Semigrupos de Weierstrass Simétricos em Recobrimento Duplo de Curvas Algébricas

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1 Semigrupos de Weierstrass Simétricos em Recobrimento Duplo de Curvas Algébricas Luana de Oliveira Justo Dissertação de Mestrado em Matemática Mestrado em Matemática Universidade Federal do Espírito Santo Vitória, Julho de 2010

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3 J96s Justo, Luana de Oliveira Semigrupos de Weierstrass simétricos em recobrimento duplo de curvas algébricas/ Luana de Oliveira Justo f. Orientador: José Gilvan de Oliveira. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Espírito Santo, Centro de Ciências Exatas. 1. Curvas Algébricas. 2. Weierstrass, Pontos de. I. Oliveira, José Gilvan de. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Ciências Exatas. III. Título. CDU:51

4 Agradecimentos A Deus. A meus pais e meus irmãos por todo amor e incentivo. Ao meu orientador Professor José Gilvan de Oliveira por todo apoio e paciência. Aos Professores Elisabete, Valmecir Bayer e Ana Claudia pelas valiosas sugestões. Aos professores do PPGMAT pelos ensinamentos e em especial ao professor Ricardo Leite. A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro. E a todos os amigos e colegas pelo carinho e em especial a Guilbert por estar ao meu lado sempre.

5 Sumário 1 Curvas Algébricas e o Teorema de Weierstrass Anéis de Valorização, Lugares e Divisores O Teorema de Riemann-Roch Curvas Algébricas Séries Lineares Semigrupos Numéricos Semigrupos Numéricos Semigrupos γ-hiperelípticos Semigrupos γ-hiperelípticos Recobrimento duplo de curvas algébricas A Técnica de Buchweitz e Semigrupos Simétricos Semigrupos Simétricos que não são Semigrupos de Weierstrass Uma curva Canônica de Gorenstein

6 Resumo O estudo de semigrupos numéricos tem aplicação em geometria algébrica, uma vez que cada ponto de uma curva algébrica não-singular tem um semigrupo numérico associado a ele, dito semigrupo de Weierstrass do ponto, fato provado no Teorema das Lacunas de Weierstrass. O objetivo desta dissertação é estudar semigrupos de Weierstrass simétricos em recobrimento duplo de curvas algébricas seguindo o trabalho de Torres [15]. O primeiro exemplo de semigrupo numérico que não é de Weierstrass foi obtido por Buchweitz e, seguindo a idéia de Buchweitz, Komeda exibiu famílias de semigrupos que não são Weierstrass [7]. Entretanto esta técnica não se aplica no caso em que os semigrupos numéricos são simétricos. O trabalho de Torres mostra que existe um semigrupo numérico simétrico de gênero g > 99 que não é de Weierstrass. Finalmente veremos que todo semigrupo numérico simétrico é realizado como semigrupo de Weierstrass de uma curva algébrica irredutível Gorenstein.

7 Abstract The study of numerical semigroups has applications in algebraic geometry, once each point of a non-singular algebraic curve has a numerical semigroup associated with it, called Weierstrass semigroup of the point, which is proved in Weirstrass gaps theorem. The objective of this dissertation is to study Weierstrass symmetric semigroups in double covering of algebraic curves following the Torres s work [15]. The first example of numerical semigroup that is not a Weierstrass semigroup was given by Buchweitz following the Buchweitz s idea, Komeda found families of semigroups which are not Weierstrass semigroups. However Buchweitz s technique does not apply in symmetric numerical semigroups. Torres s work shows that there exists a symmetric numerical semigroup of genus g > 99 that is not a Weierstrass semigroup. Finally we will see that every symmetric numerical semigroup is performed as a Weierstrass semigroup of a irreducible algebraic Gorenstein curve.

8 Introdução Seja N um subconjunto do conjunto dos números naturais N fechado para a adição, e tal que a cardinalidade do complementar de N com relação a N seja finita, digamos g := #N \ N. Diremos que N é um semigrupo numérico de gênero g. O estudo de semigrupos numéricos tem aplicação em geometria algébrica, pois cada ponto de uma curva algébrica não-singular de gênero g tem um semigrupo numérico de gênero g associado a ele, dito semigrupo de Weierstrass do ponto, fato provado no Teorema das Lacunas de Weierstrass. Em 1893, Hurwitz propôs uma questão que pode ser assim formulada: Quais semigrupos numéricos são semigrupos de Weierstrass? O objetivo desta dissertação é estudar semigrupos de Weierstrass simétricos em recobrimento duplo de curvas algébricas seguindo o trabalho de Torres Weierstrass points and double covering of curves with application: symmetric numerical semigroups which cannot be realized as Weierstrass semigroups, Manusc. Math, 83 (1994), Assim como na maioria dos problemas em matemática, a questão de Hurwitz foi estudada para casos particulares de valores de gênero. A saber, Komeda em [8] mostrou que semigrupos numéricos de gênero g 8 são semigrupos de Weierstrass. Einsebund e Harris em [4] provaram que os semigrupos numéricos de gênero g com peso menor do que ou igual a g/2 são semigrupos de Weierstrass. Para mais informações acerca de semigrupos numéricos que são de Weierstrass consulte [13]. Em 1980, Buchweitz mostrou que nem todo semigrupo numérico é um semigrupo de Weierstrass, tomando o semigrupo N de gênero g = 16 com a seguinte sequência de lacunas {1, 2,..., 12, 19, 21, 24, 25}, analisando a cardinalidade do conjunto das somas de 2 lacunas e a dimensão do espaço das diferenciais quadráticas regulares. Esse resultado pode ser visto em [1]. Seguindo a idéia de Buchweitz, Komeda exibiu famílias de semigrupos que não são Weierstrass [7]. Entretanto a técnica de Buchweitz, usada para mostrar casos de semigrupos numéricos que não são realizados como semigrupos de Weierstrass, não se aplica no caso em que os semigrupos numéricos são simétricos. O trabalho de Torres mostra que existe um semigrupo numérico simétrico de

9 gênero g > 99 que não é de Weierstrass. O método utilizado por Torres permitiu a obtenção de outros exemplos de semigrupos simétricos que não são de Weierstrass. Organizamos o nosso trabalho da forma seguinte: no Capítulo 1 começamos com uma breve introdução às curvas algébricas. O objetivo é introduzir a notação e alguns resultados necessários para a compreensão da linguagem usada nos capítulos seguintes. No Capítulo 2, definimos semigrupos numéricos e semigrupos γ-hiperelípticos e caracterizamos semigrupos simétricos e quase simétricos em função de somas de lacunas. Finalmente, no Capítulo 3, mostramos que a partir do exemplo de Buchweitz conseguimos obter que, para cada inteiro g > 99, existe um semigrupo simétrico 16- hiperelíptico de gênero g que não é semigrupo de Weierstrass, resultado obtido por Torres em [14] utilizando recobrimento duplo de curvas. Finalizamos o trabalho mostrando que todo semigrupo numérico simétrico é realizado como semigrupo da curva: C 0 := {(a l 1 1 b n g 1 : a l 2 1 b n g 2 :... : a lg 1 b n 0 ) (a : b) P 1 (K)}, no ponto P = (1 : 0 :... : 0), que tem uma única singularidade, a saber o ponto Q = (0 : 0 :... : 1). O anel local de C 0 neste ponto singular é um anel de Gorenstein, isto é, o semigrupo de valores no ponto singular Q de C 0 é simétrico (para mais detalhes veja [17]). 8

10 Capítulo 1 Curvas Algébricas e o Teorema de Weierstrass Neste capítulo introduziremos os conceitos de curvas algébricas, corpos de funções algébricas, anéis de valorização discreta e suas valorizações, necessários para o desenvolvimento do texto. As demonstrações dos resultados apresentados neste capítulo podem ser encontradas em [16]. Durante todo este capítulo, a menos de menção em contrário, K denotará um corpo arbitrário, algebricamente fechado, de característica zero. 1.1 Anéis de Valorização, Lugares e Divisores Definição 1. Um corpo de funções algébricas F/K de uma variável sobre o corpo K é uma extensão F de K tal que [F : K(x)] < para algum elemento x F transcendente sobre K. Observação 1. Por comodidade, chamaremos F/K simplesmente de corpo de funções. O conjunto K = {z F ; z é algébrico sobre K} é um subcorpo de F, já que a soma, o produto e o inverso de um elemento algébrico sobre K não-nulo também são algébricos sobre K. O corpo K é chamado corpo das constantes de F/K. Podemos ver facilmente que K K F e que F/ K é um corpo de funções (sobre K). Dizemos que K é algebricamente fechado em F (ou K é o corpo de constantes de F ) se K = K. 9

11 Exemplo 1. O exemplo mais simples de um corpo de funções é o corpo das funções racionais F = K(x), onde x F é transcendente sobre K. Todo elemento z K(x) \ {0} é representado de maneira única na forma z = a p i (x) n i i onde a K \ {0}, os polinômios p i (x) K[x] são mônicos, dois a dois distintos e irredutíveis em K[x] e os inteiros n i Z são não-nulos apenas para uma quantidade finita de índices. Um corpo de funções arbitrário F/K pode ser representado como uma extensão algébrica simples de um corpo de funções racionais K(x), isto é, F =K(x, y) onde ϕ(y) = 0 para algum polinômio irredutível ϕ(t ) K(x)[T ]. Introduziremos agora a noção de anéis de valorização e lugares. Definição 2. Um anel de valorização de um corpo de funções F/K é um anel O F com as seguintes propriedades: (a) K O F ; (b) Se z F, então z O ou z 1 O. Exemplo 2. Dado um polinômio mônico e irredutível p(x) K[x], o conjunto { O p(x) = f(x) }, f(x), g(x) K[x], p(x) g(x) g(x) é um anel de valorização de K(x)/K. E ainda, se q(x) K[x] é outro polinômio mônico e irredutível, então O q(x) O p(x). Proposição 1. Seja O um anel de valorização de um corpo de funções F/K. Então (a) O é um anel local, isto é, O possui um único ideal maximal P = O \O onde O = {z O; existe w O com zw = 1} é o grupo das unidades de O. (b) Para x F \ {0}, x P se e somente se x 1 / O. (c) K O e K P = {0}. Teorema 1. Seja O um anel de valorização de um corpo de funções F/K e P seu único ideal maximal. Então 10

12 (a) P é um ideal principal; (b) Se P = to então todo elemento z F \ {0} possui uma única representação da forma z = t n u para algum n Z e u O. (c) O é um domínio principal. Mais precisamente, se P = to e I O é um ideal não-nulo, então I = t n O para algum n N. Um anel com as propriedades acima é chamado anel de valorização discreta. Definição 3. (a) Um lugar de um corpo de funções F/K é o ideal maximal P de algum anel de valorização O de F/K. Cada elemento t P tal que P = to é chamado elemento primo de P. (b) P F = {P ; P é um lugar de F/K}. Se O é um anel de valorização de F/K e P é o ideal maximal de O, então O = {z F ; z 1 / P } (veja item (b) da proposição 1). Dizemos que O P := O é o anel de valorização do lugar P. Uma segunda descrição de lugares é dada em termos de valorizações. Definição 4. Uma valorização discreta de F/K é uma função v : F Z { } com as seguintes propriedades: (1) v(x) = se e somente se x = 0. (2) v(xy) = v(x) + v(y) para todo x, y F. (3) v(x + y) min{v(x), v(y)} para todo x, y F. (4) Existe um elemento z F com v(z) = 1. (5) v(a) = 0 para todo a K \ {0}. Lema 1 (Desigualdade triangular estrita). Sejam v uma valorização discreta de F/K e x, y F com v(x) v(y). Então v(x + y) = min{v(x), v(y)}. Definição 5. Para cada lugar P P F de F/K podemos definir uma função v P : F Z { } da seguinte forma: seja t um elemento primo de P. Então cada z F \{0} pode ser escrito de maneira única sob a forma z = t n u, onde m Z e u O P = {unidades de O P }. Definimos v P (z) = n e v P (0) :=. A aplicação v P está bem definida, pois todo elemento z F \ {0} possui uma única representação da forma z = t n u, onde n Z e u OP (confira o item (b) do teorema 1). E ainda, pode-se provar que v P não depende da escolha do elemento primo t. 11

13 Teorema 2. Seja F/K um corpo de funções. (a) Para todo lugar P P F, a função v P definida acima é uma valorização discreta de F/K. Além disso, O P = {z F v P (z) 0}, O P = {z F v P (z) = 0}, P = {z F v P (z) > 0}. Um elemento x F é um elemento primo de P se, e somente, se v P (x) = 1. (b) Se v é uma valorização discreta de F/K, então o conjunto P :={z F ; v P (z) > 0} é um lugar de F/K e O P := {z F ; v P (z) 0} é o correspondente anel de valorização. (c) Todo anel de valorização de F/K é um subanel maximal próprio de F. Sejam P um lugar de F/K e O P seu anel de valorização. Como P é um ideal maximal, o anel das classes residuais O P /P é um corpo. Para x O P, definimos x(p ) := x+p O P /P a classe de x módulo P e, para x F \O P, definimos x(p ) :=. Pelo item (c) da Proposição 1 temos que K O P e K P = {0}, assim a aplicação das classes residuais induz uma imersão canônica de K em O P /P. Por isso, K pode ser considerado um subcorpo de O P /P. O mesmo argumento vale para K. Definição 6. Seja P P F. (a) F P := O P /P é o corpo das classes residuais de P. A aplicação F F P { } x x(p ) é chamada aplicação das classes residuais em relação a P. (b) O grau de um lugar P é definido por grp := [F P : K]. O grau de um lugar é sempre finito. Mais precisamente, temos o seguinte resultado: Proposição 2. Se P é um lugar de F/K e x P \ {0} então grp [F : K(x)] <. Corolário 1. O corpo de constantes K de F/K é uma extensão finita de K. 12

14 Definição 7. Seja z F e P P F. Dizemos que P é um zero de z se, e somente se, v P (z) > 0 e que P é um pólo de z se, e somente se, v P (z) < 0. E ainda, se v P (z) = m > 0 então P é um zero de ordem m de z e se v P (z) = m < 0 então P é um pólo de ordem m de z. O próximo Teorema garante a existência de lugares de F/K. Teorema 3 (Existência de lugares). Seja F/K um corpo de funções e R um subanel de F tal que K R F. Se I é um ideal próprio não-nulo de R então existe um lugar P P F tal que I P e R O P. Observação 2. Seja F/K um corpo de funções. Então temos: 1. Se z F é transcendente sobre K, então z tem pelo menos um zero e um pólo. Em particular, P F. 2. F/K possui infinitos lugares. 3. Se x F \ {0}, então x possui um número finito de zeros e pólos. Exemplo 3. Considere novamente o corpo de funções racionais K(x)/K. Seja p(x) K[X] um polinômio mônico irredutível. Os conjuntos e O = O p(x) = { f(x) g(x) { f(x) g(x) } f(x), g(x) K[x], p(x) g(x) } f(x), g(x) K[x], gr(f(x)) gr(g(x)) são anéis de valorização de K(x)/K, cujos ideais maximais são, respectivamente: { } f(x) P p(x) = f(x), g(x) K[x], p(x) f(x) e p(x) g(x) g(x) e P = { f(x) g(x) } f(x), g(x) K[x], gr(f(x)) < gr(g(x)). Temos também que p(x) e 1/x são elementos primos dos lugares P p(x) e P. Teorema 4. Não existem outros lugares no corpo de funções racionais K(x)/K além dos definidos no Exemplo 3, isto é, se P P K(x) então P = P ou P = P p(x) para algum polinômio mônico irredutível p(x) K[X]. 13

15 A partir daqui, F/K denotará um corpo de funções algébricas de uma variável sobre K, onde K é o corpo de constantes de F. Definição 8. Um divisor de F/K é um elemento do grupo abeliano livre gerado pelos lugares de F/K. Este grupo será denotado por D F e será chamado grupo dos divisores de F/K. Em outras palavras, um divisor é uma soma formal D = P P F n P P, onde n P Z e n P 0 apenas para uma quantidade finita de lugares P P F. O suporte de um divisor D é definido por supp(d) = {P P F ; n P 0}. Um divisor da forma D = P com P P F é chamado divisor primo. A soma de dois divisores D = n P P e D = n P P é definida por D + D = (n P + n P )P. P P F O elemento neutro do grupo D F é o divisor 0 := P P F n P P, onde n P = 0 para todo P P F. Para cada Q P F e D = P P F n P D F definimos v Q (D) = n Q. Assim, supp(d) = {P P F ; v P (D) 0} e D = v P (D) P. P supp(d) Podemos definir uma relação de ordem parcial em D F da seguinte forma: D 1 D 2 v P (D 1 ) v P (D 2 ) para todo P P F. Um divisor D 0 é dito positivo ou efetivo. O grau de um divisor D = P P F v P (D) P é definido por gr(d) = P P F v P (D) grp e a aplicação gr : D F Z é um homomorfismo de grupos. Pelo item 3 da Observação 2, cada elemento x não-nulo de F possui apenas número finito de zeros e pólos em P F. Assim faz sentido a seguinte definição: 14

16 Definição 9. Para x F \ {0}, sejam Z o conjunto dos zeros de x em P F e N o conjunto dos pólos de x em P F. Então (x) 0 := v P (x) P e (x) := ( vp (x) ) P P Z são respectivamente o divisor dos zeros e o divisor dos pólos de x. Dizemos também que (x) = (x) 0 (x) é o divisor principal de x. Observe que (x) 0 e (x) são divisores positivos e (x) = P P F v P (x) P. Como K é o corpo de constantes de F temos, pelo item 1 da Observação 2, que Definição 10. O conjunto x K \ {0} (x) = 0. P F := {(x); 0 x F } é chamado grupo dos divisores principais de F/K. Definição 11. Dois divisores D, D D F são ditos equivalentes, e escrevemos D D, se D = D + (x) para algum x F \ {0}. P N É fácil verificar que a relação acima é de fato uma relação de equivalência. Definição 12. Para cada divisor A D F, definimos o conjunto L(A) := {x F \ {0}; (x) A} {0}. Enunciaremos agora alguns resultados envolvendo o conjunto L(A). Sejam A, B D F com A B. Então 1. x L(A) se, e somente se, v P (x) v P (A) para todo P P F. 2. L(A) {0} se, e somente se, existe um divisor A A com A L(0) = K. 4. Se A < 0 então L(A) = {0}. 5. L(A) é um espaço vetorial sobre K. 6. Se A A então L(A) L(A ). 7. L(A) L(B) e dim K ( L(B)/L(A) ) grb gra. 15

17 Denotemos por l(a) a dimensão sobre K do espaço vetorial L(A) de um divisor A, isto é l(a) = dim K (L(A)). O próximo teorema garante que um elemento x F \{0} possui a mesma quantidade de zeros e pólos (contados propriamente). Teorema 5. Todo divisor principal possui grau zero. Mais precisamente, se x F \ K então gr(x) 0 = gr(x) = [F : K(x)]. Corolário 2. (a) Sejam A, A D F com A A então l(a) = l(a ) e gra = gra. (b) Se gra < 0 então l(a) = 0. de grau zero, as seguintes afirmações são equiva- (c) Para cada A D F lentes: (i) A é principal; (ii) l(a) 1; (iii) l(a) = 1. Proposição 3. Existe uma constante γ Z tal que, para todo divisor A D F, vale gra l(a) γ. Observe que a constante γ da proposição anterior é independente de A. Ela depende apenas do corpo de funções F/K. Definição 13. O gênero g de F/K é definido por g := max{gra l(a) + 1; A D F }. Observação 3. O gênero de F/K é um inteiro não-negativo. Teorema 6 (Teorema de Riemann). Seja F/K um corpo de funções de gênero g. (a) Para cada divisor A D F, l(a) gra + 1 g. (b) Existe um inteiro c, dependente de F/K, tal que 16

18 l(a) = gra + 1 g sempre que gra c. Na próxima seção veremos que o menor inteiro c que satisfaz as condições do item (b) do Teorema de Riemann é c = 2g 1 (confira o Teorema 8). Exemplo 4. O corpo de funções racional K(x)/K tem gênero g = 0. Com efeito, seja P o pólo de x. Para cada r 0, os elementos 1, x,..., x r estão em L(rP ). Daí, segue que r + 1 l(rp ) Por outro lado, pelo teorema de Riemann l(rp ) = gr(rp ) + 1 g = r + 1 g para r suficientemente grande. Logo g = 0, pois g é um inteiro não-negativo. 1.2 O Teorema de Riemann-Roch Nesta seção consideramos F/K um corpo de funções de gênero g. Antes de enunciarmos o Teorema de Riemann-Roch introduziremos o conceito de divisor canônico. Definição 14. Dizemos que um divisor W de F/K é um divisor canônico se, e somente se, gr W = 2g 2 e l(w ) g. A definição de divisor canônico acima é equivalente a definição feita em [16] (confira proposição I.6.2 em [16]). Agora podemos enunciar o Teorema de Riemann-Roch. Teorema 7 (Riemann-Roch). Seja W um divisor canônico de F/K. Então, para todo A D F, l(a) = gra + 1 g + l(w A). Teorema 8. Se A é um divisor de F/K com grau gra 2g 1 então l(a) = gra + 1 g. O Teorema de Riemann-Roch pode ser enunciado em termos de diferenciais de Weil, mas para isso precisamos de algumas definições que seguem: 17

19 Definição 15. Um adele de F/K é uma aplicação α : P F F, α(p ) = α P, tal que α P O P para quase todo P P F, isto é, #{P P F α P / O P } <. Notação: α = (α P ) P PF P P F F. O conjunto A F := {α α é adele de F/K} munido da estrutura de espaço vetorial sobre K é o espaço de adeles de F/K. O adele principal de uma função x F é o adele tal que cada componente é igual a x. Assim temos o mergulho F A F. Cada valorização v P de F/K tem uma extensão natural em A F onde v P (α) := v P (α P ). Assim v P (α) 0 para quase todo P P F. Para cada A D F denotamos: A F (A) := {α F A v P (α) v P (A), para todo P P F }. Definição 16. Uma aplicação linear w : A F K é uma diferencial de Weil se existe A D F tal que F + A F (A) Ker(w). O módulo de diferenciais de Weil de F/K é Ω F := {w w é diferencial de Weil de F/K}, e para cada A D F denotamos Ω F (A) = {w Ω F F + A F (A) Ker(w)}. Observação 4. O módulo de diferenciais de Weil Ω F é um espaço vetorial sobre K e Ω F (A) é um subespaço de Ω F. Definição 17. Para cada x F e cada w Ω F definimos xw : A F K por (xw)(α) := w(xα). Então xw é uma diferencial de Weil e se F + A F (A) Ker(w) então F + A F (A + (x)) Ker(xw). Assim, Ω F é espaço vetorial sobre F. Proposição 4. O módulo das diferenciais de Weil Ω F é um espaço vetorial unidimensional sobre F, isto é, dim F Ω F = 1. Portanto faz sentido falar de divisor de uma diferencial de Weil e sua definição é dada a seguir: Definição 18. (a) O divisor (w) de w Ω F \ {0} é o único divisor de F/K satisfazendo: (1) F + A F (A) Ker(w); (2) Se F + A F (A) Ker(w) então A (w). 18

20 (b) Se w Ω F, w 0 e P P F definimos v P (w) := v P ((w)). (c) Um lugar P P F é um zero (resp. pólo) de w se v P (w) > 0 (resp. v P (w) < 0). Diremos que w é regular em P P F se v P (w) 0 e w é regular (ou holomorfa) se w é regular em qualquer P P F. (d) Um divisor W é um divisor canônico de F/K se W = (w), w Ω F. A existência de um divisor que satisfaz as condições do item (a) da Definição 18 é garantida em [16] (confira Lema I.5.10 em [16]). Observação 5. Segue da Definição 18 que Ω F (A) = {w Ω F w = 0 ou (w) A} e Ω F (0) = {w Ω F w é regular}. Observação 6. Se W 1 e W 2 são divisores canônicos então W 1 W 2. Seja A D F um divisor qualquer e W = (w) um divisor canônico. O número inteiro l(w A) pode ser interpretado em termos de diferenciais de Weil. Como Ω F (A) é subespaço vetorial de Ω F sobre K, a aplicação ϕ : L(W A) Ω F (A) definida por ϕ(x) = wx, onde (w) = W, é um isomorfismo. Seja δ(a) = dim K Ω F (A) = l(w A), o índice de A. Assim o Teorema de Riemann-Roch pode ser enunciado da seguinte forma: Para todo A D F temos l(a) = gra + 1 g + δ(a). Segue do isomorfismo acima que existem exatamente g diferenciais de Weil regulares linearmente independentes sobre K. Podemos então interpretar o gênero do corpo de funções F/K como sendo a dimensão do espaço Ω F (0) sobre K, ou seja, g = dim K Ω F (0). Para cada divisor A D F e para cada inteiro n denotamos por Ω n F (A) o espaço das n-ésimas diferenciais de Weil de forma que se w Ω n F (A) então (w) + A é um divisor efetivo. Em particular, Ω n (0) é o espaço das n-ésimas diferenciais de Weil regulares. Observe que se w pertence a Ω F (0) então w 2 Ω 2 F (0). Seja W = (w), de modo análogo existe um isomorfismo entre L(2W ) e Ω 2 F (0). Segue do Teorema de Riemann-Roch que dim K Ω 2 F (0) = 3g 3. Em geral, para cada inteiro n temos que se w Ω F (0) então w n Ω n F (0) e dim K Ω n F (0) = (2n 1)(g 1). Agora, apresentaremos algumas consequências do teorema de Riemann-Roch. 19

21 Definição 19. Seja P P F. Dizemos que um inteiro n 0 é uma lacuna de P se, e somente se, não existe x F tal que (x) = np. Quando existe x F tal que (x) = np, dizemos que n é uma não-lacuna de P. Seja P P F. Pelo Teorema de Riemann-Roch cada inteiro n 2g é uma não-lacuna de P, isto é, existe x F tal que (x) = np. Logo, as lacunas de P são limitadas superiormente por 2g 1 e veremos no próximo teorema que o número de lacunas de P é exatamente g. Teorema 9 (Teorema das Lacunas de Weierstrass). Sejam F/K um corpo de funções com gênero g > 0 e um lugar P P F com grau 1. Então existem exatamente g lacunas l 1 < < l g de P. E ainda, l 1 = 1 e l g 2g 1. Observe que 0 é uma não-lacuna de P pois as funções constantes de F não têm pólos. Definição 20. Seja N um subconjunto de N. Diremos que N é um semigrupo numérico se for fechado para a adição e a cardinalidade de N\N for finita. Note que o conjunto das não-lacunas de P formam um semigrupo numérico que vamos denotar por N(P ). Com efeito, se x 1, x 2 F são tais que (x 1 ) = n 1 P e (x 2 ) = n 2 P então (x 1 x 2 ) = (n 1 + n 2 )P, ou seja, se n 1, n 2 são não-lacunas de P então (n 1 + n 2 ) é não-lacuna de P. Diremos que N(P ) é o semigrupo de Weierstrass associado a P e que L(P ) = N\N(P ) é o conjunto das lacunas de P. Se g > 0, claramente temos que 1 L(P ), já que N(P ) é um semigrupo numérico. Dizemos que P é um ponto de Weierstrass se o peso do semigrupo de P for maior que zero, isto é, g i=1 (l i i) > 0. A próxima proposição vinculará o espaço das diferenciais de Weil e o conjunto de lacunas L(P ) de um ponto de Weierstrass de um lugar P de F/K. Proposição 5. Um número inteiro positivo n é uma lacuna de P se, e somente se, existe uma diferencial de Weil regular ω com v P (ω) = n 1. Demonstração: Pelo Teorema de Riemann-Roch l(np ) l((n 1)P ) = δ(np ) δ((n 1)P ) + 1. Portanto, n é uma lacuna de P, isto é, 0 = l(np ) l((n 1)P ), se e somente se, Ω K (np ) Ω K ((n 1)P ). Enunciaremos agora teoremas que serão usados posteriormente no texto. Teorema 10 (Teorema de Clifford). Seja A D F um divisor. Se l(a) > 0 e l(w A) > 0 então l(a) 1 gr(a)

22 Definição 21. Considere uma extensão algébrica F /K de F/K. Dizemos que um lugar P P F é extensão de P P F (e escrevemos P /P ) se P P. Definição 22. Sejam F /K uma extensão algébrica de F/K, P P F e P P F tais que P /P. (a) O inteiro e(p /P ) = e, onde v P (x) = e v P (x) para todo x F, é chamado índice de ramificação de P sobre P. E ainda, dizemos que P /P é ramificado se e(p /P ) > 1, e não ramificado se e(p /P ) = 1. (b) f(p /P ) = [F P : F P ] é chamado índice de inércia de P sobre P. Teorema 11 (Teorema de Riemann-Hurwitz). Sejam F/K um corpo de funções de gênero g e F /F uma extensão finita e separável. Sejam K o corpo de constantes de F e g o gênero de F /K. Então 2g 2 = [F : F ] ( 2g 2 ) + P F(e(P /P ) 1), onde P P F e P P F. 1.3 Curvas Algébricas Vamos considerar nesta seção K um corpo algebricamente fechado de característica zero. O espaço afim A n = A n (K) de dimensão n é o conjunto das n-uplas de elementos de K. Um elemento P = (a 1,..., a n ) A n é um ponto e a 1,..., a n são as coordenadas de P. No conjunto A n+1 \{(0,..., 0)} considere a seguinte relação de equivalência dada por (a 0, a 1,..., a n ) (b 0, b 1,..., b n ) existe algum elemento 0 λ K tal que b i = λa i para todo 0 i n. A classe de equivalência de (a 0, a 1,..., a n ) com respeito a será denotada por (a 0 : a 1 :... : a n ). O espaço projetivo P n = P n (K) de dimensão n é o conjunto das classes de equivalência P n = {(a 0 : a 1 :... : a n ) a i K, e a j 0 para algum j}. Cada elemento P = (a 0 : a 1 :... : a n ) P n é chamado ponto de P n, e a 0,..., a n são chamadas de coordenadas homogêneas de P. Um monômio de grau d em K[X 0,..., X n ] é um polinômio G K[X 0,..., X n ] da forma 21

23 G = a n i=0 Xd i i com 0 a K e n i=0 d i = d. Um polinômio G K[X 0,..., X n ] é um polinômio homogêneo ou uma forma de grau d se G é a soma de monômios de grau d. Um ideal I K[X 0,..., X n ] que é gerado por um número finito de polinômios homogêneos é chamado ideal homogêneo. Sejam P = (a 0 : a 1 :... : a n ) P n e F K[X 0,..., X n ] uma forma de grau d. Dizemos que F (P ) = 0 se F (a 0,..., a n ) = 0. Uma vez que F (λa 0,..., λa n ) = λ d F (a 0,..., a n ), temos F (a 0,..., a n ) = 0 se, e somente se, F (λa 0,..., λa n )=0. Um subconjunto V P n é um conjunto algébrico projetivo se existe um conjunto de polinômios homogêneos M K[X 0,..., X n ] tal que V = {P P n F (P ) = 0 para todo F M}. O ideal homogêneo I(V ) K[X 0,..., X n ] que é gerado por todos os polinômios homogêneos F com F (P ) = 0 para todo P V é chamado o ideal de V. O conjunto V P n é um conjunto algébrico projetivo irredutível se, e somente se, I(V ) é um ideal primo em K[X 0,..., X n ]. Uma variedade projetiva é um conjunto algébrico projetivo irredutível. Dada uma variedade não-vazia V P n, definimos o anel de coordenadas homogêneo de V por Γ h (V ) = K[X 0,..., X n ]/I(V ); este é um domínio de integridade contendo K. Um elemento f Γ h (V ) é uma forma de grau d se f = F + I(V ) para alguma forma F K[X 0,..., X n ] com gr(f ) = d. Proposição 6. Todo elemento f Γ h (V ) pode ser escrito unicamente como f = f 0 + f f m, onde cada f i é uma forma de grau i. O corpo de frações K h (V ) de Γ h (V ) é chamado corpo de funções homogêneas de V. Se f, g Γ h (V ) são formas de grau d, então f/g define uma função em P quando g(p ) 0. De fato, seja P = (a 0 :... : a n ) V e f K h (V ). Escreva f = g/h onde g = G + I(V ), h = H + I(V ) Γ h (V ) e G, H são formas de grau d. Então G(λa 0,..., λa n ) H(λa 0,..., λa n ) = λd G(a 0,..., a n ) λ d H(a 0,..., a n ) = G(a 0,..., a n ) H(a 0,..., a n ). Podemos calcular f(p ) = G(a 0,..., a n ) K, se H(P ) 0. Neste caso H(a 0,..., a n ) dizemos que f está definida em P e que f(p ) é o valor de f em P. O corpo de funções de V é definido por 22

24 K(V ) = { f g f, g Γ h(v ) são formas de mesmo grau e g 0}. Claramente K(V ) é subcorpo de K h (V ) mas Γ h (V ) K(V ). Elementos de K(V ) são chamados funções racionais em V. O anel O P (V ) = {f K(V ) f está definida em P } K(V ) é um anel local com ideal maximal M P (V ) = {f O P (V ) f(p ) = 0}. Seja F uma extensão finitamente gerada do corpo K. O grau de transcendência de F sobre K, escrito como tr.deg K F é definido como o menor inteiro n tal que existem x 1, x 2,..., x n F, tal que F é algébrico sobre K(x 1,..., x n ). Nesse caso, dizemos que F é um corpo de funções algébricas de n variáveis sobre K. Proposição 7. Seja F um corpo de funções algébricas em uma variável sobre K, e seja x F, x / K. Então: 1. F é algébrico sobre K(x). 2. Existe um elemento y F tal que F = K(x, y). 3. Se R é um domínio com corpo de frações F, K R, e P é um ideal primo em R, com 0 P R, então o homomorfismo natural de K em R/P é um isomorfismo. Definição 23. Se X é uma variedade, K(X) é uma extensão finitamente gerada de K. A dimensão de X será representada por dim(x) e definida por dimx = tr.deg K K(X). Uma variedade de dimensão um é chamada uma curva e uma variedade de dimensão dois é chamada uma superfície. Sejam V P m e W P n variedades projetivas. Suponha que F 0,..., F n pertencentes a K[X 0,..., X n ] são formas com as seguintes propriedades: (a) F 0,..., F n têm mesmo grau; (b) F i não pertence a I(V ) para algum i; (c) Se H I(W ) então H(F 0,..., F n ) I(V ). Segue de (b) que existe Q V tal que F i (Q) 0 para algum i, e então por (c), o ponto (F 0 (Q) :... : F n (Q)) P n está em W. Seja (G 0,..., G n ) uma n-upla que também satisfaz os itens (a), (b) e (c). Dizemos que (F 0,..., F n ) e (G 0,..., G n ) são equivalentes se: 23

25 (d) F i G j F j G i mod I(V ) para 0 i, j n. A classe de equivalência de (F 0,..., F n ) com respeito a essa relação de equivalência é denotada por φ = (F 0,..., F n ), e φ é dita uma aplicação racional de V em W. Uma aplicação racional φ = (F 0,..., F n ) é regular (ou definida) em um ponto P pertencente a V se existem formas G 0,..., G n K[X 0,..., X m ] tais que φ = (G 0,..., G n ) e G i (P ) 0 para algum i. Então φ(p ) = (G 0 (P ),..., G n (P )) W, que está bem definida por (a) e (d). Duas variedades V 1, V 2 são birracionalmente equivalentes se existem aplicações racionais φ 1 : V 1 V 2 e φ 2 : V 2 V 1 tais que φ 1 φ 2 e φ 2 φ 1 são identidades em V 2 e V 1 respectivamente. Segue a seguinte proposição: Proposição 8. Duas variedades são birracionalmente equivalentes se, e somente se, seus corpos de funções são isomorfos. Corolário 3. Toda curva é birracionalmente equivalente a uma curva plana. Uma variedade é dita racional se é birracionalmente equivalente a A n (ou P n ) para algum n. Uma aplicação racional φ : V W que é regular em todos os pontos P V é chamada de morfismo. E é chamada de isomorfismo se existe um morfismo ψ : W V tal que φ ψ e ψ φ são as aplicações identidades em W e V respectivamente. Neste caso, V e W são ditas isomorfas. Uma curva projetiva não-singular é uma curva cujos pontos são simples e P é um ponto simples de uma curva X se o anel local O P (X) é um anel de valorização discreta. Teorema 12. Seja C uma curva projetiva. Então existe uma curva projetiva não-singular X e um morfismo birracional projetivo f de X em C. Além disso, se f é outro morfismo de X em C então existe um único isomorfismo g : X X tal que f g = f. Seja C uma curva projetiva, f : X C como no teorema acima. Dizemos que X é o modelo não-singular da curva C e identificamos K(X) com K(C). 24

26 Segue portanto dessas definições que a cada curva projetiva não-singular X temos um corpo de funções algébricas K(X) que pode ser escrito na forma K(x, y), com x, y K(X) (confira Proposição 7 e Corolário 3). Mais ainda, para cada corpo de funções em uma variável F/K, existe uma curva projetiva não-singular V (a menos de isomorfismo) cujo corpo de funções K(V ) é (K-isomorfo) a F. Seja V uma curva projetiva não-singular e F = K(V ) o seu corpo de funções. Existe uma correspondência bijetiva entre os pontos P V e os lugares de F/K, dada por P M P (V ), onde M P (V ) é o ideal maximal do anel local O P (V ). Esta correspondência possibilita a transferência de definições e resultados do corpo de funções algébricas à curvas algébricas. Portanto as noções de divisores, diferenciais, gênero coincidem com os resultados obtidos em curvas algébricas. 1.4 Séries Lineares A próxima definição será usada no Teorema 15. Seja D um divisor numa curva algébrica C e seja V um subespaço vetorial de L(D). O conjunto dos divisores efetivos {div(f) + D f V } é chamado série linear e é representada por g r n, onde n=gr(d) e r =dim K V 1. No caso em que V = L(D) dizemos que a série linear é completa. Uma série linear completa também é denotada por D, onde D = {E E 0, E D}. A aplicação que associa a cada função não-nula f L(D) o divisor efetivo D + (f) D é sobrejetiva e se D + (f 1 ) = D + (f 2 ), f 1, f 2 L(D)\{0}, então existe uma constante não-nula α tal que f 1 = αf 2. Assim a série linear D é o espaço projetivo associado ao espaço L(D). Em particular, dim D = dim L(D) 1. Um ponto Q em C é um ponto de base de D se E Q 25

27 para todo elemento E D. Se Q é um ponto de base de D então l(d)=l(d Q). Exemplo 5. Se D é um divisor de uma curva algébrica C de gênero g e gr(d) 2g então D é livre de pontos de base. 26

28 Capítulo 2 Semigrupos Numéricos O Teorema das Lacunas de Weierstrass nos fornece um semigrupo numérico {0 = n 0, n 1,..., n g,...}, dito semigrupo de Weierstrass, em cada ponto de uma curva não-singular de gênero g. Entretanto a definição de semigrupo numérico independe do Teorema das Lacunas de Weierstrass, isto permiti o estudo de semigrupos numéricos independente das propriedades de curvas algébricas. Neste capítulo veremos algumas propriedades de semigrupos numéricos. Na Seção 1, vamos mostrar como os semigrupos numéricos simétricos e quase-simétricos estão presentes em qualquer semigrupo numérico e vamos caracterizar os semigrupos numéricos simétricos ou quase-simétricos utilizando o conjunto das somas de n lacunas do semigrupo. Na Seção 2, definiremos semigrupo numérico γ-hiperelíptico e construíremos semigrupos numéricos simétricos γ-hiperelípticos de gênero g 3γ a partir de um semigrupo numérico de gênero γ. Tais semigrupos, como veremos no Capítulo 3, estão diretamente relacionados com semigrupos de Weierstrass de recobrimento duplo de curvas algébricas. Os resultados apresentados neste capítulo foram obtidos em [7], [10], [11] e [12]. 2.1 Semigrupos Numéricos Seja N = {0 = n 0 < n 1 <... < n g <...} um semigrupo numérico de gênero g, isto é, N + N N e L = N\N = {1 = l 1 < l 2 <... < l g }. Os elementos de N são chamados não-lacunas e os inteiros não-negativos 1 = l 1 < l 2 <... < l g são chamadas as lacunas de N. Exemplo 6. Se N é um semigrupo numérico de gênero g, então temos as seguintes possibilidades para o conjunto de lacunas: 1) Se g = 0 então L =, ou seja, N ={0, 1, 2, 3,...}=N. 27

29 2) Se g = 1 então o conjunto de lacunas de N é L={1}. 3) Se g = 2 então o conjunto de lacunas de N é {1, 2} ou {1, 3}. 4) Se g = 3 então L={1, 2, 3}, L={1, 2, 4}, L={1, 2, 5} ou L={1, 3, 5}. 5) Se g = 4 então L = {1, 2, 3, 4}, L = {1, 2, 3, 5}, L = {1, 2, 4, 5}, L = {1, 2, 3, 6}, L = {1, 2, 3, 7}, L = {1, 2, 4, 7} ou {1, 3, 5, 7}. Os exemplos de semigrupos numéricos de gênero g tais que 4 g 12 estão listados no sítio nivaldo/algebra/. Como a cardinalidade de L é g, isto é, #L = g, existem l g + 1 g não-lacunas entre 0 e l g, então sejam 0 = n 0 < n 1 < n 2 <... < n lg g as nãolacunas menores que l g. Os l g + 1 g inteiros positivos l g n 0 > l g n 1 >... > l g n (lg g) são lacunas, pois caso contrário teríamos que l g seria uma não-lacuna de N. O inteiro l g /2 é uma lacuna no caso em que l g é par. Em particular, como #L = g segue que l g + 1 g g, logo l g 2g 1. Existem então g (l g + 1 g) = (2g 1) l g lacunas de N diferentes de l g n 0,..., l g n (lg g), podemos então, escrever l g = (2g 1) (2q+δ) onde q é um inteiro não-negativo e δ {0, 1}. Assim, as 2q lacunas de N diferentes de l g /2, l g n 0,..., l g n (lg g) podem ser escritas como µ 1, µ 2,..., µ q, λ 1, λ 2,..., λ q tais que λ 1 <... < λ q, µ i < λ i e l g = λ i + µ i, i = 1,..., q. Um semigrupo numérico de gênero g é dito simétrico quando l g = 2g 1. Logo, se N é um semigrupo numérico simétrico temos que um inteiro positivo l é uma lacuna de N se, e somente se, existe uma não-lacuna n kj < l g tal que l = l g n kj. Um semigrupo numérico de gênero g é dito quase-simétrico quando l g = 2g 2. Se N é um semigrupo numérico quase-simétrico, um inteiro positivo l é uma lacuna de N se, e somente se, existe n ki < l g tal que l = l g n ki ou l = g 1. Exemplo 7. Seja N o semigrupo numérico de gênero g igual a 16 com a seguinte sequência de lacunas {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21, 24, 25}. Segue que o semigrupo numérico N não é simétrico nem é quase-simétrico. As não-lacunas menores que l g = 25 são 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22 e 23, logo as 6 lacunas diferentes de l g n 0,..., l g n (lg g) são µ 1 = 6, µ 2 = 4, µ 3 = 1, λ 1 = 19, λ 2 = 21, λ 3 = 24. Observe que Ñ = N {19, 21, 24} é um 28

30 semigrupo numérico de gênero g igual a 13 com a seguinte sequência de lacunas {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25}. Segue daí que Ñ é um semigrupo numérico simétrico. Utilizando as notações fixadas acima, o próximo Teorema dará uma maneira de obter semigrupos numéricos simétricos ou quase-simétricos de gênero g q a partir de um semigrupo numérico N de gênero g. Teorema 13. O conjunto Ñ := N {λ 1,..., λ q } é um semigrupo numérico de gênero g := g q que é simétrico ou quase-simétrico se l g é ímpar ou par, respectivamente. Demonstração: Vamos mostrar que Ñ é fechado para a adição. Segue do fato de N ser semigrupo numérico que se tomarmos u, v N temos u+v N, e como λ i + λ j > l g segue que λ i + λ j N para quaisquer u, v N e i, j {1, 2,..., q}. Finalmente, considere a soma n + λ k onde n N e λ k é uma lacuna de N. Suponha por contradição que n + λ k L\{λ 1,..., λ q }, então existe n ri tal que n + λ k = l g n ri pois n + λ k > µ i, i = 1,..., q. Daí, n + n ri é uma lacuna e não-lacuna simultaneamente. Obtemos então o resultado requerido. Claramente, g := g q e l g = 2 g 2 + δ uma vez que l g = l g e l g = 2g 1 (2q + δ) = 2 g 2 + δ, onde δ {0, 1}. Quando a primeira não-lacuna positiva n 1 é igual a 1 o conjunto das lacunas L é o conjunto vazio. Quando n 1 = 2, o semigrupo numérico N é chamado hiperelíptico e quando n 1 > 2 o semigrupo numérico N é chamado não-hiperelíptico. A próxima Proposição caracterizará os semigrupos numéricos hiperelípticos e não-hiperelípticos em função de suas lacunas. Proposição 9. Seja N semigrupo numérico de gênero g. Então: (i) N é hiperelíptico se, e somente se, l j j = 1, 2,..., g. = 2j 1, para cada inteiro (ii) N é não-hiperelíptico se, e somente se, l j 2j 2, para cada inteiro j = 2,..., g 1, e l g 2g 1. Demonstração: Seja 2 j g. Em cada par (r, l j r) onde r = 1,..., [l j /2] e [.] denota a parte inteira, existe pelo menos uma lacuna de N, obtemos desta forma no mínimo [l j /2] lacunas menores que l j. Como j 1 é o número de lacunas menores que l j segue que [l j /2] j 1, e daí l j 2j 1. Se vale a 29

31 igualdade então cada par (r, l j r), onde r = 1,..., [l j /2], tem uma lacuna e uma não-lacuna de N. Seja j < g um inteiro tal que l j = 2j 1. Afirmamos que l j+1 > 2j. De fato, se l j+1 = 2j então para cada não-lacuna inteira positiva r < j temos 2j r L, portanto r 1 = l j (2j r) N o que não é possível. Portanto, l j+1 = 2(j + 1) 1 e cada par (r, l j+1 r), onde r = 1,..., [l j+1 /2], temos uma lacuna e uma não-lacuna de N, e então 2 = l j+1 l j N. Os itens (i) e (ii) são imediatos. Para cada inteiro n 2 denotemos por L n o conjunto de todas as somas de n lacunas de N. No caso em que N é hiperelíptico temos L n = {2j n n j ng} para cada inteiro n 2. O caso em que N é não-hiperelíptico será tratado na Proposição 10. Lema 2. Seja N um semigrupo numérico não-hiperelíptico de gênero g. Então cada inteiro r, 2 r 2g, é a soma de duas lacunas de N, com exceção somente de l g no caso em que N é simétrico. Demonstração: Seja r 2 um inteiro. Suponha que r não seja soma de duas lacunas de N. Então cada par (i, r i), onde i = 1,..., [r/2], tem pelo menos uma não-lacuna de N, e portanto o número de não-lacunas entre 1 e r 1 é pelo menos [r/2]. Logo, se j denota o número de lacunas menores que r, temos j r 1 [r/2], assim 2j + 1 r. Se r 2g então j < g e 2j + 1 r l j+1. Como N é não-hiperelíptico, segue da Proposição 9 que j + 1 = g e 2g 1 = r = l g. Proposição 10. Seja n 2 um inteiro. Se N é um semigrupo numérico não-hiperelíptico de gênero g então (i) L n {n, n + 1,..., (n 1)l g 1} {(n 1)l g + l; l L}; (ii) O semigrupo numérico N é simétrico se, e somente se, L n = {n, n + 1,..., (n 1)l g 1} {(n 1)l g + l; l L}. Em particular, #L n = (2n 1)(g 1), para cada inteiro n 2; (iii) O semigrupo numérico N é quase-simétrico se, e somente se, L n = {n, n + 1,..., (n 1)l g } {(n 1)l g + l; l L}. Em particular, #L n = (2n 1)(g 1) (n 2), para cada inteiro n 2. 30

32 Demonstração: (i) Vamos mostrar a inclusão por indução. O caso em que n = 2 segue do Lema 1. Seja r um inteiro tal que n + 1 r nl g 1. Queremos encontrar uma lacuna l tal que n r l (n 1)l g 1. Se r n + l g temos que l = l g. Se r n + l g 2 tome l = 1 e se r = n + l g 1 tome l = 2. (ii) Seja m L n, isto é, m = l i l in. Se n m (n 1)l g 1 a inclusão é trivial, logo podemos assumir que m = (n 1)l g + s, onde s é um inteiro não-negativo. Neste caso, como l in = (l g l i1 ) (l g l in 1 ) + s, pela simetria de N, temos que s / N. Então a inclusão ocorre. A inclusão resulta do item (i). Além disso, #L n = (n 1)l g 1 (n 1)+g = (n 1)(2g 1) n+g = (2n 1)(g 1). (iii) : Seja l i1 l i2... l in uma sequência não-decrescente de n lacunas satisfazendo l i1 + l i l in = l + (n 1)l g para algum inteiro positivo l. Então para cada j = 2,..., n a lacuna l ij é maior que g 1, pela quase-simetria segue que l g l ni N. Concluímos então que l n é uma lacuna, por que caso contrário a lacuna l ni = l + (l g l ij ) estaria em N, e isto é um absurdo. : Observe que (n 1)l g =2l g/2 + (n 2)l g para cada inteiro n 2. Portanto, (n 1)l g L n. A inclusão resulta do item (i) da Proposição 10 e do fato de podermos obter (n 1)l g = (n 1)(2g 2) como soma de n lacunas. Finalmente, #L n = (n 1)l g (n 1) + g = (n 1)(2g 2) (n 1) + g = (2n 1)(g 1) (n 2). Exemplo 8. Seja N o semigrupo numérico de gênero 16 com o seguinte conjunto de lacunas L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21, 24, 25}. Vamos calcular L 2. Como N é não-hiperelíptico segue do Lema 2 que {2, 3, 4, 5,..., 32} L 2 e sabemos que o maior elemento de L 2 é 50 (= ) portanto temos que verificar para quais valores de r com 33 r 49 teremos r igual a soma de duas lacunas de N. Observe que 33 = , 34 = , 35 = , 36 = , 37 = , 38 = , 40 = , 42 = , 43 = , 44 = 19+25, 45 = 21+24, 46 = 21+25, 48 = e 49 = Assim L 2 = {2, 3, 4, 5,..., 38, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50} e #L 2 = 49 3 = j=2

33 Observe que o semigrupo numérico N do Exemplo 8 é tal que #L 2 >3g 3=45. Note que para um semigrupo numérico arbitrário Ñ de gênero g simétrico ou quase-simétrico temos # L 2 = 3g 3, para o caso em que g = 16 temos # L 2 = 45. Os exemplos de semigrupos numéricos de gênero g tais que #L n >(2n 1)(g 1), n 2 estão listados no sítio nivaldo/algebra/. O exemplo a seguir foi obtido em [7]: Exemplo 9. Qualquer semigrupo numérico N de gênero g 15 satisfaz #L 2 3g 3. Seja n g o número de semigrupos numéricos de gênero g e m g o número de semigrupos numéricos N de gênero g com #L 2 (N) > 3g 3. Segue a seguinte tabela: g n g m g

34 2.2 Semigrupos γ-hiperelípticos Se N é um semigrupo numérico γ-hiperelíptico, então mostraremos nesta seção que γ é exatamente o número de lacunas pares deste semigrupo (Lema 3), e se n é uma não-lacuna ímpar de N então n 2g 4γ + 1 (Proposição 11). No Lema 4, mostraremos como obter um semigrupo numérico simétrico γ-hiperelíptico de gênero g 3γ a partir de um semigrupo numérico de gênero γ Semigrupos γ-hiperelípticos Seja Ñ o semigrupo numérico de gênero γ = 4 com L = {1, 2, 3, 5}, ou seja, Ñ = {0, 4, 6, 7, 8, 9, 10,...}, logo 2Ñ = {0, 8, 12, 14, 16, 18, 20,...}. Vamos obter um semigrupo numérico N de gênero g = 12 simétrico tal que o conjunto das não-lacunas pares é exatamente 2Ñ, logo N {0, 8, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27,...}. Como g = 12 > 0, 1 é uma lacuna de N e como 2Ñ é exatamente o conjunto das não-lacunas pares de N temos a inclusão {2, 4, 6, 10} L e daí 3 e 5 também são lacunas de N pois caso contrário 6 e 10 também seriam nãolacunas de N, e como queremos obter N simétrico, 23 L. Logo, L {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 23}. Observe que para completar o semigrupo numérico N de gênero g = 12 faltam 4 não-lacunas ímpares entre 1 e 2g 1, que é exatamente o número de lacunas pares de N. Note que para qualquer ímpar no conjunto {7, 9, 11, 15} temos 23 = = = = Logo, 23 / N, e, L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 23}. N = {0, 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25,...}. Note que N tem exatamente γ = 4 não-lacunas pares no intervalo [2, 16], 18 N e mais ainda N tem exatamente γ = 4 lacunas pares. O semigrupo numérico N obtido acima é um exemplo de semigrupo γ- hiperelíptico com γ = 4 cuja definição é dada abaixo: Definição 24. Sejam γ N e N um semigrupo numérico de N. Dizemos que N é γ-hiperelíptico se as seguintes condições são satisfeitas: 33

35 (a) N tem exatamente γ elementos pares no intervalo [2, 4γ]; (b) 4γ + 2 N. Exemplo 10. Seja N um semigrupo numérico de gênero g com n 1 = 4. Seja γ o número de lacunas pares de N. Temos então que 2, 6,..., 4(γ 1) + 2 são as lacunas pares de N. Assim, como 4(γ 1) + 2 2g 2 segue que 2γ g. Portanto 4,..., 4γ,..., 2g é o conjunto de não-lacunas pares de N no intervalo [2, 2g]. Em particular, N é γ-hiperelíptico. Representamos as não-lacunas pares ordenadas de um semigrupo numérico por 0 = ñ 0 < ñ 1 < ñ 2 <... Observação 7. Se N é um semigrupo γ-hiperelíptico então ñ γ = 4γ. De fato, suponha que 4γ L. No intervalo [2, 4γ] existem 2γ números pares, sendo que γ destes números pertencem a N. Daí, existem γ lacunas pares em [2, 4γ]. Os números 4γ ñ j, j = 1,..., γ, são lacunas de N menores que 4γ, segue daí que existem γ +1 lacunas pares em [2, 4γ] o que é uma contradição. A seguir vamos caracterizar os semigrupos γ-hiperelípticos. Em particular podemos generalizar o Exemplo 10 verificando que se um semigrupo tem γ lacunas pares então N é γ-hiperelíptico. Lema 3. Seja N um semigrupo numérico e γ N. Então N é γ-hiperelíptico se, e somente se, γ é o número de lacunas pares de N; neste caso: e ñ γ+i = 4γ + 2i, para i N. {4γ + 2i : i N} N, Demonstração: Se N é um semigrupo γ-hiperelíptico então existem γ lacunas pares no intervalo [2, 4γ]. Vamos mostrar a inclusão H:={4γ + 2i : i N} N e daí teremos que γ é exatamente o número de lacunas pares de N. Suponha que H N; seja l := 4γ + 2i o menor elemento de H que não está em N. Pela propriedade de semigrupo, os números l ñ j, j = 1,..., γ, são lacunas de N. Note que l ñ γ <... < l ñ 2 < l ñ 1 < l, como ñ γ = 4γ e 4γ + 2 pertencem a N, a lacuna l ñ 1 é menor que ñ γ = 4γ por causa da minimalidade de l. O intervalo [2, 4γ] tem γ lacunas pares, dadas por l ñ γ <... < l ñ 1. Além disso, l ñ γ 2i com i 2, pois ñ γ = 4γ e 4γ + 2 N. Portanto, a menor lacuna de N par de N l ñ γ é maior do que ou igual a 4. Logo 2 N e este i não existe. Reciprocamente, seja γ o número de lacunas pares de N e l a maior lacuna par. Afirmamos que l < ñ γ ; caso contrário N teria pelo menos γ + 1 lacunas pares dadas por l ñ γ,..., l ñ 1, l. O intervalo [2, 4γ] tem 2γ números pares, 34

36 contando as γ lacunas pares de N e as não-lacunas pares ñ 1 <... < ñ γ temos os primeiros 2γ números pares, como l < ñ γ, segue que ñ γ 4γ, 4γ + 2 N e portanto N é γ-hiperelíptico. Proposição 11. Sejam N um semigrupo numérico de gênero g e γ o número de lacunas pares deste semigrupo. Então: (i) Se n é uma não-lacuna de N ímpar então n 2g 4γ + 1; (ii) Se g 4γ, então n i = ñ i, para i = 1,..., γ; (iii) Se g 4γ e n N é tal que n g então n é par. Demonstração: (i) Por hipótese, o intervalo [1, 2g 1] tem g lacunas de N sendo γ lacunas de N pares, portanto N tem g γ lacunas ímpares. Como [1, 2g 1] tem g número ímpares então neste intervalo tem-se γ(= g (g γ)) nãolacunas ímpares. Seja n N uma não-lacuna ímpar. Então n + ñ γ 2g, pois caso contrário teríamos n < n + ñ 1 < n + ñ 2 <... < n + ñ γ < 2g, ou seja, N teria γ + 1 não-lacunas ímpares em [1, 2g 1]. O resultado segue uma vez que ñ γ = 4γ. (ii) Seja u uma não-lacuna ímpar de N. Então por (i) e pela hipótese sobre g, u 4γ + 1 e o resultado segue. (iii) Se n é ímpar então por (i) e pela hipótese g n 2g 4γ + 1 nos dá g 4γ 1. O próximo Lema nos dará um meio de obter um semigrupo numérico simétrico γ-hiperelíptico a partir de um semigrupo numérico de gênero γ. Lema 4. Seja Ñ um semigrupo de gênero γ e g 3γ um inteiro. O conjunto N := {2n : n Ñ} {2g 1 2n : n Z\Ñ} é um semigrupo simétrico γ-hiperelíptico de gênero g. 35