Palavras-chave: divisão por zero; números transreais; semântica total; espaço lógico.

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1 Números Transreais e o Espaço Lógico Tiago S. dos Reis Doutor pelo HCTE/UFRJ Professor do IFRJ - Volta Redonda tiago.reis@ifrj.edu.br Resumo: Divulgamos uma proposta de matematização, de geometrização, do espaço lógico de Wittgenstein. Que se inicia com um modelo, baseado nos números transreais, para uma semântica total, isto é, uma semântica que contém os valores clássicos, um valor paraconistente, valores fuzzy e um valor de indeterminação. A partir desta semântica total, propomos um espaço semelhante a um espaço vetorial, onde os vetores são as sentenças e as transformações vetoriais são os conectivos lógicos. Neste espaço, constatamos a existência de elementos que não são proposições no sentido usual, mas que, de alguma forma, carregam informação em si. Seriam estas proposições pensamentos não exprimíveis por qualquer linguagem? Palavras-chave: divisão por zero; números transreais; semântica total; espaço lógico. 1. Introdução Este texto tem o objetivo de divulgar uma pesquisa feita no Programa de Pós- Graduação em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia (HCTE). As demonstrações dos teoremas e corolários e demais detalhes técnicos podem ser encontrados em (GOMIDE, REIS e ANDERSON, 2015). Apresentamos um modelo matemático para o espaço lógico. A ideia de espaço lógico é inspirada na concepção de Wittgenstein de que a forma lógica do mundo é dada por uma configuração de objetos. Assim como os objetos físicos estão dispostos em um espaço físico, os objetos que configuram logicamente o mundo estão situados em um espaço lógico (FLOYD, 2005). Wittgenstein não definiu de forma precisa seu espaço lógico, entretanto seguindo a ideia intuitiva de que os elementos deste espaço são as proposições e que as interações entre elas são os conectivos, tentamos estabelecer o espaço lógico como uma estrutura matemática bem definida. Algo parecido com

2 um espaço vetorial, com as proposições sendo os vetores e os conectivos sendo transformações vetoriais. Escolhemos os números transreais R T (REIS, 2015) para traduzirem os valores semânticos. Definição 1. Chamamos cada elemento de R T de valor semântico e, portanto, R T de conjunto dos valores semânticos. Definição 2. Sejam a função negação dada por x : R T R T, ( x)= x a função disjunção dada por : R T R T R T (x, y) x Φ, y={ max {x, y}, se x=φou y=φ caso contrário, e a função conjunção dada por : R T R T R T Φ, (x, y) x y={ min {x, y }, se x=φou y=φ casocontrário. Podemos fazer a seguinte interpretação dos valores semânticos: i) e correspondem, respectivamente, aos valores clássicos ii) iii) iv) falso e verdadeiro; 0 corresponde ao valor de contradição; o intervalo [, ] corresponde aos valores fuzzy e Φ corresponde ao valor gap. 2. Espaço das Proposições Para definirmos o espaço das proposições precisamos entender o conceito de mundo possível que é muito importante na lógica. De acordo com Leibniz, Deus tem

3 em sua mente todos os mundos que poderiam ser criados, estes são factíveis em sua mente. Ele escolhe um desses mundos para ser o mundo real (o melhor mundo que ele poderia criar). De acordo com Leibniz existem leis ou declarações que são verdadeiras em cada mundo, estas são proposições necessárias ou verdades da razão, enquanto algumas outras proposições são verdadeiras para o mundo real, mas não em todos os mundos: há um mundo em que essas proposições contingentes não se sustentam. Portanto, temos, na abordagem de Leibniz, uma base metafísica para interpretar a relação entre proposições e mundos possíveis. Para concepção de mundos possíveis de Leibniz ver (LEIBNIZ, 1998). Intuitivamente, um mundo possível é uma evaluação das proposições nos valores semânticos. Como todas as proposições são compostas por uma ou mais proposições atômicas, um mundo possível é uma evaluação das proposições atômicas nos valores semânticos. Isto é, em um dado mundo possível, cada proposição atômica assume um valor semântico em R T. Assumiremos que o conjunto das proposições atômicas é um conjunto inifinito enumerável. Isto é, ele pode ser escrito da forma {P i ;i N }={P 1, P 2, P 3, }, onde P i P j sempre que i j. Desta forma, podemos interpretar um mundo possível como uma função de {P 1, P 2, P 3, } em R T. Mas isto forma uma sequência de elementos de R T. Assim, denotando por (R T ) N o conjunto das sequências de elementos de R T, adotaremos a seguinte definição. Definição 3. Chamamos cada elemento de (R T ) N de mundo possível e, portanto, (R T ) N de conjunto dos mundos possíveis.

4 Desta forma, cada mundo possível é um ponto no espaço (R T ) N. Dado um mundo possível w=(w i ) i N, para cada i N, w i corresponde ao valor P semântico de i em w. Caminhemos, agora, ao espaço das proposições. Para cada i N, seja p i o funcional coordenada p i : (R T ) N R T, p i((w j ) j N )=w i. Note que para cada mundo possível w, dado i N, interpretamos p i (w) como o valor semântico da i -ésima proposição atômica, P i, no mundo possível w. Desta forma, para cada i N, ( p i ( w)) w (R T ) N é uma (R T ) ( RT ) N -upla que expressa o valor semântico da proposição atômica P i em cada mundo possível. Deste modo, cada proposição atômica P i se faz representar por ( p i ( w)) w (R T ) N. Definição 4. Seja P :={( p 1 (w)) w ( RT ) N,( p 2(w )) w (RT ) N,( p 3( w )) w (RT ) N, }. Chamamos cada elemento de P de proposição atômica e, portanto, P de conjunto das proposições atômicas. Pela Definição 4 cada proposição atômica é um ponto no espaço (R T ) ( RT ) N. Ainda, para cada i N, ( p i ( w)) w (R T ) N corresponde a i -ésima proposição atômica, isto é, ( p i ( w )) w (R T ) N=P i. E, para cada w (R T ) N, p i (w) corresponde ao valor semântico de P i no mundo possível w.

5 Definição 5. Sejam : (R T ) (RT ) N (R T ) ( RT ) N, ( p w ) w ( RT ) N := ( p w ) w ( RT ) N, : (R T ) (RT ) N (R T ) (RT ) N ( R T ) ( RT ) N, ( p w ) w ( RT ) N (q w ) w (RT ) N := ( p w q w ) w ( RT ) N e : (R T ) (RT ) N (R T ) (RT ) N ( R T ) ( RT ) N, ( p w ) w ( RT ) N (q w ) w (RT ) N := ( p w q w ) w ( RT ) N. Na definição acima, cometemos um abuso de notação. Entretanto, o leitor não terá dificuldade em perceber que o símbolo à esquerda da igualdade refere-se à função que está sendo definida em (R T ) ( RT ) N e o símbolo à direita da igualdade refere-se à função já definida em R T. Analogamente para e. Definição 6. Sejam A ( R T ) ( RT ) N e L A definido como a classe de todos os conjuntos X A ( R T ) ( RT ) N onde X A tem as seguintes propriedades: i) A X A e ii) se p, q X A então p, p q, p q X A. Definamos L A X A L A X A. Seja p (R T ) (RT ) N, dizemos que p é uma combinação lógica de elementos de A se, e somente se, p L A. Dado B (R T ) ( RT ) N, dizemos que B é um conjunto logicamente independente se, e

6 somente se, para todo p B, p não é uma combinação lógica de elementos de B { p}. Teorema 7. O conjunto P é logicamente independente. Isto justifica chamarmos as proposições de P de atômicas. Definição 8. Seja Π :=L P, isto é, Π ={q ( R T ) ( RT ) N ;q é combina çã o l ó gica de elementos de P}. Chamamos Π de espaço das proposições e cada elemento de Π de proposição. Teorema 9. O conjunto Π é enumerável. Corolário 10. O espaço das proposições, Π, é diferente de (R T ) ( RT ) N. Isto é, Π é um subconjunto próprio de (R T ) ( RT ) N. Observação 11. Observe que cada proposição, no sentido usual, reside em Π, entretanto Π está situado dentro do conjunto maior (R T ) ( RT ) N. Portanto, existem pontos de (R T ) ( RT ) N que não são combinações lógicas de proposições atômicas. Isto é, existem pontos em (R T ) ( RT ) N que não são proposições no sentido usual. Isto significa que, qualquer que seja a linguagem, estes pontos não são exprimíveis. Mas isto não quer dizer que eles são sem sentido. Esta questão será retomada na próxima seção. Chamamos todo o espaço (R T ) ( ) N RT de espaço das hiper-proposições. Observação 12. Ressaltamos que em nosso modelo transreal existem três conjuntos distintos de proposições:

7 i) ii) P Π é o conjunto de todas as proposições atômicas., chamado espaço das proposições, é o conjunto de todas as proposições (atômicas ou moleculares). iii) (R T ) ( ) N RT, chamado espaço das hiper-proposições, é o conjunto de todas a funções cujo domínio é o espaço das sequências de números transreais e o contra-domínio é o conjunto dos números transreais. Temos a inclusão própria: P Π (R T ) ) N (RT. Nas lógicas clássicas, o conectivo condicional,, é definido da seguinte forma: F F =V, F V =V, V F =F e V V =V. O que significa que: se o antecedente é falso, então o condicional é verdadeiro independente do valor do consequente e se o consequente é verdadeiro, então o condicional é verdadeiro independente do valor do antecedente. Nas lógicas não clássicas o condiconal é definido de diversas formas. Entretanto, a observação acima nos dá a ideia intuitiva de que o condicional é verdadeiro se, e só se, o grau de verdade do consequente é maior ou igual ao grau de verdade do antecedente. Motivados nisso, propomos a seguinte definição. Definição 13. Seja T : Π Π e, para cada ( p w ) w ( RT ) N Π, denote (T ( p w )) w ( RT ) N :=T (( p w ) w ( RT ) N). Chamamos T de transformação lógica se, e só se, p w T ( p w ) para todo w (R T ) N. Dizemos que uma proposição p é derivada de uma proposição q se, e só se, existe uma cadeia de transformações lógicas que mapeiam p em q. Em particular, esta cadeia de condicionais é um caminho de prova. 3. Discussão

8 O espaço das proposições, Π, é uma versão geométrica do cálculo proposicional habitual. Ele tem todas as propriedades esperadas de uma lógica paraconsistente e oferece uma estrutura clássica quando opera sobre o infinito negativo e o infinito positivo, que representam os valores semânticos clássicos, falso e verdadeiro, respectivamente. O espaço das proposições, Π, é uma pequena parte de todo o espaço das hiper-proposições, (R T ) ( RT ) N. A cardinalidade do primeiro é ℵ 0 e a cardinalidade do último é maior do que a cardinalidade do contínuo. Assim, podemos inferir que existem pontos proposições que não são expressos por combinações lógicas de proposições atômicas: estes pontos são essencialmente não-lógicos, desde que entendamos por "lógico" um ponto que pertence ao espaço das proposições, Π. Ora, isso implica que elementos complementares (aqueles que estão no espaço das hiper-proposições, mas não no espaço das proposições) não fazem sentido? Pensamos que não. Pontos complementares representam o que é logicamente inexprimível: eles contêm informações, uma vez que se encontram no espaço (R T ) ( ) N RT, mas estas informações não podem ser acessada por meio do raciocínio lógico usual, não podem ser expressas em qualquer linguagem. Talvez deveríamos associar, pelo menos alguns deles, a afirmações metafísicas ou filosóficas que não podem ser provadas por aparatos lógicos? Permitindo-nos elocubrar, desempenharia Π o papel do consciente e (R T ) ( RT ) N o do inconsciente freudianos? Ou Π o papel da realidade e (R T ) ( ) N RT o do real de Lacan? Podemos fazer uma analogia com nossos sentidos. Sabemos que o olho humano consegue perceber somente uma determinada faixa do espectro eletromagnético. Isto é, as luzes que podemos ver são um subconjunto próprio do conjunto de todas luzes. Sabemos também que o ouvido humano consegue perceber somente uma determinada faixa de frequência de som. Desta forma, os sons que podemos ouvir são um subconjunto próprio do conjunto de todos sons.

9 Metaforicamente, podemos dizer que, assim como existem luzes não perceptíveis aos olhos e sons não sensíveis aos ouvidos, existem sentenças não inteligíveis à linguagem. Vamos, agora, enfatizar o papel das transformações lógicas. Uma transformação lógica foi definida como uma determinada transformação no espaço das proposições. Se estendermos esta definição, permitindo transformações em todo o espaço das hiper-proposições, então o conceito de um caminho de prova contínuo aparece. Relembre que um caminho de prova é uma cadeia de composições de transformações lógicas. Se nos limitarmos ao enumerável espaço das proposições, então um caminho de prova tem um comprimento no máximo infinito enumerável. Entretanto, mais geralmente falando, um caminho de prova é uma tradução geométrica da noção de demonstração que é usado na lógica: uma lista de proposições que iniciam com hipóteses, supostas verdadeiras, e uma conclusão que é verdadeira em virtude da solidez e corretude das regras de inferência. No espaço das hiper-proposições, esse caminho de prova pode ser contínuo. Este fato é muito significativo: ele nos dá uma entidade geométrica, um caminho contínuo, que tem um significado lógico. Este caminho tem uma quantidade infinita não-enumerável de proposições ocultas. Portanto, vemos a necessidade de expandir a noção de uma demonstração discreta para uma demonstração contínua no qual, entre duas etapas de prova indexadas com números finitos, há um contínuo de etapas que não podem ser expressas na linguagem. 4. Referências Bibliográficas FLOYD, Juliet. Wittgenstein on Philosophy of Logic e Mathematics. In Stewart Shapiro, editor, Oxford Handbook of Philosophy of Logic e Mathematics, capítulo 4, páginas Oxford University Press, GOMIDE, W; REIS, T. S. dos; ANDERSON, J. A. D. W. Transreal Logical Space of All Propositions. Transactions on Engineering Technologies - World Congress on Engineering and Computer Science 2014, Springer. 2015, p LEIBNIZ, G. Monadology. In: R. Franks and R. S. Woolhouse. Leibniz Philosophical Texts. Oxford Philosophical Texts, 1998.

10 REIS, T. S. dos. Transmatemática f. Tese (Doutorado em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia) - Programa de Pós-graduação em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.