Modelagem Fuzzy da Reocupação de uma Trilha de Formigas Cortadeiras

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1 Modelagem Fuzzy da Reocupação de uma Trilha de Formigas Cortadeiras Rosana Sueli da Motta Jafelice, César Guilherme de Almeida, Faculdade de Matemática, UFU, 3848-, Uberlândia, MG Resumo: Neste trabalho modelamos a reocupação de uma trilha de formigas cortadeiras. A modelagem matemática consiste em estudar o deslocamento das formigas cortadeiras em direção a uma região de atração e o retorno das mesmas para o formigueiro. Para este estudo utilizamos a equação de difusão-advecção, na qual a dispersão e a velocidade, na direção x e y, são parâmetros fuzzy. Os especialistas na área afirmam que o sinal químico é uma variável importante na reocupação de uma trilha, pois influencia o comportamento do deslocamento das formigas cortadeiras através da dispersão e da velocidade. As simulações numéricas levaram em consideração esta variável através de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRF). Os resultados numéricos são compatíveis com o fenômeno biológico estudado. Palavras-chave: Parâmetros Fuzzy, Equações Diferenciais Parciais, Formigas Cortadeiras. Introdução Atualmente, o estudo do comportamento de formigas em colônias, juntamente com o estudo do deslocamento destes insetos em trilhas de forrageamento, não é de interesse somente de biólogos. Este tipo de fenômeno biológico tem sido investigado por diversos pesquisadores de Ciências Exatas (Computação, Engenharias, Matemática Aplicada) que têm interesse na área denominada Inteligência Artificial []. A compreensão da dinâmica, nem um pouco trivial, que rege o deslocamento de formigas em uma trilha de forrageamento pode ser útil não apenas para a elaboração de algoritmos que se baseiam em Inteligência Artificial, mas também pode contribuir para o planejamento de combates eficientes a ataques de formigas em áreas agrícolas. Do ponto de vista matemático, a complexidade desta dinâmica pode ser modelada através de equações diferenciais parciais com parâmetros fuzzy. O objetivo deste trabalho é o de modelar a reocupação das formigas cortadeiras em uma trilha específica. Os autores apresentam nesta pesquisa um estudo diferenciado em relação aos resultados publicados anteriormente [3], [4] e [5]. A originalidade é que a modelagem do fenômeno biológico considera o deslocamento das formigas do formigueiro em direção à região de atração e o retorno das mesmas para o formigueiro. Outra característica importante da modelagem é a introdução do sinal químico como uma variável linguística de entrada dos SBRF. As saídas destes SBRF geram os parâmetros da equação diferencial parcial que rege o fenômeno estudado: a dispersão e as velocidades nas direções horizontal e vertical. As características biológicas apresentadas no modelo são baseadas na pesquisa de Vasconcelos [6] realizada na Floresta Amazônica com uma colônia de Atta cephalotes, conhecidas como formigas cortadeiras. A pesquisa de Vasconcelos foi realizada de julho de 985 a janeiro de 986 e de setembro de 986 a março de 987, a qual determinou as trilhas mostradas na Figura. Nesta figura as linhas tracejadas representam a região de estudo e as linhas contínuas representam o território que, efetivamente, foi ocupado pelas formigas. Os triângulos preenchidos com a cor 3

2 preta representam as plantas que foram atacadas pelas formigas no perı odo de julho de 985 e janeiro de 986; os tria ngulos sem preenchimento de cor representam as plantas que foram atacadas no perı odo de setembro de 986 e marc o de 987. Os quadrados representam as plantas que foram atacadas em ambos os perı odos. Finalmente, as linhas pontilhadas representam as trilhas formadas pelas formigas a partir do formigueiro (a rea hachurada). O ca lculo da dispersa o foi baseado nas informac o es da regia o poligonal (P) e a simulac a o computacional levou em considerac a o a regia o (R); ambas as regio es esta o destacadas na Figura. Informac o es mais detalhadas destes ca lculos e sobre a elaborac a o das func o es de pertine ncia das varia veis de entrada e saı da dos SBRF podem ser encontradas em [5]. Na pro xima sec a o apresentaremos o modelo matema tico estudado. P R Figura : Trilhas e territo rio de forrageamento [6]. Modelo Fuzzy O modelo proposto para a reocupac a o da trilha pelas formigas cortadeiras e dado pela equac a o diferencial: P + v(loc, s) P (α(p, loctot, s) P ) =. () t Na equac a o () a varia vel P = P (x, t) indica a populac a o no instante t [, T ] e na posic a o x pertencente ao domı nio Ω R (Figura ). Assumimos que a dispersa o da populac a o e representada pelo para metro α(p, loctot, s), onde a locomoc a o total (loctot ) e determinada por um SBRF que depende das varia veis de entrada locx e locy ; s e o sinal quı mico representado pelo feromo nio deixado pelas formigas na regia o. A velocidade de deslocamento da populac a o e v(loc, s) = (v (locy, s), v (locx, s)), onde loc e a func a o vetorial, loc = (locx, locy ), a qual fornece os valores para a locomoc a o ao longo da direc a o x e y. Desta forma, a velocidade depende das subregio es do domı nio, indicando a dificuldade de locomoc a o das formigas no terreno e do sinal quı mico. As varia veis linguı sticas dos para metros de locomoc a o levaram em considerac a o as subregio es apresentadas na Figura. A varia vel linguı stica sinal quı mico foi representada por tre s termos linguı sticos: fraco, forte e muito forte (veja a Figura 5). Na regia o de atrac a o e no formigueiro, o sinal quı mico foi classificado como muito forte; como forte na trilha; e fraco nas demais regio es do domı nio. As condic o es de fronteira sa o dadas a seguir: P = P v (locx, s), y P = P v (locy, s), α(p, loctot, s) x α(p, loctot, s) 33 x τ, t [, T ] () x τ, t [, T ] (3)

3 τ fácilemx emédiaem y. Região de Atração τ 3 τ fácilem xeemy. difícil emy efácilemx. τ - difícilemxeemy. - fácilyedifícilemx. Condição inicial Figura : Domínio Ω. α(p, loc tot, s) P y = P v (loc y, s), x τ, t [, T ] (4) α(p, loc tot, s) P x = P v (loc y, s), x τ 3, t [, T ]. (5) A condição inicial do problema é dado por: P (x, ) = P (x), x Ω. (6) A distribuição P (x) está sendo representada por uma parte da trilha como mostra a Figura. Em cada nó dos elementos finitos que compõem a trilha foi colocado % da quantidade de formigas presentes em cada nó do formigueiro. Para determinar a solução numérica da equação (), com as condições de fronteira ()-(5) e inicial (6), foi utilizado o método de elementos finitos com malha triangular uniforme e funções lineares e para a discretização no tempo o método de Crank-Nicolson foi utilizado []. Na Figura 3 apresentamos o esquema do cálculo da dispersão que utiliza o SBRF e o SBRF. As variáveis linguísticas de entrada do SBRF são as locomoções nas direções x e y; a variável de saída é a locomoção total. A variável de saída do SBRF será uma das variáveis linguísticas de entrada do SBRF juntamente com as variáveis: população e sinal químico. A saída do SBRF é a dispersão. Como o SBRF depende da população, a qual está em função do tempo, a dispersão terá que ser avaliada a cada passo de tempo do programa computacional, que foi desenvolvido no software Matlab. Na Figura 4 apresentamos o esquema dos cálculos das velocidades nas direções x e y. A velocidade na direção y é a variável de saída do SBRF 3 que considera como variáveis linguísticas de entrada a locomoção na direção x e o sinal químico. No SBRF 4 a variável de saída é a velocidade na direção x e as variáveis linguísticas de entrada são a locomoção na direção y e o sinal químico. As funções de pertinência do sinal químico são caracterizadas por conjuntos fuzzy unitários ou singleton que estão apresentadas na Figura 5. O formato singleton destas funções foi adotado com o objetivo de se adequar ao fenômeno biológico, já que o sinal químico ou ferômonio é fortemente concentrado na trilha []. As funções de pertinências das outras variáveis linguísticas são trapezoidais e podem ser consultadas em [5]. 3 Resultados As simulações são realizadas considerando um domínio retangular Ω de 6m de comprimento por 3m de altura (Figura ). O deslocamento das formigas do formigueiro até a região de atração é 34

4 nadireçãox SBRF nadireçãoy Total SBRF na direção x SBRF 3 Velocidade na direção y População Dispersão na direção y SBRF 4 Velocidade na direção x Figura 3: Esquema do cálculo da dispersão através de SBRF. Figura 4: Esquema do cálculo das velocidades através de SBRF. fraco forte muito forte.8 Grau de pertinência Figura 5: Funções de pertinência do sinal químico. simulado considerando um intervalo de tempo de 4 horas (veja Figura 6) e o deslocamento de volta é simulado com intervalo de tempo de horas (veja Figura 7). Consideramos o formigueiro com formigas distribuídas uniformemente nos nós de uma região quadrada composta de dois elementos finitos triangulares. A região de atração é composta de oito elementos finitos y.5 y x x Figura 6: Deslocamento das formigas do formigueiro até a região de atração. Figura 7: Deslocamento das formigas da região de atração até a formigueiro. Os gráficos exibidos nas Figuras 8 e 9 representam a quantidade de formigas em um nó no 35

5 formigueiro e em um nó da região de atração, respectivamente. Nestas figuras, considerou-se o deslocamento das formigas do formigueiro até a região de atração. Os resultados apresentados são condizentes com o fenômeno biológico estudado: ocorreu um decréscimo da quantidade de formigas no nó do formigueiro e um acréscimo no nó da região de atração. Os gráficos exibidos nas Figuras e estão relacionados ao deslocamento das formigas da região de atração até o formigueiro e representam, também, a quantidade de formigas em um nó do formigueiro e em um nó da região de atração, respectivamente. Neste caso, os resultados apresentados também são condizentes com o fenômeno biológico estudado: ocorreu um acréscimo da quantidade de formigas no nó do formigueiro e um decréscimo no nó da região de atração População no nó inicial População no nó da região de atração Figura 8: Quantidade de formigas em um nó do formigueiro (ida). Figura 9: Quantidade de formigas em um nó da região de atração (ida)..35 População no nó inicial População no nó da região atração Figura : Quantidade de formigas em um nó do formigueiro (volta). Figura : Quantidade de formigas em um nó da região de atração (volta). 4 Conclusão e Trabalhos Futuros A modelagem fuzzy permitiu que questões complexas relacionadas à presença de feromônios na reocupação de uma trilha, às dificuldades de locomoção no terreno e à influência da quantidade de formigas no parâmetro que fornece a dispersão de uma equação diferencial de difusão-advecção fossem incorporadas neste trabalho. A variável linguística sinal químico foi construída levandose em consideração o fato que as formigas enquanto andam, depositam no solo uma substância chamada feromônio. A reocupação da trilha foi modelada considerando que as formigas possuem 36

6 certa tendência a seguir o caminho marcado com essa substância e que as regiões menos visitadas possuem menos quantidade de feromônios []. Não foram poucas as dificuldades para ajustar computacionalmente todos os parâmetros envolvidos na modelagem, alguns deles foram obtidos a partir de informações biológicas e outros escolhidos empiricamente permitindo resultados satisfatórios, que foram apresentados na seção anterior. Um aperfeiaçoamento do modelo está sendo elaborado com a inclusão de mais uma região de atração e consequentemente o deslocamento das formigas ocorrendo em uma nova trilha. Todas as técnicas desenvolvidas para a investigação deste problema específico das formigas podem ser aplicadas em outros problemas que são modelados com equações análogas. Por exemplo, no problema de escoamento miscível incompressível em meios porosos, os parâmetros do tensor de dispersão-difusão (difusão molecular; dispersão longitudinal e dispersão transversal) podem ser tratados como parâmetros fuzzy. Referências [] R.S. Cantrell, C. Cosner, Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations, John Wiley and Sons Ltd., England, 3. [] M. Dorigo, T. Stützle, Ant Colony Optimization, Massachusetts Institute of Tecnology, USA, 4. [3] R.M. Jafelice, C.G. Almeida, J.F.C.A. Meyer, H.L. Vasconcelos, Dispersal of Leaf-Cutting Ants: Fuzzy Mathematical Modeling, Numerical Approximation and Simulations. In: IFSA Word Congress - EUSFLAT Conference, Lisboa, 9, pp [4] R.M. Jafelice, C.G. Almeida, J.F.C.A. Meyer, H.L. Vasconcelos, A Fuzzy-parameter Dispersion-attraction Partial Differential Model for an Ant Colony. In: XXXII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, Cuiabá, 9, pp [5] R.M. Jafelice, C.G. Almeida, J.F.C.A. Meyer, H.L. Vasconcelos, Fuzzy parameters in a partial differential equation model for population dispersal of leaf-cutting ants. Nonlinear Analysis: Real World Applications, () [6] H.L. Vasconcelos, Foraging activity of two species of leaf-cutting ants (Atta) in a primary forest of the central Amazon, Insectes Sociaux 37 () (99)