Equações Quasilineares Multivalentes

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Equações Quasilineares Multivalentes por Jefferson Abrantes dos Santos Orientador: Professor José Valdo Abreu Gonçalves Coorientador: Professor Claudianor Oliveira Alves Brasília 2011

2 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Equações Quasilineares Multivalentes por Jefferson Abrantes dos Santos Tese apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de Brasília como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de DOUTOR EM MATEMÁTICA 10 de junho de 2011 Comissão Examinadora: Professores Claudianor Oliveira Alves - Coorientador - UFCG Carlos Alberto P. dos Santos - UnB Giovany de Jesus Malcher Figueiredo - UFPA Liliane de Almeida Maia - UnB Marcelo Fernandes Furtado - UnB O autor foi bolsista do CNPq por um ano e oito meses.

3 Em memória do meu avô, Durval Soares de Oliveira.

4 Agradecimentos A Deus por ter me dado saúde e força durante este trabalho. A minha Mãe Dilva Abrantes de Oliveira Santos, Zilma Ramalho Dantas pelo enorme apoio me dado durante minha estadia em Brasília e família por ter me acolhido como um membro bem próximo da família e todos os meus familiares. Aos meus orientadores Prof. Claudianor de Oliveira Alves obrigado por ter confiado em meu trabalho, no momento em que aceitou me orientar no mestrado e em seguida no doutorado e Prof. José Valdo Abreu Gonçalves obrigado por ter confiado em meu trabalho no doutorado, pela belíssima orientação me dada durante o doutorado. Aos membros da comissão examinadora por aceitarem compor a banca e pelas valiosas sugestões dadas para este trabalho. Aos amigos da UnB pelo companherismo e prosa durante o intervalo do café. Aos Professores e Funcionários da UnB e do DME-UFCG, em especial os meus orientadores durante minha graduação da UFCG: Prof. Jaime Alves Barbosa Sobrinho, Prof.a Rosana Marques da Silva sou muito grato a senhora, pois acreditou em meu trabalho ja na graduação e me guiou para o Bacharelado em Matemática e Prof. Francisco Antonio Morais de Souza. Aos Professores Ali Tahzibi e Marcia Federson do ICMC-USP. A CAPES, CNPq e INCTMat pelo apoio financeiro dado a este trabalho.

5 Resumo Neste trabalho estudamos existência de solução não trivial para uma classe de problemas quasilineares multivalentes do tipo Lu u F x, u em, onde R N é um domínio, N 2 e u F x, u é o gradiente generalizado de F x, t com relação a variável t. As principais ferramentas utilizadas são Métodos Variacionais para funcionais localmente Lipschitizianos e um Teorema de Concentração e Compacidade para Espaços de Orlicz. Palavras Chaves: equações quasilineares, expoentes críticos, funcionais não diferenciáveis, concentração de compacidade, Orlicz-Sobolev

6 Abstract In this work we study the existence of nontrivial solution for the following class of multivalued quasilinear problems Lu u F x, u in, where R N is an domain, N 2 and u F x, u is a generalized gradient of F x, t with respect to t. The main tools utilized are Variational Methods for Locally Lipschitz Functional and a Concentration Compactness Theorem for Orlicz space. Key Words: quasilinear equations, critical exponents, non-smooth functionals, concentrationcompactness, Orlicz-Sobolev.

7 Conteúdo Introdução Múltiplas soluções para uma classe de equações elípticas multivalentes Estudo Espectral Condição Palais Smale Existência de três soluções Espaços de Orlicz e Orlicz-Sobolev N-função O espaço de Orlicz Condição Dualidade Orlicz-Sobolev Imersões de Orlicz e Orlicz-Sobolev Sobre o Espaço W0 1 L Φ Estudo do espaço D 1,Φ R N Equação Quasilinear Multivalente em Domínio Limitado Preliminares A geometria do Passo da Montanha e a condição PS Convergência da sequência Palais-Smale Equação Quasilinear Multivalente em R N Sequência Palais-Smale

8 iv 4.2 Convergência da sequência Palais-Smale Existência de solução A Funcionais Localmente Lipschitz 132 B Regularidade de Funcionais Energia 136 Bibliografia 144

9 Notação Definições e Notações Gerais R = R \ {0} e R + = [0, + ; R N = { x 1,..., x N ; x i R, i = 1,..., N } ;. denota o modulo na reta e a norma euclidiana no R N ;. S é a norma da soma em R N ; B r x 0 = {x R N ; x x 0 < r}, r > 0; R N aberto; fronteira de ; A é a medida de Lebesgue de um subconjunto A R N mensurável a Lebesgue; A. é o fecho do conjunto A com relação a uma norma arbitrária. ; A, o aberto A está compactamente contido em, isto é A é compacto; A cont B, A está imerso continuamente em B; A comp B, A está imerso compactamente em B; [w = 0] = {x; wx = 0};. é a norma usual do espaço L ;. p é a norma usual do espaço L p ;

10 vi d. x, A = inf{ x y ; y A}, onde. é uma norma qualquer; u = {λu; λ R} é o espaço gerado pelo elemento u; suppu = {x ; ux 0}, onde u : R é uma função contínua qualquer; u + x = max{0, ux} e u x = max{0, ux}, onde u : R é uma função mensurável; f : R R é dita N-mensurável, quando para qualquer função mensurável u : R, a função composta f., u. é mensurável; χ A é a função característica com relação ao conjunto A; 1, t > 0 sgnt = 0, t = 0 1, t < 0; div w x = N p = p p 1 i=1 w i x i x, onde w x = w 1 x,..., w N x, x R N ; é o expoente conjugado de p > 1. f +t é a derivada lateral à direita de f, com relação a variável t, Espaços de Funções C = {u : R; u é contínua} C 0 = {u : R; u é contínua com suppu compacto}; { } L p = u : R mensurável; u p dx < +, p [1, + ; L = {u : R mensurável; existe c > 0 tal que ux c q.t.p. x }; C k = {u : R; u é continuamente derivável k vezes}; C = k 0 C k ; { L 1 locr N = u : R mensurável; A R N }; A u dx < +, para qualquer

11 X é o espaço dual de um espaço X; vii

12 Introdução Em muitos problemas de equações quasilineares do tipo Lu = fx, u em, 1 onde L é um operador não necessariamente linear e fx,. é contínua em R para cada x sendo R N um domínio, somos levados a resolver uma equação do tipo I u = 0, 2 para algum funcional I de classe C 1 definido sobre um espaço de Banach X. Esta equação se reduz à possibilidade de obter pontos críticos para o funcional I. Na teoria de pontos críticos temos resultados bem conhecidos, tais como aqueles encontrados em Schwartz [52], Palais e Smale [48], Ambrosetti e Rabinowitz [11] e Benci e Rabinowitz [17]. Todos estes resultados têm por objetivo obter pontos críticos para um funcional de classe C 1. Motivados por alguns problemas físicos, Chang [25], Cerami [24], Ambrosetti e Turner [12], Ambrosetti e Badiale [7], Costa e Gonçalves [27], Carl e Dietrich [22], Carl e Heikkila [23], Hu, Kourogenis e Papageorgiou [42], Bertone e Gonçalves [18], Radulescu e Gazzola [50], Alves, Bertone e Gonçalves [4], Halidias [41], Alves, Gonçalves e Santos [6] além de outros, estudaram problemas do tipo 1, considerando fx,. descontínua em R. Mais precisamente estudaram um problema multivalente do tipo Lu u F x, u em, 3 onde F x, t = a variável t. t 0 fx, sds e t F x, t é o gradiente generalizado de F x, t com relação

13 7 Analogamente, como se faz na teoria clássica, para se obter solução para a equação 3 procura-se encontrar ponto crítico no contexto de análise convexa, para um determinado funcional I apenas localmente Lipschitz. Neste trabalho, estudamos a existência de solução para uma classe de problemas do tipo 3 considerando o operador L da forma Lu = α 2 u + β u. Estudamos no Capítulo 1 multiplicidade de solução para o problema α 2 u + β u u F x, u em Bu = 0 em, 4 onde R N é um domínio limitado com fronteira regular, e 2 u = N i,j=1 4 u 2 x i 2 x j, u, se α = 0 Bu = u, u, se α > 0. com α 0 e < β < αλ 1, sendo λ 1 o primeiro autovalor de, H 1 0. Além disso, F x, t = t 0 fx, sds, x, t R é uma função de Carathéodory, onde fx, t é mensurável em, para cada t R e localmente limitada sobre R. problema 4, no caso em que Estamos interessados em estudar multiplicidade do fx, t lim t + t = µ 1 q.t.p. x, onde µ 1 é o primeiro autovalor de α 2 u + β u = µu em Bu = 0 sobre. 1.2 Considerando fx, t = lim ɛ 0 + inf ess s t <ɛ fx, s e fx, t = lim ɛ 0 + sup ess s t <ɛ fx, s, funções definidas em Chang [25], assuma sobre o problema 4 as seguintes condições:

14 8 f 1 fx, 0 = 0 q.t.p. x e f, f : R R funções N-mensuráveis, f 2 i max{ fx, t µ 1 t, fx, t µ 1 t } t 0 q.t.p. x ; ii fx, t µ 1 t hx q.t.p. x, com h L 2, onde fx, t = lim ɛ 0 + inf ess s t <ɛ fx, s e fx, t = lim ɛ 0 + sup ess s t <ɛ fx, s. Garantindo assim que fx, t se comporte assintoticamente como a função µ 1 t no infinito, com um certo controle dado por f 2 ii. Além disso, considerando φ 1 a primeira auto função e µ 1, µ 2 o primeiro e o segundo auto valores de α 2 + β, H 2 H 1 0, suponha sobre a função de Carathéodory as seguintes condições: F x, t = t 0 fx, sds, x, t R, f 3 i F x, t µ 1 2 t2 t F x q.t.p. x, onde F L 1 e F x 0 q.t.p. x ; ii F x, t µ 1 2 t2 ĥx q.t.p. x e ĥ L. Estas condições garantem que a diferença entre fx, t e µ 1 t não some área, ou melhor no infinito esta diferença convirga para uma função F x, com um controle dado por f 3 ii. f 4 i F x, t µ 2 2 t2 q.t.p. x e t R; ii para algum δ > 0 onde F x, t mxt2, t δ 2 0 < mx < µ 1 q.t.p. x, A condição f 4, controla o crescimento global e local da primitiva de fx, t. f 5 F x, t ± φ 1 F x dx > µ 1t ± 2 φ 2 2 1dx, para algum t < 0 < t +.

15 Com esta condição, conseguimos aplicar o Teorema de Minimização devido a Mizoguchi [47]. O funcional energia associado ao problema 4, é dado por Iu = 1 2 onde H = H 2 H 1 0. α u 2 dx β u 2 dx F x, udx, u H, Quando = B R 0 R 2 e fx, t = Ht agx, t, gx, t sendo uma função contínua com relação a variável t, com gx, a > 0 e H a função de Heavside, o problema 4 se aplica na área de física de plasma. Neste caso, a solução deste problema pode representar a distribuição de temperatura de um gás, confinado em um cilindro de base circular com raio R e temperatura constante, sujeito a uma corrente elétrica que passa no interior deste cilindro. O parâmetro a > 0 representa a temperatura de descarga do gás propriedade intrinsica do gás. Para maiores detalhes ver [9, 12]. Em [16] Bartolo, Benci e Fortunato provaram que o problema u λ k u + gu = 0 em u = 0 sobre, onde λ k, k 1 é um autovalor de, H 1 0, têm pelo menos uma solução se g é suave e satisfaz onde Gt = t 0 gsds e gt t 0, Gt G, t R, g 0 = sup g t. t R Em [35], Gonçalves e Miyagaki melhoraram o resultado acima considerando g contínua e satisfazendo as condições e supondo que existe m R, satisfazendo gt t 0, Gt t G R, 9 m < 0, 2Gt mt 2, t R, G 0

16 10 ou m > 0, 2Gt mt 2, t R, G 0. Em Gonçalves e Miyagaki [36] e Costa e Silva [28], os autores provaram resultados sobre multiplicidades de solução, mais exatamente a existência de duas soluções não-triviais. Em [37], Gonçalves e Miyagaki provaram a existência de três soluções não-triviais supondo gt t 0, Gt t 0, 2Gt mt 2, t δ, onde δ > 0 e m 0, λ 1 ], 2Gt λ 1 λ 2 t 2, t R e Gt± φ 1 G dx < 0, para algum t < 0 < t +. Em [43], Kourogenis e Papageorgiou utilizaram teoria do pontos críticos para funcionais não diferenciáveis, com o objetivo de obter três soluções para uma classe de problema resonante do tipo div u p 2 u λ 1 u p 2 u = fx, u q.t.p. em u = 0 em. Motivados pelos trabalhos [16], [35], [36], [28], [37] e [43] estudamos o problema 4. Neste problema generalizamos as hipotéses com relação a função ft = λ 1 t gt tratada nos trabalhos anteriores e percebemos que o operador do problema 4 generaliza os operadores já estudados por [16], [35], [36], [28] e [37]. Além disso, assim como em [43], trabalhamos com funcionais não diferenciáveis, mostrando o seguinte resultado: Teorema 0.1 Sejam R N um domínio limitado com fronteira regular. Supondo as condições f 1 f 5, o problema 4 têm pelo menos três soluções não triviais u, u +, u 0 H 4 H0 1 satisfazendo { Iu + = min Iv; v = tφ 1 + w, t > 0, } φ 1 wdx = 0 < 0,

17 e onde { Iu = min Iv; v = tφ 1 + w, t < 0, Iu 0 = inf max Iγt > 0, γ Γ 0 t 1 } φ 1 wdx = 0 < 0 Γ = {γ C[0, 1]; H; γ0 = 0 e γ1 = t + φ 1 }. 11 Para provar a existência de pelo menos três soluções para o problema 4, mostramos que o funcional I : H R é localmente Lipschitz. Através de uma versão generalizada do Teorema do Passo da Montanha estabelecemos a existência de um ponto crítico u 0 H para o funcional I. Para a obtenção dos outros dois pontos críticos, u + e u, utilizamos um resultado de minimização sobre convexos, desenvolvido por Mizoguchi [47]. Considerando agora L como sendo um operador não-linear da forma Lu = div φ u u buu, onde φ, b : R + R + são funções contínuas. Estabelecemos nos Capítulos 3 e 4 a existência de uma solução não-trivial para uma classe de problema do tipo div φ u u buu λ u F x, u em, 5 em que λ é um parâmetro positivo. Esta equação aparece em vários ramos da física, por exemplo física de plasma, fluídos não-newtonianos, elasticidade não-linear ver [9, 12], [31] e [33]. No Capítulo 3, é considerado um domínio limitado, já no Capítulo 4 consideramos = R N. Sendo φt uma função bem geral, para estudar esta classe de problemas, fazemos uma revisão no Capítulo 2 de alguns resultados envolvendo espaços de Orlicz L Φ, Orlicz-Sobolev W 1 L Φ, W0 1 L Φ e D 1,Φ e imersões entre estes espaços, a fim de facilitar o leitor no entendimento dos estudos feitos nos Capítulos 3 e 4. Durante o estudo feito nos Capítulos 3 e 4, tivemos a necessidade de um resultado tipo Brézis e Lieb para os espaços de Orlicz, por isso fomos motivados a demonstrar o seguinte resultado:

18 Teorema 0.2 Brézis Lieb para N-funções Sejam R N aberto, Φ : R [0, contínua, convexa, par e Φ : R R dada por Suponha i Φt = 0 se, e somente se, t = 0; ii lim t 0 Φt t Φt = 0 e lim t + t Φt = sup{st Φs}. s R = + ; iii existem α e t 1 0 t 1 = 0, caso = +, tais que Φ +t Φt < α, t t 1; iv Existem β > 0 e t 2 0 t 2 = 0, caso = +, tais que Φ +t Φt < β, t t 2. Se f n é uma sequência limitada em L Φ, tal que f n x fx q.t.p. x, 12 então f n f em L Φ. Considerando no problema 5 φt = 1, bt = t 2 2 e fx, t = t q Ht a, onde H é a função de Heaviside e 0 q < 2 1, Badiale e Tarantelo em [13] provaram existência e unicidade de uma solução positiva, para a equação u = u λu q Hu a em, onde é limitado com fronteira regular. No caso em que φt = 1, bt = t 2 2 e fx, t = hxt q Ht a, com 0 q < 2 1, Alves, Bertone e Gonçalves em [4] provaram resultados de existência e multiplicidade de solução para a equação u = u λhxu q Hu a em R N. Esses resultados foram obtidos via métodos variacionais usando espaços de Sobolev. O problema 5 tem a sua origem no estudo de não existência de solução para o seguinte problema de Dirichlet u = u 2 1 em. 6

19 Por exemplo, quando é um domínio estrelado, Pohozaev em [49] mostrou que a equação 6 não possui solução. Brézis e Niremberg [21] pertubaram o problema 6 e encontraram solução para a seguinte classe de problemas u = λu q + u 2 1 em u > 0 em e u = 0 em. com q [1, 2 1 e λ > 0. Para q 0, 1, Ambrosetti, Brézis e Cerami [8] utilizando técnicas de sub e super solução e métodos variacionais, apresentaram resultados de multiplicidade e bifurcação com relação ao parâmetro λ. Além destes trabalhos citamos como referências, Guedda e Véron [39], Garciá Azorero e Peral Alonso [34], Ben-Naoum, Troesther e Willem [15], Silva e Xavier [54], Alves e Gonçalves [5], Ambrosetti, Garcia Azorero e Peral [10], Silva e Soares [53], Alves [2] além de outros. Mais recentemente, Fukagai, Ito e Narukawa [32] estabeleceram a existência de uma solução não trivial para uma classe de problemas quasilinear do tipo div φ u u = buu + λfx, u em R N, 8 onde φt, bt e fx, t são funções contínuas e λ > λ 0 > 0. Motivados pelos trabalhos [13], [4] e [32], estudamos no Capítulo 3 o problema 5 pedindo agora que fx, t seja mensurável para cada t [0, + e localmente limitada para cada x. Sendo φt uma função bem geral, utilizaremos métodos variacionais para funcionais localmente Lipschitz em espaços de Orlicz-Sobolev, adaptando alguns argumentos desenvolvidos em Fukagai, Ito e Narukawa [32]. Sejam ϕs = φss e Φ : R [0, + definida por Φt = t 0 ϕsds, t R. Com o objetivo de formular nosso resultado, introduziremos algumas hipóteses. S 1 φ C 1 0, + e satisfaz φt > 0, φtt > 0, t > S 2 Existem l, m 1, N, satisfazendo i l m < l = Nl N l

20 14 ii l φtt2 Φt m, t > 0. Estas duas condições garantem que Φt define uma N-função. Além disso, garante que Φt está compreendida entre os polinômios Φ1t l e Φ1t m. S 3 Suponha que b C 0, + satisfaz i lim btt = 0, t 0 + ii l btt2 Bt m, onde m = onde S 4 Existem b 0, b 1 > 0 tais que Bt = Nm N m, t onde Φ é a função inversa da função 0 bssds, t R. b 0 Bt Φ t b 1, t > 0, G Φ t = t 0 Φ 1 s ds, t > 0. s 1+ 1 N As condições S 3 e S 4 garantem que Bt têm crescimento crítico. Agora introduziremos a seguir condições para o termo semilinear fx, t: S 5 f : [0, + R é mensurável para cada t [0, + e localmente limitada em [0, +, satisfazendo fx, 0 = 0, x. Definindo a função de Carathéodory e as funções F x, t = t 0 fx, sds, x, t R fx, t = lim ɛ 0 + inf ess s t <ɛ fx, s e fx, t = lim ɛ 0 + sup ess s t <ɛ fx, s, t > 0 e x, com fx, 0 = fx, 0 = 0 q.t.p. x, supomos que fx, t, fx, t sejam N-mensuráveis e que F x, t verifica as seguintes condições:

21 gxt r 0, t [0, 1] S 6 F x, t gxt r 1, t 1 e x, onde g L, r 0 mm l, m e r 1 m, l. Com esta condição conseguimos comparar F x, t com a N-função Φ t, garantindo assim que o funcional energia esteja bem definido. 15 S 7 Existe um conjunto aberto 0, tal que F x, t > K 0 > 0 x 0, t > 0. Com esta condição conseguimos controlar o nível minimax. S 8 Existe C > 0 tal que fx, tt C F x, t x e t > 0. S 9 Existe τ m, l, satisfazendo F x, t 1 fx, tt > 0, x e t > 0. τ A partir desta condição garantimos que a sequência de Palais Smale no nível minimax converge forte em L Φ. Teorema 0.3 Seja um domínio limitado e suponha S 1 S 9. Então para cada λ > λ 0 > 0, com λ 0 = λ 0 N, S N, l, m, b 1, τ S N é a melhor constante da desigualdade 2.24, existem ρx = ρ λ x u F x, ux q.t.p. x, com ρ L Φ e u = u λ W 1 0 L Φ, com u 0 e u 0, satisfazendo φ u u vdx = buuvdx + λ ρvdx, v W0 1 L Φ, ou ainda div φ u u buu λ u F x, u em.

22 A demonstração do Teorema 3.1 consiste em mostrar que o funcional energia associado a equação 5, dado por I λ u = Φ u dx Budx λ F x, udx, u W0 1 L Φ, é localmente Lipschitziano, que u = u λ é um ponto crítico de I λ, no sentido de que 0 I λ u, onde I λ é o gradiente generalizado de I λ. Para este fim, foi preciso mostrar o seguinte resultado: Teorema 0.4 Sejam um domínio aberto com fronteira regular, Φ uma N-função verificando S 1 e S 2, fx, t e F x, t verificando as condições S 5, S 6 e S 8. Então o funcional J : L Φ R dado por Ju = F x, udx, u L Φ e F x,. são localmente Lipschitz e Ju u F x, u q.t.p. x. Além disso, Ĵ = J X Lip loc X, R, onde X = D 1,Φ ou X = W 1 L Φ, e Ĵu = Ju, u X. 16 No Capítulo 4, estabelecemos a existência de uma solução não-trivial para a equação multivalente através do seguinte resultado: div φ u u buu λ u F x, u em R N, 9 Teorema 0.5 Suponha S 1 S 9, com = R N, g L R N L 1 R N. Então para cada λ > λ 0 > 0, com λ 0 = λ 0 N, S N, l, m, b 1, τ, existem com ρ L Φ R N e ρ = ρ λ u F x, u q.t.p. x R N, u = u λ D 1,Φ R N, com u 0 e u 0, satisfazendo φ u u vdx R N buuvdx λ R N ρvdx = 0, v D 1,Φ R N, R N ou ainda div φ u u buu λ u F x, u em R N.

23 17 A demonstração do Teorema 0.5 consiste em provar que o funcional Î λ u = Φ u dx R N Budx λ R N F x, udx, u D 1,Φ R N, R N é localmente Lipschitziano e que u = u λ é um ponto crítico de Îλ, isto é 0 Îλu, onde Îλ é o gradiente generalizado de Îλ. Para este fim, considerando c λ > 0 o nível minimax dado pelo Teorema generalizado do Passo da Montanha e u n D 1,Φ R N a correspondente sequência P S cλ associado a Îλ, provamos, utilizando Concentração de Compacidade, que existe u = u λ D 1,Φ R N, tal que u n u em L Φ,locR N. Em domínio limitado ver Capítulo 3, provamos que o funcional energia I λ satisfaz a condição P S cλ. No entanto, para = R N, não conseguimos garantir que o funcional Î λ satisfaz a condição P S cλ. Desta forma, para justificar que u é ponto crítico do funcional Îλ, contornamos a falta de compacidade demonstrando o seguinte teorema: Teorema 0.6 Sejam X,. X e Y,. Y dois espaços de Banach, tais que X. Y Y e X comp Y. Seja J : Y R um funcional localmente Lipschitziano. Se = i J X Lip loc X, R, ii u n u em X, iii ρ n ρ em X, onde ρ n J X u n, devemos ter ρ J X u. Sendo u um ponto crítico concluímos através do Teorema 0.4, que u é solução do problema 9. A grande contribuição deste trabalho, é pedi que fx, t seja apenas localmente limitada em R, para cada x. Podendo assim fx,. ser descontínua por exemplo em uma quantidade enumerável de pontos. Com esta condição, foi necessário trabalhar com problemas multivalentes, como foi apresentado anteriormente. Consequentemente tivemos que desenvolver alguns resultados no contexto de análise convexa, para contorna as dificuldades encontradas.

24 Capítulo 1 Múltiplas soluções para uma classe de equações elípticas multivalentes Neste capítulo estudamos multiplicidade de solução para o problema α 2 u + β u u F x, u em Bu = 0 em, 1.1 onde R N é um domínio limitado com fronteira regular e u, se α = 0 Bu = u, u, se α > 0. com α 0 e < β < αλ 1, sendo λ 1 o primeiro autovalor de, H 1 0. No que segue suponha que µ 1 é o primeiro e µ 2 o segundo autovalores de α 2 u + β u, H. Considerando f : R R uma função mensurável, localmente limitada sobre R, com defina fx, 0 = 0, x, fx, t = lim ɛ 0 + inf ess s t <ɛ fx, s e fx, t = lim ɛ 0 + sup ess s t <ɛ fx, s. Para estas funções supomos que f 1 f, f : R R são N-mensuráveis,

25 19 e f 2 i max{ fx, t µ 1 t, fx, t µ 1 t } t 0 q.t.p. x ; ii fx, t µ 1 t hx q.t.p. x onde h L 2. Definindo F x, t = t 0 fx, sds, tem-se que F x, t é uma função de Carathéodory. Para esta função, assumiremos as seguintes condições: f 3 i F x, t µ 1 2 t2 t F x q.t.p. x, onde F L 1 e F x 0 q.t.p. x ; ii F x, t µ 1 2 t2 ĥx q.t.p. x e ĥ L, f 4 i F x, t µ 2 2 t2 q.t.p. x e t R; ii para algum δ > 0 onde F x, t mxt2, t δ 2 0 < mx < µ 1 q.t.p. x e f 5 F x, t ± φ 1 F x dx > µ 1t ± 2 φ 2 2 1dx, para algum t < 0 < t Estudo Espectral Nessa seção vamos caracterizar todos os autovalores do problema α 2 u + β u = µu em Bu = 0 em. 1.2 Para isto, mostramos primeiro que o espaço munido da norma u H = define um espaço de Hilbert. H = H 1 0 H 2 1 α u 2 dx β u 2 2 dx,

26 20 Lema 1.1 A aplicação.,. : H H R, dada por u, v = α u vdx β u vdx, u, v H, define um produto interno em H. Demonstração. Considere os seguintes casos: 1 caso: α > 0, 2 caso: α = 0. No que segue, consideraremos sempre o 1 caso, pois o 2 caso pode ser feito de forma análoga. Observe que i u, v = v, u, u, v H; ii.,. é bilinear; iii u, u 0, u, u = 0 se, e só se u 0. Verificação de iii: Primeiro note que para u, v H, temos Daí pela desigualdade de Hölder Gupta e Kwong [40], mostraram que u vdx = u vdx. u 2 dx = u udx u 2 u 2, u H. 1.3 λ 2 1 = inf u H 2 H 1 0 u 2 dx u 2 dx. 1.4 Assim, segue de 1.3 consequentemente e portanto u 2 dx 1 λ 1 u 2 dx λ 1 u 2 dx, u, u αλ 1 β u 2 dx 0, u 2 dx, u H, 1.5

27 21 isto justifica a condição < β < αλ 1. Supondo u, u = 0, tem-se 0 = u, u αλ 1 β u 2 H0 1 0, donde u 0. Se u = 0, temos claramente u, u = 0. Conclui-se do Lema 1.1 que H é um espaço pré-hilbertiano. agora que H é Hilbert. Será justificado Lema 1.2 H é completo. Demonstração. Seja u n H uma sequência de Cauchy, isto é u n u m H n,m + 0. Definindo-se temos w nm = u n u m, w nm = f nm L 2 w nm H 1 0. Usando Agnom, Douglas e Niremberg ver [46], existe c > 0 tal que w nm H 2 c f nm 2, n, m N. 1.6 De 1.5 Logo e por 1.6 w nm 2 H α βλ1 w nm 2 2= f nm 2 2. f nm 2 n,m + 0, n,m + w nm H 2 0, Assim para algum u H 2 u n n + u em H 2. Da teoria do traço existe um operador T : H 2 L 2 linear e contínuo. Desde que u n H, tem-se que T u n = 0, n N.

28 22 Segue da continuidade e linearidade de T n + T u n T u L 2 c u n u H 2 0, implicando que T u L 2 = 0, ou seja, o traço de u é zero em. Logo, u H. Consequentemente, u n n + u em H, como queríamos provar. Veremos a seguir que o espaço H munido da norma. H está imerso compactamente em L 2. Lema 1.3 H cont H 1 0 comp L 2. Demonstração. De fato, foi visto durante a demonstração do Lema 1.1 que para cada u H u 2 H= u, u αλ 1 β u 2 H0 1. Além disso, tem-se do Teorema de Rellich-Kondrachov ver [46] que H 1 0 comp L 2, provando o lema. No que segue considere α > 0. Mostraremos a existência de uma única solução para o problema variacional onde ξ L 2. Lema 1.4 Se u H, satisfaz α u vdx β α 2 u + β u = ξx em u = u = 0 sobre, para algum ξ L 2, então u H 4 e u vdx = u = u = 0 em. ξvdx, v H, 1.7

29 23 Demonstração. De fato, desde que ξ L 2, existe um único w H tal que w = ξ em w = 0 sobre. Desde que α u vdx β u vdx = ξvdx = wvdx, v H, segue das identidades de Green ver [46] α u vdx β u vdx = w vdx, v H, ou seja α u 1 α w β α u vdx = 0, v H. 1.8 Para cada ϕ L 2, existe um único v H tal que v = ϕ em v = 0 sobre. Deste fato, tem-se de 1.8 α u 1 α wdx + β α u ϕdx = 0, ϕ L 2, implicando u = 1 α w + β u q.t.p. em. α Uma vez que w, u H 1 0, podemos concluir que u = 0 em. Sabendo que u = 1 α w β α u em u H, com 1 α w β α u H2, conclui-se da teria de regularidade que u H 4. verificando Do Lema 1.4, observamos que uma solução fraca de 1.7 é um elemento u H α u vdx β u vdx = ξvdx, v H.

30 24 Lema 1.5 O problema 1.7 têm uma única solução u H para cada ξ L 2. Demonstração. Segue imediatemnte do Teorema de Lax-Milgram ver [19]. Conclui-se do Lema 1.5, que o operador solução S : L 2 H ξ Sξ = u ξ, está bem definido, onde u ξ é solução de 1.7. Lema 1.6 O operador solução S é linear e satisfaz i para algum c > 0, Sξ H c ξ 2, ξ L 2, ii S : L 2 L 2 é compacto, iii S é simétrico em L 2, isto é Sξηdx = ξsηdx, ξ, η L 2. Demonstração. Verifica-se de forma imediata que S é linear. Verificação do item i: Para cada ξ L 2, com ξ 0, observe que Sξ 2 H= u ξ 2 H= u ξ ξdx, segue da desigualdade de Hölder e do Lema 1.3 Sξ 2 H c u ξ H ξ 2 = c Sξ H ξ 2, para algum c > 0, donde Sξ H c ξ 2. Verificação do item ii: Desde que S : L 2 H é linear, conclui-se do item i que S também é contínuo. Compondo S com o operador imersão i : H L 2, temos que S = S i é compacto. Verificação do item iii: Segue imediatamente pela definição de solução. Do Lema 1.6 e da teoria espectral, existem uma sequência ortonormal φ n L 2 e uma sequência real µ n R tais que Sφ n = µ n φ n e µ n n + 0.

31 25 Note que µ n > 0, para qualquer n N, pois desde que Sφ n = µ n φ n, n N, temos µ n α φ n 2 dx β φ n 2 dx = φ 2 ndx, n N sendo φ n 0, tem-se que µ n > 0, n N. Sabendo disto, conclui-se que α 2 φ n + β φ n = 1 φ n em µ n Bφ n = 0 em. No que segue considere µ n = 1 µ n, n N. Lema 1.7 Os autovalores do problema 1.2, satisfazem: i µ n = λ n αλ n β n N, onde λ n são os autovalores de, H 1 0. As correspondentes auto-funções φ n do problema 1.2, são as mesmas auto-funções de, H 1 0; ii µ 1 = iii µ 1 iv µ 2 inf v 0,v H α v 2 dx β v 2 dx ; v 2 dx v 2 dx α v 2 dx β w 2 dx α wφ 1 dx = 0. Demonstração. problema ou equivalentemente w 2 dx β v 2 dx, v H; w 2 dx, w H, com Verificação do item i: Suponha que µ seja um autovalor do α 2 φ + β φ = µφ em Bφ = 0 em, α 2 φ + β φ µφ = 0 em Bφ = 0 em.

32 26 Desde que β 2 + 4µα > 0, temos β + β 2 + 4αµ β β 2 + 4αµ φ = 0 em 2α 2α Bφ = 0 em, implicando que λ = β + β 2 + 4αµ é um autovalor para o problema de Dirichlet 2α φ = λφ em φ = 0 em. Deste fato, µ = αλ 2 λβ, onde λ é um autovalor de, H 1 0. Os itens ii iv deixamos a cargo do leitor. 1.2 Condição Palais Smale O objetivo desta seção é justificar que o funcional energia associado ao problema 1.1, dado por Iu = 1 2 u 2 H F x, udx, u H, satisfaz a condição Palais Smale. Para isto, vamos mostrar primeiramente que I Lip loc H, R. No que segue, consideraremos Qu = 1 2 u 2 H e Ψu = F x, udx, u H. Lema 1.8 Suponha a condição f 2 ii. Então Ψ Lip loc H, R. Demonstração. Fixe w 0 H e r > 0. Dados u, v B R w 0 H, temos Ψu Ψv F x, u F x, v dx logo por f 2 ii, Ψu Ψv µ 1 max{ux,vx} max{ux,vx} min{ux,vx} min{ux,vx} fx, t dtdx µ 1 t +hx dtdx u + v u v dx + hx u v dx.

33 27 Usando a desigualdade de Hölder e o Lema 1.3, obtemos Ψu Ψv cµ 1 u H + v H u v H +c h 2 u v H c µ 1 u w 0 H +2 w 0 H + v w 0 H + h 2 u v H = cr, w 0 H u v H, onde cr, w 0 H = c µ 1 + 2r + 2 w 0 H + h 2. Mostrando assim que Ψ Lip loc H, R. Desde que a derivada a Fréchet de Q é dada por Q uv = u, v, u, v H, temos que Q C 1 H, R, e portanto Q Lip loc H, R. Sabendo disto, conclui-se do Lema 1.8, que o funcional energia I Lip loc H, R. Lema 1.9 Suponha f 1 e f 2 ii. Seja Ψ : L 2 R dada por Ψu = F x, udx, u L 2. Então Ψ e F x,. são localmente Lipschitz, e Ψu u F x, ux = [fx, ux, fx, ux] q.t.p. x. Além disso, Ψu = Ψu, u H. Demonstração. Confira Chang [25]. Lema 1.10 Suponha f 2 e sejam u H e v Ψu. Então vx µ 1 ux hx q.t.p. x. Além disso, se u n H é uma sequência verificando e v n Ψu n, temos que u n x n + 0 q.t.p. x, v n x µ 1 u n x n + 0 q.t.p. x.

34 28 Demonstração. Do Lemma 1.9 vx [fx, ux, fx, ux] q.t.p. x assim fx, ux µ 1 ux vx µ 1 ux fx, ux µ 1 ux q.t.p. x o que implica vx µ 1 ux max{ fx, ux µ 1 ux, fx, ux µ 1 ux } 1.9 em quase todo ponto x. Segue de f 2 ii vx µ 1 ux hx q.t.p. x. De 1.9 e f 2 i v n x µ 1 u n x n + 0, como queriamos mostrar. Lema 1.11 Suponha f 2, f 3 e seja c R tal que c F xdx. Então I satisfaz P S c. Demonstração. Seja u n H uma sequência P S c, isto é, Iu n n + c e n + mu n = w n H 0, para alguma sequência w n Iu n. Afirmação 1.1 u n é limitado em H. Assumindo a Afirmação 1.1, temos a menos de subsequência que u n u em H, u n n + u em L 2, 1.10 u n x n + ux q.t.p. x

35 29 e u n x ηx q.t.p. x, para algum η L 2. Desde que w n Iu n, existe v n Ψu n = Ψu n L 2, ver Lema 1.9 tal que w n, v = Q u n, v v n, v, n N e v H, ou seja w n, v = u n, v v n vdx, n N e v H Neste caso w n, u n u = u n, u n u v n u n udx, n N Dado ɛ > 0, tem-se pelo fato de u n ser limitada em H que w n, u n u w n H u n u H < ɛ, 1.13 para n suficientemente grande. Por outro lado, do Lema 1.10 temos a desigualdade v n u n udx µ 1 u n 2 u n u 2 + h 2 u n u Sendo u n limitada em H, tem-se que u n é limitada em L 2. Deste fato, conclui-se de 1.10 e 1.14 que De 1.12, 1.13 e 1.15 v n u n udx n + α u n u n udx β u n u n udx n + 0, donde u n 2 n + H u 2 H. Sendo H Hilbert, tal limite implica que u n n + u em H,

36 30 mostrando que o funcional I satisfaz a condição P S c. Verificação da Afirmação 1.1: Para cada n N, considere u n = t n φ 1 + ϕ n, onde t n R e ϕ n H verifica De 1.11 Assim, dado ɛ > 0, ɛ ϕ n H ϕ n 2 H = ϕ n 2 H = ϕ n 2 H ϕ n φ 1 dx = 0, n N. w n, ϕ n = ϕ n 2 H v n ϕ n dx, n N. v n ϕ n dx, vn ϕ n µ 1 u n ϕ n dx µ1 vn µ 1 u n ϕn dx µ 1 u n ϕ n dx, ϕ 2 ndx, para n suficientemente grande. Segue do Lema 1.10 ɛ ϕ n H ϕ n 2 H h ϕ n dx µ 1 ϕ 2 ndx, e portanto pelo Lema 1.7, ɛ ϕ n H 1 µ 1 ϕ n 2 H c h 2 ϕ n H, µ 2 para n suficientemente grande. Logo, ϕ n é limitado em H. Suponha agora por contradição que Desde que temos u n H n + +. u n = t nφ 1 + ϕ n, u n H u n H u n H t 2 n φ 1 2 H + ϕ n 2 H u n 2 H 1 2 = 1. Passando ao limite de n +, obtemos pelo fato de ϕ n ser limitada em H que t n φ 1 H u n H n + 1.

37 31 Consequentemente, existe û H de maneira que t n φ 1 = w n + u n û H, u n H u n H u n H a menos de subsequência. Como a dimensão do espaço gerado por φ 1 é finita, conclui-se que t n φ 1 u n H n + û em H, com û = t 0 φ 1, para algum t 0 R. Deste fato u n u n H n + t 0 φ 1 em H. Desde que t 0 φ 1 > 0 em, pois t 0 φ 1 H = 1, u n x n + + q.t.p. x Dado ɛ > 0, temos para n suficientemente grande ɛ ϕ n H 1 µ 1 ϕ n 2 H v n µ 1 u n ϕ n dx µ 2 1 µ 1 1 ϕ n 2 H v n µ 1 u n 2 2 dx µ 2 donde De 1.16 e Lema 1.10 ϕ n 2, 1 ɛ + c v n µ 1 u n 2 2 dx ϕ n H 1 µ 1 ϕ n 2 H µ 2 v n x µ 1 u n x 2 h 2 x L 1 q.t.p. x, v n x µ 1 u n x 2 n + 0 q.t.p. x, o que implica pelo Teorema de Lebesgue v n µ 1 u n 2 dx n + 0, 1.18 De 1.17 e ɛ ϕ n H para n suficientemente grande. Portanto, Por f 3 1 µ 1 µ 2 ϕ n 2 H, ϕ n n + 0 em H. 1.19

38 32 F x, u n x µ 1 2 u nx 2 n + F x q.t.p. x, F x, u n x µ 1 2 u nx 2 ĥx L1 q.t.p. x, implicando pelo Teorema de Lebesgue que Veja que Iu n = 1 2 ϕ n 2 H t2 n φ 1 2 H = F x, u n µ 1 2 u n 2 dx n + F xdx F x, u n µ 1 2 u n 2 dx µ 1 u n 2 dx, 2 F x, u n µ 1 2 u n 2 dx, n N passando ao limite de n +, obtemos de 1.19 e 1.20 que c = F xdx, contradizendo a hipotése. Mostrando assim a Afirmação 1.1. A seguir provaremos uma série de resultados, que serão úteis para a prova do teorema principal deste capítulo. Lema 1.12 Suponha f 1 e f 2 ii. Se u 0 H é ponto crítico do funcional I, então u 0 H 4 é solução de 1.1, isto é existe µ L 2, tal que µx u F x, u q.t.p. x, e α u 0 vdx β u 0 vdx = µvdx, v H, ou seja ver Lema 1.4 { α 2 u 0 + β u 0 u F x, u em Demonstração. Lembrando que Bu 0 = 0 em, Qu = 1 2 u 2 H, Ψu = F x, udx, u H e Ψu = F x, udx, u L 2.

39 Desde que u 0 é ponto crítico de I, segue das propriedades P 3 e P 4 ver Apêndice A que Logo para algum 0 Iu 0 = Qu 0 Ψu 0 = { Q u 0 } Ψu 0. 0, v = Q u 0, v µ, v, v H L 2, µ Ψu 0 = Ψu 0 L 2 ver Lema 1.9. Usando o Teorema da Representação de Riesz para espaços de Lebesgue temos 0 = α u 0 vdx β u 0 vdx µvdx, v H, 1.22 para algum µ L 2. Daí u 0 é solução fraca da equação 33 α 2 u 0 + β u 0 = µ em. Desde que u 0 H satisfaz 1.22 e µ L 2, temos do Lema 1.4 que u 0 H 4 e Bu 0 = 0 em. Deste fato α 2 u 0 + β u 0 u F x, u 0 em Bu 0 = 0 em, como queriamos mostrar. Lema 1.13 Suponha f 3 e f 4. Então existem a, b > 0, tais que para todo σ 2, 2, com 2 = Iu a u 2 H b u σ H, u H, 2N, se N 3 e σ 2, +, se N = 1, 2. N 2 Demonstração. Primeiramente, mostraremos a seguinte afirmação. Afirmação 1.2 Para algum c σ > 0, F x, t mx 2 t2 + c σ t σ q.t.p. x e t R, onde σ 2, +, se N = 1, 2 e σ 2, 2, em que 2 = 2N, se N 3. N 2

40 34 De fato, de f 4 ii F x, t mx t 2 µ 2 1 t σ F x, t + µ 1t 2 q.t.p. x e t R, t σ 2 t σ segue de f 3 ii F x, t mx t 2 µ 2 1 t σ µ 1t 2 t + ĥ q.t.p. x e t R. σ t σ Sabendo disto, dado ɛ > 0, existe t 0 > 0 tal que mx F x, t ɛ t σ q.t.p. x e t > t 0, donde 2 t2 F x, t mx 2 t2 + ɛ t σ q.t.p. x e t > t Do item f 3 ii, para algum k 0 > 0 F x, t k 0 q.t.p. x e δ t t Sendo assim, fixe c 0 > 0 satisfazendo Segue de 1.24 De f 4 ii, 1.23 e 1.25 k 0 mxt2 2 k 0 + m t2 0 2 c t σ δ σ 0 q.t.p. x e δ t t 0. F x, t mx 2 t2 + c 0 t σ q.t.p. x e δ t t F x, t mx 2 t2 + c σ t σ q.t.p. x e t R, onde c σ = c 0 + ɛ > 0, mostrando a Afirmação 1.2. Para cada u H, tem-se da Afirmação 1.2 Iu = 1 2 u 2 H F x, udx 1 2 u 2 H 1 mu 2 dx c σ u σ dx u 2 H 1 2 m u 2 dx c σ u σ dx

41 donde segue-se do Lema 1.7 Iu m u 2 H c σ u σ σ µ 1 Das imersões de Sobolev sabemos que H 1 0 cont L σ e H cont H 1 0, portanto Considerando Iu m u 2 H ĉ σ u σ H. µ 1 a = 1 2 finalizamos a demonstração do lema. 1 m e b = ĉ σ, µ Existência de três soluções Agora estabeleceremos a existência de três soluções não triviais para o problema 1.1, através da demonstração do Teorema 0.1. Demonstração do Teorema 0.1: Considere { C + = tφ 1 + w H; t 0 e e C = 1. Existência de u + e u. } wφ 1 dx = 0 { } tφ 1 + w H; t 0 e wφ 1 dx = 0. Aplicaremos o Teorema de Mizoguchi ver Apêndice A. Observe que C + H é fechado, convexo com int C + e C + = { } u H; uφ 1 dx = 0. Utilizando f 4 e o Lema 1.7 iv, temos para cada w C + Iw = 1 2 w 2 H 1 2 w 2 H µ 2 2 F x, wdx w 2 dx 0, w C +. Definindo v + = t + φ 1 C +,

42 36 onde t + > 0 é dado por f 5, temos Logo, Agora se u C +, tem-se por f 3 ii Iv + = 1 2 v + 2 H F x, v + dx < 1 2 v + 2 H F dx 1 2 v + 2 H = F dx < 0. Iv + < 0 inf C + Iv. Itφ 1 + w = 1 2 t2 φ 1 2 H w 2 H F x, tφ 1 + wdx 1 2 t2 φ 1 2 H w 2 H µ 1t 2 φ 2 2 1dx µ 1 2 segue do Lema 1.7 iv, = 1 2 w 2 H µ 1 2 Itφ 1 + w 1 2 w 2 dx ĥ L 1, 1 µ 1 w 2 H µ ĥ L 1. 2 w 2 dx ĥ L 1 Neste caso, o funcional I é limitado inferiormente em C +. Sabendo disto, defina c + = inf C + I. Desde que temos Segue do Lema 1.11, Iv + < F xdx, c + < F xdx. I satisfaz P S c +. Sendo C + fechado, tem-se que I satisfaz P S c +,C +. Pelo Teorema de Mizagouchi ver Apêndice A, I têm um mínimo local u + intc + e Iu + = c + < 0.

43 37 Deste fato u + é um ponto crítico não trivial para o funcional I ver Apêndice A, implicando do Lema 1.12 que u + H 4 e é uma solução não trivial do problema 1.1. De modo análogo, mostra-se a existência de uma outra solução não trivial u intc, tal que Iu = c < Existência de u 0. Do Lema 1.13, temos para cada u H Iu aρ 2 bρ σ, com ρ = u H. Para ρ > 0 suficientemente pequeno, pode-se fixar um valor α > 0 tal que Iu aρ 2 bρ σ > α > 0. Vimos anteriormente que Neste caso Iu + < F dx 0. max{i0, Iu + } 0 < α < inf Iu, u H =ρ para algum ρ > 0 suficientemente pequeno. Mostrando assim que o funcional I satisfaz a geometria do passo da montanha. Desde que c 0 = inf max Iγt > α > 0 F dx, γ Γ 0 t 1 tem-se pelo Lema 1.11 que I satisfaz P S c0. Portanto, conclui-se do Teorema do Passo da Montanha ver Apêndice A que c 0 > 0 é um valor crítico para I, consequentemente existe um ponto crítico não nulo u 0 H com Iu 0 = c 0 > 0. Donde segue-se do Lema 1.12, que u 0 H 4 e é uma solução não trivial do problema 1.1.

44 Capítulo 2 Espaços de Orlicz e Orlicz-Sobolev Neste capítulo faremos um breve estudo sobre espaços de Orlicz e Orlicz Sobolev. Apresentaremos algumas propriedades envolvendo estes espaços, imersões e resultados necessários para as aplicações posteriores. Veremos a seguir que os espaços de Orlicz são generalizações dos espaços de Lebesgue, assim como os espaços de Orlicz-Sobolev são generalizações dos espaços de Sobolev. Para mais detalhes, sugerimos ao leitor as seguintes referências [38], [44] e [45]. 2.1 N-função Definição 2.1 Diz-se que Φ : R [0, + é uma N-função se: i Φ é uma função convexa e contínua; ii Φt = 0 se, e só se, t = 0; iii Φt t t 0 0 e Φt t t + + ; iv Φ é par isto é Φt = Φ t. Exemplos: As funções a seguir são exemplos de N-funções 1. Φ 1 t = t p, p 1, + e t R; 2. Φ 2 t = e t2 1, t R; 3. Φ 3 t = e t t 1, t R;

45 39 4. Φ 4 t = 1+ t ln1+ t t, t R; 5. Φ 5 t = t p 0 + t p 1, t R e p 0, p 1 1, +, 6. Φ 6 t = 1 + t 2 γ 1, t R e γ > 1; 7. Φ 7 t = t p ln1+ t, t R e p 1, +. Lema 2.1 Φ : R [0, + é uma N-função se pudermos representar Φ da seguinte forma com ϕ : R + R + satisfazendo: Φt = t 0 ϕsds, t R, I ϕ é contínua à direita e não-decrescente em R + ; II ϕt = 0 se, e só se t = 0; III ϕt t + + ; IV ϕt > 0, t > O espaço de Orlicz No que segue considere R N um subconjunto aberto e Φ : R [0, + uma N-função. O espaço de Orlicz L Φ é definido por { } u L Φ = u : R mensurável; Φ dx < +, para algum λ > 0. λ Definição 2.2 Definimos como norma de Luxemburg em L Φ a aplicação. Φ : L Φ R dada por u Φ = inf Lema 2.2 Seja Φ uma N-função. Então, a. Φαt αφt, α [0, 1] e t R; b. Φβt > βφt, β 1, + e t R. { } u λ > 0; Φ dx 1, u L Φ. λ

46 40 Verificação do item a.: Desde que Φ é convexa, Φαt = Φαt + 1 α0 αφt, α [0, 1]; Verificação do item b.: Sem perda de generalidade suponha que t > 0 já que Φ é par, logo Φβt = = βt 0 t 0 ϕsds ϕsds + βt Φt + ϕtβt t Φt + Φtβ 1 t ϕsds = βφt, β 1, + e t > 0. Observação Segue do Lema 2.2a, que u Φ dx λ λ + 0, u L Φ. Lema 2.3. Φ define uma norma sobre L Φ. Demonstração. Primeiramente, mostraremos que a aplicação. Φ está bem definida. Dado u L Φ o conjunto A = { u } λ > 0; Φ dx 1, λ é diferente do vazio. De fato, dado u L Φ u Φ dx < +, para algum λ > 0. λ Para λ > 0 suficientemente grande tem-se do Lema 2.2 a u u Φ dx 1/ λ Φ dx 1. λλ λ Assim, λ.λ A, para λ suficientemente grande, e portanto A. Desde que A é limitado inferiormente, é imediato concluir que. Φ está bem definida. Mostraremos agora que. Φ satisfaz as propriedades de norma: i u Φ = 0 se, e só se, u = 0. Se u = 0, é imediato que u Φ = 0.

47 41 Seja u : R mensurável verificando { 0 = u Φ = inf λ > 0; Assim, existe λ n 0, + verificando λ n n + u Φ = 0 } u Φ dx 1. λ e Fixe λ u > 0 de tal forma que Segue do Lema 2.2 b λ u λ n u Φ dx 1, n N. λ n u Φ dx < +. λ u para n suficientemente grande, implicando que Φudx = 0. Desde que Φt 0, para qualquer t R, obtemos u u Φ dx Φ dx 1, 2.1 λ u λ n Φ ux = 0 q.t.p. x, mostrando que ux = 0 q.t.p. x. ii ku Φ = k u Φ, k R e u L Φ. Fixando k > 0, temos { ku Φ = inf λ > 0; { = inf λ > 0; { = inf λk > 0; = k u Φ. ku } Φ dx 1 λ } dx 1 } ṷ Φ dx 1 λ u Φ λ/k O caso k < 0, é feito de forma análoga, pois Φ é uma função par.

48 42 iii u + v Φ u Φ + v Φ, u, v L Φ. Considere os seguintes conjuntos e A = B = C = { λ > 0; Φ { λ > 0; u + v λ } dx 1, u } Φ dx 1 λ { v } λ > 0; Φ dx 1. λ Dados µ B e η C, temos pelo fato de Φ ser convexa u + v Φ dx = µ + η = 1, donde µ + η A. Logo B + C A. Portanto µ u Φ µ + η µ + η v dx µ + η η µ u Φ dx + µ + η µ η µ + η µ µ + η + η µ + η v Φ η inf A infb + C = inf B + inf C, e assim u + v Φ u Φ + v Φ, u, v L Φ. Lema 2.4 Se u L Φ é uma função não trivial, então { u } u Φ = min λ > 0; Φ dx 1. λ Demonstração. De fato, seja λ n 0, + uma sequência satisfazendo λ n n + u Φ e Desde que u Φ dx 1, n N. λ n u Φ 0, n N λ n

49 43 e u n + u Φ Φ pontualmente em, λ n u Φ segue do Lema de Fatou u u Φ dx lim inf Φ dx 1, u Φ n + λ n donde e portanto como queriamos mostrar. u Φ { } u λ > 0; Φ dx 1, λ { } u u Φ = min λ > 0; Φ dx 1, λ Lema 2.5 Sejam u : R uma função mensurável e k 0 > 0. Então u Φ dx = 1, k 0 se, e somente se, u Φ = k 0. Demonstração. Fixe ɛ > 0 suficientemente pequeno. Desde que Φ é uma função par e não decrescente em R + u u u Φ dx = Φ dx > Φ dx = 1, k 0 ɛ k 0 ɛ k 0 donde ou seja { min λ > 0; Φ ux λ u Φ = k 0. } dx 1 = k 0, Reciprocamente, dado ɛ 0, k 0, temos 2 u Φ dx > k 0 ɛ e Desde que u 2 Φ Φ u L 1. k 0 ɛ k 0 u lim Φ = Φ ɛ 0 + k 0 ɛ u k 0,

50 44 temos pelo Teorema de Lebesgue, 2.2 e do Lema 2.4 que u u 1 lim Φ dx = Φ dx 1, ɛ 0 + k 0 ɛ k 0 donde como queriamos demonstrar. u Φ dx = 1. k 0 Observação Considerando Φ : R R + a N-função dada por Φt = t p, p 1, +, p temos e L Φ = L p. Φ = p 1 p. p, onde. p é a norma usual do espaço L p. Conclui-se daí que os espaços de Orlicz são generalizações dos espaços de Lebesgue. Proposição 2.1 Se < +, o operador identidade i : L Φ L 1 u iu = u, é linear e contínuo. Demonstração. Dividiremos esta prova em dois casos: 1 0 caso: L Φ L 1. Dado u L Φ, temos pelo fato de Φ ser par que u Φ dx < +, 2.3 λ para algum λ > 0. Desde que dado k = 1, existe R > 0 tal que Φt t t + +, Φt t 1, para t R,

51 45 donde Φ t t, t R. 2.4 De 2.3 e 2.4 [ u λr] u λ dx u Φ λ u Φ λ [ u λr] dx dx < +, mostrando que consequentemente [ u λr] u dx < +, u dx = u dx + u dx [ u <λr] [ u λr] λr [ u < λr] + u dx [ u λr] λr + u dx < +, [ u λr] implicando que u L 1. Logo, L Φ L caso: i é um operador linear limitado. Primeiramente, afirmamos que Φ u dx u Φ, para u Φ 1 e u L Φ. 2.5 De fato, seja u L Φ tal que u Φ 1. Segue do Lema 2.2 a e portanto pelo Lema 2.5 como queríamos mostrar. Φ u dx = u Φ u Φ dx u Φ u u Φ Φ dx, u Φ Φ u dx u Φ, u Φ 1 e u L Φ.

52 46 De 2.4 u dx = u dx + u dx [ u R] [ u >R] R + Φ u dx, [ u >R] R + Φ u dx, implicando de 2.5 u dx = R + u Φ R +1 = C, u Φ 1. Provando assim que iu 1 C, u Φ 1 e u L Φ. Do 1 0 e 2 0 caso, conclui-se a demontração desta proposição. Observação Da Proposição 2.1 podemos concluir que o espaço L Φ está imerso continuamente no espaço L 1, para qualquer domínio limitado. Lema 2.6 Seja u L Φ tal que u Φ k. Então u Φ dx 1, u L Φ. k Demonstração. Supondo u 0, basta observar que 1 u u Φ dx = Φ dx Φ u Φ u Φ para qualquer u L Φ tal que u Φ k. u k dx, Proposição 2.2 L Φ munido da norma de Luxemburg. Φ, define um espaço de Banach. 2.3 Condição 2 O principal objetivo desta seção é justificar que o espaço de Orlicz será separável se, e somente se, a N-função associada a este espaço satisfizer uma condição denotada por 2.

53 47 Definição 2.3 Uma função Φ satisfaz a condição 2, e escreve-se Φ 2, se existirem k > 0 e t 0 0, tais que Φ2t kφt, t t Observação Em relação ao espaço de Orlicz L Φ para = +, diremos que Φ 2 quando Φ satisfizer a desigualdade 2.6 com t 0 = 0. Lema 2.7 A função Φ satisfaz a condição 2 se, e só se, para cada s > 1, existem k s > 0 e t 0 0 satisfazendo Φst k s Φt, t t 0. Demonstração. De fato, suponha que Φ 2. Se s 1, 2], temos Φst Φ2t kφt, t t 0. Caso s > 2, fixe n N, satisfazendo s 2 n. Assim, Φst Φ2 n t kφ2 n 1 t k n Φt, t t 0. Reciprocamente, observe os seguintes casos: 1 0 caso: s 2. Φ2t Φst k s Φt, t t caso: s 1, 2. Seja n N, tal que 2 s n, logo Φ2t Φs n t ks n Φt, t t 0, provando assim o lema. Lema 2.8 Seja Φ uma N-função, dada por Φt = As afirmações abaixo são equivalentes i Φ 2 ; t 0 ϕsds.

54 48 ii Existem α > 0 e t 0 0 verificando Demonstração. Observe primeiramente que ln Φ2t Φt tϕt Φt < α, t t 0. = ln Φ2t ln Φt = = 2t t 2t t ln Φs + ds Φ +s Φs ds. Supondo que ii ocorre, temos ln Φ2t Φt = 2t t 2t ϕs Φs ds 1 < α t s ds = αln 2t ln t = ln 2 α, t t 0, implicando que ou seja, Φ2t Φt < 2α, Φ2t < 2 α Φt, t t 0, mostrando que Φ satisfaz 2. Reciprocamente, suponha que Φ 2. Assim, existem k > 0 e t 0 0 verificando Φ2t kφt t t 0. Para t t 0, kφt Φ2t = > 2t t 2t 0 ϕsds ϕsds tϕt, donde como queríamos demonstrar. tϕt Φt < k, t t 0,

55 Observação Dada uma N-função Φ que verifica 2, existem a, b > 0, tais que para t suficientemente grande. Φt at b, 49 Ou seja, Φ vai para infinito abaixo de uma função polinômial. No entanto, o fato de Φ ser uma N-função que vai para o infinito abaixo de uma função polinômial, não garante que Φ satisfaz a condição 2. A seguir apresentaremos algumas funções que satisfazem e outras que não satisfazem a condição 2 : 1. Φ 1 t = t p, p 1, + ; p Φ 1 2t = kφ 1 t, com k = 2 p. 2. Φ 2 t = 1+ t ln1+ t t, satisfaz a condição 2 ; 3. Φ 4 t = 1 + t 2 γ 1, γ 1, N, satisfaz a condição 2 ; N 2 4. Φ 5 t = t p ln1 + t, 1 < p 0 < p < N 1, onde p 0 = N, satisfaz a 2 condição 2 ; 5. Φ 6 t = e t2 1 e Φ 7 t = e t t 1, não satisfazem a condição 2, pois as funções Φ 1 e Φ 2 vão mais rápido para o infinito que qualquer função polinômial. Os resultados a seguir, mostram a importância de uma N-função Φ cumprir a condição 2. Proposição 2.3 Sejam R N um aberto qualquer e Φ uma N-função satisfazendo a condição 2. Então u n n + 0 em L Φ se, e somente se, Demonstração. Suponha que Φu n dx n + 0. u n n + 0 em L Φ, ou seja u n Φ n + 0.

56 1 Neste caso, > 1, para n suficientemente grande. Deste fato, temos do Lema u n Φ 2.2 b e do Lema un Φ u n dx Φ dx = 1, u n Φ u n Φ donde Reciprocamente, suponha que Φu n dx u n Φ n + 0. Fixe ɛ 0, 1. Do Lema 2.7 existe t 0 0, verificando Φ un ɛ dx Φ [ u n t 0 ] 50 Φu n dx n un ɛ dx + K ɛ [ u n >t 0 ] Φ u n dx. 2.8 É importante lembrar que no caso = +, tem-se t 0 = 0. Deste fato, considere < +. Afirmamos que Com efeito, seja y n = [ u n t 0 ] Φ [ u n t 0 ] un Φ ɛ dx n + 0. un ɛ dx, n N. Dada uma subsequência y nk de y n, mostraremos agora que existe uma subsequência y nkj tal que y nkj 0. Desde que Φu nk dx k + 0, existe u nkj tal que donde Φ u nkj x j + 0 q.t.p. x, u nkj x j + 0 q.t.p. x. Sabendo disto, temos unkj Φ x χ [ unkj t ɛ 0 ]x j + 0 q.t.p. x.

57 51 Observando agora que unkj Φ x t0 χ [ unkj t ɛ 0 ]x Φ L 1, ɛ temos pelo Teorema de Lebesgue unkj Φ dx = ɛ [ u nkj t 0 ] unkj Φ χ [ unkj t ɛ 0 ]dx j + 0. Deste fato, conclui-se que [ u n t 0 ] Φ un ɛ dx n De para n suficientemente grande. Logo, para n suficientemente grande. Φ un ɛ dx 1, u n Φ < ɛ, Proposição 2.4 i Quando < +, tem-se que L Φ = L. Φ se, Φ satisfaz a condição 2. se, e só ii Quando = +, tem-se que L Φ = B 0. Φ condição 2, onde se, e só se, Φ satisfaz a B 0 = {u : R mensurável; u é limitado com suppu limitado}. Proposição 2.5 Se Φ 2, então L Φ é separável. Além disso C 0. Φ = L Φ. 2.4 Dualidade Nesta seção veremos que o dual de um espaço de Orlicz pode ser associado a um outro espaço de Orlicz. Considerando f : R, + um funcional semicontínuo a direita e convexa, tem-se que epif = {s, b R R; fs b} é um conjunto diferente do vazio e convexo sobre R R.

58 52 Definição 2.4 Definimos como função conjugada de f, a função f : R R dada por ft = sup{st fs; s R}. Lema 2.9 Seja Λ = {t, a R 2 ; a ft} e para cada t, a Λ defina A t,a = {s, b R 2 ; b st a}. Então epif = t,a Λ A t,a. Lema 2.10 Dado t R, considerando A t = {s, b; b st ft}, temos epif = t R A t = t,a Λ A t,a. Demonstração. De fato, basta observar que t R A t = t,a Λ A t,a Lema 2.11 A função conjugada de f isto é f é a função f, ou seja f f. Demonstração. De fato, para demonstrar isto mostraremos primeiro que epif = epi f. Para cada s, b epif = t R A t onde A t é o conjunto definido no Lema 2.10, tem-se que b st ft, t R, ou equivalentemente b sup{st ft; t R} = fs. Deste fato, conclui-se que epi f = epif. Sabendo disto, desde que s, fs epi f, temos s, fs epif implicando que fs fs Além disso, se s, fs epif, segue que s, fs epi f, consequentemente fs fs De 2.10 e 2.10, f f.

59 53 Lema 2.12 Se Φ é uma N-função, então Φ também será uma N-função. Lema 2.13 Considere Φ uma N-função dada por Φt = t 0 ϕsds, onde ϕ : R + R + satisfaz as condições de I à IV do Lema 2.1. Definindo ψs = sup{t R + ; ϕt s} e Ψt = segue que Ψ é uma N-função e Ψ = Φ. t 0 ψsds Observação Das definições de Φ, Ψ, ϕ e ψ, conclui-se que uϕu = Φu + Ψϕu, u R + e vψv = Φψv + Ψv, v R +. Teorema 2.5 Desigualdade de Young Sejam Φ uma N-função e Φ a função conjugada. Então ts Φt + Φs, t, s R. Exemplo 1 a. Seja Então Φ 1 t = 1 p t p, p 1, + e t R. Φ 1 t = 1 q t q, t R, onde 1 p + 1 q = 1. b. Considerando tem-se que Φ 2 t = e t t 1, t R, Φ 2 t = 1+ t ln1+ t t, t R. Proposição 2.6 Sejam Φ uma N-função e Φ a sua função conjugada. Se u L Φ e v L Φ, então

60 54 i uv L 1 ; ii uvdx 2 u Φ v Φ. Demonstração. Da desigualdade de Young ver Teorema 2.5, donde segue-se do Lema u Φ v Φ u v u Φ v Φ uv dx u Φ + u Φ v, Φ v Φ u v Φ dx + Φ dx = 2, u Φ v Φ logo mostrando que uv L 1. uv dx 2 u Φ v Φ, Observação Segue da Proposição 2.6, que L Φ L Φ, ou equivalentemente para cada v L Φ, definindo F u = temos F L Φ uvdx, u L Φ, O próximo teorema mostra que o dual do espaço L Φ equivalentemente, o dual de L Φ pode ser identificado com o espaço de Orlicz L Φ equivalentemente, o espaço L Φ. Teorema 2.6 L Φ é reflexivo se, e só se, Φ, Φ 2. Além disso, se Φ 2, L Φ = L Φ. Lieb. Agora mostraremos um teorema, que generaliza um resultado devido a Brézis e Teorema 2.7 Brézis Lieb para N-funções Sejam R N aberto, Φ : R [0, contínua, convexa, par e Φ : R R dada por Suponha i Φt = 0 se, e somente se, t = 0, Φt = sup{st Φs}. s R