MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL UNIJUÍ ADONIS ROGÉRIO FRACARO MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO Ijuí 2011

2 ADONIS ROGÉRIO FRACARO MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ, como requisito parcial à obtenção do título Mestre em Modelagem Matemática. Orientador: Doutor Antonio Carlos Valdiero Ijuí, RS 2011

3 UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL UNIJUÍ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO Elaborada por ADONIS ROGÉRIO FRACARO Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática. Comissão examinadora Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero UNIJUÍ (Orientador) Prof. Dr. Cláudio Luís D'Elia Machado IFSul, Campus Pelotas Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia UNIJUÍ Ijuí,RS, 30 de Agosto de 2011.

4 Aos meus pais Paulo e Janete, Meus irmãos Paulo Henrique e Vitor Hugo Em especial a minha esposa Vania e minha filha Isabella

5 AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus pela vida. Obrigado por tudo! À minha esposa Vania, pelo apoio incondicional, pelas palavras de motivação e encorajamento. A minha filha Isabella pelo amor dedicado, que serve de estimulo para enfrentar qualquer desafio. A elas também peço desculpas pelas vezes que precisei me privar dos momentos em família para estudar e deixo aqui o compromisso de que repararei o tempo que não pudemos estar mais próximos. Aos meus pais Paulo e Janete pelas mais diversas formas de apoio nesta caminhada. Obrigado! Amo vocês! Aos meus irmãos Paulo e Vitor pelo carinho, preocupação e incentivo. Ao meu orientador, Professor Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelas sugestões, idéias e conhecimentos transferidos e por todo o trabalho e dedicação dispensados para a realização desta dissertação. E ainda pela paciência em entender as vezes que por alguns motivos precisei ausentar-me dos encontros de estudo. Muito obrigado por tudo! Aos professores do curso de Mestrado em Modelagem Matemática pela boa convivência e pelos conhecimentos transmitidos. Aos funcionários de DeFEM, em especial e Geni que esteve sempre prestativa pra resolver problemas pontuais. Aos alunos bolsistas da Engenharia Mecânica Campus Panambi, que de alguma forma contribuíram no desenvolvimento deste trabalho. Ao Fabiano Prado pela construção da bancada de testes de vibração utilizada neste trabalho bem como pela ajuda concedida. Aos colegas do Mestrado que se demonstraram amigos nesta caminhada, tornando os momentos de encontro mais agradáveis. À professora Ângela Patrícia Spilimbergo pelo acompanhamento, colaboração e amizade durante o estagio de docência na disciplina de Cálculo I. Como não poderia deixar de ser, meu muito obrigado a UNIJUÍ pela oportunidade de crescimento profissional e pela CAPES pelo apoio financeiro!

6 É preciso ousar para dizer cientificamente que estudamos, aprendemos, ensinamos, conhecemos nosso corpo inteiro. Com sentimentos, com as emoções, com os medos, com a paixão e também com a razão crítica. Jamais com estas apenas. É preciso ousar para jamais dicotomizar o cognitivo do emocional. Paulo Freire

7 RESUMO Este trabalho trata da modelagem matemática de um sistema de atuação com hidráulica proporcional aplicado numa bancada para testes de vibração, além de sua simulação computacional e da validação experimental. Testes de vibração são muito comuns em produtos que exijam confiabilidade, tais como: tanques de combustível, reservatórios de pressão, embalagens para transporte e equipamentos eletrônicos. Dentro deste contexto, os sistemas de acionamento hidráulico possuem as vantagens de alta relação força/tamanho, paradas e partidas rápidas, e facilidade de instalação quando comparados aos acionamentos elétricos. Os atuadores hidráulicos têm grande importância na indústria moderna, devido seu extenso campo de aplicação, objetivando controle de forças ou de posição, tendo boa precisão e resposta rápida aos comandos. Neste trabalho, ao se referir aos atuadores hidráulicos, considera-se um conjunto válvula proporcional de controle direcional mais cilindro hidráulico. Sistema hidráulico é um conjunto de elementos físicos convenientemente associados, que utilizando um fuido como meio de transferência de energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos. As características dinâmicas e as não linearidades presentes nos atuadores hidráulicos dificultam o seu controle e, consequentemente necessitam de serem estudadas para melhor definição das estratégias de controle. O objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática deste atuador hidráulico composto de um cilindro diferencial e uma válvula proporcional de controle direcional, bem como, as simulações computacionais analisando os resultados e, consequentemente, validar experimentalmente o modelo. Para tal modelagem matemática, necessita-se modelar a equação da vazão nos orifícios da válvula, a equação da variação de pressão nas câmaras do cilindro, bem como, a equação do movimento da carga do cilindro. Após a modelagem matemática, foi possível construir o diagrama de blocos no aplicativo MatLab/Simulink para posterior simulação computacional, analise e interpretação dos resultados. Os resultados obtidos permitem verificar as características do modelo matemático utilizado para o atuador hidráulico e ilustram o comportamento na bancada experimental de testes. Pretende-se contribuir para melhoria do desempenho das aplicações com hidráulica proporcional.

8 ABSTRACT This work deals with the mathematical modeling of a hydraulic system proportional applied to a vibration test bench, its computational simulation and experimental validation. Vibration tests are very common in products requiring reliability, such as fuel tanks, pressure tanks, packaging for transport and electronic equipment. Within this context, the hydraulic systems have the advantages of high ratio strength / size, stops and starts slightly, and ease of installation when compared to drives electrical. The hydraulic actuators are of great importance in modern industry because of its extensive scope, aiming to control forces or positions, with good accuracy and fast response to commands. When we refer to hydraulic actuators, we are considering a further hydraulic cylinder valve assembly. Hydraulic system is a set of physical elements conveniently associates, using a fluid as means of energy transfer, allows the transmission and control of forces and movements. The dynamic characteristics and nonlinearities present in the hydraulic actuators hinder your control, and therefore need to be studied to better define the control strategies. Objective of this work is to perform the mathematical modeling of the hydraulic actuator composed of differential cylinder and a proportional valve of control directional, as well as computational simulations analyzing the results and thus validate the model experimentally. To this mathematical modeling, we need to model the equation of flow in the valve hole, the equation of the variation of pressure in the cylinder chambers and the load equation of motion of the cylinder. After doing mathematical modeling, it was possible to build the block diagram in application Matlab/Simulink for subsequent computational simulation, analysis and interpretation of results. The results obtained allow us to study the characteristics of the mathematical model used to illustrate the hydraulic actuator behavior in the experimental test bench. It is intended to contribute to improving the performance of applications with proportional hydraulics.

9 SUMÁRIO RESUMO... 6 ABSTRACT... 7 LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS SIMBOLOGIA Introdução Generalidades Antecedentes deste trabalho na UNIJUÍ Descrição da bancada de vibração utilizada para os testes Revisão Bibliográfica Objetivos Organização do trabalho MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL Introdução Descrição do atuador hidráulico Válvula proporcional de controle direcional Cilindro hidráulico Modelo matemático não linear de 4ª ordem para o atuador hidráulico Discussões SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO ATUADOR HIDRÁULICO Introdução Parâmetros do atuador hidráulico Implementação computacional do modelo matemático Identificação da Zona Morta da válvula Resultados das simulações em malha aberta Entrada em Degrau Discussões... 64

10 4. DESCRIÇÃO DA BANCADA DE AQUISIÇÃO DE DADOS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS Introdução Descrição da bancada de aquisição Resultados experimentais Discussões VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL Introdução Resultados da validação experimental Discussões CONCLUSÃO REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 90

11 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Dispositivo para teste de vibração do SENAI de Bento Gonçalves-RS...21 Figura 1.2 Dispositivo para teste de vibração Figura Dispositivo existente para realização de teste de vibração Figura 1.4: Base estrutural do dispositivo...24 Figura 1.5: Conjunto Guia do dispositivo...25 Figura 1.6: Amortecedores de vibração...25 Figura 1.7: Bancada para teste de vibração já com a ligação hidráulica Figura 2.1:Desenho esquemático do atuador hidráulico...31 Figura 2.2: Desenho esquemático da válvula (em corte) com destaque para a sobreposição no orifício de passagem do fluido...32 Figura 2.3: Representação gráfica da não linearidade da zona morta...33 Figura 2.4: Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste dupla Figura 2.5: Escoamento de fluido na câmara genérica...36 Figura 2 6: Diagrama de corpo livre das forças atuantes no movimento do cilindro...39 Figura 3.1: Diagrama de blocos do modelo matemático do atuador hidráulico com entrada em degrau...44 Figura 3.2: Diagrama de blocos da equação da vazão...45 Figura 3.3: Diagrama de blocos da Dinâmica da força hidráulica Figura 3.4: Diagrama de blocos do subsistema Dinâmica do Movimento do Êmbolo...47 Figura 3.5: Vista em corte do desenho esquemático de uma válvula proporcional direcional tipo carretel com detalhe para a zona morta Figura 3.6: Resultado para identificação da zona morta direita (zmd) da válvula...48 Figura 3.7: Sinal de controle...50 Figura 3.8: Comportamento do movimento do êmbolo do cilindro...51 Figura 3. 9: Gráfico das vazões nas câmaras do cilindro com Volts e...52 Figura 3.10: Gráfico das vazões nas câmaras do cilindro com...53 Figura 3.11: Comportamento das pressões nas câmaras com...54 Figura 3.12: Comportamento das pressões nas câmaras com...55 Figura 3.13: Aceleração do êmbolo do cilindro...56 Figura 3.14: Velocidade do êmbolo...57 Figura 3.15: Movimento do êmbolo com sinal de controle...58 Figura 3.16: Sinal de controle descontada a zona morta...59 Figura 3.17: Comportamento das pressões nas câmaras do cilindro descontada a Zona Morta... 60

12 Figura 3.18: gráfico das vazões descontadas a Zona Morta...61 Figura 3.19: Gráfico da aceleração do êmbolo...62 Figura 3.20: Gráfico da aceleração do êmbolo do cilindro...63 Figura 3.21: Gráfico da velocidade do êmbolo do cilindro...64 Figura 4.1: Fonte Instrutherm para alimentação dos sensores...66 Figura 4.2: Fonte HP para alimentação da válvula proporcional...66 Figura 4.3: Válvula proporcional NG6 e transdutores de pressão Zürich PSI Figura 4.4: Detalhe para a Cartela Eletrônica e para o capacitor...68 Figura 4.5: Opto acoplador para proteção da placa eletrônica dspace...69 Figura 4.6: Foto da bancada de aquisição...69 Figura 4.7: Identificação do sinal de controle...70 Figura 4.8: Deslocamento y do cilindro na bancada...71 Figura 4.9: Comportamento das pressões com...72 Figura 4.10: gráfico do ajuste de y...73 Figura 4.11: Sinal de controle...74 Figura 4.12: Deslocamento y, do cilindro durante o teste de vibração com..75 Figura 4.13: Deslocamento do cilindro durante o teste de vibração com e com zoom mostrando o início do percurso...76 Figura 4.14: Gráfico da comparação das pressões nas câmaras do cilindro...77 Figura 4.15: gráfico do ajuste de y com...78 Figura 4.16: Sinal de controle, e movimento do carretel da válvula...79 Figura 4.17: Deslocamento do cilindro hidráulico com sinal de controle...80 Figura 4.18: Zoom do deslocamento do cilindro hidráulico apresentado na Figura Figura 4.19: Pressões nas câmaras do cilindro...82 Figura 4.20: Ajuste do deslocamento do cilindro hidráulico...83 Figura 5.1: Simulação computacional versus experimental com...85 Figura 5.2: Comparação entre simulação computacional versus Experimental com...86 Figura 5.3: Comparação entre a parte experimental e simulação computacional...87 Figura 5.4: Gráfico da comparação do deslocamento do y experimental e simulado...88

13 LISTA DE TABELAS Tabela 1: Parâmetros utilizados na simulação computacional do atuador hidráulico...43

14 SIMBOLOGIA M Orifício de passagem da válvula Área da seção transversal do êmbolo do cilindro Orifício de passagem as válvula Coeficiente de atrito viscoso do sistema Função não linear Função não linear Força gravitacional do sistema haste mais carga Função não linear dos componentes dependentes do sinal de controle Função não linear dos componentes dependentes do sinal de controle Constante hidráulica Comprimento do curso do cilindro Massa da haste + êmbolo + cilindro do atuador Inclinação direita da zona - morta Inclinação esquerda da zona - morta Pressão no orifício de saída a da válvula Pressão inicial na câmara do cilindro Pressão no orifício de saída b da válvula Pressão inicial na câmara do cilindro Pressão de retorno (reservatório) Pressão de suprimento Vazão no orifício de saída a da válvula Vazão no orifício de saída b da válvula Vazão entrando na câmara

15 Vazão saindo na câmara Segundos Superfície de Controle Tempo de simulação Sinal de controle Unidade de Potência e Condicionamento Hidráulico Sinal de controle de saída Velocidade do fuido Volume de controle Volume na câmara 1 Volume na câmara 2 Volume inicial na câmara 1 Volume inicial na câmara 2 Posição do atuador Velocidade do atuador Pressão na câmara Pressão na câmara Deslocamento do carretel da válvula Posição do atuador Velocidade Aceleração Zona morta Limite direito da zona morta Limite esquerdo da zona morta

16 17 1 INTRODUÇÃO 1.1 Generalidades É próprio do homem, evoluir tudo aquilo que já lhe é sabido, ou procurar aprender sobre determinados assuntos que não domina e que lhe interessam. Naturalmente, muitos de seus desafios são árduos e difíceis de conseguir êxito. Porém, é na angustia de querer aprender que conseguimos saciar nosso anseio de construir ou evoluir nosso conhecimento. Com este intuito, esta dissertação trata da modelagem matemática e a simulação computacional de um atuador hidráulico utilizado em uma bancada de ensaio de vibração. Neste trabalho, Modelagem Matemática é um termo bastante utilizado, e pode descrever um modelo matemático, segundo Bassanezzi (2002) como sendo um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado, sendo uma linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambiguidades. A Modelagem Matemática é a arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Para O Shea e Berry (1982), a Modelagem Matemática é o processo de escolher características que descrevem, adequadamente, um problema de origem não matemático, para chegar a colocá-lo numa linguagem matemática. A Modelagem é um processo interativo em que o estágio de validação frequentemente leva a diferenças entre predições baseadas no modelo e na realidade. A Modelagem Matemática tem feito parte de nossas vidas há muito tempo sem que muitas vezes nem ao menos a percebemos, ela apodera-se da matemática para representar situações do mundo real, a fim de resolver problemas ou perguntas que nos perturbam ou nos intrigam.

17 18 Segundo D Ambrósio (1986), o indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e busca, através da reflexão, a representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faça uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde define estratégias para criar o mesmo, esse processo é caracterizado como modelagem. Para Biembengut (1997), Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção de um modelo. Sob alguns aspectos, pode ser considerado um processo artístico, uma vez que, para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir sobre o conteúdo matemático que melhor se adapta a realidade e senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. Modelos matemáticos representam a realidade por meio de uma ou mais equações e algoritmos, sendo assim, a representação matemática produz relações quantitativas entre um conjunto de variáveis de entrada e um conjunto de variáveis de saída, ou seja, uma descrição quantitativa da reação do sistema a determinadas condições. Neste trabalho é feita a modelagem matemática de um atuador hidráulico. O uso dos atuadores hidráulicos possui vantagens já conhecidas há muito tempo e aplicações em diferentes áreas tais como: extração mineral, indústria aeroespacial, veículos de transportes e passeio, equipamentos odontológicos, médico - hospitalar, construção civil, etc. Conforme Von Linsingen (2003), Sistema hidráulico é um conjunto de elementos físicos convenientemente associados que, utilizando um fluido como meio de transferência de energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos. Bavaresco (2007 apud MIOTTO, 2009) apresenta as vantagens, desvantagens e custo de cada tipo de atuador (pneumático, óleo-hidráulico, hidro - hidráulico, elétricos rotativos e elétricos lineares). Dentre eles, o que possui a maior lista de vantagens é o óleo-hidráulico, ou simplesmente, hidráulico. As principais vantagens dos sistemas de acionamento hidráulicos são: Alta relação força/tamanho; Paradas e partidas rápidas; Facilidade de instalação quando comparado aos acionados eletricamente; Finalidade de produzir perfis desejados de forças de carregamento na estrutura em teste.

18 19 hidráulicos: Von Linsingen (2003) aponta algumas características relevantes dos sistemas Baixa relação peso/ potencia; Bom comportamento em relação ao tempo, ou seja, resposta rápida a partida e inversão de movimento sob carga, devido aos baixos momentos de inércia; Adaptação automática de força ou torque; Sistemas adequados tanto para o controle de processos em que o movimento é rápido quanto para os de movimento de precisão extremamente lento; Segurança eficaz contra sobrecargas; Componentes lubrificados pelo próprio fluido de trabalho; Possibilidade de combinação com outros sistemas; No entanto, os sistemas também apontam desvantagens apontadas por Von Linsingen (2003): Custo elevado em relação aos sistemas mecânicos e elétricos compatíveis; Perda de potência devida à dissipação por atrito viscoso, o que limita a velocidade do fluido e, como conseqüência, a velocidade dos atuadores hidráulicos; Perdas por vazamentos internos; Presença de ar no sistema; Elevada dependência da temperatura Antecedentes deste trabalho na UNIJUÍ Com o pressuposto de dar continuidade a trabalhos que já vem sendo realizado no programa de Mestrado em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ, e que de alguma forma, já contribuíram para uma melhor visão no que se refere a acionamentos hidráulicos, esta dissertação refere-se à Modelagem Matemática do acionamento hidráulico de uma bancada de ensaio de vibração.

19 20 No âmbito dos atuadores hidráulicos, trabalhos de grande valia, realizados na UNIJUÍ, que antecederam esta dissertação, são os de Dilda (2008) e Miotto (2009). Dilda (2008) realizou a modelagem matemática e o controle de um atuador hidráulico trabalhando com um modelo matemático não linear de 4ª ordem, interpretado como dois subsistemas interconectados, ou seja, um subsistema mecânico acionado por um subsistema hidráulico. Neste trabalho, a autora propõe um controlador em cascata para o atuador hidráulico, objetivando projetar uma lei de controle para o subsistema mecânico onde a saída siga uma trajetória desejada (ou o mais próximo possível) para então projetar uma lei de controle para o sistema hidráulico, que gere como resposta a força hidráulica necessária. Miotto (2009) apresentou a modelagem matemática da dinâmica do atrito e sua aplicação no projeto de controle ótimo de um atuador hidráulico. O atrito considerado em Miotto (2009) é descrito através do modelo LuGre. O atuador modelado é composto por uma válvula proporcional de controle direcional simétrica e um cilindro hidráulico de dupla haste, que, com a inclusão do atrito, resulta num modelo de 5ª ordem. Da mesma forma que Dilda (2008), Miotto (2009) também interpreta o modelo como dois subsistemas interconectados (um subsistema mecânico acionado por um subsistema hidráulico), propondo um controlador em cascata para o atuador hidráulico. Ambas as autoras trabalharam com um atuador composto por uma válvula proporcional de controle direcional simétrica e um cilindro de dupla haste que é também nossa proposta de estudo. 1.3 Descrição da bancada de vibração utilizada para os testes Uma bancada de ensaio de vibração se faz importante devido a sua grande utilização tendo em vista, por exemplo, uma aplicação para testes de vibração nos tanques de combustíveis dos caminhões, e este é o principal meio de transporte das riquezas produzidas no país, ligando todos os estados brasileiros. É observado, porém, que não existem muitos laboratórios capazes de realizar estes testes no Brasil, segundo as normas das montadoras de veículos.

20 21 Prado (2011) salienta que a realização de um teste de vibração gira em torno de U$ 7.000,00 e ainda, que a carga máxima que pode ser colocada na mesa dos dispositivos de teste é de apenas 500 kg, muito abaixo do peso de muitos tanques com 80% de sua capacidade completa com água. Prado (2011) ainda identifica que os dispositivos para testes de vibração, existentes são todos importados e o custo para a compra é muito elevado, ficando em torno de U$ ,00. O que justifica a pouca existência de laboratórios que realizam os tais testes. No Rio Grande do Sul, atualmente tem sido realizados testes desta grandeza no município de Bento Gonçalves, em um laboratório do SENAI. O dispositivo utilizado possui modelo LAB composto por uma base (1), cilindro servo-hidráulico (2), conjunto mesa (3), bolsões de ar (4), válvula direcional (5), unidade hidráulica (6), conforme ilustra a Figura 1. Figura 1.1 Dispositivo para teste de vibração do SENAI de Bento Gonçalves-RS Fonte: Prado (2011) Ao se pesquisar sobre dispositivos para teste de vibração, fonte: labequipment.com/hvseries.html, p.1, encontra-se algumas concepções, no que diz respeito a modelos importados que utilizam-se em geral de servo-hidráulica como sistema de acionamento.

21 22 Figura 1.2 Dispositivo para teste de vibração. A Figura 1.2 ilustra um dispositivo para teste de vibração, de menor capacidade, utilizado, basicamente, para testes em embalagens ou produtos de pequena massa. A Figura 1.3, ilustra outro exemplo de dispositivo de teste que possui cilindros servohidráulicos, os quais são inclinados. Neste dispositivo são produzidas vibrações nos sentido, vertical e horizontal ao mesmo tempo, este tipo de equipamento é utilizado para testar peças em geral.

22 23 Figura Dispositivo existente para realização de teste de vibração. Fonte: Guan et al, 2010, p Neste trabalho foi utilizado o equipamento desenvolvido por Prado (2011), como trabalho de conclusão do curso de engenharia mecânica. para realizar os testes de vibração. A montagem e os testes foram realizados no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ Campus Panambi. A seguir, evidencia-se alguns detalhes, os quais que podem prejudicar os resultados dos testes de vibração mas foram importantes na construção do dispositivo. Estes detalhes são: A estrutura do dispositivo para teste de vibração deve suportar o peso que será colocado sobre a mesa sem que aconteçam deformações que possam prejudicar o desempenho do teste. A mesa não pode girar durante o teste, para tanto é necessário desenvolver algum dispositivo ou sistema que elimine este giro. O dispositivo deve ser o mais estável possível para que não ocorra denomenos de ressonância no sistema.

23 24 O dispositivo deve ser isolado do piso, pois a vibração pode ser transmitida do dispositivo para o piso ou do piso para o dispositivo (em caso de existir algum equipamento ou máquina próximos). Visando minimizar estes efeitos foram soldados na parte estrutural da bancada os reforços (1) na mesa (2) e o flange (3) conforme ilustra Figura 1.4, de acordo com os procedimentos de Prado (2011). Figura 1.4: Base estrutural do dispositivo Para eliminar o giro da mesa durante o teste, foi desenvolvido por Prado (2011) um sistema de colunas guia no qual, uma coluna (4) tratada termicamente desliza através de uma bucha de bronze (5). A coluna está fixa em um porta-coluna (6) que, por sua vez, está parafusado e pinado na mesa (2). A bucha está montada em um porta-bucha (7), este, por sua vez, está soldado no conjunto do tubo (8), que está parafusado e pinado na base de reação (9), conforme pode ser visto na Figura 1.5.

24 25 Figura 1.5: Conjunto Guia do dispositivo Para suportar a força desenvolvida durante os testes realizados e evitar a interação do piso com o dispositivo, ou vice-versa, foram utilizados por Prado (2011), 4 amortecedores de vibração conforme ilustra a Figura 1.6. Figura 1.6: Amortecedores de vibração

25 26 Na Figura 1.7, pode ser vista a bancada de ensaio montada por Prado (2011) já com a ligação hidráulica realizada. Figura 1.7: Bancada para teste de vibração já com a ligação hidráulica 1.4 Revisão Bibliográfica Nesta seção pretende-se apresentar uma descrição sucinta da revisão bibliográfica relacionada à modelagem matemática de atuadores hidráulicos e suas aplicações. Inicialmente apresenta-se um breve histórico da tecnologia de acionamento hidráulico.

26 27 Segundo Von Linsingen (2003), na segunda metade do século XIX, W. G. Armstrong ( ) desenvolveu, na Inglaterra, várias máquinas hidrostáticas (operando com água sob pressão) e componentes de sistemas de transmissão, que foram empregados, principalmente, na indústria naval para acionamentos de âncoras e guindastes. Vários elementos de direção hidráulica utilizados, atualmente, são semelhantes aos empregados naquela época. Von Linsingen (2003) comenta que no século XX, desenvolveram-se as revolucionárias técnicas de transmissão de energia elétrica, fazendo com que a importância da transmissão hidráulica fosse afetada, pois os acionamentos elétricos mostravam maior simplicidade. Um grande impulso acontece em 1900 quando Eli Janney substitui água por óleo como meio de transferência de energia, reduzindo, assim, os problemas de lubrificação e vazamentos. Neste mesmo período Janney utiliza pistões axiais numa bomba hidrostática. Ainda segundo Linsingen (2003), dez anos mais tarde, inicia-se o emprego de controladores hidrostáticos de turbinas hidráulicas. No mesmo ano, Hele Shaw introduziu a primeira máquina de pistões radiais utilizando óleo como fluido operante. Por volta de 1930, Has Thoma da início ao desenvolvimento das máquinas de pistões axiais e, em 1936, Harry Vickers desenvolve uma válvula limitadora de pressões pilotada. Em meados do século passado, Merrit (1967), apresenta a importância e as vantagens da aplicação de sistemas hidráulicos, entre elas o autor cita a capacidade de desenvolver forças elevadas em relação ao seu tamanho ou peso, a capacidade de produzir respostas rápidas aos comandos de partidas, paradas ou inversões de velocidade sem danos às partes mecânicas e a disponibilidade no mercado de atuadores lineares ou rotativos proporcionando alternativas para projeto. Por causa destas características, os atuadores hidráulicos são muito utilizados hoje em dia. Christensen et al. (2000) apud DILDA (2008) compara as diferentes tecnologias de transmissão de potência e mostra que os sistemas hidráulicos são competitivos nas aplicações com potencias ou forças altas e onde são necessários atuadores relativamente pequenos com flexibilidade de instalação. De Negri (2001), caracteriza um sistema hidráulico como um sistema desenvolvido especificamente para desenvolver trabalho. Neste caso o trabalho é obtido por meio de um fluido sob pressão agindo sobre um cilindro ou motor, que produz uma ação mecânica

27 28 desejada. Este sistema hidráulico é o meio através do qual uma forma de energia de entrada é convertida e condicionada de modo a se obter como saída uma energia mecânica útil. Segundo Von Linsingen (2003), sistema hidráulico é um conjunto de elementos físicos convenientemente associados que, utilizando um fluido como meio de transferência de energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos. Conforme Valdiero et al. (2007), sistemas hidráulicos são muito utilizados nas indústrias do setor metal mecânica, na mecanização agrícola e no manuseio e transporte de materiais. De outro modo, Valdiero e Andriguetto (1999) mostram a aplicação de robôs seriais acionados hidraulicamente em ambientes industriais insalubres, como soldagem, pintura, polimento, tratamentos térmicos e químicos, além da movimentação de cargas. Machado (2003) realizou o estudo do atrito de um atuador hidráulico e sua compensação em malha fechada com o controlador em cascata fixo, ressaltando que este controlador pode apresentar um desempenho superior aos dos controladores clássicos, tais como, PID e controlador de estados, e possibilita que a compensação do atrito. Mostrando traves de resultados experimentais a redução do erro de seguimento de trajetória quando o controlador em cascata fixo com compensação de atrito é implementado. De acordo com Machado (2003) a compensação do atrito não-linear é uma das maiores dificuldades no controle do atuador hidráulico. Autores como Wang e Su (2007) apud Dilda (2008), apresentam a modelagem e controle do braço de um robô hidráulico para jateamento de concreto na construção de túneis. 1.5 Objetivos Os principais objetivos deste trabalho são: Revisão bibliográfica, compreendendo como o tema tem sido abordado e também, o estudo das abordagens realizadas nos trabalhos anteriores desenvolvidos no Mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUÍ, utilizando atuador hidráulico; Identificação de características importantes nas não linearidades do modelo do atuador hidráulico em uma bancada de vibração;

28 29 Proposição de modelos matemáticos modificados para o atuador hidráulico e sua simulação computacional aplicada a problemas de engenharia de controle ótimo de uma bancada de ensaio de vibração; Validação experimental da modelagem e contribuição para melhoria do desempenho das aplicações com hidráulica proporcional. 1.6 Organização do trabalho Este trabalho está dividido em 6 Capítulos. O primeiro capítulo traz a introdução com intuito de situar a pesquisa, neste é elaborado um breve conceito para modelagem matemática e descrito algumas vantagens ao se utilizar atuadores hidráulicos. Neste capítulo, ainda, é apresentada a revisão bibliográfica sobre atuadores hidráulicos e testes de vibração os quais são o objeto da pesquisa. É feito um apanhado do que já foi trabalhado no próprio programa de mestrado da UNIJUÍ a respeito de hidráulica, e a descrição da bancada utilizada para os testes de vibração. Já no capitulo 2 é elaborada a modelagem matemática do atuador hidráulico constituído dos principais componentes do atuador hidráulico: válvula proporcional de controle direcional e cilindro hidráulico. No capítulo 3 apresentam-se alguns resultados obtidos realizando a simulação computacional do atuador hidráulico em malha aberta e feita a identificação dos parâmetros do modelo e explicada a implementação computacional. O capítulo 4 traz uma descrição da bancada de aquisição de dados, e alguns dos resultados experimentais. No capitulo 5 está descrita a validação computacional os resultados obtidos na simulação computacional com os obtidos na parte experimental. Finalmente, no capitulo 6 é elaborada uma conclusão do trabalho como um todo, e elencadas sugestões para futura continuidade deste trabalho.

29 30 2. MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL 2.1 Introdução Este capítulo irá apresentar a modelagem matemática que descreve o comportamento dinâmico do atuador hidráulico e suas principais características não lineares. O modelo proposto é de 4ª ordem e descreve o comportamento dinâmico do atuador hidráulico, adotado neste trabalho. 2.2 Descrição do atuador hidráulico Neste trabalho, um atuador é hidráulico composto por uma válvula proporcional de controle direcional do tipo carretel de quatro ressaltos, simétrica e de centro supercrítico, ou seja, a largura do ressalto é maior que a largura do orifício, e um cilindro simétrico de haste dupla, conforme desenho esquemático mostrado na Figura 2.1.

30 31 Figura 2.1:Desenho esquemático do atuador hidráulico Durante o seu funcionamento, o fluido é fornecido à válvula por uma unidade de potência e condicionamento hidráulico (UPCH) a uma pressão de suprimento. E um sinal elétrico de controle energiza as bobinas dos solenóides proporcionais da válvula, produzindo um deslocamento do carretel. Por sua vez, o carretel, ao ser deslocado, gera orifícios de passagem, fornecendo fluido a alta pressão para uma das câmaras do cilindro permitindo que o fluido da outra escoe para o reservatório que está a uma pressão. Conseqüentemente, tem-se a variação das pressões e nas câmaras do cilindro, resultando numa força que movimenta a massa num deslocamento. A força gerada pelo atuador hidráulico é obtida através do produto da área transversal do êmbolo do cilindro pela diferença de pressão. Sendo assim, é possível gerar grandes forças com atuadores pequenos, utilizando para isso, valores elevados de pressão.

31 Válvula proporcional de controle direcional Neste trabalho, para a modelagem, consideramos uma válvula proporcional de controle direcional do tipo carretel de quatro ressaltos, simétrica e de centro supercrítico, ou seja, a largura do ressalto é maior que a largura do orifício (pórtico) por onde passa o fluido. A Figura 2.2 mostra o desenho esquemático da válvula (em corte) com destaque para a sobreposição que existe entre o ressalto do carretel e o orifício de passagem do fluido. Essa sobreposição é muito freqüente em sistemas mecânicos, principalmente em válvulas de centro supercrítico e, essa imperfeição é a principal não linearidade da zona morta da válvula. Figura 2.2: Desenho esquemático da válvula (em corte) com destaque para a sobreposição no orifício de passagem do fluido. A não linearidade da zona morta acontece pelo fato de que ao ser dado um sinal de entrada, o carretel se desloca, mas não em quantidade suficiente para liberar a passagem do fluido, causando atrasos e erros na resposta do sistema, requerendo a identificação e sua adequada compensação. Valdiero et al.(2006) propõe uma metodologia para a identificação da zona morta, assumindo esta zona como uma não linearidade de entrada do sistema a qual

32 33 pode ser facilmente compensada na saída do controlador e ter seus efeitos minimizados. A figura 2.3 mostra esta zona de não linearidade. Figura 2.3: Representação gráfica da não linearidade da zona morta onde: é o sinal de controle de saída U; é a inclinação esquerda do sinal de controle; é a inclinação direita do sinal de controle; é a zona morta direita; é a zona morta esquerda; A identificação da zona morta de uma válvula proporcional direcional do tipo carretel será apresentada em detalhes na seção 3.4.

33 34 Neste trabalho, as dinâmicas da válvula foram desconsideradas neste trabalho, assim ao ser aplicado um sinal de entrada, considera-se o movimento instantâneo do carretel representado por. A determinação das vazões, e nos orifícios da válvula, mediante o deslocamento do carretel, pode ser obtida a partir da equação de Bernoulli (balanço de energia) resultando as equações (2.1) e (2.2). Qa ( u, pa ) K s. u. g1( pa, sign( u)) (2.1) Q ( u, p ) K. u. g 2 ( p, sign( u)) b b s b (2.2) sendo o coeficiente de vazão dos orifícios e da válvula, e expressas por:, são as funções definidas como em Bu e Yao (2000), de modo que são g p, sign( u)) 1 ( a p a p p s a p p a r para para x x v v 0 0 (2.3) g p, sign( u)) 2 ( b p b p p b s p p r b para para x x v v 0 0 (2.4) onde é a pressão de suprimento, é a pressão de retorno, e são as pressões nas câmaras 1 e 2 do cilindro hidráulico, respectivamente. As vazões e fornecidas pela válvula têm suas não linearidades representadas pelas funções e, as quais dependem do deslocamento do carretel da válvula, orifícios de controle. Pode se observar que e da raiz quadrada da diferença de pressão nos significa que não há variação de pressão

34 35 nos orifícios da válvula, assim, analisando as equações (2.1) e (2.2) resulta em não haver vazão de fluido entre a válvula e as câmaras do cilindro Cilindro hidráulico O cilindro hidráulico considerado na modelagem é simétrico e de dupla haste. Para realizar a modelagem deste componente utilizou-se a equação da continuidade, para determinação da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, e a equação do movimento da haste. A Figura 2.4 mostra um desenho esquemático do cilindro. Figura 2.4: Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste dupla Conforme De Negri (2001), para a compreensão dos fenômenos físicos que ocorrem no cilindro hidráulico, inicia-se deduzindo a equação da continuidade do cilindro para uma câmara genérica. Esta equação determina que a diferença da vazão que entra e a vazão que sai em um dado volume de controle é igual a taxa de variação do volume com o tempo, somada a parcela correspondente à expansão ou compressão do fluido neste volume de controle. A Figura 2.5 mostra o escoamento de fluido na câmara genérica.

35 36 (Superfície de Controle) (Volume de Controle) Figura 2.5: Escoamento de fluido na câmara genérica Aplicando-se o princípio da conservação de massa para o volume de controle genérico de acordo com (DE NEGRI, 2001; VALDIERO, 2001), tem-se: SC vda 0 dv (2.5) t VC Onde a primeira integral representa o fluxo líquido de massa através da superfície de controle e a segunda, a variação da massa no interior do volume de controle. Considera-se a massa específica constante no espaço, pois se admite que a massa seja uniformemente distribuída no volume de controle, é a velocidade do fluido através de uma área infinitesimal representada pelo vetor normal escoamento da Figura 2.5, resulta em:. Logo, a equação (2.5) aplicada ao Q Q e s dv dt V t (2.6) onde e são respectivamente as vazões entrando e saindo da câmara. O termo representa o incremento de massa específica e pode ser relacionado com o módulo de

36 37 elasticidade do fluido e com o incremento de pressão por meio da equação (2.7) (PAIM, 1997). Em MERRIT (1967), encontra-se a dedução desta relação que é fundamentada na aproximação de primeira ordem da série de Taylor para a variação da massa específica em relação à variação da pressão. p p (2.7) Substituindo (2.7) em (2.6), tem-se uma expansão para a equação da continuidade aplicada a uma câmara genérica dada por: dv V dp Qe Qs (2.8) dt dt Considerando-se, portanto o cilindro simétrico de dupla haste, mostrado na Figura 2.4, cujas expressões dos volumes e, das câmaras a e b, e suas variações são dadas por: V 1 V 10 A y (2.9) V 2 V 20 A y (2.10) dv dt 1 dv dt 2 A y A y (2.11) (2.12) onde e são, respectivamente, os volumes iniciais nas câmaras a e b (incluindo os volumes das tubulações que ligam estas câmaras às saídas da válvula., refere-se a área da seção transversal do êmbolo do cilindro e e são, respectivamente a posição e a velocidade do êmbolo do cilindro.

37 38 Aplicando-se a equação (2.8) às câmaras a e b do cilindro de dupla haste considerado e substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.9), (2.10), (2.11) e (2.12) obtém-se as vazões das câmaras do cilindro de acordo com as equações: Q Q b a dv1 V1 dpa V10 A y dpa A y (2.13) dt dt dt dv2 V2 dpb V20 A y dpb A y (2.14) dt dt dt A partir das equações (2.13) e (2.14), pode-se escrever a expressão geral da variação das pressões nas câmaras do cilindro hidráulico, dadas pelas equações seguintes: dp dt dp dt b a y Q x p f, A y (2.15) 1 a y Q x p v a f, A y (2.16) 2 b v b onde a Q x, p v a e b Q x, p v (2.1) e (2.2), e são funções não lineares: b são as vazões nos orifícios da válvula, dadas pelas equações f f 2 1 y y V V A 1 A y y (2.17) (2.18)

38 39 Utilizando a equação do movimento aplicada à haste do cilindro, considerando como entrada a diferença de pressões nas câmaras e levando em conta a força de inércia, o atrito viscoso, e a força gravitacional, têm-se o equilíbrio dinâmico mostrado no diagrama de corpo livre da Figura 2.6 e representado pela equação (2.19). Figura 2 6: Diagrama de corpo livre das forças atuantes no movimento do cilindro G a b M y B( y ) F A p p (2.19) onde é a massa total em movimento, composta pela massa da haste do cilindro mais a carga e pela massa do fluido deslocado, é o atrito viscoso e é a área as seção transversal do êmbolo do cilindro. A fim de expressar a aceleração do sistema, resultado de uma forca hidráulica proveniente do balanço das pressões nas câmaras do cilindro, a equação (2.19) pode ser reescrita como: 1 y A pa pb B( y ) FG (2.20) M

39 Modelo matemático não linear de 4ª ordem para o atuador hidráulico Ao combinarmos as equações da dinâmica da variação das pressões nas câmaras a e b, indicadas em (2.15) e (2.16) com a equação do movimento de carga do cilindro (2.19), obtémse um modelo matemático não linear de 4ª ordem que descreve a dinâmica do atuador hidráulico, dados pelas seguintes equações: p p a b y Q u p f, A y (2.21) 1 a y Q u p a f, A y (2.22) 2 b b 1 y A pa pb B( y ) F M G (2.23) onde Q u, e u a p a Q, são funções descritas respectivamente pelas equações (2.1) e (2.2), b p b porém a variável foi substituída por que é o sinal de controle, já que a dinâmica da válvula foi desprezada, e são expressas pelas equações (2.17) e (2.18) respectivamente. O modelo matemático de 4ª ordem acima citado, pode ser facilmente escrito como um sistema de equações na forma de variáveis de estado, de modo que pode ser escrito da seguinte forma: x1 y (2.24) x y 2 (2.25) x3 p a (2.26) x4 p b (2.27)

40 41 onde: x y (2.28) 1 x 2 x 2 1 Ax3 x4 B( x2 ) M F G (2.29) x Q u x 3 f1 1, 3 A x2 x a (2.30) x Q u x x b (2.31) 4 f2 1, 4 A x2 sendo a posição do êmbolo do cilindro, a velocidade, e as pressões nas câmaras do cilindro. 2.6 Discussões Este capítulo apresentou a modelagem matemática do atuador hidráulico através de seus principais componentes, formando a partir da combinação destes, um modelo de 4ª ordem não linear. Na seção 2.2 foi feita a descrição do atuador hidráulico bem como a explicação do funcionamento do mesmo a partir de um sinal elétrico de controle. Na seção 2.3, apresenta - se a descrição da válvula proporcional de controle direcional e suas vazões e. Logo em seguida, na seção 2.4, realizou-se a modelagem matemática do cilindro hidráulico expressando a variação das pressões nas câmaras do cilindro hidráulico e, ainda, a aceleração do sistema proveniente do balanço das pressões nas câmaras do cilindro. Na seção 2.5, no entanto, descreve-se o modelo matemático não linear de 4ª ordem para o atuador hidráulico, que descreve a dinâmica do mesmo. Apresentando ao mesmo tempo, o modelo matemático de 4ª ordem, escrito em variáveis de estado.

41 42 3. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO ATUADOR HIDRÁULICO 3.1 Introdução Neste capítulo são apresentados os resultados de simulação computacional em malha aberta do modelo matemático não linear de 4ª ordem, apresentado no capítulo 2, que descreve o comportamento do atuador hidráulico. As simulações foram implementadas computacionalmente com o auxílio do MatLab/Simulink, utilizando-se o método Runge Kutta de 4ª ordem com passo de integração de 0,001 segundos para aproximar a solução do sistema de equações diferenciais. Miotto (2009) assinala que o MatLab é um software para solução numérica de problemas científicos que integra ferramentas de análise numérica, cálculo matricial, processamento de dados e geração de gráficos. O Simulink é uma extensão do MatLab, no qual a representação do modelo matemático é realizada através de diagramas de blocos, sendo apropriado para a simulação numérica de sistemas dinâmicos. O Simulink dispõe de uma extensa biblioteca de blocos pré-definidos, possibilitando ao usuário a representação dos mais variados sistemas lineares e não lineares. A seção 3.2 apresenta a descrição dos parâmetros utilizados na simulação computacional. A seção 3.3 apresenta a descrição da implementação e da simulação computacional do modelo em malha aberta, na seção 3.4 são apresentados os resultados da simulação em malha aberta. 3.2 Parâmetros do atuador hidráulico Os parâmetros utilizados na simulação computacional são os mesmos obtidos da bancada experimental, conforme descrito na Tabela 1:

42 43 Tabela 1: Parâmetros utilizados na simulação computacional do atuador hidráulico. Parâmetro Descrição Pressão de suprimento Pressão de reservatório (retorno) Coeficiente de vazão Volume inicial na câmera a Volume inicial na câmera b 1, 6493 Área da seção transversal do êmbolo Módulo de elasticidade do fluido Massa deslocada Comprimento do curso do cilindro Pressão inicial de trabalho Pressão inicial de trabalho 3.3 Implementação computacional do modelo matemático Esta seção apresenta uma descrição detalhada do procedimento utilizado na implementação computacional em malha aberta do modelo matemático para atuadores hidráulicos descrito na seção 2. A Figura 3.1 traz o diagrama de blocos utilizado para a simulação computacional do modelo matemático. O primeiro bloco representa a entrada do sistema dinâmico, caracterizado como sinal de controle em malha aberta u. O objetivo em realizar simulações computacionais em malha aberta, de modelos matemáticos, é entender as características do sistema e suas respostas dinâmicas. É possível usar como entrada um sinal de controle em degrau ou senoidal.

43 44 Figura 3.1: Diagrama de blocos do modelo matemático do atuador hidráulico com entrada em degrau É notório na figura 3.1, que o diagrama é composto por três subsistemas interconectados, onde o primeiro apresenta a Equação da Vazão, o segundo a Dinâmica da Força Hidráulica e por fim, o terceiro, a Dinâmica do movimento do êmbolo. A figura 3.2, mostra o diagrama de blocos que representa as equações (2.1) e (2.2) as quais representam as equações das vazões de fluido hidráulico nas câmaras a e b respectivamente. O sinal de controle é a entrada nesse subsistema, o qual é realimentado por (pressão na câmara a) e por (pressão na câmara b), resultando em uma interligação entre o bloco da dinâmica da válvula com o da dinâmica da força hidráulica. As variáveis de saída, no entanto, são vazões nas câmaras do cilindro e e a força hidráulica de acordo com a figura 2.4. Como visto na seção 2, as equações (2.1) e (2.2) apresentam suas não linearidades representadas pelas funções e, as quais dependem do sinal da entrada e da raiz quadrada da diferença de pressão nos orifícios de controle da válvula.

44 45 A figura 3.2 apresenta o diagrama de blocos da Equação da vazão onde se descreve a não linearidade acima mencionada. Figura 3.2: Diagrama de blocos da equação da vazão A Figura 3.3, representa na forma de diagrama de blocos o subsistema da dinâmica da força hidráulica, onde encontram-se a variação das pressões nas câmaras do cilindro hidráulico dada pelas expressões (2.15) e (2.16). Tendo como variáveis de entrada as vazões nas câmaras a e b do cilindro, respectivamente. A posição do êmbolo do cilindro y e a variação da posição do êmbolo em função do tempo, ou seja, velocidade, são realimentadas e provém do subsistema seguinte. Ocasionando assim, mais uma interligação entre os subsistemas, agora com o subsistema da Dinâmica do Movimento do Êmbolo. As variáveis de saída são as pressões nas câmaras do cilindro. Entretanto é importante ressaltar que as pressões iniciais nas câmaras, não são nulas, de forma

45 46 que é necessário determiná-las. Estas pressões iniciais devem ser configuradas como condição inicial nos respectivos blocos de integração. Figura 3.3: Diagrama de blocos da Dinâmica da força hidráulica. A Figura 3.4 representa o diagrama de blocos do subsistema da equação (2.20) que se refere ao movimento do êmbolo do cilindro. Tem-se como entrada, a força hidráulica resultante do balanço das pressões, e a saída é o movimento do êmbolo representado pelas variáveis de estado de deslocamento e de velocidade do atuador hidráulico,, respectivamente.

46 47 Figura 3.4: Diagrama de blocos do subsistema Dinâmica do Movimento do Êmbolo 3.4 Identificação da Zona Morta da válvula Como visto na seção 2.3, a zona morta é uma não linearidade que necessita ser compensada para evitar efeitos que prejudicam a interpretação concisa dos resultados. Esta zona com as sobreposições nos orifícios da válvula está ilustrada na Figura 2.2. De outro modo, a figura 2.3 mostra que existe uma zona morta tanto para sinais negativos (zona morta esquerda) quanto para sinais positivos (zona morta direita) do comando da válvula. A figura 3.5, mostra que largura do ressalto do carretel é maior que a largura do orifício de passagem do fluido no pórtico desenho o que caracteriza uma zona morta.

47 48 Figura 3.5: Vista em corte do desenho esquemático de uma válvula proporcional direcional tipo carretel com detalhe para a zona morta. A determinação do valor utilizado para compensação da zona morta foi obtido através de testes experimentais. Prado (2011) mostra que a zona morta direita,, da válvula proporcional utilizada nos testes como sendo conforme visto na figura 3.6. Como a válvula é simétrica, o valor da zona morta esquerda,, será de e pode ser identificado realizando um teste similar a este. Figura 3.6: Resultado para identificação da zona morta direita (zmd) da válvula Fonte Prado (2011)