Palavras-chave: transmatemática; números transreais; mundos possíveis.

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1 Transmatemática e o Espçao dos Mundos Possíveis Tiago S. dos Reis Doutor pelo HCTE/UFRJ Professor do IFRJ tiago.reis@ifrj.edu.br Resumo: No presente trabalho fazemos uma síntese do que foi proposto durante o doutoramente deste autor no que diz respeito a uma aplicação dos números transreais e da transmatemática na lógica, mais especificamente no estudo do Espaço dos Mundos Possíveis. Os números transreais são um novo conjunto numérico que permite a divisão por zero. O Espaço Transreal dos Mundos Possíveis é um modelo matemático para a ideia lógica de mundos possíveis motivada no pensamento de Leibniz. Neste modelo matemático, demonstramos que existem mundos universais, a saber, mundos que se comunicam com qualquer outro mundo. Palavras-chave: transmatemática; números transreais; mundos possíveis. 1. Introdução O objetivo deste texto é divulgar um dos temas pesquisados por este autor durante seu doutoramente no Programa de Pós-Graduação em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia (HCTE). Pesquisa esta feita em parceria com os professores Walter Gomide e James Anderson. As demonstrações dos teoremas e demais detalhes técnicos podem ser encontrados em (REIS, 2015a). Propomos o espaço lógico transreal, conceito inspirado na concepção de Wittgenstein de que a forma lógica do mundo é dada por uma configuração de objetos (FLOYD, 2005). No Scientiarum VIII (REIS, 2015b) falamos do Espaço das Proposições. No presente texto, falamos do Espaço dos Mundos Possíveis. Definimos tal espaço como um espaço transvetorial, algo parecido com um espaço vetorial, onde os eixos são proposições, as entradas das coordenadas são números transreais, pontos são mundos possíveis, e o conjunto de todos os pontos é o conjunto de todos os mundos possíveis, podendo, assim, aplicar transformações

2 lineares a mundos possíveis. Mostramos que este conjunto é um espaço topológico métrico de modo que podemos medir distâncias entre mundos possíveis. Definimos relações de acessibilidade entre mundos possíveis em termos de transformações lineares. Provamos a existência de mundos hipercíclicos neste espaço transreal de todos os mundos possíveis, o que significa dizer que existem mundos universais, qualquer um deles aproxima todos os mundos por aplicações recursivas de um único operador linear. 2. Os Números Transreais e a Semântica Total No início dos anos 2000 o cientista da computação James Anderson propôs um sistema onde a divisão por zero é permitida, chamado de conjunto dos números transreais e denotado por R T (ANDERSON, 2005). Em R T, o resultado de qualquer uma das quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) entre números transreais é um número transreal. Os números transreais são formados por todos os números reais e mais três novos elementos,, e Φ, denominados respectivamente por menos infinito, infinito e nullity. Desta forma, R T = R,, Φ. Por definição: k 0 = 1 0, k 0 = 1 0 para todo k R e 0 0 Φ (ANDERSON, VÖLKER e ADAMS, 2007). Podemos destacar algumas das propriedades dos números transreais. Para todo número real k, segue que < k <. Para todo número transreal x, segue que Φ x e Φ x. Os números transreais possuem um, e apenas um, ponto isolado, a saber, o nullity. Além disso, nullity é um número absorvente com respeito às operações aritméticas: Φ + x = x + Φ = Φ, Φ x = x Φ = Φ, Φ x = x Φ = Φ e Φ x = x Φ = Φ para todo número transreal x. A semântica total é baseada no conjunto dos números transreais (GOMIDE, REIS e ANDERSON, 2015a, 2015b) em virtude do fato de o resultado de quaisquer operações aritméticas aplicadas a números transreais ser um número transreal. Figura 1. Reta transreal

3 Fonte: Reis, Gomide e Anderson (2016) O conjunto dos valores semânticos é definido como R T. Na semântica total, o infinito negativo é o Falso clássico; o infinito positivo é o Verdadeiro clássico; o conjunto dos números reais são os valores fuzzy; o zero é um valor paraconsistente, que é igualmente Falso e Verdadeiro; e nullity é um valor de indeterminação, que é nem falso nem verdadeiro. Os conectivos lógicos são definidos a partir de funções transreais. A negação é dada por (x) = x; a conjunção é dada por x y = Φ, se x = Φ ou y = Φ e x y = min{x, y}, caso contrário; e a disjunção é dada por x y = Φ, se x = Φ ou y = Φ e x y = max{x, y}, caso contrário. 3. O Espaço Transreal dos Mundos Possíveis De acordo com Leibniz, Deus tem em sua mente todos os mundos que poderiam ser criados. Ele escolhe um desses mundos para ser o mundo real (o melhor mundo que ele poderia criar). De acordo com Leibniz existem leis ou declarações que são verdadeiras em cada mundo, estas são proposições necessárias ou verdades da razão, enquanto algumas outras proposições são verdadeiras para o mundo real, mas não em todos os mundos: há um mundo em que essas proposições contingentes não se sustentam (LEIBNIZ, 1998). Temos, na abordagem de Leibniz, uma base para interpretar a relação entre proposições e mundos possíveis. Intuitivamente, um mundo possível é uma evaluação das proposições nos valores semânticos. Como todas as proposições são compostas por uma ou mais proposições atômicas, um mundo possível é uma evaluação das proposições atômicas nos valores semânticos. Isto é, em um dado mundo possível, cada proposição atômica assume um valor semântico em R T. Assumimos que o conjunto das proposições atômicas é um conjunto infinito enumerável. Isto é, ele pode ser escrito da forma

4 {P i ; i N} = {P 1, P 2, P 3, } onde P i P j sempre que i j. Desta forma, podemos interpretar um mundo possível como uma função de {P 1, P 2, P 3, } em R T. Isto forma uma sequência de elementos de R T. Assim, denotando por (R T ) N o conjunto das sequências de elementos de R T, adotamos a seguinte definição. Definição 1. Chamamos cada elemento de (R T ) N de mundo possível e, portanto, (R T ) N de conjunto dos mundos possíveis. Desta forma, cada mundo possível é um ponto no espaço (R T ) N. Dado um mundo possível w = (w i ) i N, para cada i N, w i corresponde ao valor semântico de P i em w. Uma questão que surge é se existe alguma relação entre os mundos possíveis. Motivados na lógica modal de Kripke (1963), nos perguntamos como se dão as interações entre mundos possíveis, isto é, como eles se comunicam. Kripke oferece uma semântica para a lógica com base na noção de uma estrutura modal. A estrutura modal é um par, < W, R >, onde W é um conjunto de mundos possíveis e R é uma relação binária entre mundos possíveis. Essa relação é chamada de relação de acessibilidade. Intuitivamente, a relação de acessibilidade pode ser vista como um caminho entre os mundos. Propomos um objeto matemático que possa fazer o papel da relação de acessibilidade. Isto é, para dizermos que existe uma relação de acessibilidade de um mundo possível w em um mundo possível u queremos que exista um objeto matemático T que relacione w a u e que satisfaça as propriedades reflexiva e transitiva. A existência de uma transformação linear T em (R T ) N tal que T(w) = u é uma relação com tais características, como demonstrado em (REIS, 2015a). Assim, denotando por (R T ) N o conjunto das sequências de elementos de R T, adotamos a seguinte definição. Definição 2. Dados dois mundos possíveis w, u (R T ) N arbitrários, dizemos que T: (R T ) N (R T ) N é uma comunicação de w em u se, e só, se T é uma transformação translinear contínua e satisfaz

5 i) para cada v = (v i ) i N (R T ) N tal que v i = v 1 para todo i N, T(v) = v e ii) T(w) = u. Definição 3. Dados dois mundos possíveis w, u (R T ) N arbitrários, dizemos que wru se, e só se, existe uma comunicação de w em u. Chamamos a relação R de relação de acessibilidade. Dizemos que w acessa u ou que u é acessível por w se, e só se, wru. A relação de acessibilidade, R, possui as propriedades reflexiva e transitiva. Isto é, para todos w, u, v (R T ) N, segue que wrw e se wru e urv, então wrv, como demonstrado em (REIS, 2015a). O conjunto dos mundos possíveis (R T ) N é um espaço topológico, como também demonstrado em (REIS, 2015a). Um espaço topológico é um espaço que nos permite falar de vizinhanças, proximidade e convergência. Num espaço topológico podemos dar um sentido exato à noção de estar próximo de. Ora, de acordo com nosso modelo, mundos possíveis são pontos do espaço topológico (R T ) N. Isto nos permite falar em proximidade e convergência com respeito a mundos possíveis. Isto é, temos o sentido exato de um mundo possível está próximo de outro ou de uma sucessão de mundos possíveis converge para um outro determinado. Um operador hipercíclico é um objeto oriundo da análise funcional. Para um panorama geral veja (GROSSE-ERDMANN e PERIS, 2011). Formalmente, um operador T é hipercíclico se existe um elemento x, tal que todo e qualquer elemento do domínio pode ser aproximado por aplicações recursivas de T em x. Isto é, conhecendo-se apenas o operador T e um elemento hipercíclico relativo a T, podemos obter todos os outros elementos do domínio por aproximação topológica. Tomamos emprestado este conceito da análise funcional e o interpretamos em nosso modelo de mundos possíveis. A demonstração do teorema abaixo pode ser encontrada em (REIS, 2015a).

6 Teorema 4. Existe um operador hipercíclico no Espaço dos Mundos Possíveis (R T ) N. Poderíamos considerar cada mundo universal como uma teoria de tudo. Primeiramente, um mundo universal seria uma teoria no sentido de fornecer uma descrição. Segundo, um mundo universal seria uma teoria de tudo, no sentido de que operá-lo produz descrições de todos os mundos possíveis em nosso universo lógico. Em termos topológicos, um vetor hipercíclico tem uma infinidade de componentes. Em um procedimento mecânico, o operador hipercíclico, aplicado a um vetor, produz um novo vetor, diferente em geral, que se encontra na órbita de seu gerador hipercíclico. O procedimento mecânico pode ser aplicado uma infinidade de vezes, em cujo caso a órbita é densa em todo o espaço. Além disso, mundos na órbita podem ser selecionados em seqüências que convergem para qualquer mundo particular. Se considerarmos um vetor hipercíclico como uma teoria, digamos, em virtude de ser uma ligação entre todos os predicados atômicos possíveis a valores semânticos, então um procedimento mecânico gera teorias que estão próximas a cada mundo e podemos refinar o procedimento construindo uma sequência de teorias que converge para uma descrição de qualquer mundo particular. Isso tem uma implicação para a filosofia da ciência. Nosso mundo real poderia ser descrito por uma infinidade de mundos possíveis. É concebível que as mentes humanas, em nosso mundo atual, possam acessar um mundo hipercíclico, construindo uma descrição dele, e continuem, por meios mecânicos ou mais direcionados, a descobrir tudo com precisão arbitrária! 4. Referências Bibliográficas ANDERSON, J. A. D. W. Perspex machine II: Visualisation. Vision Geometry XIII Proceedings of the SPIE, v. 5675, p , 2005.

7 ANDERSON, J. A. D. W.; VÖLKER, N.; ADAMS A. A. Perspex Machine VIII: Axioms of transreal arithmetic. Vision Geometry XV Proceedings of the SPIE, v. 6499, p , FLOYD, Juliet. Wittgenstein on Philosophy of Logic e Mathematics. In Stewart Shapiro, editor, Oxford Handbook of Philosophy of Logic e Mathematics, capítulo 4, páginas Oxford University Press, GOMIDE, W; REIS, T. S. dos; ANDERSON, J. A. D. W. Transreal Logical Space of All Propositions. In: Haeng Kon Kim; Mayhar A. Amouzegar; Sio-Iong Ao. (Org.). Transactions on Engineering Technologies, World Congress on Engineering and Computer Science. London: Springer, 2015a, p GOMIDE, W; REIS, T. S. dos; ANDERSON, J. A. D. W. Transreal Proof of the Existence of Universal Possible Worlds. In: 5th World Congress and School on Universal Logic, 2015, Istambul. Handbook of the 5th World Congress and School on Universal Logic, p , 2015b. GROSSE-ERDMANN, K.-G; PERIS, A. Linear Chaos. Springer, KRIPKE, S. Semantical considerations on modal logic. Acta Philosophica Fennica, v. 16, p , LEIBNIZ, G. Monadology. In: R. Franks and R. S. Woolhouse. Leibniz Philosophical Texts. Oxford Philosophical Texts, REIS, T. S. dos. Transmatemática f. Tese (Doutorado em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia) - Programa de Pós-graduação em História das Ciências e das Técnicas e Epistemologia, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015a.

8 REIS, T. S. dos. Números transreais e o espaço lógico. In: SCIENTIARUM HISTORIA: VIII CONGRESSO DE HISTÓRIA DAS CIÊNCIAS DAS TÉCNICAS E EPISTEMOLOGIA, Rio de Janeiro. Anais... Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2015b. REIS, T. S. dos; GOMIDE, W.; ANDERSON, J. A. D. W. Transreal truth valued square of opposition In: 5th World Congress on the Square of Opposition, 2016, Easter Island. Handbook of Abstracts 5th World Congress on the Square of Opposition 2016, p