IDEIAS BASE DO CONCEITO DE FUNÇÃO MOBILIZADAS (OU NÃO) POR

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1 IDEIAS BASE DO CONCEITO DE FUNÇÃO MOBILIZADAS (OU NÃO) POR ESTUDANTES DE DIFERENTES NÍVEIS DE ENSINO Veridiana Rezende 1 Universidade Estadual do Paraná UNESPAR - Brasil Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE - Brasil Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Educação Matemática PPGECEM/UNIOESTE rezendeveridiana@gmail.com Clélia Maria Ignatius Nogueira Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE - Brasil Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Educação Matemática PPGECEM/UNIOESTE Universidade Estadual de Maringá UEM - Brasil voclelia@gmail.com RESUMO Assumimos como pressuposto que a aprendizagem matemática ocorre durante o processo escolar, em decorrência das diferentes situações vivenciadas pelos estudantes. Desse modo, e com o olhar voltado para o campo Conceitual das funções, estabelecemos como objetivo para este trabalho discutir as ideias base do conceito de função mobilizadas (ou não) por estudantes de diferentes níveis de ensino, a partir de tarefas matemáticas nas quais o conceito de função é abordado implicitamente. Para isso, analisamos respostas de 4 estudantes brasileiros e franceses, de três níveis de ensino (Fundamental, Médio e Superior de Matemática e correspondentes francês), mediante a resolução de uma tarefa proposta por meio de entrevista semiestruturada, realizada entre pesquisadora e cada estudante. Para as análises, focamos nosso olhar para as cinco ideias base do conceito de função variável, dependência, correspondência, regularidade e generalização manifestadas (ou não) nas respostas dos estudantes. As análises mostram que os sujeitos desta pesquisa não mobilizam de modo coerente as referidas ideias base diante das tarefas propostas. PALAVRAS-CHAVE: Didática da Matemática. Campo Conceitual. Funções. ABSTRACT We assume that mathematical learning occurs during the school process, due to the different situations experienced by the students. Thus, with our eyes focused on the Conceptual Field of functions, we set as objective for this work to discuss the basic ideas of the concept of function mobilized (or not) by students of different levels of education, from a mathematical task presented in the graphic concept, whose concept of function is implicit in the task. To that end, we analyzed the responses of 4 Brazilian and French students from three levels of education (Fundamental, Middle and Higher Mathematics and French correspondents), by solving a task proposed through a semistructured interview conducted between researcher and each student. 1 Pesquisa desenvolvida com apoio da Fundação Araucária (Estado do Paraná).

2 For the analysis, we focused on the basic ideas of the concept of function - variable, dependence, correspondence, regularity and generalization manifested (or not) in the students' responses. The analyzes show that the subjects of this research do not mobilize in a coherent way the said basic ideas before the proposed task, that deals with the concept of function implicitly. KEYWORDS: Didactics of Mathematics. Conceptual Field. Functions. INTRODUÇÃO O conceito de função é essencial para a disciplina de Matemática, principalmente por permear grande parte dessa Ciência (EVES, 1995). No entanto, seu estudo é complexo, principalmente por envolver diversos outros conceitos, propriedades, símbolos, representações, diferentes situações que podem ocasionar dificuldades na compreensão deste conceito por estudantes de diferentes níveis de ensino e até mesmo por professores, conforme revelam algumas pesquisas (NUNES; SANTANA, 017; PIRES; MERLINE; MAGINA, 015; RAMOS; CURI; 014). Segundo Nogueira (014), o conceito de função é um dos principais da área de Matemática, pois são as funções que dão mobilidade à Matemática, retirando essa ciência de sua rigidez estática, permitindo a representação e o estudo de fenômenos móveis. Nogueira (014) afirma que o ensino de funções ficou restrito pelo menos até a metade do século XIX ao Ensino Superior, e desde a década de 1960, com o movimento da Matemática Moderna, passou-se a recomendar o ensino desse conceito a partir do terceiro ciclo do Ensino Fundamental. Posteriores reformas o conduzem para o primeiro ano do Ensino Médio. Documentos curriculares brasileiros (BRASIL, 1999; BRASIL, 1998) apontam que a formalização do conceito de função deve ocorrer no Ensino Médio. Contudo, o estudo de noções básicas para a compreensão deste conceito deve iniciar durante a introdução de ideias algébricas desde os Anos Iniciais, a partir da generalização de padrões, estabelecimento de relação e variação de grandezas, modelização, representação de problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreendendo a sintaxe (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998; BRASIL, 1999). A Base Nacional Comum Curricular BNCC (BRASIL, 017) também estabelece 16 habilidades necessárias para

3 o ensino da Álgebra nos Anos Iniciais, dentre as quais às referentes às ideias de regularidade, inclusive com o estabelecimento de regras de formação de uma sequência. Sendo assim, e compartilhando com o estabelecido por Vergnaud (1990) de que a aprendizagem de um conceito se dá ao longo do processo escolar, em decorrência das diferentes situações vivenciadas pelos sujeitos e de que um conceito não pode ser examinado, apreendido, isoladamente, sendo necessárias diversas situações para compreendê-lo; este texto tem por objetivo discutir as ideias base do conceito de função mobilizadas (ou não) por estudantes de diferentes níveis de ensino (Fundamental, Médio e Superior de Matemática), a partir de tarefas matemáticas que contemplam implicitamente o conceito de função. ELEMENTOS DO CAMPO CONCEITUAL DAS FUNÇÕES Baseadas em Vergnaud (1990), partimos do pressuposto que para o estudo de um conceito são necessários diversos outros conceitos, situações, símbolos, representações, propriedades, teoremas, interligados, formando o que o pesquisador denomina por Campo Conceitual. Desse modo, entendemos que um conceito não pode ser examinado e apreendido isoladamente, e são necessárias diversas situações para compreendê-lo. E, igualmente, uma única situação pode estar ligada a diversos outros conceitos. No que diz respeito ao Campo Conceitual das funções, citamos algumas ideias matemáticas que o contempla, tais como: números (reais, irracionais, racionais, inteiros), conjuntos, continuidade, infinito, potência, raízes da função, polinômios, variável, dependência, correspondência, generalização, domínio, imagem, contradomínio, pontos de máximo e mínimo, plano cartesiano, relação, taxa de variação, proporcionalidade, eixos coordenados, diferentes tipos de funções, entre muitos outros. Além dos conceitos, também fazem parte do campo conceitual diferentes situações matemáticas que os compreendem, que dizem respeito a diferentes estruturas, diferentes quadros (DOUADY, 1986; 011): gráfico, numérico, algébrico, geométrico entre outros, bem como diferentes símbolos necessários para expressar os conceitos e ideias matemáticas relacionados às funções. Destarte, no que diz respeito às situações presentes no Campo Conceitual das funções, é preciso considerar as ideias base desse conceito 3

4 (NOGUEIRA, 014; CARAÇA, 005), essenciais para a sua compreensão - variável, correspondência, dependência, regularidade e generalização, conforme descritas a seguir. A ideia de variável representa um elemento de um conjunto, e geralmente é denominado por uma letra. A noção de variável é uma das mais difíceis para os alunos, pois se trata de um número qualquer de determinado conjunto, mas não é especificamente nenhum dos números desse conjunto (CARAÇA, 004; TINOCO, 004). A dependência expressa a relação de dependência entre grandezas variáveis que irá caracterizar uma função. Numa relação funcional, uma das grandezas (variável dependente) é univocamente determinada pela variação da outra (variável independente) (TINOCO, 004). Por meio desta noção matemática, é possível observar a dependência entre grandezas que ocorre em fenômenos da Física, da Biologia, da Química e de outras áreas, de modo que, no estudo das funções, o aluno poderá também identificar variáveis dependentes e independentes (NOGUEIRA, 014). A correspondência é um dos elementos essenciais da Matemática, afinal a contagem de objetos de uma coleção por uma criança que conhece os números naturais é realizada pelo apontamento do dedo (ou olhar) a cada um dos objetivos dizendo a sequência numérica: um, dois, três e assim sucessivamente, até se esgotar os objetos da coleção. Em outras palavras, [...] podemos dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder sucessivamente, a cada objeto da coleção, um número da sucessão natural (CARAÇA, 004, p. 6). Particularmente em relação ao conceito de função, para se estudar leis quantitativas é preciso criar um instrumento cuja essência seja a correspondência entre dois conjuntos (CARAÇA, 004). A regularidade se refere ao [...] comportamento idêntico, desde que as condições iniciais sejam mantidas (CARAÇA, 004). É a regularidade que permite a repetição e a previsão dos fenômenos a serem estudados. Nesse sentido, [...] o reconhecimento de regularidades em situações reais, padrões geométricos, sequências numéricas é necessário para a construção do conceito de função (CAMPINELI, CAMPINELI, 006, p. 36). Para Nogueira (014), a descoberta da regularidade pode ser iniciada desde muito cedo, na [...] Educação Infantil, trabalhando com desenhos, as crianças podem ser estimuladas a descobrir o padrão de repetição de uma sequência (p. 8). 4

5 No que concerne à generalização, a partir do momento que se estabelece uma regularidade é possível obter a generalização, que envolve abstração (CAMPINELI, CAMPINELI, 006). É preciso que o aluno tenha domínio neste quesito, que consiga avaliar corretamente as variáveis, a dependência (ou não) presente em determinado problema e, por fim, a identificar a regularidade existente e a generalização, que se trata de um elemento decisivo para a construção do conceito de função (TINOCO, 004). Considerando os elementos que compõem o Campo Conceitual das funções elencados acima, e tomando como princípio que as diferentes situações presentes no Campo Conceitual das funções estão relacionadas às cinco ideias base mencionadas, notamos a complexidade deste campo conceitual, fato que justifica certos erros e dificuldades de estudantes e professores, apontados em algumas pesquisas (NUNES; SANTANA, 017; PIRES; MERLINE; MAGINA, 015; RAMOS; CURI; 014). Sendo assim, propomos neste trabalho discutir conhecimentos de estudantes de diferentes níveis de ensino, mobilizados em tarefas matemáticas que abordam implicitamente as ideias de função. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS, DISCUSSÃO E ANÁLISE DOS DADOS Os dados discutidos nesta pesquisa foram coletados para a tese de doutorado de uma das autoras (REZENDE, 013), sob a orientação da outra. Eles se referem às respostas dos sujeitos da pesquisa em quatro tarefas matemáticas, dentre as nove situações propostas com o propósito de analisar conhecimentos mobilizados por estudantes relacionados aos números irracionais. Atualmente, o interesse das pesquisadoras está voltado para o estudo do Campo Conceitual das funções. Sendo assim, inspiradas em Douady (011; 1986), e levando em conta as possíveis imbricações entre Campos Conceituais (TELES, BELEMAIN, 013), revisitamos os dados da pesquisa (REZENDE, 013) e constatamos um caminho a ser trilhado relacionado ao conceito de função, a partir de quatro situações matemáticas contempladas na tese, relacionadas a medidas de áreas de quadrados, medidas de áreas de retângulos, e equações do º grau. 5

6 Os sujeitos da pesquisa foram 4 estudantes brasileiros e franceses, que finalizavam o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior de Matemática, e respectivos níveis de ensino francês. A coleta de dados ocorreu por meio de entrevistas semiestruturadas, individuais, com nove tarefas matemáticas para serem resolvidas. A análise dos dados ocorreu à luz da teoria dos Campos Conceituais, com foco nos possíveis teoremas em ação mobilizados pelos estudantes durante a resolução das tarefas. Apresentamos a seguir as quatro tarefas cujas respostas dos sujeitos da pesquisa foram analisadas para este texto com o olhar para as ideias base de função. Estas foram as tarefas de ordem 4, 5, 6 e 7 do instrumento de pesquisa (REZENDE, 013). Tarefa 1: Existe ou não solução para as seguintes equações: a) Em caso positivo, apresente as soluções. x =16 ; b) x =17 ; c) Tarefa : a) Existe ou não um quadrado de medida de área? Em caso positivo, indique a medida do lado dos quadrados. b) Existe ou não um quadrado de medida de área 13 cm? Em caso positivo, indique a medida do lado do quadrado. 5 cm Tarefa 3: A área do quadrado ABCD é 13 cm. Você concorda com esta afirmação? x = π? Tarefa 4: a) Represente no 1º quadrante do plano cartesiano diferentes retângulos cuja medida de área é 4cm, de modo que cada retângulo atenda as seguintes condições: tenha um vértice na origem do plano cartesiano, um vértice sobre o eixo x e um vértice sobre o eixo y. b) Além destes retângulos representados, existem outros retângulos como esses (nas condições dadas), que também possuem medida de área 4cm? Justifique a sua resposta. c) Pinte os pontos de coordenadas (x, y) que são vértices dos retângulos de área 4cm e que não pertença aos eixos do plano cartesiano. O que você observa sobre o comportamento destes pontos? d) Dentre os retângulos possíveis de serem representados, é possível identificar (ou representar) um quadrado neste mesmo plano cartesiano com as mesmas propriedades destes retângulos: um vértice na origem e outros dois sobre os eixos coordenados, e que tenha medida de área igual a 4cm? Justifique sua resposta. Informamos que o foco das análises para este texto é a tarefa 4. Esta opção decorre do fato que nela as cinco ideias base de funções (variável, correspondência, dependência, 6

7 regularidade e generalização) são abordadas implicitamente. Além disso, alguns sujeitos da pesquisa, mesmo tendo indicado a desestabilização de conhecimentos errôneos, relacionados a existência de solução para equações do segundo grau e existência de quadrados em tarefas anteriores, ao resolveram a tarefa 4 voltaram a mobilizar conhecimentos equivocados. As análises das respostas dos sujeitos da pesquisa mostram que quando se trata de números quadrados perfeitos, no caso os números 16 e 5, os alunos respondem prontamente que a solução da equação x =16 é 4 ou -4 (em alguns casos, principalmente no Ensino Fundamental, o número -4 não é dado como solução). O mesmo ocorre para a medida de lado do quadrado de área 5 cm prontamente que a medida do lado do quadrado é 5cm., todos os sujeitos da pesquisa responderam Contudo, o mesmo não ocorre para números que não são quadrados perfeitos. Dentre os 30 estudantes da Educação Básica apenas três responderam corretamente sobre a existência de solução para as equações x 17 e x, apresentando tanto as respostas positivas ( 17 e ) quanto negativas ( 17 e ). Outros quatro estudantes afirmaram que os números 17 e são solução para as equações x 17 e x, mas são mencionaram as soluções negativas das equações. Os demais alunos alegaram que estas equações não possuem solução, ou apresentaram o número decimal exibido pela calculadora. Com estas respostas, os estudantes indicaram a mobilização dos teoremas em ação falsos: 1) Se tal que p R não é quadrado perfeito então não existe x R x p ; e ) Se p R então x p tem solução real, dada por x p. Em relação à existência de um quadrado de medida de lado 13 cm, e identificar a medida de seu lado, apenas três alunos da Educação Básica responderam corretamente dizendo que existe o quadrado de medida de lado 13 cm, indicando a mobilização de dois teoremas em ação faltos: 3) Se quadrado cuja medida de área é se a é quadrado perfeito. b R não é quadrado perfeito, então não existe um A b cm ; e 4) Seja 7 a R, a existe se e somente Considerando que para determinar o lado de um quadrado basta resolver a equação x = 13, se os alunos utilizassem o conceito de função quadrática f(x) = x, sua

8 continuidade no conjunto dos números reais e as ideias base do conceito de função muitos dos equívocos cometidos teriam sido evitados para a resolução das tarefas 1 e. Com a tarefa 3 tivemos a intenção de proporcionar aos alunos reflexões sobre seus próprios erros, e sobre a existência de um quadrado de medida de lados irracional. Dentre os alunos da Educação Básica que que resolveram esta tarefa quatro afirmaram que existe um quadrado de área 13 cm, e que seu lado mede 13 cm, indicando a possibilidade de desestabilizar os teoremas em ação falsos mobilizados na tarefa. Em relação à tarefa 4, notamos que ela diz respeito a infinitos retângulos com medida de área 4 cm que podem ser representados no plano cartesiano, sob as condições: os retângulos são representados no primeiro quadrante, um de seus vértices pertence ao eixo y, um dos vértices é a origem, um dos vértices pertence ao eixo x, e o quarto vértice pertence à curva contínua, representada por: f: R + R +, f(x) = 4 x. Para resolvê-la, os estudantes precisam mobilizar conhecimentos matemáticos aprendidos no Ensino Fundamental (ou respectivo nível francês), tais como área de retângulos, medida de seus lados, representação de pontos e retângulos do plano cartesiano. No entanto, para Douady (011), esta tarefa tem uma novidade que diz respeito às variações de certas medidas em função de outras, ou seja, a variação da medida de um dos lados (pertencente ao eixo y) em função da medida de outro lados (pertencente ao eixo x) do retângulo, mantendo fixa a área destes retângulos. Assim, é possível introduzir um ponto de vista funcional como uma ferramenta implícita, sem que as funções sejam abordadas explicitamente. Ainda, esta tarefa permite o trabalho com diferentes quadros: geométrico (retângulos, seus elementos e propriedades); numérico (números naturais, decimais, racionais e irracionais); algébrico (designar letras e valores desconhecidos a certas medidas dos lados dos retângulos); gráfico (representação dos retângulos no plano cartesiano); funcional (como uma ferramenta implícita). Notamos que esta situação permite o estudo por aproximações numéricas de medidas de lados dos retângulos que Para a resolução da tarefa pelos alunos, foram disponibilizado papel milimetrado ou representações de alguns retângulos em plano cartesiano. 8

9 são irracionais, [...] cuja significação para os alunos provem da geometria (DOUADY, 011, p. 3). Especificamente em relação ao conceito de função, mesmo que contemplado implicitamente, esta tarefa permite aos alunos mobilizar ideias base de função: i. Variável: os lados dos infinitos retângulos são variáveis. ii. Dependência: a medida dos lados dos retângulos pertencentes ao eixo y dependem da medida dos lados dos retângulos pertencentes ao eixo x. iii. Correspondência: todo x pertencente R + (domínio) corresponde a um único y pertencente a R + (imagem). iv. Regularidade: ao variar os valores de x R + (um dos lados do quadrado), percebe-se uma regularidade para os valores assumidos no eixo y (lado do retângulo), exemplo: x y v. Generalização: a partir da regularidade é possível identificar uma representação genérica dada pela expressão algébrica: y = 4 x. Além destas ideias base, em relação às funções esta tarefa permite explorar os conceitos de domínio, imagem, contradomínio, crescimento, decrescimento, continuidade, teorema do valor intermediário entre outros. Desse modo, entendemos que se trata de uma tarefa rica para o trabalho em sala de aula, por permitir a exploração de diferentes quadros (numérico, algébrico, gráfico, geométrico, funcional), diferentes conceitos, propriedades e símbolos matemáticos relacionados a estes quadros. Ainda, é possível o trabalho com o uso de softwares de geometria dinâmica para o estudo do comportamento da função, explorar a continuidade, fazer simulações de representação de alguns retângulos, entre outras possibilidades. Discussão das respostas dos estudantes e a mobilização (ou não) de ideias base de função: Dentre os 30 alunos da Educação Básica, sujeitos da pesquisa, apenas dois alunos responderam corretamente que é possível representar um quadrado dentre os retângulos nas condições dadas, indicando como medida de seus lados disseram que não existe o quadrado de medida de área 4cm 9 4 cm. Os demais alunos ou que existe um quadrado de área aproximadamente igual a 4cm, conforme fala de um aluno Só se for

10 um número que não é inteiro. [...] Só se for quatro e alguma coisa vezes quatro e alguma coisa, porque se for 5 dá 5. [...] Ele estaria por aqui, perto de 4,8, perto de 5. Destacamos que até mesmo os alunos que haviam indicado desestabilizar os teoremas em ação falsos na tarefa 3: 3) Se existe um quadrado cuja medida de área é somente se a b R A b cm não é quadrado perfeito, então não ; e 4) Seja a R, a existe se e é quadrado perfeito; ao se depararem com a tarefa 4, e a mudança para o quadro gráfico, voltaram a mobilizar os mesmos conhecimentos equivocados. Dentre os 1 alunos do Ensino Superior, três afirmaram de modo incorreto sobre a existência de um quadrado de medida de área aproximadamente igual a 4 cm, e os demais, mesmo apresentando algumas dúvidas durante suas resoluções, afirmaram sobre a existência do quadrado, apresentando 4 cm como medida de seu lado. Inferimos que algumas das dificuldades dos estudantes no sucesso desta tarefa pode estar relacionado a não compreensão do conceito de função e de suas ideias base. A resposta de um aluno brasileiro do Ensino Superior nos permite afirmar que o conhecimento sobre o conceito de função pode colaborar para o sucesso nesta tarefa: Sim, podemos obter um quadrado com esta área [ 4 cm ]. Usando a curva representada pelos pontos do item (a), podemos usar a propriedade geométrica que todo quadrado é um retângulo, e pode-se afirmar que este quadrado terá o lado aproximadamente entre 4 e 5, bem próximo de 5, obtendo um ponto comum à curva (G1). Notamos que embora o estudante não mencione explicitamente o termo função, ele mobilizou ideias relacionadas a este conceito, pois além de perceber o comportamento contínuo da curva, ele mobilizou as ideias de correspondência (um ponto do domínio corresponde a um ponto da imagem), dependência (a medida do lado do retângulo pertencente ao eixo y depende da medida do lado do retângulo pertencente ao eixo x), variável (afirma que a medida do lado do quadrado vai estar entre 4 e 5). CONCLUSÕES Com este trabalho tivemos a intenção de discutir conhecimentos mobilizados por estudantes de diferentes níveis de ensino a respeito de ideias base de funções, a partir de tarefas matemáticas que abordam implicitamente o conceito de função, e que foram 10

11 incialmente pensadas para o estudo dos números irracionais. Para isso, partimos do pressuposto de que o Campo Conceitual dos números irracionais e o Campo Conceitual das funções possuem situações comuns, caracterizando suas imbricações (TELES, BELEMAIN, 013). Nas tarefas discutidas, o conceito e as ideias de função estão implícitos, e serve como ferramenta (DOUADY, 011) para que os alunos possam ter sucesso ao resolver a tarefa, esse fato fica claro na resposta do aluno de graduação G1: pode-se afirmar que este quadrado terá o lado aproximadamente entre 4 e 5, bem próximo de 5, obtendo um ponto comum à curva, que mobiliza implicitamente ideias base de função: variável, correspondência, dependência. Sendo assim, os dados analisados nos fazem refletir sobre a possibilidade de os 8 (dentre 30) alunos da Educação Básica entrevistados, bem como 3 (dentre 1) alunos de graduação, não apresentarem conhecimentos sólidos acerca das ideias base de função que os levassem ao sucesso desta e de outras tarefas de nossa tese de doutoramento. Fazemos esta afirmação com base no fato de que 7 alunos da Educação Básica que afirmaram não existir solução para as equações x = 17 e π x =, e não existir quadrados de medida de área 13 cm e 4cm, considerando as condições dadas nas tarefas 1,, 3 e 4. Isto porque, se os alunos mobilizassem conhecimentos referentes às ideias base de função, à continuidade das funções f(x) = x e f(x) = 4, contempladas implicitamente nas tarefas propostas, não apenas muitos dos erros cometidos teriam sido evitados, quanto poderia ter sido maior o número de acertos na resolução destas tarefas. Nesse sentido, ressaltamos a importância do conceito de função para o estudo da Matemática, uma vez que este conceito se faz presente de modo explícito ou implícito em diversas situações, servindo de ferramenta para a realização de diversas tarefas matemáticas, propostas em diferentes quadros (DOUAY, 1986) e em diferentes Campos Conceituais (VERGNAUD, 1990). x REFERÊNCIAS Brasil. Ministério da Educação. Base Nacional Curricular Comum: Matemática. Brasília,

12 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, CAMPITELI, H. C.; CAMPITELI, V. C; Funções. Ponta Grossa: Editora UEPG, 006. DOUADY, R. Géométrie, graphiques, fonctions au collège. Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, REIEC, p. 1-7, 011. DOUADY, R. Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble : La Pensée Sauvage, vol. 7, n., pp. 5 a 31, EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. H. H. Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 004. NOGUEIRA, C.M.I. Construindo o conceito de funções. In: RAMOS, A.S.; REJANI, F.C. Teoria e Prática de Funções. Maringá: Unicesumar, p. NUNES, C. B.; SANTANA, E. R. S. Concepções Errôneas de Alunos de Licenciatura em Matemática Sobre o Conceito de Função. JIEEM, v.10, n., p , 017. PIRES, R. F.; MERLINE, V.; MAGINA, S. Função: Concepções Manifestadas por um Grupo de Professores. Educação Matemática em Revista, v.0, n.44, p. 1-9, 015. RAMOS, M. L., CURI, E. Modelo de Análise Didática dos Erros: um guia para analisar e tratar erros referentes à função polinomial do º grau. REVEMAT, v.9, n. 1, p. 7-4, 014. REZENDE, V. Conhecimentos sobre números irracionais mobilizados por alunos brasileiros e franceses: um estudo com alunos concluintes de três níveis de ensino (Tese de doutorado). Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 013. TELES, R. A. M., BELLEMAIN, P. M. B. Fórmulas de área para otimização: um olhar sob a ótica das imbricações entre campos conceituais. Educação Matemática em Revista (São Paulo)., v.31, p.4-13, 013. TINOCO, L. A. A. Construindo o conceito de Função. Rio de Janeiro, Projeto Fundão, 00. VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherche en Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, vol. 10, n..3, pp. 133 a 170,