paulo, 18 de Maio de 00 TURMA A Relatório - 5ª Eperiência - Calorimetria, ajuste de reta e propagação de erros Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa IME Bach. Estatística 1

2 Objetivo Estudo da temperatura da água com aquecimento constante. Verificar a isolação de uma garrafa térmica contendo água. Medir o calor específico da água e a capacidade térmica do calorímetro. Fazer: propagação de incertezas, ajuste de reta, análise de resíduos. Interpretar o ajuste usando χ red. Material Utilizado Fonte de calor: resistência 3.5 Ω Material a ser aquecido: água + calorímetro Sistema: isolado (garra térmica nº 16 / calorímetro) Medida: termômetro digital, cronômetro digital, balança digital. Eperiência $JLWDGRU )RQWH'& 7HUP{PHWUR 'LJLWDO *DUUDID 7pUPLFD 5HVLVWrQFLD FIGURA 1 - Arranjo Eperimental Montamos o eperimento conforme o arranjo ilustrado acima. A quantidade de água usada foi de (400.0 ± 0.) g. Para medir tal quantidade primeiro colocamos a garrafa térmica em cima da balança digital, zeramos o contador, e fomos acrescentando água até que o mostrador indicasse a massa desejada. Em seguida fechamos a garrafa, colocamos o termômetro, agitamos a água para uniformizar a temperatura e em seguida ligamos a fonte que alimentava a resistência. A partir daí zeramos o cronômetro digital e de em minutos anotamos a temperatura, a corrente a a tensão fornecidas pela fonte. Mantivemos o procedimento até que a variação de temperatura chegasse a 15ºC. Resultados Eperimentais

3 TABELA 1 Dados Eperimentais t(s) T(ºC) T(ºC) V(v) I(A) P(W) V(v) I(A) P(W) obs.: para encontrar P utilizamos a fórmula para propagação de erros numa relação c = a.b. GRÁFICO 1 - Potência Tempo 14.7 Potência (W) Tempo (s) 3

4 No Gráfico 1 acima (Potência Tempo) podemos observar que apesar das aparentes variações na potência, essas ficaram dentro da margem de incerteza. G RÁFICO - Tem peratura Tem po 35 Temperatura (ºC) Tempo (s) No Gráfico acima temos os dados coletados e a reta que melhor se ajusta aos dados (obtida através do ajuste por mínimos quadrados). O fato de ser possível traçar essa reta nos indica que a relação Tempo Temperatura é linear. Notemos também que o primeiro ponto fica fora da reta-ajuste, isso se justifica pois no instante t = 0 foi quando ligamos a alimentação da resistência. reta. Obs.: Conferir aneo: gráfico feito em papel milimetrado, com ajuste visual da Propagação de Incertezas Q1. Faça a propagação de incerteza para a função ω =. ω = ω ω ω = () = = () 4

5 Q. Em cada instante, vocês mediram a tensão aplicada sobre a resistência e a corrente que passa. Calcule a potência e sua incerteza, fazendo a propagação de erros. Os resultados podem ser encontrados na TABELA 1, acima. Para os valores da potência fizemos: P = I. V e para achar a incerteza da potência nos utilizamos da propagação de incertezas para produtos de funções, no caso: P V I = + P V I Substituindo os valores para os casos em que a potência/corrente variaram temos a coluna P da Tabela. Q3. Trace a reta média nos gráficos da potência em função do tempo e da temperatura em função do tempo. GRÁFICO 3 - Potência Tempo (reta média) Potência (W) Tempo (s) Obs.: A reta média para a relação Temperatura Tempo foi traçada no Aneo (Gráfico 1 em papel milimetrado). A partir do ajuste visual podemos obter o coeficiente angular da reta: a = = De maneira análoga, podemos achar a min e a ma, para calcularmos a incerteza: 5

6 amin = = ama = = Logo, a = (48.18 ± 0.18) 10 - º C/min ou a = (8.03 ± 0.03) 10-3 º C/s. Observando onde a reta corta o eio y, chegamos em b = (3,7 ± 0.1)º C. A equação da reta ajustada visualmente fica portanto: y = Q4. Comente se a potência dissipada na resistência foi constante. Comente se a relação (3) da apostila da 5ª eperiência está de acordo com os resultados eperimentais. Considerando a reta média poderíamos nos precipitar e dizer que a potência aumentou gradativamente, mas como essa variação está dentro das barras de incerteza, não podemos assegurar que de fato houve essa variação. P Temos que: Q = P t e Q = C T portanto, T = t C = 1560 C = C C = 1869J /º C ou C = cal /º C Ainda, pelo modelo teórico, temos que a = P/C. Substituindo: 14.5 a = = Valor compatível com o coeficiente angular a encontrado através do ajuste visual da reta. Logo a relação (3) está de acordo com a eperiência. Q5. Obtenha a capacidade térmica do calorímetro com sua incerteza. Temos pela relação 4: C = C + cal mc = C C cal cal = (46.5 ± 0.5) cal / C Ajuste por mínimos quadrados Identifique i, y i, i nos seus dados. Eplique por que podemos esquecer a incerteza no i. Temos i : tempo e y i : temperatura. A incerteza da variável pode ser transferida para a variável dependente y de forma a simplificar os cálculos, através da fórmula de propagação de incertezas. No caso presente, esquecemos a incerteza da variável i porque ela se refere ao tempo marcado com o cronômetro, e estamos desconsiderando essa incerteza desde o início do eperimento. 6

7 TABELA Ajuste por Mínimos Quadrados n (s) y(ºc) y (ºC) 1/( y )² /( y )² y/( y )² ²/( y )² y/( y )² y calc χ χ² S S S S S S y S y χ = S S a = S S S S y S S a = S S y S S b = y y = = (73000) b = = = = = = = S Logo: a = (7.9 ± 0.1) 10-3 º C/s b = (3.6 ± 0.1) º C. A equação que descreve a relação Temperatura Tempo, fica então: y = Q6. Apresente os coeficientes calculados e compare com os coeficientes que você obteve com ajuste visual, discutindo a compatibilidade. Utilizando o ajuste visual, obtivemos os seguintes parâmetros: y = com a = (8.03 ± 0.03) 10-3 º C/s. e b = (3,7 ± 0.1)º C. Utilizando os mínimos quadrados, chegamos em: y = com a = (7.9 ± 0.1) 10-3 º C/s e b = (3.6 ± 0.1) º C. Considerando-se as incertezas as duas aproimações são compatíveis entre si. 7

8 TABELA 3 Comparação dos Resíduos Normalizados: Ajuste Visual Mínimos Quadrados Ajuste Visual Mínimos Quadrados n (s) y(ºc) y (ºC) y calc χ χ² y calc χ χ² µ(χ) Σχ² µ(χ) Σχ² Q7. Quanto deveria ser o valor médio de χ para ter um bom ajuste? O que poderia significar χ >> 1? Ou no caso de χ << 1? Quando χ >> 1, temos que a diferença entre o valor previsto pelo modelo e o valor real está acima da incerteza considerada. Quando χ << 1 temos que esse valor está dentro da margem da incerteza. O ajuste será tanto melhor quanto menor for o valor médio de χ. Podemos entretanto estipular arbitrariamente que um valor de 0.5 para χ seja razoável para um bom ajuste. Analisando a Tabela 3, podemos verificar que os valores obtidos através da aproimação proveniente dos mínimos quadrados apresentam resíduos normalizados menores que os obtidos pelo ajuste visual. Logo o ajuste via mínimos quadrados é um melhor ajuste que o ajuste visual. Q8. Construa um gráfico de resíduo normalizado χ em função da grandeza. Verifique como os pontos estão distribuídos em torno do zero. Quais são os valores do resíduo? Maior ou menor que 1? Discuta. 8

9 Gráfico 4 - Resíduo Normalizado Tempo 1.0 Resíduo Normalizado Tempo (s) A maioria dos resíduos é em módulo inferior a 1, entretanto alguns etremos ficam um pouco acima desse limiar. A concentração superior dos resíduos pode indicar alguma imprecisão teórica no modelo formulado, entretanto como o número de amostras é pequeno, não se pode tirar maiores conclusões. Analisando meramente os valores em módulo dos resíduos podemos considerar o modelo adequado. Q9. Construa um histograma de resíduo normalizado. Interprete o histograma. 9

10 Gráfico 5 - Histograma de Resíduo Normalizado Resíduo Normalizado O Histograma de Resíduo Normalizado nos dá praticamente a mesma informação que o Gráfico 4. Temos a maioria dos valores em módulo inferiores a 1 e uma parte considerável levemente superior a esse limite. Q10. Quanto é o grau de liberdade dos seus dados? Use o valor de χ r² calculado do seu ajuste para verificar a qualidade dos ajustes. χ Temos que: χ =. r q Onde q é o grau de liberdade, dado por n (número de pontos eperimentais a serem ajustados) p (número de parâmetros da função a ser ajustada). Temos no nosso caso: q = 14 = 1. Para o ajuste por mínimos quadrados temos: χ = = r 1 Para o ajuste visual temos: χ = = r 1 Analisando os valores de χ r² para os dois ajustes verificamos de cara que o ajuste de quadrados mínimos é bem melhor que o ajuste visual, já que < Entretanto um valor de pode não estar suficientemente próimo de 1, de forma que alguma superestimativa das incertezas eperimentais tenha afetado o modelo teórico. 10

11 Bibliografia ADDED, Nemitala. Guia de Estudos: Laboratório de Física I Para Matemáticos. 00. BUSSAB, Wilton de O Estatística Básica 5.ed. São Paulo: Saraiva 00 ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. 4ª ed. São Paulo, Scipione, VUOLO, J.H. Introdução à Teoria de Erros 3.ed, São Paulo,