EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, aulas teórico-práticas

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, aulas teórico-práticas Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, Introdução, revisão Exercício 1.1 A equação (y 2 + 2xy)dx x 2 dy = 0 não é exacta mas tem o factor integrante y 2. Exercício 1.2 Resolver a equação (homogénea) y = x2 y 2 3xy. Exercício 1.3 Resolver a equação (de Bernoulli) y = 2y x x2 y 2. Exercício 1.4 Considere-se a equação de Ricatti y = a(x)y 2 + b(x)y + c(x). (R) Verificar que, se for conhecida uma solução u(x) de (R), então a substituição y = u + 1 v reduz (R) a uma equação linear para a nova função incógnita v. Atendendo a que y = x 3 (y x) 2 + y x tem a solução y = x, determinar todas as outras soluções. Exercício 1.5 Resolver (2x + y) + (x + 5y)y = 0 com a substituição u = x y, v = x + 2y. Exercício 1.6 Determinar a solução geral da equação 2(1 + y 3 ) + 3xy 2 y = 0. função inversa como incógnita.) (Considerar a Exercício 1.7 Seja q contínua em [0, ) com lim x + = q(x) = l. Mostrar que para a equação diferencial linear y + ay = q(x): (i) se a > 0, todas as soluções têm limite l/a quando x ; (ii) se a < 0, apenas uma solução tem aquela propriedade. Exercício 1.8 Seja y(x) a solução do problema de valor inicial y + p(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0 onde p e q são contínuas em [x 0, ). Seja z C 1 ([x 0, )) tal que z (x)+p(x)z(x) q(x) x x 0 e z(x 0 ) y(x 0 ). Mostrar que z y em [x 0, ). Concluir que a solução de y +y = cos x, y(0) = 1 satisfaz 2e x 1 y(x) 1 para x 0. Exercício 1.9 Determinar, no intervalo [0, ), a função contínua que satisfaz sendo ϕ(x) = 1, 0 x 1 0, x > 1 y + 2y = ϕ(x), x 1 e y(0) = 0 (a) (Dizemos que y é solução generalizada do problema de valor inicial (a).) 1

2 Exercício 1.10 Seja f : I R R uma função contínua. Considerar a equação autónoma ẋ = f(x). (EA) Mostrar que se x(t) é uma solução de (EA), então y(t) = x(t + c), c R, é solução de (EA). Exercício 1.11 Dados a, b > 0 resolver a equação p = (a bp)p e representar graficamente as soluções. Exercício 1.12 Determinar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 1. y 3y + 2y = 0 2. y y = 0 Exercício 1.13 A função φ 1 (x) = x é, em x > 0}, solução da seguinte equação x 3 y 3x 2 y + 6xy 6y = 0. ( ) Determinar uma base de soluções para (*) em x > 0}. Exercício 1.14 Considerar a equação de variáveis separáveis: dx dt = x x3. (E) 1. Seja φ(t) a única solução de (E) que verifica a condição φ(0) = π. Sabendo que φ está definida num intervalo da forma ]a, + [, a < 0, indicar, justificando, o valor do seguinte limite lim t + φ(t), (Não é necessário determinar explicitamente φ.) 2. Determinar todas as soluções de (E). 2

3 2 Sistemas planos Exercício 2.1 Esquematizar as trajectórias das soluções dos sistemas seguintes no plano, evidenciando o comportamento das mesmas perto da origem. x = 5x + 2y y = x 4y x = 2x y y = x + 2y x = x 4y y = 9x + 11y 3

4 3 Modelos Exercício 3.1 Uma massa com o peso de 10kg estica uma mola 60cm e fica em equilíbrio. Depois a massa é empurrada para cima 10cm acima do seu equilíbrio e dá-se-lhe uma velocidade vertical (de cima para baixo) de 50cm/seg. Determinar a lei de movimento da massa. Qual é a sua posição 10seg depois de ter iniciado o movimento? E nesse instante está a subir ou a descer? Exercício 3.2 O sangue transporta uma substancia para determinado órgão à razão de 3cm 3 /seg e sai do órgão á mesma razão. O órgão tem um volume de líquido de 125cm 3. Se a concentração da substãncia no sangue que entra é 0.2g/cm 3, qual é a concentração da substância no órgão em função do tempo? Supomos que inicialmente não há substância no órgão. Quando é que a concentração atinge o valor de 0.1g/cm 3? Exercício 3.3 Ao meio dia a temperatura era de 16 o C no local do crime. O detective mede a temperatura do corpo e obtém 34.5 o C. Uma hora mais tarde volta a medir a temperatura do cadáver e obtém 33.7 o C. A que horas se deu o crime? (A temperatura normal do corpo humano é 37 o C.) Exercício 3.4 Uma certa espécie de peixe tem a massa inicial de 7 milhões de toneladas. Na ausência de pesca, a massa aumentaria a uma taxa proporcional à massa com a constante de proporcionalidade 2 (por ano). A pesca comercial provoca diminuição de massa à taxa constante de 15 milhões de toneladas por ano. Quanto tempo demora o peixe a extinguir-se? Qual deveria ser a taxa de pesca para que a quantidade de peixe se mantivesse constante? Exercício 3.5 Verificar que a solução do problema de valor inicial correspondente ao modelo logístico é ap 0 p = bp 0 + (a bp 0 )e at. Assumindo conhecidos os valores p 1 = p(t 1 ) e p 2 = p(t 2 ) com t 2 = 2t 1 (t 1 > 0) mostrar que os coeficientes são a = 1 ln p 2(p 1 p 0 ) t 1 p 0 (p 2 p 1 ), b = a p 2 1 p 0 p 2 p 1 p 1 p 2 2p 0 p 2 + p 0 p 1 ). Exercício 3.6 Uma população de 1000 indivíduos de uma espécie de peixe é lançada num lago em Em 1997 a população foi estimada em 3000, e em 2004 foi estimada em Utilizar o modelo logístico para prever a dimensão da população em Qual é a dimensão limite de acordo com este modelo? Exercício 3.7 Considere-se a equação logística generalizada u (t) = u(b(t) c(t)u) onde b e c são contínuas e positivas em R. Esta equação é de Bernoulli e por isso a mudança de incógnita u = 1/y transforma-a numa equação linear. Mostrar que uma solução comm u(t 0 ) > 0 está definida e mantém-se positiva para todo o t > t 0. Além disso, se B(t) := t t 0 b(s) ds e assumirmos lim t + B(t) = +, então desde que exista o limite do 2 o membro. lim u(t) = lim b(t) t + t + c(t) 4

5 4 Equação do pêndulo e plano de fases Exercício 4.1 Estudar as trajectórias e descrever as soluções da equação do pêndulo nos casos: K = 4a e K > 4a (ver a secção 3). Exercício 4.2 Supondo que F é uma função de classe C 2 em [ p, q], ( p < 0 < q), 0 = F (0) < F (u) se u [ p, q] \ 0, F ( p) = F (q) e F (u) anula-se somente se u = 0, p, q, estudar as trajectórias e descrever as soluções da equação com valores em [ p, q]. ü + F (u) = 0 Exercício 4.3 Utilizando as ideias da resolução do exercício anterior, descrever as soluções e suas trajectórias no plano de fases para as equações u + 2u 4u 3 = 0; u 2u + 4u 3 = 0. Comprovar que no segundo caso todas as soluções têm domínio R, enquanto no primeiro algumas soluções têm como domínio intervalos limitados. 5

6 5 Questões de unicidade e estimativas Exercício 5.1 Sejam y e z duas soluções, definidas no mesmo intervalo, de y = f(x, y), onde f é real contínua num domínio aberto de R 2. Mostrar que min(y(x), z(x)) e max(y(x), z(x)) são também soluções. Exercício 5.2 Seja u uma função positiva e C 1 tal que u (t) Ku(t) ln u(t), a t b. Mostrar que u(t) u(a) ek(t a). Exercício 5.3 Seja f(y) = y ln y se 0 < y < 1 e defina-se f(y) = 0 noutro caso. Mostrar que y = f(y) tem uma só solução tal que y(0) = c. Exercício 5.4 Seja f C 1 (R n, R n ) e y(t) uma função difernciável com valores em R n que é solução de y = f(y) definida em [0, β], tal que y(0) = y(β). Mostrar que y(t) se prolonga a R como solução periódica, de período β, da mesma equação. Exercício 5.5 Seja f uma função real de classe C 1 e y(t) uma solução de y = f(y) definida em [0, β] tal que y (β) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [0, 2β] como solução da mesma equação, simétrica a respeito da recta t = β. Exercício 5.6 Seja y(t) uma solução de y = cos(y) definida em [0, β] tal que y(0) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [ β, β] como solução ímpar da mesma equação. Exercício 5.7 Seja f contínua e Lipschitziana em relação à segunda variável em D = I R. Mostrar que a solução do problema y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 é o limite (uniforme em qualquer compacto I) do método iterativo z n+1 (x) = y 0 + (x x 0 )y 1 + x x 0 (x t)f(t, z n (t)) dt, n = 0, 1, 2,, z 0 (x) y 0. SUGESTÃO: Representando por T o operador definido pelo 2o membro em C[x 0, x 0 + ], a equação integral é z n+1 = T z n. Apesar de T poder não ser uma contracção (para a norma usual) tem-se (T n+1 y T n y)(x) L n 2n /(2n)! o que é suficiente para garantir a convergência de T n y. O mesmo num intervalo do tipo [x 0, x 0 ]. Exercício 5.8 Qual é o domínio da solução não prolongável dos problemas (i) y = cos y 1 x, y(0) = 2 y 0? (ii) y = cos y 1 x, y(3) = y 2 0? Exercício 5.9 Consideremos o sistema autónomo y = f(y) onde f é localmente Lipschitziana num aberto G de R n. Representemos por y(x, ξ) o valor em x da solução não prolongável que satisfaz a condição inicial y(0) = ξ. (i) Mostrar que o domínio de y(, y(s, ξ)) é I s, onde I é o domínio de y(, ξ). (ii) Mostrar que, s, t tais que existem y(s, ξ) e y(t + s, ξ), então y(t, y(s, ξ)) também existe e tem-se y(t, y(s, ξ)) = y(t + s, ξ). (iii) Se y é solução não prolongável e existe T > 0 tal que y(0) = y(t ) e f(y(0)) 0, então y é solução periódica não constante. (iv) Se y é solução com domínio (a, + ), se existe η := lim x + y(x) e η G, então f(η) = 0. 6

7 Exercício 5.10 Mostrar que todas as soluções não prolongáveis do sistema plano x = U(x, y) (5.1) y = V (x, y) onde U, V C 1 (R 2 ) satisfazem xu(x, y) + y 3 V (x, y) = 0 x, y, têm domínio R. 6 Dependência das soluções em relação a condições iniciais e parâmetros Exercício 6.1 Seja f uma função localmente Lipschitziana em R. Mostrar que existe ɛ > 0 tal que, se λ < ɛ, a solução y(, λ) do PVI y = λ f(y) + cos x, y(0) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [3, 3.2]. Supondo f de classe C 1 e π f(sin t) dt < 0, mostrar 0 que ɛ pode ser escolhido de forma que, se 0 < λ < ɛ, y(π, λ) < 0. Exercício 6.2 Seja f uma função localmente Lipschitziana em R. Mostrar que existe ɛ > 0 tal que, se λ < ɛ, a solução y(, λ) do PVI y + y = λ f(y), y(0) = 0, y (0) = 1 tem exctamente um zero em [2, 4]. Se, além disso, f é C 1 e sf(s) < 0 s 0, mostrar que ɛ pode ser escolhido de forma que, se 0 < λ < ɛ, y(π, λ) < 0. Exercício 6.3 Provar que o problema (de valores na fronteira) x = 1 x 2, x(0) = 0, x(4) = 0 tem pelo menos uma solução. SUGESTÃO: x 2 + 2x 3 /3 2x = const; a solução com condições iniciais x(0) = x (0) = 0 tem no plano de fases uma trajectória que demora a atingir o eixo dos xx (anulamento de x ) um tempo T = e para as condições x(0), x (0) = 2/ 3, T = Exercício 6.4 Seja h uma função contínua com período T e 0 < h(t) < 1/4 t R. Mostrar que a equação x = x(1 x) h(t) tem duas soluções T -periódicas. Exercício 6.5 Mostrar que existe λ R tal que a equação tem uma solução que satisfaz y(0) = 0 = y(1). y = λ(1 + sin 2 x + sin 2 y) + x Exercício 6.6 Seja h uma função contínua com período T e 0 < h(t) < 1/4 t R. Mostrar que a equação x = x(1 x) h(t) tem duas soluções T -periódicas. Exercício 6.7 Seja f(t, x, v), definida em [0, 1 R 2, de classe C 1 nas segunda e terceira variáveis, > 0. Supondo que o problema com f x x = f(t, x, x ) x(0) = a, x(1) = b tem solução em [0, 1], então, se β b for suficientemente pequeno o problema tem também pelo menos uma solução. x = f(t, x, x ) x(0) = a, x(1) = β 7

8 7 Sistemas lineares Exercício 7.1 A equação de segunda ordem u + a 1 (x)u + a 0 (x)u = f(x) transforma-se na equação equivalente (e a 1 y ) + e a 1 a 0 y = e a 1 f. E, se a 1 é de classe C 1 e f 0, com a transformação z = ye 1 2 a1 obtém-se a equação normal sem termo em y z + (a 0 (x) 1 2 a 1(x) 1 4 a 1(x) 2 )z = 0. Exercício 7.2 Sejam u, v, w as soluções de y + y = 0 tais que u(0) = 1, u (0) = 0, u (0) = 0; v(0) = 0, v (0) = 1, v (0) = 0; w(0) = 0, w (0) = 0, w (0) = 1. Verificar que não é necessário determinar explicitamente as soluções para concluir: u = w; v = u; w = v; W (u, v, w) = u 3 v 3 + w 3 + 3uvw = 1. Exercício 7.3 Sejam p, q, f contínuas num intervalo I. Sejam φ(x), ψ(x) duas soluções linearmente independentes da equação homogénea de segunda ordem u + p(x)u + q(x) = 0 e seja W (x) o seu Wronskiano. Mostrar que a solução de u + p(x)u + q(x) = f(x), u(α) = 0, u (α) = 0 é dada por u(x) = φ(x) W (x) x α ψ(t)f(t) dt + ψ(x) W (x) x α φ(t)f(t) dt. Exercício 7.4 Seja z(x) a solução de u + a 1 u + a 0 u = 0, u(0) = 0, u (0) = 1 onde os coeficientes a i são constantes. Mostrar que é a solução de y(x) = x α z(x t)f(t) dt u + a 1 u + a 0 u = f(x), u(α) = 0, u (α) = 0. Exercício 7.5 Se X(x, t) é uma matriz fundamental do sistema linear homogéneo y = A(x)y, mostrar que X(x, t) = X(x, t)a(t). t 8

9 Exercício 7.6 Verificar que a matriz A = a sua exponencial é e Ax = 1 2 e x x 3x 2 2x 2x + x 2 6x 2 2x 18x 9x 2 6x 2 6x + 3x 2 tem apenas um valor próprio e que ( ) ( a b cos(bx) sin(bx) Exercício 7.7 Se A =, mostrar que e b a Ax = e ax sin(bx) cos(bx) A actua no plano, identificado com C, como a multiplicação por z = a + ib.). ). (SUGESTÃO: Exercício 7.8 Seja A uma matriz 3 3 com valores próprios λ 1 (de multiplicidade algébrica 2) e λ 2. Utilizando a igualdade A λ 2 = A λ 1 (λ 2 λ 1 ) e o teorema de Cayley-Hamilton (A λ 1 ) 2 (A λ 2 ) = 0 obtém-se (A λ 1 ) j+2 = (λ 2 λ 1 ) j (A λ 1 ) 2. Concluir que ( e Ax = e [I λ1x + x(a λ 1 ) + x + e(λ2 λ1)x 1 λ 1 λ 2 (λ 1 λ 2 ) 2 ) (A λ 1 ) 2 ]. Exercício 7.9 Seja A uma matriz constante tal que a ij 0 sempre que i j. Mostrar que e A tem todas as entradas 0. O recíproco vale também. SUGESTÃO: as soluções de y = Ay que têm condição inicial de componentes 0 mantêm-se com valores 0 no futuro. 8 Estabilidade (linearização) Exercício 8.1 Verificar que, para a equação do pêndulo simples com atrito u + cu + a sin u = 0 (onde c e a são números positivos), a solução nula é assintoticamente estável. Exercício 8.2 Para o sistema não linear x = x y + z + xy y = x 2y + 2z + (1 + t 2 ) 1 zy z = x + 2y + z + sin(x y)z a solução nula é instável. Exercício 8.3 Verificar que a solução nula é assintoticamente estável para o sistema onde c < 0. x = y + c x(x 2 + y 2 ) y = x + c y(x 2 + y 2 ) 9

10 9 Estabilidade (Lyapunov) Exercício 9.1 Verificar que a solução nula é assintoticamente estável para o sistema x = x y y = x y 3 ) utilizando x 2 + y 2 como função de Lyapunov. Exercício 9.2 Estudar a estabilidade da origem para a equação de Liénard u + u + g(u) = 0 onde g é C 1, ug(u) > 0 se u 0 e g (0) > 0. Utilizar uma função de Lyapunov da forma v 2 /2 + G(u) + βg(u)v com β pequeno, onde u, v são as variáveis do plano de fases. Exercício 9.3 Verificar que a solução nula é instável para o sistema x = cx + xy y = dy + x 2 ) onde c > 0 e d > 0, utilizando V = x 2 y 2. Exercício 9.4 Estudar a estabilidade da origem para a equação onde a > 0 e b > 0. Exercício 9.5 Para a equação u + au + bu + u 2 = 0 u + u + u + u 2 (a) há apenas dois equilíbrios, ( 1, 0) e (0, 0); (b) estudar a estabilidade destes por linearização; (c) verificar que V (x, y) = x 2 + y x3 é função de Lyapunov relativamente a (0, 0) no domínio x 2 + y x3 > 0 e esquematizar este domínio (ver figura 13); (d) Os únicos subconjuntos positivamente invariantes, não vazios, do eixo xx são os que contêm algum dos equilíbrios; (e) a região de atracção da origem contém pelo menos o conjunto V (x, y) < 1 V ( 1, 0); 3 (f) na verdade a região de atracção da origem contém também pelo menos o rectângulo com um 1 vértice na origem, outro em ( 1, 0) e outro em (0, 3 ). (Sugestão para a última questão: estudar a direcção do campo vectorial da equação nos lados do rectângulo que estão fora do conjunto dado em (e).) Exercício 9.6 Considerar o sistema x = a 0 f(x) n i=1 a iz i z i = λ iz i + b i f(x), 1 i n onde a i, λ, b i são positivos e xf(x) > 0 se x 0. Utilizar V = F (x) n i=1 (a i/b i )z 2 i. 10

11 Exercício 9.7 Verificar que para o sistema x = y + x(k 2 x 2 y 2 ) y = x + y(k 2 x 2 y 2 ) a origem é estável se, e só se, k = 0. Exercício 9.8 Estudar a estabilidade da origem para o sistema x = xy 4 y = yx 4 utilizando V = x 4 + y 4. Exercício 9.9 Estudar a estabilidade da solução nula para a equação de Van der Pol y + µ(y 2 1)y + y = 0 de acordo com os valores de µ (µ < 2, µ = 2, µ > 2. Se µ < 0 a solução nula é assintoticamente estável. 11

12 10 Oscilação. Valores próprios Exercício 10.1 Determinar os valores próprios e as funções próprias dos problemas seguintes (a) y + λy = 0, y (0) = 0, y(π/2) = 0. (b) (x 2 y ) + λx 2 y = 0, y(1) = 0, y(2) = 0. SUGESTÃO: efectuar a mudança de variável independente x = 1/t, que converte a equação numa outra que é autónoma. (c) y + λy = 0, y(0) = 0, y(1) + y (1) = 0. Exercício 10.2 Verificar que o problema x 2 y + xy + λy = 0, y(1) = 0, y(e) = 0 é equivalente a (xy ) + λ y = 0, y(1) = 0, y(e) = 0 x e que os valores próprios são λ n = n 2 π 2 e as correspondentes funções próprias são φ n (x) = sin(nπ ln x). Exercício 10.3 Verificar que a solução geral de x 4 y + λ 2 y = 0 é y = x(a cos λ x + B sin λ x ) e determinar os valores próprios e funções próprias do problema (0 < α < β). x 4 y + λ 2 y = 0, y(α) = 0, y(β) = 0 Exercício 10.4 Mostrar que toda a solução de y + xy = 0 tem infinitos zeros no semieixo x > 0. Exercício 10.5 Mostrar que o problema de valores próprios (4)-(B) tem todos os valores próprios positivos se Q(x) < 0, αα 0 e ββ 0. SUGESTÃO: multiplicar por u e integrar por partes em [a, b]. Exercício 10.6 Mostrar que o problema de valores próprios (4)-(B) não pode ter senão um número finito de valores próprios negativos. E, se Q(x) > 0, não pode haver mais de um valor próprio negativo. Exercício 10.7 Determinar todas as soluções de θ = A sin 2 θ + B cos 2 θ, onde A > 0 e B > 0. Exercício 10.8 (a) Mostrar que, se q(x) < 0, nenhuma solução não trivial de u +q(x)u = 0 pode ter mais do que um zero. SUGESTÃO: uu é crescente. (b) Mostrar que, se q(x) < 0, nenhuma solução não trivial de u + p(x)u + q(x)u = 0 pode ter mais do que um zero. Exercício 10.9 Dados dois problemas da forma (4)-(B) diferindo apenas nas funções Q 1 (x) Q 2 (x), as respectivas sucessões de valores próprios (λ (1) n ) e (λ (2) n ) satisfazem λ (1) n λ (2) n. A desigualdade é estrita se Q 1 Q 2 em [a, b]. 12

13 Exercício Dadas soluções u i (x) de (Ei) (ver enunciado do teorema 11.1) mostrar que se u 1 (a) = u 1 (b) = 0 e u 2 (x) 0 x [a, b], b a [Q 2 (x) Q 1 (x)]u 1 (x) 2 dx+ b a [P 1 (x) P 2 (x)]u 1(x) 2 dx+ (identidade de Picone). Redemonstrar a partir deste resultado o teorema Exercício Resolver os problemas de valores fronteira (a) y + 2y + y = x, y(0) = 0, y(2) = 3 (b) (c) b y + 4y + 7y = 0, y(0) = 0, y (1) = 1 y + y = x 2, y(0) = 0, y(π/2) = 1 Exercício Para que valores de b > 0, A e B tem o problema a P 1 (x)[u 1(x) u 1(x)u 2(x) ] 2 dx = 0. u 2 (x) y + 2py + qy = 0, y(0) = A, y(b) = B (onde p 2 < q) uma única solução? Exercício Mostrar que o problema y + q(x)y = f(x), y(0) = A, y(b) = B (b > 0) tem uma e uma só solução se q(x) 0 em [a, b]. 13

14 11 Questões elementares de equações com derivadas parciais Exercício 11.1 Determinar a solução geral de xu x yu y + u = x; xyu x x 2 u y yu = xy. Exercício 11.2 Determinar a solução do problema u x + u y + u = e x+2y, u(x, 0) = 0. Exercício 11.3 Determinar a solução do problema xu y yu x = u, C 1 (R). u(x, 0) = h(x), onde h Exercício 11.4 Mostrar que não existe solução u, de classe C 1 numa vizinhança da origem, para a equação xu x + yu y = 1. Exercício 11.5 Seja u solução de a(x, y)u x + b(x, y)u y + u = 0 num aberto que contém a bola unitária fechada B de R 2. As funções a e b satisfazem a(x, y)x + b(x, y)y > 0 (x, y) tais que x 2 + y 2 = 1. Provar que u 0. SUGESTÃO: min B u = max Bu = 0. Exercício 11.6 Determinar a solução do problema misto u t = βu xx, 0 < x < L, t > 0 u x (0, t) = u x (L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = f(x), 0 < x < L onde f é C 1 em [0, L]. Exercício 11.7 Determinar a solução do problema misto (onde p é uma função dada, contínua em [0, L]) u t = βu xx + p(x), 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = U 1, u(l, t) = U 2, t > 0 u(x, 0) = f(x), 0 < x < L SUGESTÃO: a solução é da forma u(x, t) = v(x) + w(x, t) onde v, w são soluções da equação diferencial e v verifica as condições de fronteira. Portanto w verificará as condições de fronteira homogéneas (U 1 e U 2 substituídos por 0) e a condição inicial. Exercício 11.8 Determinar a solução generalizada do problema misto u t = u xx + e x, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sin 2x, 0 < x < L seguindo a sugestão do problema anterior. 14

15 Exercício 11.9 Determinar a solução dos problemas u t = u xx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = L/2 x L/2, 0 < x < L e u t = u xx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = x(l x), 0 < x < L Exercício Determinar a solução do problema u tt = u xx, x R, t R u(x, 0) = sin x, u t (x, 0) = 1 Exercício Determinar a solução do problema u tt = 4u xx, 0 < x < π, t R u(0, t) = u(π, t) = 0 t u(x, 0) = sin 5x, u t (x, 0) = x(π x); x (0, π) Qual é o valor de u(1, 10)? Exercício Determinar a solução generalizada do problema u tt = 4u xx, 0 < x < 1, t R u(0, t) = u(1, t) = 0 t u(x, 0) = x(1 x), u t (x, 0) = x(1 x 2 ); x (0, 1). Qual é a regularidade da solução que se obteve? Qual é o valor de u(1/2, 2)? Exercício Considerar o problema u tt = c 2 u xx, x R u(x, 0) = φ 0 (x), u t (x, 0) = φ 1 (x); x. Supondo que φ 0, φ 1 se anulam fora do intervalo ( 1, 1), para que valores de x pode ser a solução u diferente de zero quando t = 1, 2 ou 10? 15