Processamento de Sinais Usando Quatérnios

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1 Processamento de Sinais Usando Quatérnios Diogo Pelaes, Lúcio T. Santos, Departamento de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP, , Campinas, SP 1 Introdução A filtragem de sinais é muito importante no trabalho de processamento de sinais e para isso é usado a transformada de Fourier, pois filtrar um sinal nada mais é que multiplicar uma função filtro no domínio de Fourier pelo sinal também no domínio de Fourier. Considerando sinais em duas dimensões é usado a transformada de Fourier bidimensional para fazer a filtragem como já descrita. Nesse contesto, é possível aplicar uma nova ferramenta, a transformada quaterniônica de Fourier (QFT) como [2], que nada mais é do que um caso particular das transformadas hipercomplexas de Fourier apresentadas em [5]. O conjunto dos quatérnios foi inicialmente apresentado por Hamilton [4] e usando o conceito de transformadas hipercomplexa [5] é definida a transformada quaterniônica de Fourier. A QFT tem sido explorada na análise de cores de imagens como por exemplo em [7], [9] e [1]. Outra abordagem foi feita por [3], que descreve a função quaterniônica de sinal bidimensional, uma função derivada das propriedades da QFT e que pode substituir a tradicional função analítica de sinal bidimensional, mostrando-se muitas vezes mais eficaz para análise do comportamento do sinal. Na prática os sinais são discretos e por isso a QFT deve ser tratada no caso discreto, como feito em [8], explorando ao máximo o que já é conhecido da transformada clássica de Fourier, ajudando muito o trabalho computacional como mostrado na item 6. Este trabalho tem como objetivo analisar as fases quaterniônicas da QFT, para isso foi realizado um exemplo utilizando uma imagem simples e alterando cada fase separadamente, para uma simples comparação e tentar compreender qual informação cada fase carrega. Antes de mostrar este exemplo é apresentado de maneira mais simples e objetiva possível a teoria para compreender o assunto abordado. 2 Quatérnios Para entender a transformada quaterniônica de Fourier (QFT) é preciso conhecer o conjunto dos quatérnios, aqui será feito uma simples apresentação, para maiores detalhes ver em [5]. Considere os elementos i, j e k tais que, ij = ji = k, i 2 = j 2 = k 2 = 1. (1) É chamado de quatérnios o conjunto H = {q = q 0 +q 1 i+q 2 j+q 3 k : q 0, q 1, q 2, q 3 R} munido das operações de adição usual, multiplicação por escalar, também usual, e com o produto entre dois elementos deste grupo (q e v), dado por: qv = (q 0 v 0 q 1 v 1 q 2 v 2 q 3 v 3 ) + i(q 0 v 1 + q 1 v 0 + q 2 v 3 q 3 v 2 ) + j(q 0 v 2 + q 2 v 0 q 1 v 3 + q 3 v 1 ) + k(q 0 v 3 + q 3 v 0 + q 1 v 2 q 2 v 1 ). (2) Observe que H não é comutativo. Também é definido o conjugado de um quatérnio q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k como sendo: q = q 0 q 1 i q 2 j q 3 k. (3)

2 E a norma de um quatérnio q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k: q = qq = q q2 1 + q2 2 + q2 3. (4) 3 Fases do Quatérnio É comum quando se trabalha com números complexos escrever estes números em coordenadas polares, z = Ae iθ, sendo A a amplitude e θ a fase. Um quatérnio q também pode ser escrito de forma parecida, mas com três fases, como descrito no teorema abaixo, apresentado em detalhes em [2]: Teorema 3.1. Todo quatérnio q pode ser escrito como: q = q e iφ e kψ e jθ, (5) sendo φ [ π, π), θ [ π/2, π/2) e ψ [ π/4, π/4]. Prova: Ver [2]. Para demonstrar este resultado, é usado o fato de que todo quatérnio unitário representa uma rotação em R 3, ou seja, existe um homomorfismo sobrejetivo dos quatérnios unitários para o grupo SO(3) (special orthogonal group). Este homomorfismo é dado pela matriz de Rodriguez, muito utilizada no estudo de rotação utilizando quatérnios. 4 Transformada quaterniônica de Fourier (QFT) A transformada quaterniônica de Fourier é uma transformada bidimensional e (em geral) pode ser aplicada em funções quaterniônicas, (sobre certas condições, assim como a transformada de Fourier), porém considera-se apenas sinais reais. A QFT é um caso particular das transformadas hipercomplexas de Fourier [5]. Seja f um sinal bidimensional, f : R 2 R, então a QFT de f é definida por F q (w 1, w 2 ) = e ix 1w 1 f(x 1, x 2 )e jx 2w 2 dx 1 dx 2. R 2 Sua inversa (IQFT) é dada por (6) f(x 1, x 2 ) = 1 4π 2 e ix1w1 F q (w 1, w 2 )e jx2w2 dw 1 dw 2. R 2 (7) Observe que para calcular a IQFT, é fundamental que F q esteja envoluida pelas exponenciais, nesta ordem, pois caso contrário não estaria bem definida. Uma propriedade da QFT importante é a seguinte: Propriedade 4.1. Seja f um sinal separável, f(x 1, x 2 ) = g(x 1 )h(x 2 ), e F q = A q e iφ e kψ e jθ. Então ψ = 0. 5 Vantagens da QFT Seja F a transformada de Fourier de um sinal real unidimensional f R R. Como F (w) = F ( w), basta conhecer F (w), w 0 para recuperar todo o sinal, ou seja, é necessário 50% da informação no domínio da freqüência. Da mesma maneira para o caso bidimensional, seja F a transformada de Fourier de um sinal real bidimensional f R 2 R, como F (w 1, w 2 ) = F ( w 1, w 2 ) e F ( w 1, w 2 ) = F (w 1, w 2 ) basta conhecer F no primeiro e no segundo quadrante do domínio de Fourier para recuperar todo o sinal f, ou seja, é necessário 50% da informação no domínio de Fourier para recuperar f. Um resultado da QFT que a torna mais eficiente neste sentido é: Teorema 5.1. Seja F q a transforma quaterniônica de um sinal bidimensional f, então jf q (w 1, w 2 )j = F q ( w 1, w 2 ), (8) e if q (w 1, w 2 )i = F q (w 1, w 2 ). (9) Prova: Ver [3]. Assim basta conhecer F q no primeiro quadrante para recuperar o sinal todo, ou seja, 25% da informação. O fato da QFT poder ser escrita como (5) também pode ser explorado para criar filtros

3 em cada fase (filtros quaterniônicos), que atuam com uma sensibilidade diferente do convencional. O exemplo tomado neste trabalho mostra como as fases se comportam, dando uma idéia de como os filtros quaterniônicos podem funcionar. 6 FQFT Os sinais são freqüentemente discretos e, por isso, deve-se trabalhar com a QFT discreta como descrito em [8] e assim implementar tal modelo. A transformada clássica de Fourier tem sua representação discreta muito bem implementada pela famosa FFT (Fast Fourier Transform), cujo algoritmo tem complexidade O(N log N). Por essa razão a implementação da QFT deve ser feita usando a FFT (por isso FQFT). Para tanto, basta decompor as integrais da QFT de forma a se obter a transformada clássica de Fourier (ao fazer este processo deve-se tomar cuidado com a não comutatividade dos quatérnios). Ao final, verifica-se que para calcular a FQFT de um sinal real é necessário calcular três vezes a FFT, enquanto usando a FFT2 (FFT bidimensional) é necessário aplicar duas vezes a FFT. Para a IFQFT é necessário quatro vezes a FFT, pois a IFQFT é aplicada em uma função quaterniônica, enquanto a IFFT2 utiliza duas vezes a IFFT. Assim, verifica-se que o acréscimo no custo computacional e insignificante, já que se espera obter informações que a transformada de Fourier clássica não oferece. Figura 1: Imagem flujet do Matlab. Transformada quaterniônica de Fourier F q (w 1, w 2 ) = A q e iφ e kψ e jθ, (11) com A q, φ, ψ e θ dependendo de w 1 e w 2. Agora para fazer a comparação, é considerado uma atenuação de 20% das fases. A Figura 2 mostra a inversa de (10), com fase 0, 8α a esquerda, e fase nula a direita. O mesmo procedimento é realizado para as fases φ, (Figura 4), ψ, (Figura 3), e θ, (Figura 5). 7 Exemplos O objetivo deste tópico é comparar diferentes fases da transformada quaterniônica de Fourier. Como exemplo foi utilizada a Figura 1, gerada usando a figura flujet do Matlab. A função que descreve esta imagem não é separável e portanto não se aplica a Propriedade 4.1. Seja f a função que descreve a imagem e as transformadas: Transformada de Fourier F (w 1, w 2 ) = Ae iα, (10) com A e α dependendo de w 1 e w 2. Figura 2: Esquerda: 80% da fase α. Direita: Fase α nula. Para fases φ e θ quando anuladas, (Figuras 3 e 5), pode-se notar uma simetria na vertical e na horizontal respectivamente. Já a Figura 4, sugere pouca influencia da fase ψ, na imagem. O mesmo fato pode ser visto utilizando a Figura 6, um tabuleiro, alterado no canto inferior esquerdo.

4 Figura 3: Esquerda: 80% da fase φ. Direita: Fase φ nula. Figura 6: Tabuleiro alterado. na Figura 9. De fato não há diferença alguma, pois a função que descreve esta imagem é quase separável. Com relação as outras fases (φ e θ), nota-se a influência simétrica da fase φ na horizontal e da fase θ na vertical, como pode ser visto nas Figuras 8 e 10. Fica claro que manipular a imagem usando as fases quaterniônicas é mais sensível, pois como exibe a Figura 7 esse tipo de alteração na fase α gera uma grande distorção na imagem. Figura 4: Esquerda: 80% da fase ψ. Direita: Fase ψ nula. Figura 7: Esquerda: 80% da fase α. Direita: Fase α nula. Figura 5: Esquerda: 80% da fase θ. Direita: Fase θ nula. Utilizando o mesmo procedimento realizado para a Figura 1, foi obtido um resultado similar com respeito a fase ψ, como pode ser visto 8 Conclusão A transformada quaterniônica de Fourier têm diversas propriedades semelhantes, porém outras tantas não são nada parecidas. Algumas destas propriedades são apresentadas em [2].

5 destas diferenças foi observada na seção 5, o fato da QFT precisar apenas de 25% da informação no domínio de Fourier para recuperar o sinal original, enquanto a transformada clássica de Fourier precisa de 50%. Entretanto, o fato mais interessante é o fato de a QFT ter três fases, permitindo diversos resultados como, o apresentado no exemplo e em [3], [1] e [9], dentre outros. Figura 8: Esquerda: 80% da fase φ. Direita: Fase φ nula. O custo computacional da QFT, como visto na seção 6, não difere da transformada clássica de Fourier de forma considerável, pois o aumento foi linear. Assim, do ponto de vista computacional, a QFT pode ser aplicada sem problemas. Nos exemplos aqui exibidos verificou-se que a fase quaterniônica ψ não sofreu quase nenhuma alteração, enquanto a fase da transformada clássica de Fourier modificou-se completamente, tais como as fases φ e θ. Referências Figura 9: Esquerda: 80% da fase ψ. Direita: Fase ψ nula. [1] P. Bas, N. Bihan and J.-M Chassery, Color image watermarking using quaternion Fourier transform, Acoustics, Speech, and Signal Processing, Proceedings. (ICASSP 03) IEEE International Conference, 3, pp , [2] T. Bülow, Hypercomplex spectral signal representations for the processing and analysis of images, Inst. Comput. Sci. Appl. Math., Christian-Albrechts-Univ. Kiel, Kiel, Germany, [3] T. Bülow, and G. Sommer, Hypercomplex signals: A novel extension of the analytic signal to the multidimensional case, IEEE Transactions on Signal Processing, 49 (2001) [4] W. R. Hamilton, Elements of Quaternions Longman, London, Figura 10: Esquerda: 80% da fase θ. Direita: Fase θ nula. Em grande parte a diferença das propriedades derivam da não comutatividade dos quatérnios, como pode ser visto em [6]. Uma [5] I. L. Kantor and A. S. Solodovnikov, Hypercomplex Numbers, Springer-Verlag, Berlin, [6] S-C. Pei, Efficient Bit and Digital Reversal Algorithm Using Vector Calculation, Signal Processing, IEEE Transactions on

6 [see also Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE Transactions, 55 (2007) [7] S. J. Sangwine, Fourier transforms of colour images using quaternion, or hypercomplex, numbers, Electronics Letters, 32 (1996) [8] S. J. Sangwine, The discrete quaternion Fourier transform, Image Processing and Its Applications, 1997., Sixth International Conference, 2, pp , [9] S. J. Sangwine and T. A. Ell, Hypercomplex Fourier transforms of color images, Image Processing, IEEE Transactions, 16 (2007)