Programação e Computação para Arquitectura 2012/2013

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Programação e Computação para Arquitectura 202/203 Segundo Teste/Primeiro Exame /0/203 Nome: Número: Escreva o seu número em todas as folhas da prova. O tamanho das respostas deve ser limitado ao espaço fornecido para cada pergunta. Se tiver dúvidas de interpretação, faça suposições razoáveis e explicite-as na sua resposta. Pode usar os versos das folhas para rascunho. A prova tem 8 páginas e a duração é de 60/20 minutos. A cotação de cada questão encontra-se indicada entre parêntesis. Boa sorte. Se pretende fazer o Segundo Teste responda apenas às perguntas 9 e seguintes. Se pretende fazer o Exame responda a todas as perguntas.. (.0) A multiplicação inteira define-se pela fórmula a n = a + a + + a }{{} n (a) (0.5) A definição anterior é recursiva? Justifique a sua resposta. A definição não é recursiva porque não está definida em termos dela própria. (b) (0.5) Sugira uma definição matemática da multiplicação inteira que elimine quaisquer ambiguidades na sua interpretação. a n = { 0, se n = 0 a + a (n ), se n N. 2. (0.5) O que é um predicado? Dê um exemplo. É uma função que retorna verdade ou falso. A função null? é um exemplo.

2 Número: 2 3. (.0) Converta as seguintes expressões da notação do Racket para a notação da aritmética: (a) (* (/ 2) 3) 2 3 (b) (* (- 2 3)) (2 3) (c) (/ (+ 2) 3) +2 3 (d) (/ (/ 2) 3) 2 3 (e) (/ (/ 2 3)) 2 3 (f) (- (- 2) 3) ( 2) 3 (g) (- 2 3) 2 3 (h) (- (- 2) 3) 2 3 (i) (/ (expt (cos (/ 2 (sqrt 5))) 4) 8) cos (j) (sqrt (/ (log (expt 2 (abs (- 3 (* 9 (log 28)))))))) log 2 (3 9 log 28) 4. (.0) Defina uma função Racket que recebe uma quantidade em graus centígrados C e calcula o valor correspondente em graus fahrenheit F. Note que F = C (define (fahrenheit<-centrigados graus) (+ (* graus 9/5) 32)) 5. (.0) Defina uma função recursiva potencia que, dado um número x e um expoente inteiro não negativo n, calcula x n. (define (potencia x n) (if (= n 0) (* n (potencia x (- n )))))

3 Número: 3 6. (.0) Defina uma função denominada circulos-tangentes que, dado o centro p e o raio r do círculo maior e um factor de redução do raio 0 < f <, cria o conjunto de círculos tangentes que se apresenta em seguida. Assuma que nenhum dos círculos pode ter raio menor que 0.: Y X (define (circulos-tangentes p r f) (if (< r 0.) #t (begin (circle p r) (circulos-tangentes (+y p (* (- f ) r)) (* f r) f)))) (circulos-tangentes u0 0.9) 7. (.5) Defina a função semi-esfera-agulhas que, dado um ponto P, um comprimento l, um raio r e um número n, cria n cones de comprimento l e raio r, cuja base está centrada no ponto P e cujo apex é posicionado aleatoriamente numa semi-esfera, tal como se apresenta na seguinte imagem: (define (semi-esfera-agulhas p r rc n) (if (= n 0) #t (begin (cone p rc (+sph p r (random-range 0 2pi) (random-range 0 pi/2))) (semi-esfera-agulhas p r rc (- n ))))) (semi-esfera-agulhas (xyz 0 0 0) )

4 Número: 4 8. (3.0) Pretende-se modelar uma estante cujas prateleiras estão separadas por uma distância aleatória. A imagem seguinte ilustra cinco destas estantes colocadas lado a lado. Considerando que cada estante tem um dos cantos posicionado num ponto P e tem altura h e que as prateleiras têm comprimento c, profundidade l, e espessura e, e que a separação entre prateleiras, embora aleatória, está contida no intervalo entre d min e d max, defina a função estante-aleatoria capaz de modelar uma destas estantes aleatórias. Sugestão: não tente fazer tudo com uma só função. (define (prateleiras-aleatorias p c l e dmin dmax h) (if (< h dmax) #t (let ((d (random-range dmin dmax))) (box p c l e) (prateleiras-aleatorias (+z p d) c l e dmin dmax (- h d))))) (define (coluna-estante-aleatoria p c l e dmin dmax h) (box p e l h) (box (+x p (- c e)) e l h) (box (+z p h) c l e) (prateleiras-aleatorias (+x p e) (- c e e) l e dmin dmax h))

5 Número: 5 9. (.0) Considere uma torre cujos pisos possuem a forma de cilindros todos com a mesma altura, tal como se ilustra de seguida. Considere ainda que o cilindro maior está centrado no ponto P, tem raio r e altura h. A diferença de raio entre dois cilindros adjacentes é r e é igual para todos os cilindros. Considere ainda que a torre é constituída por n cilindros e é simétrica relativamente a um plano paralelo ao plano XZ. Defina a função torre-cilindros de modo a conseguir modelar esta torre e garantindo que a função devolve a forma desejada como resultado (i.e., não basta produzir efeitos secundários). (define (torre-cilindros p r dr h n) (if (= n 0) (empty-shape) (union (cylinder p r h) (torre-cilindros (+xz p (- dr) h) (- r dr) dr h (- n ))))) (torre-cilindros u ) 0. (2.0) Considere uma sequência de n cilindros de raio r, empilhados de modo a produzirem uma forma sinusoidal de amplitude a, frequência ω, e altura h, de que se apresentam três exemplos em seguida. Considerando ainda que o cilindro mais em baixo tem a base centrada num ponto P e que a sinusoide se desenvolve num plano parelelo ao plano XZ, defina a função cilindros-sinusoide capaz de reproduzir qualquer uma destas formas. Sugestão: use a função map-division.

6 Número: 6 (define (cilindros-sinusoide p r a omega h n) (map-division (lambda (t) (cylinder (+xz p (* a (sin (* omega t))) t) r (/ h n))) 0 h n)). (.5) Considere a construção de uma escada em caracol tal como se apresenta nos três exemplos seguintes: Note que cada degrau consiste simplesmente de um paralelipípedo assente em cima do degrau imediatamente abaixo e que a coluna central é um cilindro cujo diâmetro é igual à largura do degrau. Defina a função escada-caracol capaz de construir esta escada a partir do ponto P da base do eixo de rotação, do comprimento c, largura l e espessura e de cada degrau, do ângulo α de rotação do primeiro degrau e do incremento de rotação α entre degraus consecutivos e, finalmente, do número n de degraus. (define (degraus-caracol p c l e a da n) (if (= n 0) (empty-shape) (union (right-cuboid p l e (+pol p c a)) (degraus-caracol (+z p e) c l e (+ a da) da (- n ))))) (define (escada-caracol p c l e a da n) (union (degraus-caracol (+z p (/ e 2)) c l e a da n) (cylinder p (/ l 2) (+z p (* n e)))))

7 Número: 7 2. (.5) Usando a função (escada-caracol P c l e α α n) discutida no exercício anterior, defina a função escada que, para além de construir uma escada em caracol com uma rotação total de 80 graus, ainda a envolve com uma parede semi-circular onde se apoiam os degraus, tal como se apresenta na seguinte imagem. A sua função escada deverá receber, como parâmetros, o ponto P do centro da base das escada, os raios interior r 0 e exterior r da parede semi-circular, a largura l de cada degrau, a altura h a vencer e, finalmente, o número n de degraus pretendidos para vencer aquela altura. (define (escada p r0 r l h n) (union (escada-caracol p (/ (+ r0 r) 2) l (/ h n) 0 (/ pi (- n )) n) (intersection (subtraction (cylinder p r (+z p h)) (cylinder p r0 (+z p h))) (right-cuboid p (* 2 r) (* 2 h) (+pol p r (/ pi 2.0)))))) 3. (2.0) Pretende-se produzir a superfície representada na seguinte imagem à direita, a partir de um conjunto de coordenadas tri-dimensionais, tal como se apresenta na imagem à esquerda: p,0 p 0,0 p 2,0 p 3,0 p 0, p, p 0,2 p,2 p 0,3 p,3 p 2, p 2,2 p 2,3 p 4,0 p 5,0 p 3, p 3,2 p 3,3 p 4, p 4,2 p 4,3 p 2,4 p2,5 p 0,4 p,4 p0,5 p,5 p 5, p 5,2 p 5,3 p 3,4 p3,5 p 4,4 p4,5 p 5,4 p5,5 Admita que essas coordenadas estão armazenadas numa lista de listas da forma:

8 Número: 8 ((p 0,0 p 0,... p 0,5) (p,0 p,... p,5)... (p 5,0 p 5,... p 5,5)) Defina a função superficie-interpolacao que recebe uma lista com a forma anterior, começa por criar uma lista de splines em que cada spline S i passa pelos pontos p i,0, p i,,..., p i,5 tal como se apresenta na imagem anterior à esquerda e acaba por usar essa lista de splines S 0, S,..., S 5 para fazer uma interpolação suave de secções, tal como se apresenta na imagem seguinte à direita: (define (superficie-interpolacao pontos) (loft (map spline pontos))) 4. (2.0) Um toro de raios maior r 0 e menor r é definido parametricamente pela equação: x = cos t(r 0 + r cos u) y = sin t(r 0 + r cos u) z = z = r sin u 0 u 2π; 0 v 2π; Empregando a equação anterior, defina a função toro-esferas que gera um toro de esferas semelhante ao que se apresenta em seguida a partir do centro do toro P, dos raios maior r 0 e menor r do toro, do raio de cada esfera r e e ainda do número de intervalos m e n a considerar em cada dimensão. (define (toro-esferas p r0 r re m n) (for ((u (division 0 2pi m))) (for ((v (division 0 2pi n))) (sphere (+cyl p (+ r0 (* r (cos v))) u (* r (sin v))) re))))