A Geometria como Construção Mental Universal

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1 A Geometria como Construção Mental Universal Resumo A geometria, etimologicamente "ciência da medição da Terra", é a formalização matemática do espaço. Assim como conceitos formais de número podem ter suas raízes em um antigo sistema evolutivo para perceber quantidades numéricas, os pais da geometria podem ter sido inspirados por sua percepção de espaço. Estaria o conteúdo espacial da geometria Euclidiana universalmente presente na forma como os seres humanos percebem o espaço, ou seria a geometria euclidiana uma construção mental, específica para aqueles que receberam instrução adequada? O conteúdo espacial das teorias formais da geometria pode partir da percepção espacial por duas razões: primeiro, porque, em geometria, somente algumas das características das figuras espaciais são teoricamente relevantes; e, segundo, porque alguns conceitos geométricos vão além de qualquer experiência perceptiva possível. Focando nestes dois aspectos da geometria, vamos apresentar várias linhas de pesquisa nos Estados Unidos com adultos e crianças a partir de três anos de idade, e com os integrantes de uma cultura amazônica, os Mundurucu. Maior parte dos aspectos da geometria testados demonstraram ser compartilhados entre estas duas culturas. No entanto, alguns aspectos envolvem um processo de construção mental no qual a instrução explícita parece desempenhar um papel nos EUA, mas que ainda pode ocorrer na ausência de instrução em geometria. Os axiomas da geometria, introduzidos por Euclides por volta de 300 a.c.[1], definem conceitos com conteúdo espacial de tal forma que qualquer teorema ou demonstração da geometria Euclidiana pode ser realizado com a construção de uma figura. Da mesma forma que intuições sobre numerosidade podem ter inspirado os primeiros matemáticos a desenvolver teorias matemáticas de número e aritmética, Euclides pode recorrido a intuições universais de espaço ao construir sua teoria da geometria. Neste capítulo, investigamos essa proposição, avaliando o quanto do conteúdo espacial da geometria euclidiana está presente em nossas intuições espontâneas sobre o espaço. Existem dois principais aspectos do conteúdo espacial da geometria euclidiana que podem partir de nossa percepção do espaço. O primeiro é que, em geometria, apenas algumas das características das figuras espaciais são teoricamente relevantes. Por exemplo, Euclides introduz axiomas relativos aos ângulos nos quais ele aponta para o ângulo reto como um elemento especial; mas ele não introduz definições relacionadas à orientação, tais como linhas horizontais ou verticais. Neste sentido, representações geométricas podem ser mais específicas do que representações espaciais: para se qualificar como geométrica, representações espaciais devem instanciar invariância por propriedades que não são teoricamente correspondentes à geometria formal. O segundo aspecto é que alguns dos conceitos de geometria transcendem, em sua própria definição, a percepção espacial. Assim, os axiomas de Euclides introduz conceitos ideais cuja extensão no espaço é infinitamente

2 pequeno ou grande, estendendo-se para além dos limites de nossa percepção. Por exemplo, para Euclides uma linha é um objeto de forma infinitamente fina que não tem espessura, enquanto, ao mesmo tempo, sua extensão na direção do comprimento pode ser infinita. Por conseguinte, nos concentraremos sobre esses dois aspectos da geometria e levantar questões acerca de sua universalidade e desenvolvimento. A primeira possibilidade seria a de que todos os seres humanos têm acesso ao conteúdo espacial da geometria euclidiana, seja porque todos vieram a aprender tais conceitos com base em uma experiência do espaço, suficientemente geral para tornar-se universal, ou porque a geometria Euclidiana expressa aspectos centrais da nossa percepção do espaço (Box 19.1). A hipótese contrária diz que conceitos geométricos podem estar disponíveis apenas para aqueles que receberam instrução relevante, ou investiram uma energia considerável em sua construção mental. Para tratar dessas questões, o presente capítulo apresentará diversas linhas de evidência que envolvem crianças de diferentes idades e pessoas de uma cultura amazônica, os Mundurucu. BOX 19.1 DOIS SISTEMAS DISSOCIADOS DE CORE KNOWLEDGE EM GEOMETRIA. Grande parte do esforço de pesquisa em geometria tem se concentrado em tarefas de navegação, seguindo a pesquisa comportamental e neurofisiológica clássicas de Tolman [33] e O'Keefe e Nadel [34], respectivamente, e revigorado pela descoberta seminal de Cheng de que os animais usam a geometria de seus arredores para estabelecer sua orientação [35]. Esse sistema de codificação do espaço para a reorientação é verdadeiramente geométrico no sentido de que ele codifica informações sobre a forma do ambiente, e ignora informações características tais como cores, ou objetos de referência [36] (mas veja [37] para uma visão divergente). No entanto, o sistema de navegação baseado em geometria não tem êxito em chegar a abstrações em dois pontos. Primeiro, ele não consegue codificar uma informação geométrica, a saber, ângulo [31,38,39]. Em segundo lugar, também não reconhece a geometria em representações 2D, um domínio principal da geometria euclidiana [31,40]. Contudo, a sensibilidade para formas 2D está presente até mesmo em crianças [41], o que nos leva a postular a existência de um segundo sistema cognitivo de conteúdos geométricos, dedicado a pequenos objetos manipuláveis e representação 2D [31]. Como revisto no presente capítulo, esse sistema é sensível ao ângulo e comprimento, enquanto ignora as distinções de sentido: é, portanto, complementar ao sistema de navegação baseado em geometria, que codifica comprimento e sentido, mas não ângulo. As crianças podem ter de aprender a combinar as informações fornecidas por esses dois sistemas para criar uma representação integrada da geometria euclidiana.

3 INTUIÇÕES GEOMÉTRICAS UNIVERSAIS Em um primeiro estudo, evidenciamos uma série de intuições geométricas em um povo da Amazônia, os Mundurucu [2]. Os participantes não tiveram nenhuma instrução em geometria, e sua língua não tem condições para conceitos euclidianos básicos, como paralelismo ou ângulo reto. Em um teste, os participantes tinham de detectar uma imagem que era "diferente" ou "estranha" em cartões com seis imagens. Cinco destas imagens ilustravam uma propriedade geométrica (por exemplo, o paralelismo), enquanto na última imagem faltava essa propriedade (linhas não paralelas) (Fig. 19,1 A). Houve um cuidado de introduzir o máximo de variação em aspectos irrelevantes das imagens. Por exemplo, no exemplo anterior, o par de linhas dispersas variou em termos da distância entre as duas linhas, o comprimento de cada linha, e sua orientação. Esta variação criou diversas opções para os participantes, que podem ter contado tanto com geometria quanto com outros aspectos das formas para eleger sua resposta. No entanto, através de uma variedade de testes destinados a diferentes propriedades geométricas, adultos e crianças Mundurucu usaram principalmente as propriedades geométricas abstratas das figuras e apresentaram um desempenho bem superior ao acaso. Além disso, seus desempenhos nos testes foram fortemente correlacionados com o desempenho de participantes adultos e crianças usados como controle nos EUA (Fig. 19,1 B). Apesar de diferenças dramáticas na educação em geometria entre esses dois grupos, os testes que foram mais difíceis para o Munducuru foram também os mais difíceis para os participantes nos EUA. Assim, este teste revela uma assinatura de intuições geométricas, através do estabelecimento de uma hierarquia de saliência entre as diferentes propriedades geométricas e não-geométricas de imagens. Esta assinatura é impermeável à instrução na geometria, e potencialmente universal em todas as culturas. Mais recentemente, também encontramos evidências para a continuidade por meio do desenvolvimento de um estudo incluindo 448 participantes de os EUA, com idade variando de 3 a 51 anos: as mesmas correlações foram observadas em todos os grupos de idade [3] (Fig. 19,1 C). No entanto, como o teste abrange uma grande variedade de propriedades geométricas, e em cada teste é único, isto não é suficiente para inferir o conteúdo de nossas intuições geométricas. Em particular, os resultados de correlação sugerem que os participantes se basearam principalmente na geometria no processamento das formas, mas também usaram pistas não-geométricas na escolha de uma figura diferente. Numa tentativa de melhor caracterizar o conteúdo geométrico de nossas intuições espaciais, as seguintes seções apresentarão novos testes experimentais que controlam mais de perto o tipo de variações espaciais introduzido nas imagens (geométricas e não-geométricas). Esses testes se concentrarão em características que são particularmente diagnósticas dos conceitos da geometria euclidiana: tamanho global, comprimento, proporções, ângulo, sentido e orientação. PERCEPÇÃO DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS ABSTRATAS No âmbito da geometria de transformações (BOX 19.2), a geometria euclidiana pode ser concebida como uma lista de teorias embutidas, que diferem pelo tipo de características

4 que as fazem explícitas. Resumidamente, em todas as versões da teoria Euclideana, ângulo e proporção de comprimento são características definidoras de figuras, enquanto a posição ou orientação não o são; o status de sentido e dimensão global é variável. Do ponto de vista de um psicólogo, o arcabouço da geometria de transformações define um programa de pesquisa: olhar para a percepção de alguma característica geométrica abstrata apesar das variações de outros aspectos aparentes, como orientação, posição ou dimensão global [4]. Se as pessoas são sensíveis à geometria no sentido de uma das teorias euclidianas, as características que definem esta geometria devem ser de fácil percepção, mesmo com concomitante variações de características de não-definição, e difíceis de ignorar quando as variações tornam-se irrelevantes para a tarefa. Pelo contrário, as propriedades que são irrelevantes para a geometria euclidiana, como a orientação e posição, devem ser facilmente ignoradas.¹ Para nosso conhecimento, a questão tem sido pouco abordada desta forma na literatura (ver [8-11] para algumas exceções). No entanto, evidências com bebês [12-14], crianças [15,16], adultos [7-11,17,18] e gravações unitárias [19] (veja uma revisão de mirror image confusions em [20]) parecem indicar que o comprimento (tanto absoluto e relativo) e ângulo têm um estatuto privilegiado na percepção da forma. Em contraste, a percepção de sentido requer uma etapa adicional de alinhar mentalmente os objetos, como nos experimentos clássicos de rotação mental [7]. Pode-se argumentar que a base intuitiva para a geometria é uma forma de geometria euclidiana não-orientada. No entanto, todas as evidências acima resumidas vem de uma variedade de tarefas, demostrações, medidas, e população, tornando difícil a comparação direta. Foi desenvolvido um novo teste focando especifica e sistematicamente em características definidoras de algumas ou de todas as geometrias Euclidianas: ângulo, tamanho e sentido [3]. Tal como no teste original de intrusão [2], os participantes foram apresentados a seis algarismos em cada teste, e foram instruídos para encontrar a figura que era "muito diferente". Cada figura tinha a forma de um L, embora a orientação da figura, o seu tamanho, o seu sentido (semelhante a uma imagem de espelho de um L ou L), e o ângulo entre os dois ramos pudessem variar. Em "testes puros", uma das figuras diferia das outras em termos de tamanho, ângulo ou sentido, enquanto todos os outros parâmetros foram mantidos constantes, exceto a orientação global e posição da figura (Fig. 19,2 D). Em "testes de interferência", permitiu-se a uma segunda dimensão variar progressivamente em todas figuras, mas não de forma que definia um único distrator: por exemplo, quando o tamanho foi a dimensão de interferência, cada uma das seis figuras foi apresentada em um tamanho diferente. O teste foi administrado a 104 participantes de 3 a 34 anos de idade. Em todos os grupos testados, ângulo e tamanho distratores foram detectados mais do que os distratores de sentido (Fig. 19,2 B). Até mesmo as crianças mais novas (idade média de 3,91 anos) foram capazes de usar ângulo e tamanho, mas apenas os adultos utilizaram o sentido em sua busca pela figura distratora. Além disso, nos testes de "interferência", a introdução de variações irrelevantes de tamanho ou ângulo prejudicaram a detecção do distrator, enquanto os participantes não foram prejudicados com variações irrelevantes de sentido (Fig. 19,2 C). Na verdade, quando uma variação irrelevante de

5 tamanho ou o ângulo era apresentada, os participantes às vezes utilizavam esta dimensão para fazer sua escolha, elegendo, por exemplo, a maior ou a menor forma. Mais recentemente, observamos o mesmo padrão de desempenho em um grupo de 25 participantes Mundurucu: no testes "puros", adultos e crianças detectaram os distratores de tamanho e ângulo com sucesso enquanto falharam em detectar o distrator de sentido. Da mesma forma, "testes de interferência" revelaram que eles foram sensíveis a variações irrelevantes de tamanho e ângulo, mas não de sentido. Nossos resultados com sentido podem parecer surpreendentes, uma vez que até mesmo crianças em idade pré-escolar podem ter sucesso em tarefas de rotação mental, quando são dadas instruções explícitas ou quando os estímulos são incorporados em uma tarefa do jogo Tetris ecológico [21,22]. Em adultos, a detecção de variações de sentido é específica, na medida em que requer a utilização de rotação mental, enquanto as diferenças entre métricas podem ser percebidas diretamente, sem a necessidade de realinhar mentalmente as formas [23]. O contexto do jogo Tetris pode facilitar o recrutamento de recursos motores para crianças: elas podem manipular as formas com um joystick para encaixá-las em um buraco apresentado na parte inferior da tela. Nossa tarefa tornou isso menos natural para os participantes em envolver recursos motores, porque as formas não apresentaram qualquer affordance motor, e também porque os testes sensoriais foram intercalados com outros testes nos quais a rotação mental não era necessária. Juntas, as características destas tarefas poderiam explicar o fracasso dos participantes mais jovens. Mais importante, o julgamento que pedimos para nossos participantes diferiu dos julgamentos de mesmos/diferentes envolvidos na tarefas de rotação mental: nossas instruções (para encontrar uma forma "muito diferente entre as formas que eram "todas um pouco diferente") se resumiam a perguntar aos participantes que tipo de diferenças eles consideravam relevantes para a classificação das formas. O fato de as crianças recusarem o uso da rotação mental revela que as diferenças em sentido não parecem, aos seus olhos, um fator importante para a classificação de forma: as crianças realmente tentaram arduamente resolver os testes de sentido, mas em vez de usar a rotação mental e verificar o distrator de sentido, eles olharam para diferenças sutis de pixelização, ou às vezes escolheram aleatoriamente com uma frustração evidente. Estes resultados sugerem que adultos consideram um conceito mais integrado de forma, estabelecido em uma variedade de mecanismos cognitivos, ao passo que o conceito das crianças só está ligado a sistemas de percepção de forma. Antes da integração dos recursos motores no conceito de forma, o sentido não parece ser importante, um aspecto definidor de formas, pelo menos em um contexto em que as formas são permitidas variar em orientação. Juntos, estes resultados indicam que, enquanto classificam-se formas, a sensibilidade ao ângulo e tamanho é universal, enquanto a sensibilidade ao sentido não o é. Quando comparando com sistemas de geometria Euclidiana, a geometria intuitiva indicada pela classificação das formas pelos participantes elege invariantes da geometria não-orientada de objetos sólidos, talvez porque estes invariantes são mais úteis na identificação e classificação de objetos.²

6 BOX 19.2 GEOMETRIA DAS TRANSFORMAÇÕES No sistema de geometria de transformações de Klein, qualquer teoria geométrica (como a geometria euclidiana) pode ser completamente definida pelo conjunto de suas transformações invariantes, ou seja, as transformações que não afetam os teoremas daquela teoria [42]. Por exemplo, se uma teoria geométrica é invariante pela translação, então para aquela geometria duas figuras que são idênticas, excepto que são colocadas em diferentes posições no espaço, são consideradas equivalentes: exatamente a mesma lista de teoremas pode ser comprovada para qualquer uma destas duas figuras. (Naturalmente, a relação entre estas duas figuras podem ser objeto de outros teoremas, tais como os teoremas que descrevem como os lados destas duas figuras são paralelos uns aos outros: tais teoremas estão preocupados com a figura global formada pelas duas versões transladadas, e, portanto, não consideram as duas subfiguras equivalentes. Em outras palavras, as transformações invariantes devem ser pensadas como irrelevantes quando aplicadas a toda a figura, não somente à subparte.) O sistema de transformações nos permite pensar em teorias geométricas como incorporadas dentro de cada uma delas, com níveis de invariância crescente: enquanto um subconjunto de transformações invariantes da geometria verifica certas propriedades de combinação, este subconjunto define uma teoria válida de geometria. Por exemplo, em geometria 2D, os axiomas de Euclides criam um elevado nível de invariância, com quatro tipos de transformações invariantes: translação (posição no espaço), rotação (orientação), simetria (sentido), e homotetia (tamanho global) (ver Quadro q. Fig 1). Esta lista de transformações invariantes deixa o ângulo e a proporção de comprimento como propriedades essenciais de uma figura. Em comparação, na geometria criada pelo movimento contínuo de objetos, que é incorporada dentro da teoria completa de Euclides, apenas translações e rotações são incluídas no conjunto de transformações invariantes: além de ângulo e as proporções de comprimento, sentido e dimensão global também são características definidoras de figuras nesta geometria. Incorporado entre estas duas geometrias, pode-se definir uma geometria euclidiana que é sensível ao ângulo, proporções de comprimento e tamanho global ao ser agnóstico de sentido: vamos nos referir a este sistema de geometria como "a geometria de movimentos contínuo não-orientado".

7 CONCEITOS GEOMÉTRICOS NORMATIVOS Passamos agora para um segundo aspecto do conhecimento geométrico, ou seja, a capacidade de compreender conceitos que vão além de qualquer experiência perceptiva. Como uma primeira janela para esses conceitos, consideremos primeiro as categorias de ângulo. Assim como inteiros discretos são cristalizados a partir de um representação contínua de numerosidade [24], os adultos educados cristalizam ângulos em categorias nítidas de ângulos agudos, retos e obtusos; linhas paralelas podem ser vistas como uma espécie de ângulo muito notável. Embora não seja necessário possuir uma rica estrutura conceptual para ser capaz de formar categorias, como absoluto, uma nítida categorização de ângulo agudo é um pré-requisito para o raciocínio sobre propriedades normativas nãoperceptíveis, como o fato de que em alguns casos especiais, as linhas podem nunca se cruzarem. Estudamos o julgamento de categorizações das crianças apresentando a 141 participantes dos EUA (com idades de 3 a 34 anos) com exposições, tais como os da figura [25]. Em nenhum dos testes o ângulo definiu um distrator claro, a menos que os participantes tenham optado por usar as categorias de ângulo da geometria Euclidiana. Na verdade, todos os adultos usaram os ângulos retos, as linhas paralelas ou as linhas perpendiculares como distratores nesses displays. No entanto, em crianças, paralelismo e ângulos retos foram dissociados: todos os grupos escolheram as linhas paralelas como sendo especial, enquanto que apenas crianças a partir de sete anos escolheram o ângulo reto e linhas perpendiculares. Além disso, em um pós-teste curto pedimos às crianças que desenhassem um ângulo reto, linhas paralelas e linhas perpendiculares, a fim de avaliar seu conhecimento dos termos lexicais relevantes: de acordo com o desempenho geral na tarefa de categorização, o conhecimento da lexical dos termos "ângulo reto" ou "linhas perpendiculares" facilitou a detecção dessas figuras em crianças, enquanto que o conhecimento da expressão "linhas paralelas" não teve efeito sobre a detecção de paralelas. Estes resultados indicam que diferentes categorias normativas se desenvolvem ao longo de diferentes trajetórias, com uma categoria para paralelismo possivelmente presente desde o início, enquanto a categoria de ângulo reto fica construída uma vez que a criança adquiriu o léxico relevante. Devido a alguns Mundurucu não terem recebido qualquer instrução em geometria, testá-los ajuda a evidenciar a universalidade da categoria ângulo reto. Se a instrução específica ou um léxico adequado são necessários, os Mundurucu não devem escolher o ângulo reto como sendo especial entre uma gama de ângulos; no entanto, se o léxico apenas atua como um mero catalisador nas crianças norte-americanas, os Mundurucu podem direcionar suas escolhas para os ângulos retos. Embora o teste anterior ainda não tenha sido administrado aos participantes Mundurucu, um exame de um subteste dos testes no experimento anterior (testes sobre sentido com interferência no ângulo) poderia resolver esta questão (Fig 19.2 A.): na verdade, desde que os Mundurucu não foram sensíveis para o sentido, estes testes devem ter aparecido como um teste de categorias de ângulo para os participantes.

8 A análise das respostas destes testes revelou que os Mundurucu escolheram os ângulos retos mais frequentemente do que ao acaso. Esse resultado aumenta a possibilidade de que o ângulo reto possa ser uma categoria universal de ângulo, ainda que a instrução do léxico relevante parece desempenhar um papel na aquisição desta categoria em crianças nos Estados Unidos. Em pesquisas futuras, seria interessante avaliar o papel da experiência na categorização de ângulos retos, separando diferentes subgrupos de participantes Mundurucu, que vivem tanto nas aldeias (onde ângulos retos são proeminentes) ou em áreas muito rurais. Por outro lado, o desempenho dos Mundurucu sugere que papel desempenhado pela instrução nas crianças nos Estados Unidos pode ser limitado no seu âmbito. É possível que a aquisição de vocabulário geométrico ajude as crianças a formar uma categoria de ângulo reto, sem que isso implique qualquer sensibilidade para as propriedades geométricas desta figura: talvez crianças tenham considerado especiais os ângulos retos pelo motivo de eles terem um nome. Neste caso, o efeito da instrução elementar seria inicialmente superficial, mas ainda pode ter efeitos duradouros sobre o desenvolvimento da geometria, por dirigir a atenção da criança para as categorias relevantes para a geometria Euclidiana e, portanto, facilitar a aprendizagem conceitual mais tarde. Em geral, apesar de as categorias nítidas poderem fornecer uma janela para conceitos normativos, sendo capazes de classificar linhas paralelas ou ângulos retos, para tal conhecimento não há necessidade de um aparato conceitual elaborado e até pode ser derivado da experiência. Assim, buscamos desenvolver um último teste evidenciando diretamente os conceitos geométricos mais abstratos [26]. Os participantes foram introduzidos a uma forma ideal, ou um plano infinito ou uma esfera. O experimentador narrava as propriedades da forma ("é muito, muito plana e dura para sempre e sempre" ou "isso é muito redondo, como uma bola ), linhas infinitas retas, bem como pontos (Fig. 19,4 A). Após esta fase de introdução, os participantes receberam uma lista de questões relativas às propriedades das linhas retas. Impressionantemente, adultos e crianças Mundurucu realizaram o teste com extrema precisão, especialmente o sobre plano infinito. A maioria deles concordou que uma nova linha reta pode sempre ser colocada de tal forma que ela nunca se cruzaria com a primeira linha reta. Eles também modularam corretamente suas respostas para adaptá-las aos ambientes planos e esféricos testados. Além de categorização, este último teste defende que elaborados conceitos não-perceptíveis são universais. Esses conceitos podem tanto ser parte de um core knowledge inato ou podem ter sido adquiridos por meio de interações com o ambiente. A fim de separar essas hipóteses, testamos crianças de cinco e seis anos de idade dos EUA sobre a mesma tarefa. Embora as crianças tenham se desempenhado melhor ao acaso no teste sobre o plano infinito, eles foram muito menos precisos em comparação com os outros grupos; Em particular, elas responderam ao acaso quando perguntadas sobre paralelismo. Além disso, elas não conseguiram adaptar suas respostas ao contexto esférico. Estes resultados indicam que os conceitos da geometria euclidiana estão apenas parcialmente no lugar na idade de cinco ou seis anos; enquanto a ser universal, a geometria Euclidiana, no entanto, parece resultar de uma construção mental. As descobertas sobre o paralelismo tem implicações importantes para a nossa interpretação dos resultados da tarefa anterior. Ao contrário dos adultos, a categorização de linhas paralelas pelas crianças não depende de uma rica teoria conceitual da geometria, mas, provavelmente, depende de propriedades perceptuais de linhas

9 paralelas, tais como o fato de que a distância entre eles é constante, o fato de que os dois segmentos paralelos parecem idênticos, ou o fato de que o paralelismo representa um ponto singular em valores de ângulo. De fato, as linhas paralelas podem ser consideradas como um caso onde não há ângulo a ser calculado, portanto, diferente de todas as outras configurações; ou as linhas paralelas podem ser entendido como relacionadas com um ângulo de 0 /180, o qual é, ao mesmo tempo, um mínimo e um máximo global para ângulos não-orientados. Esta singularidade pode ser extraídas com base na experiência perceptiva acumulada. Mais uma vez, como no caso da categoria de ângulo reto, a categorização perceptual de linhas paralelas é compatível com os conceitos de geometria. Mesmo que isso não esteja baseado em uma rica compreensão conceitual da geometria, isso poderia fornecer um trampolim para o desenvolvimento conceitual. CONCLUSÃO Nossa pesquisa fornece evidências de que os princípios básicos da geometria Euclidiana refletem-se em intuições de espaço que se desenvolvem progressivamente ao longo da infância, mas ainda parecem ser universais. Desde a infância, a percepção de formas fornece uma base intuitiva correspondente à geometria dos objetos contínuos nãoorientadas: crianças em idade pré-escolar são sensíveis ao ângulo e comprimento, podem abstrair diferenças de orientação e posição, mas eles também podem abstrair relações de distância. Essas intuições iniciais são enriquecidas durante o desenvolvimento do indivíduo de três maneiras. Em primeiro lugar, em sua classificação de formas, adultos recrutam um processo especial para detectar sentido: rotação mental. Em segundo lugar, um continuum mental é progressivamente esculpido em categorias discretas que dão destaque a figuras particulares. Em terceiro lugar, as crianças tornam-se capazes de raciocinar sobre a elaboração de conceitos não-perceptíveis. Embora a aquisição de um léxico geométrico relevante pareça desempenhar um papel na formação de algumas categorias geométricas discretas em crianças nos Estados Unidos, esse papel pode ser reduzido a um categorizador e catalisador. De fato, em uma população que não recebeu qualquer tipo de educação ou compartilhou qualquer léxico relevante na geometria, uma breve descrição das formas ideais foi suficiente para provocar pensamentos elaborados sobre o fundamento de conceitos ideais da geometria Euclidiana, como linhas infinitas ou paralelismo. Como poderia a geometria ser universal e, ao mesmo tempo, desenvolver-se progressivamente? Uma primeira possibilidade seria a de que o conhecimento geométrico é derivado de um tipo de experiência espacial que é tão geral que cada ser humano pode vir a vivenciar. Por exemplo, todos os seres humanos podem vir a computar algumas características geométricas de formas, tais como ângulos, ou comprimento, porque são especialmente relevantes para identificação e classificação de objetos[15], ou para o agir.

10 Este ponto de vista levanta a questão do desenvolvimento de conceitos geométricos ideais, os quais, por definição, podem nunca terem sido experimentados diretamente, e teriam de ser derivados de uma experiência incompleta ou aproximada. Por exemplo, o conceito Euclidiano de uma linha sem largura precisaria ser derivado da experiência com linhas muito finas; e o conceito de paralelismo para linhas retas infinitas precisaria ser derivado da experiência com linhas que não se cruzam localmente, ainda algo muito distante da propriedade de que linhas paralelas nunca se cruzam. Assumindo que esta derivação é impossível, Kant argumentou que o conhecimento do espaço (bem como da geometria) estaria disponível a priori à experimentação [29,30]. Outra possibilidade seria a geometria ser baseada no core knowledge [31], ou seja, as representações de conteúdo abstrato que foram selecionadas pela evolução, e que fornecem guias úteis para interpretar o ambiente e aprender. Representações de linhas retas ou planos ideais podem estar presentes na arquitetura do sistema perceptual para servir como âncoras para percepção, uma estratégia que tem se mostrado útil para reduzir as cargas de processamento e aumentar a confiabilidade em visão artificial [32]. De acordo com esta hipótese, durante a infância, essas âncoras implícitas teriam de ser progressivamente reformatadas em representações explícitas, para serem capaz de entrar em processos de pensamento e serem manipuladas diretamente, um processo que pode ser demorado, mas potencialmente acessível a todo ser humano. Concluindo, fornecemos evidências de que o conhecimento geométrico parece ser universal, com base em duas culturas que são maximamente diferentes em termos de educação e estilo de vida. Em última análise, no entanto, as reivindicações de universalidade nunca podem ser verificados diretamente, e seriamos melhor informados ao olhar para os fatores que favorecem a aquisição de conhecimento geométrico. Conceitos geométricos podem surgir espontaneamente a partir de uma experiência universal com o espaço, ou refletir propriedades intrínsecas da mente humana. Exatamente que tipo de experiência é importante, e o que limita as crianças mais jovens em sua concepção de geometria aguarda por novas pesquisas. GLOSSÁRIO Universal Presente em todos os seres humanos que se desenvolveram normalmente, independentemente do seu ambiente, nível de educação, etc. Algumas propriedades podem ser universais para além da espécie humana, mas neste artigo iremos considerar apenas aquelas aplicáveis a seres humanos. Inato Determinado por mecanismos genéticos ou epigenéticos, em vez de aprendidos a partir do ambiente. Algumas características inatas podem não estar presentes no momento do nascimento, como por exemplo, a barba em machos humanos. Reivindicações de que um fenômeno seja inato inato são dificilmente passíveis de experimentação, ao contrário das afirmações de universalidade.

11 Intuição A forma de conhecimento que é acessível a relato explícito, embora a sua justificação não seja. Nos experimentos apresentados aqui, os participantes eram muitas vezes capazes de escolher a resposta correta sem poderem ser capazes para explicar por que tomaram tal escolha. Sentido A propriedade geométrica que distingue dois números que são imagens no espelho um do outro. Mais geralmente, tendo em conta uma trajetória no espaço geométrico, um valor de sentido pode ser atribuído a essa trajetória, dependendo se ele conduz mais frequentemente para a esquerda ou para a direita. Imagens

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