O que temos neste Caderno Pedagógico:

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3 EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CLAUDIA COSTIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO O que temos neste Caderno Pedagógico: Racionalização de denominadores Relação entre potência e raiz Equações Equação de º.grau Introdução Raízes Coeficientes Equações incompletas Equações completas Fórmula de Bhaskara Discriminante Soma e produto das raízes Irracionais na reta numérica Semelhança de polígonos Triângulo retângulo Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras Tratamento da informação

4 Ginástica de cérebro Exercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso... Texto: Rachel Tôrres - Adaptado jujubamld.blogspot.com A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. O sudoku, então, é o mais rejeitado!, brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os quadradinhos com números. Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a malhação de neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias uma rede de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem. 4

5 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES É incrível como a Matemática pode ser vista como diversão! Observe! Racionalizar o denominador em pode ser fácil! Agora, multiplique numerador e denominador por esse número. Basta encontrar uma fração equivalente a com denominador racional. Para obter uma fração equivalente, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número. AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Racionalize os denominadores de Legal! equivale à metade de. Qual é o número que multiplicado por torna o denominador igual a? a) b) c)

6 6 RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ Você sabe calcular? É uma potência com expoente fracionário. As propriedades do expoente inteiro aplicam-se ao expoente fracionário. AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 4 Comparando ² 4 x x x x x x x FIQUE LIGADO!!! n m n m a a ou 1) Calcule: ) ) 9 ) 5 ) d c b a ) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras: 1 1 ) ) 5 5 ) 7 7 ) d c b a ) Calcule: ) ) b a ou

7 A - Movendo palitos, tire o lixo de dentro da pá. C - SUDOKU guiagratisbrasil.com B - Mova somente palitos para formar apenas quadrados. Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo tamanho. guiagratisbrasil.com Veja mais jogos com palitos clicando aqui D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final. 1=1² 1 + = = ² = = ² = = ² = = ² Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: (n 1)? 7

8 A Matemática possui muitas curiosidades. Você sabia que 1,5 + é igual ao triplo de 1,5? EQUAÇÕES FIQUE LIGADO!!! Lembrando... Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, a situação, através de uma igualdade algébrica. Interessante, não? Verificando... 1, 5 1, 5 +, 0 x 4, 5 4, 5 Será que existe um número que somado a 5 seja igual ao seu quíntuplo? AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) Qual é o número y para que 6 + y = 6. y? ) Qual é a fração que, somada com ou multiplicada por, 5 5 dá, nos dois casos, o mesmo resultado? Equacionando... Consideremos esse número como x: x + 5 = 5x Resolvendo... 4x = 5 x 1, 5 Verifique se esse número é, realmente, 1,5. ) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de. Quais são eles? ( + )² = 64 4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de. Quais são eles? ( )² = 81 8

9 EQUAÇÃO DE.º GRAU - INTRODUÇÃO Dividi 4 por um número e encontrei um resultado igual a 4 menos esse número. Numa equação de.º grau, o maior expoente da incógnita (letra) é. 4 x Equacionando a situação, temos: 4 x 4 4x x² x² 4x 4 0 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior Esta é uma equação de.º grau? expoente da variável. Sendo assim, x² -5x + 4 é um polinômio do grau, pois o maior FIQUE LIGADO!!! Equação de º grau de incógnita x é toda equação do tipo: ax² + bx + c = 0 onde a, b, c são números reais e a 0. Verifique se os números e 4 atendem à situação acima, substituindo x, na igualdade, por esses números. expoente da variável é. Logo, x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de grau. Observe as equações abaixo e determine seu grau. a) x³ + x² + 5x = 0 b) 5x 7 = 0 c) x² - 5x + = 0 ) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu grau. a)(x + )(x 5) = 7 = 0 grau b) x 5 = x = 0 grau 9

10 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) EQUAÇÃO DE.º GRAU - RAÍZES O quadrado de um número, somado a 9, é igual a 5. Que número é esse? Fiquei intrigada! Como pode haver dois valores diferentes que servem para a mesma equação? Uma equação de.º grau tem, no máximo, resultados, que são chamadas de raízes da equação. Esses valores podem ser iguais ou diferentes. ) Considere a equação do.º grau: x² + x 10 = 0. a) é solução dessa equação? b) é solução dessa equação? c) 5 é solução dessa equação? d) 5 é solução dessa equação? ) Verifique se e são soluções da equação z² z = 0. FIQUE LIGADO!!! Raiz de uma equação é o valor que a incógnita assume, tornando a igualdade verdadeira. 4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação x² x 10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa equação. x = 5 x = x = 0 x = x = 5 10

11 EQUAÇÃO DE.º GRAU - COEFICIENTES Algumas equações aparecem escritas em ordem decrescente do expoente da incógnita, como x² - 5x + 6 = 0. Essas equações se apresentam na forma normal ou reduzida. Há equações com menos termos em que não aparecem todas as potências da incógnita. clipart É que essas equações são incompletas. Por exemplo, 6x³ x² 4x + = 0 é uma equação do º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes de zero. Já x 4 10 =0 é uma equação do 4º grau incompleta, pois os coeficientes de x³, x² e x são nulos. Entendi! Quando o coeficiente é zero, a incógnita não aparece e a equação é considerada incompleta. Legal! O que são coeficientes? São as constantes que acompanham a incógnita (letra). Observe! Glossário: termo independente é o valor que aparece sem a incógnita (letra), na equação. Introdução à equação de.º grau 11

12 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! EQUAÇÃO DE.º GRAU b) x² 1 = 11 1) Determine os coeficientes nas equações abaixo: 4) Verifique se é raiz das equações abaixo: a) x² - x = 1 a) 7x² + 5x + 8 = 0 a = b = c = b) y² y 1 = 0 a = b = c = c) z² + z = 0 a = b = c = d) x² 4 = 0 a = b = c = e) 5x² = 0 a = b = c = ) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se a = 0, porém b 0 e/ou c 0? c) x³ = d) ( x 1) ( x ) ( x 4) = 5) Podemos afirmar que e são raízes da equação x² + x 1 = 0? ) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos parênteses, I se a equação for incompleta e C seaequação for completa. ( ) x(x 7) = x² 5 ( ) 5x + 4x² = x(x + ) x ( ) (x + )² = x + 4 6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas): a) O número 9 é raiz da equação x² 9x + 9 = b) As raízes da equação 6x² 5x + 1 = 0 são e. 1

13 A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada. A área de lazer continua quadrada? Não. Ampliaram 1 m no comprimento e reduziram 1 m na largura. EQUAÇÃO DE º GRAU - INCOMPLETA Precisamos cercar essa área. Essa é uma equação de º grau. Isso mesmo! Observe! Sabendo que (+)² = 9 ou ( )² = 9. x² = 9 x = ou x = Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser. Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida do lado do terreno inicial como x, x 1 x + 1 equacionamos a situação: Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x 1 = Para cercar essa área, serão necessários.(4 + ) = 1 m de cerca. AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca seriam necessários. ( x + 1 ). ( x 1 ) = 8 x² 1 = 8 x² = 9 1

14 EQUAÇÃO DE.º GRAU - INCOMPLETA Augusto e Beto precisam cercar um terreno. O terreno era quadrado, mas ampliaram para 1 metros no comprimento. A superfície do terreno ficou 5 vezes maior que a área do terreno quadrado. Temos um produto de dois fatores ( 4x e x ) igual a zero. O que acontece quando dois fatores geram um produto igual a zero? 4x = 0 x = 0 x = 0 x = x x + 1 Área do terreno quadrado x² Equacionando... x ( x + 1 ) = 5x² x² + 1x = 5x² Reduzindo a equação... 4x² 1x = 0 a) Qual é o valor de x que serve para essa situação? b) Determine a medida de cada lado do terreno. c) Quantos metros de cerca serão necessários para cercar todo o terreno? AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) O produto de um número pela soma desse número mais, é igual ao quádruplo do quadrado desse número. Determine quais os números que podem atender a essa igualdade. Fatorando o polinômio 4x² 1x, temos 4x ( x ) = 0 14

15 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! EQUAÇÃO DE.º GRAU - INCOMPLETA 1) Determine as raízes das equações abaixo: a) x² - 49 = 0 b) x² - = 0 c) 5x² - 50 = 0 d) x² + 18 = 0 ) Fatore as expressões algébricas a seguir: a) x² + 7x = b) y² 1y = c) 1z + 9z² = ) Resolva as equações a seguir: a) x ( x + ) = 0 b) x (x + 5) = x c) 9x² = 54x d) (x 5)(x 6) = 0 e) x (x + ) = x + 5 5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas raízes. a) O que acontece quando a equação é incompleta porque b = 0? b) O que acontece quando a equação é incompleta porque c = 0? 4) Agora, resolva essas equações: 6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu perímetro. a) 5x² 10x = 0 b) x² 7x = x(x 4) y + 5 y 5 15

16 FIQUE LIGADO!!! EQUAÇÃO DE.º GRAU AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Forma geral da equação de.º grau: ax² + bx + c = 0 em que x é a incógnita que pode ser representada por qualquer letra ( y, z, w... ); a, b e c são valores constantes, chamados de. As equações de.º grau podem ser completas ou incompletas. a) Em ax² + bx + c = 0, se a 0, b 0 e c 0, podemos afirmar que é uma equação de.º grau. c b) Porém, se a 0, b=0e < 0, a equação será, a do tipo ax² +c=0, e suas raízes serão. c c) Se a 0, b = 0 e > 0, as raízes. a d) Quando a 0, b 0 e c = 0, a equação será também, do tipo ax² +bx =0, e uma de suas raízes será. e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é uma equação do grau. 1) Escreva a equação de.º grau do tipo ax² + bx + c = 0, em que os coeficientes sejam a =, b = - e c = 7. ) Na equação py² + y = 0, quais devem ser os valores de p para que ela seja de.º grau? ) Em ( m )w² -5w + 4 = 0, quais devem ser os valores de m para que a equação seja de.º grau? 4) Na equação do exercício, o valor de m pode ser? 5) Em z² -z+( n )=0,determinen de modo que uma de suas raízes seja zero. 6) Em z² - z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero. 16

17 7) A equação ( m 6 )x² + 6x + = 0 é do 1.º grau. Sendo assim, podemos afirmar que o valor de m é. 8) Na equação x² + ( p + 6)x p = 0, o valor de p pode ser, para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas? Por quê?. EQUAÇÃO DE.º GRAU Preciso que o senhor aumente em 1m o comprimento e a largura do mural quadrado do pátio e coloque uma moldura. A superfície do mural terá 9 m² de área. y + 1 y + 1 Quantos metros de moldura vou precisar? O cálculo da área do quadrado é lado ao quadrado. 9) A equação (n )x² + 5x + (n² 9) = 0 é do.º grau e uma de suas raízes é zero. Determine o valor de n. ( y + 1)² = 9 y + 1 = y + 1 = y = y + 1 = y = 4 y = 4 y + 1 = = não pode ser a medida do lado do mural. y = y + 1 = + 1 = o lado do mural mede m. Logo, ele vai precisar de 4. = 1 m de moldura. 17

18 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) Fatore o trinômio e resolva as equações: EQUAÇÃO DE º GRAU ) Determine um número cujo quadrado de sua soma com resulte em 6. a) x² - x + 1 = 4 b) x² + 6x + 9 = 49 ) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione sua área, na forma reduzida. x x c) 4y² - 4y + 1 = 5 d) 9z² + 1z + 4= 64 Essa equação é completa. O trinômio não é um quadrado perfeito. Acho que terei que usar a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la. Bhaskara foi matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Adaptado

19 EQUAÇÃO DE º GRAU FÓRMULA DE BHASKARA Vamos descobrir juntos a fórmula de Bhaskara? A ideia é genial: tentar escrever ax² + bx + c como um produto. Vamos lá! d) Temos, então, a igualdade: (ax + b )² = b² - 4ac e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros, encontramos ax + b = b² 4ac Considerando a equação de.º grau como Agora, é só isolar o x! ax² + bx + c = 0, onde a 0. a) Subtraímos c de ambos os membros da equação: ax² + bx + c - c = 0 c, tem-se ax² + bx = c. b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a: ( ax² + bx ). 4a = c. 4a, tem-se 4a²x² + 4abx = 4ac. c) Adicionamos b² a ambos os membros: f) Subtraímos b de ambos os membros: ax + b b = b² 4ac b, isto é, ax = b g) Dividindo ambos os membros por a, tem-se b² 4ac 4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b² 4ac. x = b b² 4ac a Que legal!!! Com esse processo, transformamos o 1.º membro da equação em um trinômio quadrado perfeito! 4a²x² + 4abx + b² Esta é a Fórmula de Bhaskara! Para achar os valores de x, basta substituir os valores de a, b e c da equação na fórmula. ax. ax. b b Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( ax + b )² 19

20 EQUAÇÃO DE º GRAU - COMPLETA Vamos resolver a equação x² x 4 = 0, utilizando a fórmula de Bhaskara. O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40. Equacionando x² x = 40 x² x 40 = 0. Os coeficientes são : a = 1, b = e c = 40. Sendo a equação geral de.º grau ax² + bx + c = 0, então em b x b² 4ac a x² x 4 = 0 a = 1, b = e c = 4. Substituindo, na fórmula, x x x 8 x x x x 1 São as raízes da equação 1 e Calculando, b² 4ac Aplicando à fórmula de Bhaskara: As raízes são 8 ou 5. Vamos calcular o radicando primeiro? b x 8 x x x a 1 x 5 Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada um na equação. O radicando b² 4ac é chamado de discriminante da equação e é representado pela letra grega delta ( ). EQUAÇÕES DE.º GRAU 0

21 EQUAÇÃO DE º GRAU - COMPLETA AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! ) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a seu quíntuplo. Determine esse número. 1) Determine as raízes das equações a seguir: a) x² 5x + 6 = 0 b) y² + y 14 = 0 ) A área do retângulo é igual à área do quadrado. Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões: x x x 1 x 1 c) (x + ) (x 1) = 1

22 EQUAÇÃO DE º GRAU - DISCRIMINANTE Agora, serão propostas três equações de.º grau para que você as resolva. Use a fórmula de Bhaskara. Preste atenção a cada e relacione com as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta! III) Quais são as raízes de x² x + 10 = 0? I) Determine as raízes de x² 4x + 4 = 0. O valor de é positivo ou negativo? Por que as raízes não são reais? Que valor encontrou para? Como são as raízes? Vou sempre calcular o antes de resolver a equação. Assim, já sei que tipo de raízes vou encontrar. II) Resolva a equação: x² + x 1 = 0 O valor que você encontrou para é positivo ou negativo? As raízes são iguais ou diferentes? FIQUE LIGADO!!! Discriminante da equação de.º grau Se = 0, suas raízes são reais e iguais. Se > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes. Se < 0 (negativo), suas raízes não são reais.

23 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! EQUAÇÃO DE.º GRAU - DISCRIMINANTE Agora, eu sei porque se chama discriminante. Ele indica se as raízes de uma equação de.º grau são reais e iguais, reais e diferentes ou se não são reais. 1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes. A equação y² y 8 = 0 possui raízes, 4) O valor de k, para que a equação w² w k = 0 tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero? porque o discriminante () é. 5) Podemos afirmar que a equação x ² 4 x + 1 = 0 possui raízes reais e diferentes? Por quê? ) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 5 = 0? Justifique sua resposta. 6) Na equação 4 x ² (p + 1) x + (p ) = 0, determine os valores de p, para que a equação tenha raízes reais e iguais. ) Sabendo que a equação x² x + (m ) = 0 tem raízes reais e iguais, qual é o valor de m?

24 EQUAÇÃO DE.º GRAU SOMA DE RAÍZES Fiz uma experiência e descobri algo incrível. Mostre para nós o que você descobriu. Vamos testar? Determine as raízes de z² 7z 0 = 0. clipart Sabemos que a equação geral de.º grau é a x ² + b x + c = 0. Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim encontradas: x 1 b b² 4ac e a x b b² 4ac a Se somarmos as raízes, temos: x 1 + x = b b² 4ac b b² 4ac a a Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma toda sobre o mesmo denominador. x 1 + x = b b² 4ac b b² 4ac b b a a a Verificando... a) z 1 + z = b) Utilizando a regra que encontramos... b 7 b 7 a 1 a AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Não é que deu certo? z² 7z 0 = 0. Determine a soma das raízes das equações: a) 9x² 9x + = 0 b) 4y² + 4y = 0 4

25 EQUAÇÃO DE.º GRAU PRODUTO DE RAÍZES Descobriu mais alguma coisa? Sim! Veja que interessante! clipart Vamos testar com a mesma equação? z² 7z 0 = 0 Agora, vamos multiplicar as raízes: x x 1 1 x x b b² 4ac b a b b² 4ac b b² 4ac a a b² 4ac a Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença, temos: b b² 4ac x x x1 x 1 4a² b clipart b² 4ac 4a² As suas raízes são e 10. Verificando... a) z 1. z = b) Utilizando a regra encontrada... AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) Determine o produto das raízes nas equações: a) 9x² 9x + = 0 b) 4y² + 4y = 0 Retirando os parênteses: x x 1 b b 4ac 4a² ) Determine a soma e o produto das raízes em y² y + 1 = 0 Simplificando: x x 1 4ac 4a² c a 5

26 EQUAÇÃO DE.º GRAU SOMA E PRODUTO DE RAÍZES AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Umaequaçãodo.ºgrauédaforma ax² +bx + c =0, com a 0. 1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação de.º grau, cuja soma dessas raízes é 7, o produto é 1 e onde o coeficiente de x² éum(a =1). ( ) e 6 ( ) 8 e 1 ( ) e 4 5) Em uma equação de.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o produto dessas raízes é 14. Sabendo que o coeficiente do termo em x² é 1, então essa equação é 6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do tipo ax² + bx + c = 0 a seguir. a) z² 7z 0 = 0 b) 4x² 1x + 9 = 0 ) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações: a) x² 6x 7 = 0 (S) = (P) = b) y² + 4y + 1 = 0 (S) = (P) = ) Se a soma das raízes da equação x² ( k )x 1 = 0 é igual a 7, determine o valor de k: 7) Descubra o produto das raízes da equação x² mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6. 4) Na equação 4y² 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1. Determine o valor de p. 6

27 Nossa! Na atividade 5 da página anterior, montamos uma equação! EQUAÇÃO DE.º GRAU COMPOSIÇÃO Será que podemos compor equações a partir das raízes? Veja como pensei! Escreva uma equação de.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha raízes e -4. Consideremos o coeficiente a = 1. A soma das raízes é + (4) = 1. b b Como a soma das raízes é =, 1 a 1 O produto das raízes é 1. b 1 Como o produto das raízes é = c c, 1 a 1 c 1. A equação é x² + x 1 = 0. Resolva a equação e verifique se as raízes são e 4. Pensando... x - = 0 x = e x + 4 = 0 x = 4 Então: (x ) (x + 4) = 0 x² + x 1 = 0 Utilizando o produto de binômios, formados com os simétricos das raízes, também encontramos a equação. AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas raízes são 5 e. Descobri! Se considerarmos a = 1, podemos compor uma equação de º grau usando a fórmula: x² Sx + P = 0, sendo S a soma das raízes e P o produto delas. 7

28 EQUAÇÃO DE.º GRAU CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO A minha última descoberta foi a mais incrível! Através da soma e do produto, é bastante simples achar as raízes das equações de.º grau, se as raízes forem números inteiros. Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, e 5, e 4. O par, cujo produto é 10, é e 5. Montando o produto, temos: Vamos brincar um pouco? Diga números que, somados, deem 7 e cujo produto seja 10. (x ) (x 5 ) = 0 x² x 5x + 10 = 0 x² 7x + 10 = 0 Resolva a equação e verifique se as raízes são e 5. clipart AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir: a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5?. b) cujo produto é 15 e cuja soma é 8. São eles: e. c) cujo produto é 0 e cuja soma é -1. São eles:. FIQUE LIGADO!!! Se o produto de números for positivo, os números têm sinais iguais. negativo, os números têm sinais diferentes. Se os números possuem sinais iguais, a soma é o resultado da adição módulos com o mesmo sinal desses números. de seus sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração de seus módulos com o sinal do número com maior módulo. 8 Lembre-se de que o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. o módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo.

29 EQUAÇÃO DE.º GRAU CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO ) Determine as raízes da equação x² + x 8 = 0, clipart Mas como podemos utilizar a soma e o produto para descobrir as raízes de uma equação de.º grau? utilizando a soma e o produto das raízes. Sabemos que uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, em que a = 1 pode ser determinada por x² Sx + P = 0, onde S é a soma e P o produto das raízes. 1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as raízes das seguintes equações: a) x² 9x +18=0. AGORA, clipart ÉCOMVOCÊ!!! ) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as equações a seguir. a) x² 9x + 14 = 0 b) z² + 4z 0 = 0. b) y² + 6y + 8 = 0 c) z² z 1 = 0 d) w² + 5w 6 = 0 e) x² + 4x + 4 = 0 9

30 LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA Agora, resolva a equação y² = 0. Localize, aproximadamente, suas raízes na reta numérica. É um pouco mais de 1,4. clipart Observe as setas. Quais delas apontam para os valores mais próximos das raízes dessa equação? clipart Entre que inteiros está? Sendo a equação y² y 0, determine suas raízes e assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes. Eu utilizei a calculadora. 0

31 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS Essas duas fotos são semelhantes. Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo. clipart Observe os trapézios ACFD e BCFE. Essas duas fotos não são semelhantes. Meça os ângulos de cada trapézio. Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? BC Determine a razão AC EF BE Verifique se a razão é a mesma em e. DF CF Podemos concluir que os trapézios ACFD e BCFE são semelhantes. Em Matemática, para que a redução de uma figura seja semelhante à figura original é necessário que se mantenham as devidas proporções. FIQUE LIGADO!!! Descobrimos que dois trapézios são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida) e seus lados correspondentes são proporcionais. 1

32 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine as medidas x e y. ) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes. Justifique sua resposta. 6cm cm y 6cm 8cm 4 cm 6 cm x 15 cm 0 cm 10cm 10cm Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras: ) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm, 4 podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede cm. 4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo lado também mede 7 cm são semelhantes?

33 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Trace, em uma folha de papel quadriculado, um triângulo cujos lados meçam cm, 4 cm e 5 cm. Observe abaixo. Trace, em uma folha de papel quadriculado, dois triângulos retângulos como o modelo abaixo. Meça seus lados e ângulos e verifique se são semelhantes. C F Multiplique por as medidas dos lados do triângulo traçado e construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo A B D E cm 5cm Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes. O que descobriu? É possível desenhar quadriláteros, pentágonos, hexágonos e outros polígonos com lados proporcionais e ângulos diferentes. Porém, com os triângulos não é possível desenhá-los desta maneira.

34 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ) De acordo com a figura abaixo, responda: 1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e 1 CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de. A 4 B A 6cm 10cm D cm AC CE B C 4cm E a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes? b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE e DCE? c) Qual é a medida de DE? d) Qual é a medida de BE? 4

35 TRIÂNGULO RETÂNGULO Preciso reforçar esse teto! Qual será a medida da viga de sustentação? redesul.am.br A B C B H Analisando o triângulo retângulo ABC... H H a) Qual é o nome dado ao ladobc? b) Qual é o cateto maior? A A C c) Qual é o cateto menor? d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC? todaoferta.uol.com.br O triângulo ABC é retângulo em Â. é a altura relativa à hipotenusa. C AH e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC? A H A B B C H f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes? Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuem nomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. 5

36 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e determine o que se pede. A a) Podemos afirmar que a medida do ângulo é igual à medida de? Por quê? 6 B D TRIÂNGULO RETÂNGULO 4 C d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao ângulo.. e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos ângulos e, sabendo que =. f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então o lado AD mede. BD CD BD x x b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BCD? Por quê? TRIÂNGULO RETÂNGULO c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao ângulo reto. 6

37 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as medidas das projeções dos catetos, obtenho a hipotenusa. Então, a = + (1.ª relação) Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o triângulo retângulo... Comparando os dois triângulos maiores. A A São elas: a a medida da hipotenusa c b h b b a medida de um cateto B a C H m C c a medida do outro cateto h a medida da altura Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. AC HC BC AC b m a b m é a medida da projeção ortogonal de b. Multiplicando meios e extremos... n é a medida da projeção ortogonal de c. Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho três triângulos retângulos semelhantes. Agora, vou verificar as relações que posso obter com as medidas de seus lados. b. b = a. A.ª relação mostra que o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. Então, b² = am (.ª relação) 7

38 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Comparando o triângulo maior com o menor. c A B C a B H n Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. AB BC HB AB c n a c Multiplicando meios e extremos... b c. c = a. c A h B Comparando os triângulos menores... c n A h H Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. HA BH HC HA h m Multiplicando meios e extremos... n h h. h = m. n h A H m b C A.ª relação mostra que o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. Então, c² = a.n (.ª relação) A 4.ª relação mostra que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. Então, h² = mn (4.ª relação) 8

39 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Retomando o projeto (página 4)... Comparando os dois triângulos maiores novamente... c A b A h b m A 4 m B a C H m C B H 5 m C BC AC AB AH a b c h Multiplicando meios e extremos... a. =. c De acordo com as medidas da figura acima, complete e calcule a medida do comprimento da viga de sustentação. Na 5.ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa, pela medida da altura relativa a ela, é igual ao produto das medidas dos catetos. Então, ah = bc (5.ª relação) a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo... a = b = c = h = b) Utilizando a 5.ª relação... ah = bc c) A viga de sustentação deve medir m. A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver o projeto da viga no telhado que precisa ser reforçado. 9

40 TEOREMA DE PITÁGORAS A área do quadrado claro é a². Imagem retirada de sa.com/pesquisa/pita goras.htm que Pitágoras é conhecido pelo famoso teorema que leva seu nome? Era filósofo e astrônomo, além de matemático? que Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada, em sua homenagem, de Pitagórica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da Matemática e da Filosofia Ocidental? Existem mais de 50 demonstrações do Teorema de Pitágoras. A próxima atividade utilizará um processo com base em uma dessas demonstrações. Nesta figura, vemos dois quadrados: Um claro de lado a. Um escuro de lado (b + c). Para achar a área do quadrado claro, podemos calcular a área do quadrado grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros. Vamos calcular a área do quadrado escuro: a) Se o lado do quadrado grande é b+c, a área da figura toda é (b +c)². b) Desenvolvendo esse quadrado: (b + c)² = b² + bc + c² c)aáreadecadatriânguloretânguloéametadedaáreade um retângulo de lados b e c. Veja! bc Um triângulo b Quatro triângulos c 4bc bc d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos quatro triângulos retângulos, temos: b² + bc + c² - bc =b²+c² e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de Pitágoras a² = b² + c² 40

41 TEOREMA DE PITÁGORAS Também podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras usando as relações que encontramos. Observe. Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade. Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boas estratégias de jogo. Esta jogada é uma delas. Observe. que deduzimos. b² = am e c² = an. Então, b² + c² = Colocando a em evidência, temos : b² + c² = Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a. Logo, b² + c² = a² FIQUE LIGADO!!! RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO a = m + n b² = am c² = an h² = mn ah = bc a² = b² + c² Imagem adaptada de: em 4/6/10 Determinando as distâncias dos jogadores 1, e, nesse momento, é possível ver que suas posições formam um triângulo retângulo e que a distância entre o jogador 1 e a bola é a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. 41

42 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO A distância do jogador até a bola é de, m. jogador até a bola é de 1,8 m.. Qual é a distância entre os jogadores e?. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e? 1. De acordo com as representações das medidas de um triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos dizer que a distância entre os jogadores e é a. a distância entre os jogadores 1 e é o. a distância entre os jogadores 1 e é o. a distância entre o jogador 1 e a bola é a. a distância entre o jogador e a bola é. a distância entre o jogador e a bola é. 4. Determine a distância entre os jogadores 1 e. 5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância entre o jogador 1 e a bola. 4

43 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. Um cabo de aço ligará prédios (veja o desenho abaixo). Determine a medida x do cabo de aço. x. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo: A 40 m w z 5 m y 0 m A medida x é de. B 18 H C 50. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: A B 4 5 H C a 4

44 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de suas dimensões estão representadas na figura abaixo. 18 m c) Calcule, primeiro, x, depois,y e, por último, o valor de z. Assim, ficará mais fácil. Resolução da questão: 1 m 1 m m a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior da figura. b) As medidas que você deverá encontrar estão assinaladas como x, y e z na figura a seguir. 18 m 1 m 1 m z x y m 44

45 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo. 6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo: a) x Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede 1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira? b) 4 x 7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo: Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais próximo de é o. h 6 45

46 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não compromete o orçamento doméstico. Controlo direitinho todo dinheiro que recebo com as tortas. Observe a tabela que fiz para controlar a quantia que sobra ao final do mês. d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu mais tortas em e menos tortas em. A quantia que sobra, em cada mês, coloco na Caderneta de Poupança. De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano, ela colocou R$ na Caderneta de Poupança. Janeiro R$ CONTROLE DE 014 Fevereiro R$ Março R$ Abril R$ Maio R$ Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete o quadro abaixo. TORTAS VENDIDAS Recebi pelas tortas Gastos pessoais Sobra Nº de tortas Janeiro Fevereiro Março Abril Maio 1 Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima. De acordo com a tabela acima, determine o que se pede. a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi, no valor de R$. b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico para cobrir seus gastos em, no valor de R$. c) O maior gasto pessoal foi em, no valor de R$. 46

47 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Ográficodecolunasmostraasnotas,de0a5,dosalunos de uma turma, em um teste de Geografia. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos anos de 00 a 008, que gerou o gráfico abaixo a) Quantos alunos tiraram nota? E nota um? b) Complete a tabela com os dados do gráfico: Notas Nº de alunos c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste, quantos alunos há nessa turma? d) Qual foi a média da turma? e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma? 47 De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que Fonte IBGE a) o ano de teve a maior taxa de desemprego desse período. b) O maior número de habitantes empregados, nesse período, foi em. c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foi nos anos de e.

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