Inferência Causal. Segundo Semestre de 2018 / Professores: Augusto C. Souza; Ângela M. Coelho

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1 Inferência Causal Segundo Semestre de 2018 / Professores: Augusto C. Souza; Ângela M. Coelho

2 Os Efeitos de Intervenções

3 Introdução O objetivo final de muitos estudos estatísticos é prever os efeitos das intervenções. Características de incêndios florestais X frequência de incêndios Quando coletamos dados sobre fatores associados a incêndios florestais, estamos realmente procurando por algo que possamos intervir para diminuir a frequência do incêndio.

4 Introdução O objetivo final de muitos estudos estatísticos é prever os efeitos das intervenções. Fármaco contra o câncer X estado de saúde de um paciente Quando realizamos um estudo sobre um novo fármaco contra o câncer, estamos tentando identificar como a doença de um paciente responde quando intervimos medicando o paciente.

5 Introdução O objetivo final de muitos estudos estatísticos é prever os efeitos das intervenções. Violência em programas de televisão X agressividade de crianças Quando pesquisamos a correlação entre programas de televisão violentos e os atos de agressão em crianças, estamos tentando determinar se intervir na redução do acesso das crianças à programas de televisão violentos reduzirá sua agressividade.

6 Introdução Padrão ouro Experimento Controlado Randomizado Em um experimento controlado devidamente aleatorizado, todos os fatores que influenciam a variável resposta são estáticos ou variam ao acaso, exceto por uma, então qualquer alteração na variável resposta deve ser creditada a essa variável.

7 Introdução Características de incêndios florestais X frequência de incêndios Não podemos controlar o tempo, portanto não podemos randomizar as variáveis que afetam os incêndios florestais. Fármaco contra o câncer X estado de saúde de um paciente Os ensaios clínicos aleatorizados de drogas podem ter problemas quando os participantes abandonam, não conseguem tomar a medicação ou notificam erroneamente seu uso. Violência em programas de televisão X agressividade de crianças Poderíamos alocar aleatoriamente os participantes em um estudo sobre violência na televisão, mas seria difícil controlar efetivamente a quantidade de televisão que cada criança assiste e quase impossível saber se os controlamos efetivamente ou não.

8 Introdução Alternativa... Estudos observacionais Os dados são apenas registrados, em vez de controlados. Problema É difícil separar o que é causal daquilo que é meramente uma correlação. Exemplos Hábito de tomar vinho X risco de ataque cardíaco Vacina contra gripe X risco de morte no ano seguinte Vitamina C X saúde geral Superficialidade X quantidade de troca de mensagens de texto...

9 Diferença entre intervir em uma variável e condicionar nessa variável Quando intervimos em uma variável em um modelo, nós corrigimos seu valor. Quando condicionamos uma variável, não mudamos nada; simplesmente limitamos nosso foco ao subconjunto de casos em que a variável assume o valor que nos interessa.

10 Diferença entre intervir em uma variável e condicionar nessa variável Exemplo Grafo representando a relação entre a temperatura (Z), as vendas de sorvete (X) e as taxas de criminalidade (Y) Grafo representando uma intervenção no modelo ao lado com a redução nas vendas de sorvete Intervir em uma variável, resulta em um padrão de dependências totalmente diferente do que o condicionamento em uma variável.

11 Notação P Y = y X = x é a probabilidade de Y = y condicional ao valor X = x, enquanto que P Y = y do X = x é a probabilidade de Y = y quando intervimos para fazer X = x. P Y = y do X = x, Z = z denota a probabilidade condicional de Y = y, dado Z = z, na distribuição criada pela intervenção do X = x. OBS.: P Y = y X = x reflete a distribuição populacional de Y entre indivíduos cujo valor X é x. Por outro lado, P Y = y do X = x representa a distribuição populacional de Y se todos na população tiverem seu valor X fixado em x.

12 A Fórmula de Ajuste Considere o seguinte exemplo onde X representa o uso de um fármaco, Y representa a recuperação, e Z significa sexo.

13 Para descobrir o quão eficaz é a droga na população, imaginamos uma intervenção hipotética através da qual administrarmos a droga uniformemente a toda a população e comparamos a taxa de recuperação com o que seria obtido sem a intervenção, onde evitamos que todos usem a droga. Exemplo: efeito de uma droga Considere do X = 1 = todos tomam a droga do X = 0 = ninguém toma a droga O objetivo é estimar P(Y = 1 do(x = 1)) P(Y = 1 do(x = 0)) "Diferença de efeito causal" ou "efeito causal médio" (ACE).

14 Fórmula de ajuste: observações Se X e Y podem assumir mais de um valor, gostaríamos de prever o efeito causal geral P Y = y do X = x os efeitos causais não podem ser estimados a partir do próprio conjunto de dados sem uma história causal (paradoxo de Simpson) mas com a ajuda do grafo, podemos calcular a magnitude do efeito causal a partir dos dados.

15 P Y = y do X = x = P m Y = y X = x P m, a probabilidade manipulada, compartilha duas propriedades essenciais com P 1. a probabilidade marginal P Z = z é invariante sob a intervenção, o processo que determina Z não é afetado pela remoção da ligação de Z para X. (as proporções de homens e mulheres permanecem as mesmas antes e depois da intervenção) 2. a probabilidade condicional P Y = y Z = z, X = x é invariante processo pelo qual Y responde a X e Z, Y = f x, z, u Y permanece o mesmo, independentemente de X mudar espontaneamente ou por manipulação deliberada. Exemplo: efeito de uma droga com intervenção

16 Exemplo: efeito de uma droga com intervenção Equações de invariância e 1. P m Z = z = P Z = z 2. P m Y = y Z = z, X = x = P Y = y Z = z, X = x

17 Exemplo: efeito de uma droga com intervenção Como Z e X são d-separados (independentes) no modelo modificado, temos que Isso nos diz que P m Z = z X = x = P m Z = z = P Z = z Juntando essas considerações, temos P Y = y do X = x = Pm Y = y X = x (por definição) = = z z P m Y = y X = x, Z = z P m Z = z X = x P m Y = y X = x, Z = z P m Z = z

18 Exemplo: efeito de uma droga com intervenção Usando as relações de invariância, obtemos uma fórmula para o efeito causal, em termos das probabilidades de pré-intervenção: P Y = y do X = x = z P Y = y X = x, Z = z P Z = z Este procedimento é conhecido como "ajustar para Z" ou "controlar para Z."

19 Fórmula de ajuste: exemplo numérico Exemplo: efeito de uma droga com intervenção X = 1: o paciente que toma o medicamento, Z = 1: o paciente é homem e Y = 1: paciente em recuperação. Tabela 1: Resultados de um estudo sobre uma nova droga, levando o gênero em consideração. Gênero Usaram a nova droga Não usaram a nova droga Masculino 81 de 87 se recuperaram (93%) 234 de 270 se recuperaram (87%) Feminino 192 de 263 se recuperaram (73%) 55 de 80 se recuperaram (69%) Total 273 de 350se recuperaram (78%) 289 de 350 se recuperaram (83%)

20 Fórmula de ajuste: exemplo numérico Temos pela fórmula de ajuste que P Y = 1 do X = 1 = P Y = 1 X = 1, Z = 1 P Z = 1 + P Y = 1 X = 1, Z = 0 P Z = 0 Usando os dados da Tabela P Z = 1 = = 0, P Y = 1 X = 1, Z = 1 = = 0, P Z = 0 = = 0, P Y = 1 X = 1, Z = 0 = = 0,73004

21 Fórmula de ajuste: exemplo numérico Temos pela fórmula de ajuste que P Y = 1 do X = 1 = P Y = 1 X = 1, Z = 1 P Z = 1 + P Y = 1 X = 1, Z = 0 P Z = 0 Usando os dados da Tabela 1 P Y = 1 do X = 1 = 0,93 0,51 + 0,73 0,49 = 0,832

22 Fórmula de ajuste: exemplo numérico Temos pela fórmula de ajuste que P Y = 1 do X = 0 = P Y = 1 X = 0, Z = 1 P Z = 1 + P Y = 1 X = 0, Z = 0 P Z = 0 Usando os dados da Tabela P Z = 1 = = 0, P Y = 1 X = 0, Z = 1 = = 0, P Z = 0 = = 0, P Y = 1 X = 0, Z = 0 = = 0,6875

23 Fórmula de ajuste: exemplo numérico Temos pela fórmula de ajuste que P Y = 1 do X = 1 = P Y = 1 X = 1, Z = 1 P Z = 1 + P Y = 1 X = 1, Z = 0 P Z = 0 Usando os dados da Tabela 1 P Y = 1 do X = 0 = 0,87 0,51 + 0,69 0,49 = 0,7818

24 Fórmula de ajuste: exemplo numérico Comparando o efeito de tomar a droga (X = 1) com o efeito de não tomar (X = 0), obtemos ACE = P Y = 1 do X = 1 P Y = 1 X = 0 = 0,832 0,7818 = 0,0502 ACE: a diferença na fração da população que se recuperaria se todos tomassem a droga em comparação com quando ninguém toma a droga.

25 Fórmula de ajuste: outro exemplo Exemplo de pressão sanguínea do paradoxo de Simpson Pressão sanguínea Uso do medicamento Recuperação Discutimos que o método mais sensível não seria condicionar a pressão arterial, mas examinar a tabela de população incondicional diretamente. Como a fórmula de ajuste poderia lidar com situações como essa?

26 Fórmula de ajuste: outro exemplo P Y = 1 do X = 1 =? Pressão sanguínea Uso do medicamento Recuperação

27 Fórmula de ajuste: outro exemplo P Y = 1 do X = 1 =? Primeiro, simulamos uma intervenção e examinamos a fórmula de ajuste resultante da intervenção simulada. Como nenhuma ligação entra em X, já que X não tem pais, não é necessária nenhum corte no grafo. As condições em que os dados foram obtidos foram tais que o tratamento foi atribuído "como se fosse randomizado". Se houvesse um fator que fizesse com que os indivíduos preferissem ou rejeitassem o tratamento, esse fator deveria aparecer no modelo; a ausência de tal fator nos permite tratar X como um tratamento aleatorizado. Sob tais condições, o grafo de intervenção é igual ao gráfico original e a fórmula de ajuste se reduz a P Y = y do X = x = P Y = y X = x Se ajustássemos pela pressão arterial, obteríamos uma avaliação incorreta - correspondente a um modelo em que a pressão arterial fizesse com que as pessoas buscassem tratamento.

28 Ajustar por... Ou não ajustar? Entender qual variável, ou conjunto de variáveis, Z pode ser legitimamente incluído na Fórmula de Ajuste. O procedimento de intervenção determina que Z deve coincidir com os pais de X, porque é a influência desses pais que neutralizamos quando corrigimos X por manipulação externa. Seja PA X os pais de X.

29 Regra 1 (A Regra de Efeito Causal) Dado um grafo G em que um conjunto de variáveis PA são designadas como pais de X, o efeito causal de X em Y é dado por P(Y = y do X = x = z P Y = y X = x, PA = z P PA = z onde z varia em todas as combinações de valores que as variáveis na PA podem tomar.

30 Regra 1 (A Regra de Efeito Causal) Outra forma de expressa a Regra 1 P(Y = y do X = x = z P Y = y X = x, PA = z P PA = z P X = x PA = z P X = x PA = z = P y do x = z P X = x, Y = y, PA = z P X = x PA = z Escore de propensão (Propensity score)

31 Observações Quais aspectos do grafo nos permitem prever os efeitos causais a partir de dados observacionais. Precisamos do grafo para determinar a identidade dos pais de X! X: o conjunto de fatores que, em condições nãoexperimentais, seria suficiente para determinar o valor de X, ou a probabilidade desse valor.

32 Observações Na maioria dos casos práticos, o conjunto de pais de X conterá variáveis não observadas que nos impedirão de calcular as probabilidades condicionais na Fórmula de Ajuste. Como veremos nas seções seguintes, podemos ajustar para outras variáveis no modelo para substituir os elementos não medidos de PA X.

33 Intervenções múltiplas e a regra do produto truncado Ao derivar a Fórmula de Ajuste, assumimos uma intervenção em uma única variável, X, cujos pais foram desconectados, de modo a simular a ausência de sua influência após a intervenção. No entanto, em políticas sociais e médicas normalmente envolvem várias intervenções, ditando o valor de várias variáveis simultaneamente.

34 Intervenções múltiplas e a regra do produto truncado Regra da Decomposição do Produto A distribuição antes da intervenção para o modelo abaixo é dada pelo produto P x, y, z = P z P x z P y x, z

35 Intervenções múltiplas e a regra do produto truncado Considerando a distribuição pós-intervenção, representada pela figura abaixo, é dada pelo produto P z, y do x = P m z P m y x, z = P z P y x, z

36 Intervenções múltiplas e a regra do produto truncado P z, y do x = P m z P m y x, z = P z P y x, z Isso coincide com a Fórmula de Ajuste, porque para avaliar P y do x precisamos somar em z, o que dá P y do x = z P z P y x, z

37 Fórmula do produto truncado ou g-fórmula Generalizando a Fórmula de Ajuste para múltiplas intervenções, ou seja, intervenções que atribui valores constantes a um conjunto de variáveis X. P x 1, x 2,, x n do x = P x i pa i para todo i com X i não pertencente a X. i

38 suponha que uma interveção seja realizada no modelo da Figura 1 fazendo X = x e Z 3 = z 3. A distribuição pós-intervenção (Figura 2) das outras variáveis no modelo será P z 1, z 2, w, y do X = x, Z 3 = z 3 = P z 1 P z 2 P w x P y w, z 3, z 2 Exemplo Fig. 1: Modelo sem intervenção onde eliminamos os fatores P x z 1, z 3 e P z 3 z 1, z 2 do produto. Fig. 2: Modelo com intervenção

39 Exercício Considere o grafo exibido na figura abaixo (A) Nomeie todos os pais de Z. (B) Nomeie todos os antepassados de Z. (C) Nomeie todos os filhos de W. (D) Nomeie todos os descendentes de W. (E) Desenhe todos os caminhos (simples) entre X e T (ou seja, nenhum nó deve aparecer mais de uma vez). (F) Desenhe todos os caminhos orientados entre X e T.