Exercícios de Programação e Computação para Arquitectura

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1 Exercícios de Programação e Computação para Arquitectura António Menezes Leitão Aula 7

2 1 Introdução Uma treliça é uma estrutura composta por barras rígidas que se unem em nós, formando unidades triangulares, tal como se ilustra na Figura 1. Figura 1: Treliça composta por elementos triangulares iguais. Para o desenho de uma treliça, vamos considerar, como base de trabalho, três sequências arbitrárias de pontos em que cada ponto define um nó da treliça. A partir destas três sequências podemos criar as ligações que é necessário estabelecer entre cada par de nós. A Figura 3 apresenta o esquema de ligação a partir de três sequências de pontos (a 0, a 1, a 2 ), (b 0, b 1 ) e (c 0, c 1, c 2 ). Note-se que a sequência de topo estabelecida pelos pontos b i da sequência intermédia tem sempre menos um elemento que as sequências a i e c i. b a 0 b 0 a 1 1 a 2 c 0 c 1 c 2 Figura 2: Esquema de ligação de barras de uma treliça em space frame. Para a construção da treliça precisamos de encontrar um processo que, a partir das listas de pontos a i, b i e c i, não só crie os nós correspondentes aos vários pontos, como os interligue da forma correcta. Podemos começar a idealizar a função que constrói a treliça completa a partir das listas de pontos as, bs e cs: (define (trelica as bs cs) (nos-trelica as) (nos-trelica bs) (nos-trelica cs)...) Comecemos por tratar da criação dos nós: 1

3 (define (nos-trelica ps) (if (null? ps) #t (begin (no-trelica (car ps)) (nos-trelica (cdr ps))))) A função no-trelica (notemos o singular, por oposição ao plural empregue na função nos-trelica) recebe as coordenadas de um ponto e é responsável por criar o modelo tridimensional que representa o nó da treliça centrado nesse ponto. De seguida, vamos tratar de estabelecer as barras entre os nós. Da análise da Figura 3 ficamos a saber que temos uma ligação entre cada a i e cada c i, outra entre a i e b i, outra entre c i e b i, outra entre b i e a i+1, outra entre b i e c i+1, outra entre a i e a i+1, outra entre b i e b i+1 e, finalmente, outra entre c i e c i+1. Admitindo que a função barra-trelica cria o modelo tridimensional dessa barra (por exemplo, um cilindro, ou uma barra prismática), podemos começar por definir uma função denominada barras-trelica (notemos o plural) que, dadas duas listas de pontos ps e qs, cria barras de ligação ao longo dos sucessivos pares de pontos. Para criar uma barra, a função necessita de um elemento dos ps e outro dos qs, o que implica que a função deve terminar assim que uma destas listas estiver vazia. A definição fica então: (define (barras-trelica ps qs) (if (or (null? ps) (null? qs)) #t (begin (barra-trelica (car ps) (car qs)) (barras-trelica (cdr ps) (cdr qs))))) Para interligar cada nó a i ao correspondente nó c i, apenas temos de avaliar (barras-trelica as cs). O mesmo poderemos dizer para interligar cada nó b i ao nó a i correspondente e para interligar cada b i a cada c i. Assim, temos: (define (trelica as bs cs) (nos-trelica as) (nos-trelica bs) (nos-trelica cs) (barras-trelica as cs) (barras-trelica bs as) (barras-trelica bs cs)...) Para ligar os nós b i aos nós a i+1 podemos simplesmente subtrair o pri- 2

4 meiro nó da lista as e estabelecer a ligação como anteriormente. O mesmo podemos fazer para ligar cada b i a cada c i+1. Finalmente, para ligar cada a i a cada a i+1 podemos usar a mesma ideia mas aplicando-a apenas à lista as. O mesmo podemos fazer para a lista cs. A função completa fica, então: (define (trelica as bs cs) (nos-trelica as) (nos-trelica bs) (nos-trelica cs) (barras-trelica as cs) (barras-trelica bs as) (barras-trelica bs cs) (barras-trelica bs (cdr as)) (barras-trelica bs (cdr cs)) (barras-trelica (cdr as) as) (barras-trelica (cdr cs) cs) (barras-trelica (cdr bs) bs)) As funções anteriores constroem treliças com base nas funções elementares no-trelica e barra-trelica. Embora o seu significado seja óbvio, ainda não definimos estas funções e existem várias possibilidades. Numa primeira abordagem, vamos considerar que cada nó da treliça será constituído por uma esfera onde se irão unir as barras, barras essas que serão definidas por cilindros. O raio das esferas e da base dos cilindros será determinado por uma variável global, para que possamos facilmente alterar o seu valor. Assim, temos: (define raio-no-trelica 0.1) (define (no-trelica p) (sphere p raio-no-trelica)) (define raio-barra-trelica 0.03) (define (barra-trelica p0 p1) (cylinder p0 raio-barra-trelica p1)) A Figura 3 mostra uma treliça desenhada a partir da expressão: (trelica (list (xyz 0-1 0) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz 7-1 0)) (list (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz )) (list (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ) (xyz ))) 3

5 Figura 3: Treliça construída a partir de pontos especificados arbitrariamente. 2 Exercícios Exercicio 2.1 Defina uma função denominada trelica-recta capaz de construir qualquer uma das treliças que se apresentam na imagem seguinte. Para simplificar, considere que as treliças se desenvolvem segundo o eixo X. A função trelica-recta deverá receber o ponto inicial da treliça, a altura e largura da treliça e o número de nós das fileiras laterais. Com esses valores, a função deverá produzir três listas de coordenadas que passará como argumentos à função trelica. Como exemplo, considere que as três treliças apresentadas na imagem anterior foram o resultado da avaliação das expressões: (trelica-recta (xyz 0 0 0) ) (trelica-recta (xyz 0 5 0) ) (trelica-recta (xyz ) ) Sugestão: comece por definir a função coordenadas-linha que, dado um ponto inicial p, um afastamento l entre pontos e um número n de pontos, devolve uma lista com as coordenadas dos n pontos dispostos ao longo do eixo X. 4

6 Exercicio 2.2 O custo total de uma treliça é muito dependente do número de diferentes comprimentos que as barras podem ter: quanto menor for esse número, maiores economias de escala se conseguem obter e, consequentemente, mais económica fica a treliça. O caso ideal é aquele em que existe um único comprimento igual para todas as barras. Atendendo ao seguinte esquema, determine a altura h da treliça em função da largura l do módulo de modo a que todas as barras tenham o mesmo comprimento. b i l h a i c i a i+1 l c i+1 l Defina ainda a função trelica-modulo que constrói uma treliça com barras todas do mesmo comprimento, orientada segundo o eixo X. A função deverá receber o ponto inicial da treliça, a largura da treliça e o número de nós das fileiras laterais. Exercicio 2.3 Considere o desenho de uma treliça plana, tal como se apresenta na seguinte figura: b 0 b 1... b n 1 a 0 a 1... a n 1 a n Defina uma função trelica-plana que recebe, como parâmetros, duas listas de pontos correspondentes aos pontos desde a 0 até a n e desde b 0 até b n 1 e que cria os nós nesses pontos e as barras que os unem. Considere, como pré-definidas, as funções nos-trelica, que recebe uma lista de pontos como argumento e barras-trelica que recebe duas listas de pontos como argumentos. Teste a função com a seguinte expressão: (trelica-plana (coordenadas-linha (xyz 0 0 0) ) (coordenadas-linha (xyz 1 0 1) )) Exercicio 2.4 Considere o desenho da treliça especial apresentada na seguinte figura: 5

7 c 0 a 0 a 1 c 1 c n b 0 a n b n 1 Defina uma função trelica-especial que recebe, como parâmetros, três listas de pontos correspondentes aos pontos desde a 0 até a n, desde b 0 até b n 1 e desde c 0 até c n e que cria os nós nesses pontos e as barras que os unem. Considere, como pré-definidas, as funções nos-trelica que recebe uma lista de ponto como argumento e barras-trelica que recebe duas listas de pontos como argumentos. Exercicio 2.5 Defina uma função denominada trelica-especial-recta capaz de construir a trelica especial descrita no exercício anterior admitindo que as treliças se desenvolvem segundo o eixo X. A função trelica-especial-recta deverá receber o ponto inicial da treliça, a altura e largura da treliça e o número de nós das fileiras laterais. Com esses valores, a função deverá produzir três listas de coordenadas que passará como argumentos à função trelica-especial. 6