Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico. Welton Alves de Menezes

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico Welton Alves de Menezes Reconstrução intranodal da solução numérica gerada pelo método espectronodal constante para problemas S n de autovalor em geometria retangular bidimensional Nova Friburgo 2009

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3 Welton Alves de Menezes Reconstrução intranodal da solução numérica gerada pelo método espectronodal constante para problemas S n de autovalor em geometria retangular bidimensional Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional do Instituto Politécnico, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Orientadores: Prof. Hermes Alves Filho, D.Sc. Prof. Ricardo Carvalho de Barros, Ph.D. Nova Friburgo 2009

4 Welton Alves de Menezes Reconstrução intranodal da solução numérica gerada pelo método espectronodal constante para problemas S n de autovalor em geometria retangular bidimensional Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional do Instituto Politécnico, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Aprovado em 03 de abril de 2009 Banca Examinadora: Prof. Ricardo Carvalho de Barros, Ph.D. (Orientador) IPRJ/UERJ Prof. Hermes Alves Filho, D.Sc. (Orientador) IPRJ/UERJ Prof. Antônio José da Silva Neto, Ph.D. IPRJ/UERJ Prof. Sérgio de Queiroz Bogado Leite, Ph.D. CNEN/RJ Nova Friburgo 2009

5 AGRADECIMENTOS Primeiramente, agradeço a Deus por ter me dado a oportunidade de estar no mundo, por ajudar-me a cumprir os meus deveres e a atingir as minhas metas. Aos meus pais, Hélio Félix e Sinivalda Alves, e à minha família que, mesmo a distância, me deram todo o incentivo e carinho durante o período de realização deste trabalho. Aos meus orientadores, Hermes Alves e Ricardo Barros, por seu inestimável apoio, paciência, exemplo prossional, conhecimentos transmitidos e brilhantes sugestões. Aos amigos de longa data, Alex Santana, Priscila Ramos e professores Gustavo Benitez e Dany Sanchez, por seus conselhos, estímulo, amizade e, acima de tudo, por sua fé em mim. Aos professores Antônio José da Silva Neto e Sérgio Bogado pelas valiosas sugestões, revisão e pelos comentários que enriqueceram grandemente este texto. À comunidade São Vicente de Paula pelo apoio espiritual. À COAPO, Coordenadoria de Apoio Operacional, pelo acolhimento no paraíso serrano. Aos colegas discentes e funcionários do IPRJ pela partilha de idéias e ideais. À Faperj pelo suporte nanceiro.

6 - Eu vos amo, ó Senhor! Sois minha força, minha rocha, meu refúgio e Salvador! Salmos 17:2.

7 - Feliz é quem na lei do Senhor Deus vai progredindo. Salmos 118:23.

8 RESUMO MENEZES, Welton Alves de. Reconstrução intranodal da solução numérica gerada pelo método espectronodal constante para problemas S n de autovalor em geometria retangular bidimensional f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional) - Instituto Politécnico, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Nova Friburgo, Nesta dissertação o método espectronodal SD-SGF-CN, cf. spectral diamond - spectral Green's function - constant nodal, é utilizado para a determinação dos uxos angulares médios nas faces dos nodos homogeneizados em domínio heterogêneo. Utilizando esses resultados, desenvolvemos um algoritmo para a reconstrução intranodal da solução numérica visto que, em cálculos de malha grossa, soluções numéricas mais localizadas não são geradas. Resultados numéricos são apresentados para ilustrar a precisão do algoritmo desenvolvido. Palavras-chave: Equação do transporte de nêutrons; Ordenadas discretas; Métodos espectronodais; Problemas de autovalor.

9 ABSTRACT In this dissertation the spectral nodal method SD-SGF-CN, cf. spectral diamond - spectral Green's function - constant nodal, is used to determine the angular uxes averaged along the edges of the homogenized nodes in heterogeneous domains. Using these results, we developed an algorithm for the reconstruction of the node-edge average angular uxes within the nodes of the spatial grid set up on the domain, since more localized numerical solutions are not generated by coarse-mesh numerical methods. Numerical results are presented to illustrate the accuracy of the algorithm we oer. Keywords: Transport equation, Discrete ordinates, Nodal methods, Eigenvalue problems.

10 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Coordenadas Retangulares Cartesianas Figura 2.2 Representação do domínio de cálculo D Figura 2.3 Representação das ordenadas discretas para N = Figura 2.4 Grade Espacial Γ x Γ y em um domínio retangular D Figura 3.1 Esquema representativo do balanço entre equações e incógnitas. Os índices 1, 2, 3 e 4 são a ordenação dos quadrantes Figura 3.2 Representação das direções de varredura Figura 3.3 Representação dos vetores ψ out n, ψleak n, ψin,uw n e ψ in,aw n para a varredura de primeiro quadrante Figura 3.4 Exemplo de região extranodal Figura 3.5 Esquema para reconstrução analítica intranodal do método SD-SGF-CN na direção espacial X (S 4 ) Figura 3.6 Esquema para reconstrução analítica intranodal do método SD-SGF-CN na direção espacial Y (S 4 ) Figura 4.1 Especicações do problema-modelo

11 Figura 4.2 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.3 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.4 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.5 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.6 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.7 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.8 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.9 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.10 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.11 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.12 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.13 Distribuição dos uxos escalares médios nas direções transversais Figura 4.14 Regiões extranodais A e B Figura 4.15 Regiões extranodais C e D Figura C.1 Região espacial arbitrária

12 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Valores dos parâmetros da quadratura angular de simetria de nível para N = 2, 4, 6 e Tabela 3.1 Métodos de Malha Fina versus Métodos de Malha Grossa Tabela 4.1 Parâmetros neutrônicos para cada zona do domínio Tabela 4.2 Raízes da relação da dispersão (2.48) para o problema-modelo Tabela 4.3 Resultados comparativos gerados analítica e numericamente para o problemamodelo da Figura (4.1) Tabela 4.4 Comparação de resultados obtidos com os problemas testes para o problemamodelo da Figura (4.1) Tabela 4.5 Resultados Numéricos para o Nível de Potência em Regiões Extranodais. 64

13 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Equação de Transporte de Nêutrons Método de Ordenadas Discretas (S N ) Integrações Transversais Análise espectral das equações S N integradas transversalmente com aproximação constante para os termos de fuga transversal L m,j (x) e L m,i (y) Fugas Transversais MÉTODO ESPECTRO NODAL HÍBRIDO SD-SGF-CN PARA PRO- BLEMAS S N DE AUTOVALOR A UMA VELOCIDADE EM GE- OMETRIA RETANGULAR BIDIMENSIONAL Equações S N de balanço espacial de ordem zero Equações auxiliares Método SGF (meios não-multiplicativos) Método SD (meios multiplicativos) Esquemas numéricos de varredura Esquema Iterativo NBI Método de Reconstrução Intranodal Reconstrução Espacial Analítica Intranodal usando o Método SD-SGF-CN Um Esquema para Reconstrução Analítica em Problemas de Autovalor... 43

14 4 RESULTADOS NUMÉRICOS Primeiro Problema Teste - 1 nodo em cada direção espacial Segundo Problema Teste - 2 nodos em cada direção espacial Terceiro Problema Teste - 4 nodos em cada direção espacial Resultados Comparativos entre os Problemas Testes CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS REFERÊNCIAS APÊNDICE A -- MATRIZ LOCAL PARA RECONSTRUÇÃO E O VE- TOR FONTE : ESPECTRO CONSTITUÍDO POR UM PAR DE AUTOVALORES PURAMENTE IMAGINÁRIOS E N2 2 PARES DE AUTOVALORES REAIS APÊNDICE B -- MATRIZ LOCAL PARA RECONSTRUÇÃO : ESPEC- TRO REAL APÊNDICE C -- CÁLCULO DA DENSIDADE DE POTÊNCIA TÉR- MICA DO REATOR APÊNDICE D -- SOLUÇÃO PARTICULAR DAS EQUAÇÕES NODAIS S N INTEGRADAS TRANSVERSALMENTE PARA PROBLEMAS DE AUTOVALOR COM ESPALHAMENTO ISOTRÓPICO

15 12 1 INTRODUÇÃO Muitos países vêm aumentando rapidamente a demanda por combustíveis fósseis; portanto disputas futuras envolvendo energia poderão assumir proporções trágicas. Enquanto isso, usinas que produzem energia queimando carvão, óleo e gás natural continuam a lançar na atmosfera toneladas de poluentes e de gases de efeito estufa. A preocupação mundial em buscar fontes alternativas às convencionais (carvão, petróleo e hidrelétricas) baseia-se no caráter não renovável dos combustíveis fósseis, em amenizar as ameaças do efeito estufa no planeta, no aumento da demanda por energia e na escassez, em alguns países, de recursos fósseis e hídricos. Entre as alternativas para geração de energia, a opção nuclear destaca-se por não colaborar signicativamente para a emissão de gases que contribuem para o aquecimento global. O Brasil precisa de energia para o seu desenvolvimento. No entanto, o aumento da produção de energia, se mantida a atual estrutura da matriz energética brasileira, terá fortes impactos nas questões de recursos hídricos, a maior parte deles localizados nas regiões Norte e Centro-Oeste, do uso da terra e da preservação do meio ambiente. Ao já conhecido impacto sofrido pela população e pelo ambiente nas regiões inundadas, somam-se recentes estudos que apontam problemas ocasionados pelas hidrelétricas. O trabalho de doutoramento de Marco Aurélio dos Santos em Ciências e Planejamento Energético (UFRJ-COPPE) intitulado Inventário de Emissões de Gases de Efeito Estufa Derivados de Hidrelétricas, defendido em março de 2000, demostra a liberação de dióxido de carbono e metano (gases causadores de efeito estufa) pela biomassa depositada no fundo dos reservatórios da hidrelétrica. Optar pela energia nuclear no Brasil tem como ponto favorável o fato de possuirmos uma das maiores reservas mundiais de urânio, o que nos asseguraria independência no suprimento de combustível por muitos anos. Além disso, desenvolvemos a tecnologia para seu enriquecimento. Mas para viabilizar um futuro promissor de energia abundante e limpa é necessário um esforço continuado nas pesquisas, capaz de superar desaos econô-

16 13 micos e de aceitação pública da energia nuclear. No contexto da segurança de operação de reatores nucleares, é necessário o conhecimento de parâmetros de segurança, os quais podem estar relacionados com a reatividade e a potência. A reatividade é essencialmente uma medida do desvio do fator de multiplicação efetivo do núcleo do valor crítico unitário, logo está diretamente relacionada com o nível de potência do reator e sua correspondente distribuição de temperatura. Por esse motivo, deve-se conhecer com precisão o valor do fator de multiplicação efetivo e a distribuição de uxo neutrônico, pois eles traduzem a criticalidade e o nível de potência do reator. Existem diferentes modelos físicomatemáticos que nos permitem estimar a distribuição de uxo neutrônico e o coeciente de multiplicação efetivo. Entre estes modelos podemos mencionar: os modelos fundamentados na teoria de transporte (LEWIS; MIL- LER, 1993) e os modelos fundamentados na teoria da difusão (STACEY, 2001), entre outros. Os modelos de transporte são os que permitem obter os melhores resultados, entretanto sua formulação matemática é complexa e os métodos computacionais aplicados demandam em geral alto custo de processamento. Os modelos de difusão permitem obter bons resultados com um custo computacional baixo e uma formulação matemática relativamente simples, entretanto, em cálculos de blindagem, a migração de nêutrons tende a ser fortemente anisotrópica, i.e., bastante dependente de ângulo e a teoria da difusão não se adequa a esta situação. A descrição da migração dos nêutrons no interior do meio material que compõe o núcleo do reator nuclear considerando a probabilidade de interação com os núcleos dos átomos do meio constitui a modelagem física do fenômeno de tranporte de nêutrons. Uma vez descrita esta modelagem física, o nosso próximo passo é arquitetar uma modelagem computacional deste problema para podermos simular a criticalidade do reator e a distribuição de nêutrons no domínio de interesse. Podemos fazer a modelagem computacional seguindo duas escolas distintas: 1. a escola probabilística cuja losoa básica é resolver aproximadamente o problema exato, e nesta linha incluímos os métodos probabilísticos, como por exemplo os métodos de Monte Carlo (LEWIS; MILLER, 1993);

17 14 2. a escola determinística, cuja losoa básica é resolver exatamente um problema aproximado. Neste contexto inserem-se os métodos determinísticos, como por exemplo os métodos de elementos nitos, os métodos de ordenadas discretas, os métodos integrais, entre outros (LEWIS; MILLER, 1993; DUDERSTADT; HAMILTON, 1975). Para fazermos a modelagem computacional via escola determinística, usamos a equação de transporte de nêutrons, frequentemente denominada equação linearizada de Boltzmann devido à sua similaridade com a expressão obtida por L. Boltzmann em conexão com a teoria cinética dos gases. A equação de transporte de nêutrons representa um balanço entre produção e perda destas partículas, sendo que em sua generalidade ela é uma equação integro-diferencial parcial linear dependente de sete variáveis: três espaciais, duas angulares, uma energética e uma variável temporal. Devido à complexidade da equação de transporte de nêutrons, ela pode ser resolvida analiticamente apenas para alguns casos muito simples, carentes de valor prático. Os métodos de solução numérica são também muito complexos e, em geral, de alto custo computacional. Para gerarmos métodos de solução numérica mais ecientes, formulações simplicadas devem ser utilizadas. Estes métodos numéricos discretizam as variáveis do espaço de fase e usam vários esquemas diretos ou iterativos para resolver o sistema de equações lineares e algébricas resultante. A variável energia E é tratada pela convencional aproximação multigrupo (DUDERSTADT; HAMILTON, 1975). A variável angular é tratada seguindo vários caminhos: a aproximação da difusão (BELL; GLASSTONE, 1970), a expansão em harmônicos esféricos, a aproximação de ordenadas discretas S N, entre outras (LEWIS; MILLER, 1993). A variável espacial pode ser discretizada por métodos de malha na, como por exemplo o método de diferenças nitas; métodos de malha média, como por exemplo métodos de elementos nitos; ou métodos de malha grossa, como por exemplo os métodos nodais. A variável temporal também pode ser tratada por métodos de malha na, média e grossa. Entretanto, nesta dissertação nosso foco será apenas problemas estacionários e na formulação de ordenadas discretas S N, que consiste em discretizar as variáveis angulares em M direções (ordenadas discretas) e em utilizar quadraturas angulares para a aproximação dos termos integrais de fonte. No que diz respeito à discretização espacial, usaremos o método de malha grossa pertencente à classe dos métodos espectronodais SD-SGF-CN (ALVES, 1999), cf. spectral diamond - spectral Green's function - constant nodal, que consiste em (i) usar a equação auxiliar SD (ABREU, 1996) nas regiões multiplicativas; (ii) usar a equação auxiliar SGF (BARROS, 1990) para as regiões não-multiplicativas do domínio; (iii) considerar uma aproximação constante para os termos de fuga transversal nas equações S N integradas transversalmente; e (iv) tratar

18 15 os termos de fonte, que incluem espalhamento e eventualmente ssão, de forma analítica. A principal vantagem do uso dos métodos nodais, em particular do método SD- SGF-CN, está na redução do número de pontos das equações discretizadas. Isto implica acentuada redução de tempo de execução e alocação de memória computacionais comparativamente com os tradicionais métodos aplicados a problemas de transporte (LEWIS; MILLER, 1993; BADRUZZAMAN, 1990; LAWRENCE; DORNING, 1980). Em contraste com o ganho de eciência dos métodos de malha grossa, informações mais detalhadas sobre o perl da solução numérica não são geradas. Para contornar este problema, a partir da solução numérica de malha grossa gerada pelo método SD-SGF-CN, um algoritmo para a reconstrução intranodal da solução numérica dominante deve ser desenvolvido. Neste sentido, e no contexto da linha de pesquisa Neutrônica Computacional do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia (INCT) de Reatores Nucleares Inovadores (CNPq), este trabalho propõe e avalia um algoritmo para reconstrução intranodal da solução numérica dominante gerada pelo método SD-SGF-CN para estimarmos o perl dos uxos angulares nas regiões homogeneizadas do domínio em cálculos de malha grossa. A seguir, de modo sucinto, descrevemos como esta dissertação está organizada. No capítulo 2 apresentamos a equação de transporte de Boltzmann, a formulação de ordenadas discretas S N e a análise espectral realizada nas equações S N integradas transversalmente para problemas bidimensionais. No capítulo 3 apresentamos, de uma forma bem sucinta, o método híbrido SD-SGF-CN para cálculos globais bidimensionais de reatores nucleares. Ademais descrevemos a reconstrução espacial intranodal da solução dominante, que é o ponto central desta dissertação. No capítulo 4 apresentamos resultados numéricos gerados pelo código computacional desenvolvido nesta dissertação. Encerrando, no capítulo 5, apresentamos conclusões e sugestões para trabalhos futuros. Na sequência são apresentadas as referências bibliográcas e os apêndices.

19 16 2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Nesta seção apresentamos inicialmente a equação linearizada de Boltzman, que é uma formulação matemática para problemas de transporte de nêutrons, juntamente com as condições de contorno convencionalmente usadas. Em seguida descrevemos a essência do método das ordenadas discretas e as equações de ordenadas discretas S N em geometria cartesiana bidimensional. Ainda neste capítulo apresentamos a análise espectral que fazemos nas equações S N integradas transversalmente para problemas bidimensionais visando a determinar a solução geral analítica do problema homogêneo por meio de soluções elementares não triviais. Através desta análise espectral, obtemos um conjunto de autofunções que formam uma base para o núcleo do operador local. A solução geral das equações de ordenadas discretas S N é obtida através de uma combinação linear destas autofunções de base as quais são usadas para denir as equações auxiliares dos métodos nodais de discretização espacial descritos nesta dissertação. 2.1 Equação de Transporte de Nêutrons A equação linearizada de Boltzmann, independente do tempo, para cálculos de transporte de nêutrons pode ser escrita como ˆΩ ψ( r, E, ˆΩ) + σ T ( r, E)ψ( r, E, ˆΩ) }{{} REMOÇÃO = S( r, E, ˆΩ) }{{} PRODUÇÃO. (2.1) A Eq.(2.1) é uma equação integro-diferencial linear na variável dependente ψ( r, E, ˆΩ) e é denominada equação de transporte, que modela matematicamente o tranporte de nêutrons em meios materiais. A notação empregada segue um padrão convencional (LEWIS; MILLER, 1993). A quantidade ψ( r, E, ˆΩ), denida como uxo angular de nêutrons, representa a população de nêutrons esperada na posição r, que migra na direção ˆΩ, vetor unitário que indica a direção e o sentido do vetor velocidade dos nêutrons ( υ(e) = υ(e) ˆΩ), e

20 17 energia cinética E. A quantidade σ T ( r, E) é a seção de choque macroscópica total do meio hospedeiro onde os nêutrons se propagam. O termo S( r, E, ˆΩ), que aparece no membro direito da Eq.(2.1), é o termo de fonte, e no caso mais geral, computa as contribuições das fontes externas, da fonte de espalhamento e da fonte de ssão. Este termo, que também é denido como o termo de produção da equação de tranporte de nêutrons (2.1), pode ser escrito na forma S( r, E, ˆΩ) = S ext ( r, E, ˆΩ) + 1 k e S F ( r, E, ˆΩ) + S S ( r, E, ˆΩ). (2.2) Aqui a fonte externa S ext ( r, E, ˆΩ) representa a contribuição de todas as fontes de nêutrons que não são dependentes do uxo de nêutrons no meio. A fonte de espalhamento S S ( r, E, ˆΩ) representa a produção de nêutrons na posição r, que viajam na direção ˆΩ com energia E, resultante de interações entre os nêutrons e os núcleos dos átomos do meio hospedeiro, e que não induzem ssão (divisão) destes núcleos. Esta fonte de espalhamento pode ser representada na forma S S ( r, E, ˆΩ) = 4π 0 σ s ( r, E E, ˆΩ ˆΩ)ψ( r, E, ˆΩ )de dω. (2.3) A quantidade σ s ( r, E E, ˆΩ ˆΩ) representa a seção de choque macroscópica diferencial para o espalhamento de nêutrons que viajam com energia E e na direção ˆΩ e passam a viajar com energia E e direção ˆΩ após o espalhamento. O termo de fonte devido à ssão pode ser representado como S F ( r, E, ˆΩ) = χ( r, E E)ν(E )σ f ( r, E, ˆΩ ˆΩ)ψ( r, E, ˆΩ )de dω, (2.4) 4π 0 onde σ f ( r, E, ˆΩ ˆΩ) representa a seção de choque macroscópica de ssão dos núcleos alvo. Como vemos, a ssão dos núcleos é induzida por nêutrons migrando com energia E e na direção ˆΩ, que produz nêutrons que migram na direção ˆΩ; a quantidade ν(e ) representa o número médio de nêutrons emergentes da ssão causada por nêutrons de energia E e χ( r, E E) é o espectro de nêutrons que aparecem com energia E provenientes de

21 18 ssões induzidas por nêutrons no ponto r com energia E. O autovalor dominante k e na Eq.(2.2), é denido como o fator de multiplicação efetivo. O primeiro termo do lado esquerdo da Eq.(2.1) é denido como termo de fuga de nêutrons. Ele representa a taxa de variação espacial do uxo angular dos nêutrons no processo de migração. O segundo termo do lado esquerdo, denido como termo de colisão, representa a perda de nêutrons por colisões com os núcleos dos átomos do meio hospedeiro, que resultem em absorção dos nêutrons, como por exemplo, captura radiativa, ou espalhamento para outras direções diferentes de ˆΩ ou energias diferentes E. Para que a Eq.(2.1) tenha solução única são necessárias condições de contorno. Em cálculos de tranporte de nêutrons as condições de contorno mais comumente usadas (LEWIS; MILLER, 1993; DUDERSTADT; HAMILTON, 1975) são as do tipo prescritas, albedo 1 e periódica as quais serão descritas mais adiante. Em geometria retangular Cartesiana o operador ˆΩ assume a forma ˆΩ Ω x x + Ω y y + Ω z z = µ x + η y + ξ z. (2.5) Aqui usamos as seguintes denições ξ cos θ, (2.6) µ 1 ξ 2 cos ϕ, (2.7) η 1 ξ 2 sen ϕ, (2.8) onde os ângulos θ e ϕ estão representados na Figura 2.1. Mais informações podem ser encontradas em (LEWIS; MILLER, 1993). Restringimos nosso trabalho à aproximação de uma velocidade ou aproximação de um grupo de energia; portanto omitimos, a partir daqui, a dependência energética. Maiores detalhes sobre a formulação multigrupo podem ser encontradas em (STACEY, 2001; DUDERSTADT; HAMILTON, 1975). 1 O termo albedo tem origem no latim e está relacionado com a palavra alvura.

22 19 Figura 2.1: Coordenadas Retangulares Cartesianas. ϕ = ângulo azimutal. θ = ângulo polar. Em geometria Cartesiana bidimensional, para o domínio D representado na Figura 2.2, tal que D = {(x, y) R 2 0 x L; 0 y H}, com a consideração de que as seções de choque macroscópicas são isotrópicas, i.e., independentes de direção, a equação de transporte (2.1) assume a forma [ µ x + η ] y + σ T (x, y) ψ(x, y, µ, η) = S(x, y, µ, η). (2.9) Os termos das fontes, conforme Eq.(2.2), podem ser escritos na forma S ext ( r, ˆΩ) = S ext (x, y, µ, η), (2.10) S S ( r, ˆΩ) = S S (x, y, µ, η) = = dµ dη σ s (x, y)ψ(x, y, µ, η ), (2.11) e 1 1 S F ( r, ˆΩ) = S F (x, y, µ, η) = = ν dµ dη χ(x, y)σ f (x, y)ψ(x, y, µ, η ). (2.12) 1 1

23 20 Figura 2.2: Representação do domínio de cálculo D. Existem várias formulações para as condições de contorno da Eq. (2.9). Nesta dissertação consideramos as condições de contorno prescritas ou explícitas onde o uxo angular incidente em nosso domínio é conhecido, ψ(0, y, µ, η) = f(y), µ > 0, ψ(l, y, µ, η) = g(y), µ < 0, ψ(x, 0, µ, η) = u(x), η > 0, ψ(x, H, µ, η) = v(x), η < 0. (2.13) Um caso particular desta condição de contorno ocorre quando o uxo angular incidente é igual a zero, o qual é conhecido como condição de contorno do tipo vácuo, ψ(0, y, µ, η) = 0, µ > 0, ψ(l, y, µ, η) = 0, µ < 0, ψ(x, 0, µ, η) = 0, η > 0, ψ(x, H, µ, η) = 0, η < 0. (2.14) Frequentemente, com o objetivo de aproveitar as condições de simetria satisfeitas pelo problema físico, são utilizadas condições de contorno implícitas. Condições de contorno implícitas representam relações entre os uxos angulares emergentes e incidentes no domínio de cálculo. Utilizamos um caso particular da condição de contorno implícita,

24 21 conhecida como condição de contorno reexiva, onde qualquer nêutron que abandona o domínio na direção (µ, η ) retorna a ele na direção reetida especularmente (µ, η). Portanto, escrevemos ψ(0, y, µ, η) = ψ(0, y, µ, η), µ > 0, ψ(l, y, µ, η) = ψ(l, y, µ, η), µ > 0, (2.15) ψ(x, 0, µ, η) = ψ(x, 0, µ, η), η > 0, ψ(x, H, µ, η) = ψ(x, H, µ, η), η > 0. No caso que consideramos, a Eq.(2.9) é uma equação integro-diferencial em quatro variáveis independentes (x, y, µ, η), e não há uma técnica especíca para resolvê-la analiticamente. Na falta da solução analítica para a Eq.(2.9), recorremos a métodos numéricos cuja essência está na discretização do contínuo das variáveis independentes. É esta discretização que classicamente usamos para modelar problemas de transporte de nêutrons através de computadores de forma determinística. As variáveis µ e η são utilizadas para representar as direções angulares e são discretizadas com o objetivo de facilitar a resolução numérica da equação de transporte. Existem várias formulações que levam à discretização das variáveis angulares dentre as quais podemos citar: a aproximação P L ou método dos harmônicos esféricos, onde o uxo angular é expandido em uma série truncada de harmônicos esféricos (GELBARD, 1968; STACEY, 2001), a aproximação S N ou método de ordenadas discretas onde apenas um conjunto discreto de direções angulares é considerado e uma fórmula de quadratura é utilizada para aproximar o termo integral (LEWIS; MILLER, 1993; CARLSON; LATHROP, 1968). Nesta dissertação, para a discretização das variáveis angulares, utilizamos o método das ordenadas discretas. Na próxima seção damos maiores detalhes sobre este método. 2.2 Método de Ordenadas Discretas (S N ) O método de ordenadas discretas ou formulação S N foi desenvolvido por (CARL- SON; LATHROP, 1968; WICK, 1943; CHANDRASEKHAR, 1960). Desde então ele tem

25 22 evoluído, sendo amplamente utilizado na modelagem numérica da equação de transporte de nêutrons para cálculos de blindagem e cálculos globais de reatores nucleares. A idéia principal da formulação S N é a substituição do domínio contínuo das variáveis angulares (µ, η) por um conjunto de valores discretos (µ m, η m ), denominados ordenadas discretas. Ademais, o termo integral de fonte é aproximado por uma fórmula de quadratura numérica. A Eq.(2.9), sem fonte externa, na formulação de ordenadas discretas, com m = 1 : M, e considerando um meio com espalhamento isotrópico, assume a forma [ ] µ m x + η m y + σ T (x, y) ψ m (x, y) = S S (x, y) + 1 S F (x, y), (2.16) k e onde, por denição, temos ψ m (x, y) ψ(x, y, µ m, η m ). (2.17) Os termos de fonte por espalhamento e de ssão são representados respectivamente como e S S (x, y) σ S(x, y) 4 ψ n (x, y)ω n, (2.18) n=1 S F (x, y) 1 4 νσ f(x, y) ψ n (x, y)ω n. (2.19) Aqui ω n é o peso da quadratura angular na direção n, n = 1 : M; M é o número de direções discretas para uma dada quadratura angular de ordem N segundo (LEWIS; MILLER, 1993), que se calcula para o caso bidimensional como n=1 M = N(N + 2) 2. (2.20) Portanto, utilizando o método de ordenadas discretas, convertemos a equação integrodiferencial (2.9) em um sistema de M equações diferencias parciais de primeira ordem acopladas pelo termo de fonte. As condições de contorno prescritas denidas na Eq.(2.13)

26 23 agora aparecem na forma ψ m (0, y) = f m (y), µ m > 0, ψ m (L, y) = g m (y), µ m < 0, ψ m (x, 0) = u m (x), η m > 0, ψ m (x, H) = v m (x), η m < 0, (2.21) e as condições de contorno reexivas Eq.(2.15) são dadas por ψ m (0, y) = ψ m (0, y), µ m = µ m, µ m < 0, ψ m (L, y) = ψ m (L, y), µ m = µ m, µ m > 0, ψ m (x, 0) = ψ m (x, 0), η m = η m, η m < 0, ψ m (x, H) = ψ m (x, H), η m = η m, η m > 0. (2.22) A quadratura angular utilizada neste trabalho foi a quadratura de simetria de nível ou quadratura LQ n, cf. Level Symmetric Quadrature. Denimos como quadratura angular o conjunto de valores {µ m, η m, ω m / m = 1 : M}, onde os valores de ω m representam os pesos da quadratura angular usada para a direção m e os valores µ m, η m representam as direções discretas. A quadratura LQ n utiliza o mesmo conjunto de N valores positivos 2 para os cosenos diretores em cada um dos eixos coordenados x ou y, isto é µ 1 = η 1, µ 2 = η 2,..., µ N/2 = η N/2. Os valores dos parâmetros da quadratura com 6 casas decimais para N = 2, 4, 6 e 8 são mostrados na Tabela 2.1. Ademais ilustramos na Figura 2.3 a representação para o caso particular de ordem N = 4 da quadratura angular, assim N(N + 2) como a ordenação adotada para as direções. Neste caso M = = 12 e o número 2 de direções por quadrante será N Q = M 4 = 12 4 = 3. A quadratura LQ n é descrita com detalhes em (LEWIS; MILLER, 1993). Adotamos em todos os exemplos desta dissertação a numeração das direções angulares percorrendo os quadrantes no sentido anti-horário como mostramos no exemplo da Figura 2.3. Uma vez discretizadas as variáveis angulares através da formulação S N, o problema de resolver a equação de transporte (2.9) com condições de contorno apropriadas é transformado na resolução de um sistema de equações diferenciais parciais de primeira ordem nas variáveis espaciais (x, y). Para resolver numericamente as equações S N juntamente com as condições de contorno apropriadas, precisamos discretizar as variáveis espaciais. Com esta nalidade consideremos uma grade espacial retangular arbitrária Γ x Γ y denida em um domínio D de comprimento L e altura H (viz Figura 2.4), onde cada célula espacial é denominada nodo D i,j de comprimento h xi e altura h yj. Cada nodo possui seções de choque macroscópicas σ T i,j, σ Si,j e σ fi,j uniformes.

27 24 Figura 2.3: Representação das ordenadas discretas para N = 4. Figura 2.4: Grade Espacial Γ x Γ y em um domínio retangular D.

28 25 Tabela 2.1: Valores dos parâmetros da quadratura angular de simetria de nível para N = 2, 4, 6 e 8. S N i a ±µ i ω i M b S 2 1 0, , S 4 1 0, , , S 6 1 0, , , , , S 8 1 0, , , , , , , a. i = 1 : N/2 b. M = N(N + 2)/2 Nas próximas seções discutimos o problema de discretização das variáveis espaciais. 2.3 Integrações Transversais Integrando as Eqs.(2.16) respectivamente nos lados y e x do nodo D i,j obtemos as equações nodais S N integradas transversalmente para m = 1 : M µ m d dx ψ m,j (x) + σ T i,j ψm,j (x) = S j (x) L m,j (x), x D i,j, (2.23) η m d dy ˆψ m,i (y) + σ T i,j ˆψm,i (y) = Ŝi(y) L m,i (y), y D i,j, (2.24) onde denimos os uxos angulares médios nos lados dos nodos espaciais ao longo das coordenadas y e x respectivamente como ψ m,j (x) 1 yj+1/2 ψ m (x, y)dy, (2.25) h yj y j1/2 ˆψ m,i (y) 1 xi+1/2 ψ m (x, y)dx. (2.26) h xi x i1/2

29 26 Podemos denir os termos de fuga transversal na forma L m,j (x) η m h yj [ ψm (x, y j+1/2 ) ψ m (x, y j1/2 ) ], (2.27) L m,i (y) µ m h xi [ ψm (x i+1/2, y) ψ m (x i1/2, y) ], (2.28) e também podemos denir os termos de fonte integrados transversalmente nos lados dos nodos nas direções espaciais y e x, respectivamente, como e S j (x) σ i,j(k e ) 4 νσ fi,j 4k e ψ n,j (x)ω n = σ Si,j 4 n=1 n=1 ψ n,j (x)ω n + n=1 ψ n,j (x)ω n = S Sj + 1 k e SF,j, (2.29) Ŝ i (y) σ i,j(k e ) 4 νσ fi,j 4k e ˆψ n,i (y)ω n = σ Si,j 4 n=1 n=1 ˆψ n,i (y)ω n + n=1 ˆψ n,i (y)ω n = ŜSi + 1 k e Ŝ F,i. (2.30) Ademais podemos denir σ i,j (k e ) σ Si,j + νσ fi,j k e. (2.31) Os sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem representados pelas Eqs.(2.23) e (2.24) possuem mais incógnitas que equações. Consequentemente, para garantir a unicidade da solução, devemos introduzir aproximações auxiliares. Por exemplo, para o sistema de equações diferenciais ordinárias representado pela Eq.(2.23), nós temos M equações, M incógnitas representadas por ψ m,i (x) e M incógnitas representadas por L m,j (x); portanto, necessitamos denir M aproximações auxiliares. Na próxima seção apresentamos as aproximações auxiliares que são feitas para resolvermos os sistemas das equações S N integradas transversalmente que geram as equações S N nodais do método híbrido SD-SGF-CN.

30 2.4 Análise espectral das equações S N integradas transversalmente com aproximação constante para os termos de fuga transversal L m,j (x) e L m,i (y) 27 Ao considerarmos aproximações auxiliares constantes para os termos de fuga transversal, L m,j (x) e L m,i (y), garantimos a unicidade das soluções das equações S N integradas transversalmente Fugas Transversais Como os termos de fuga transversal são aproximados por constantes, então eles assumem a forma ψ m (x, y j±1/2 ) = ˆψ m,i (y j±1/2 ) ˆψ m,i,j±1/2, (2.32) ψ m (x i±1/2, y) = ψ m,j (x i±1/2 ) ψ m,i±1/2,j. (2.33) A escolha destas constantes é feita convenientemente, pois é desejável que estas preservem os uxos mediados nos lados y e x dos nodos. Com estas aproximações, os termos de fuga transversal são escritos como L m,j (x) = ˆL m,i,j η m h yj [ ˆψm,i,j+1/2 ˆψ m,i,j1/2 ] L m,i (y) = L m,i,j µ m h xi [ ψm,i+1/2,j ψ m,i1/2,j ], (2.34). (2.35) Substituindo as aproximações dadas pelas Eqs.(2.34) e (2.35) nas equações S N integradas traversalmente (2.23) e (2.24), obtemos os resultados d µ m dx ψ m,j (x) + σ T i,j ψm,j (x) = σ i,j(k e ) 4 n=1 ψ n,j (x)ω n ˆL m,i,j, (2.36) d η m dy ˆψ m,i (y) + σ T i,j ˆψm,i (y) = σ i,j(k e ) 4 ˆψ n,i (y)ω n L m,i,j. (2.37) n=1

31 28 As soluções gerais das Eqs.(2.36) e (2.37) são dadas, respectivamente, por ψ m,j (x) = ψ p m,i,j + ψ h m,j(x), (2.38) ˆψ m,i (y) = ˆψ p m,i,j + ˆψ h m,i(y), (2.39) onde o sobrescrito p denota a solução particular e o sobrescrito h indica a componente homogênea. Conforme o Apêndice D, as componentes particulares da solução geral das Eqs.(2.38) e (2.39) são ψ p m,i,j = σ i,j (k e ) 4σ T i,j [σ T i,j σ i,j (k e )] ˆψ p m,i,j = σ i,j (k e ) 4σ T i,j [σ T i,j σ i,j (k e )] n=1 n=1 ˆL n,i,j ω n ˆL m,i,j σ T i,j, (2.40) L n,i,j ω n L m,i,j σ T i,j. (2.41) Para determinarmos as soluções homogêneas ψ h m,j(x) e ˆψ h m,i(y) das Eqs. (2.38) e (2.39) vamos considerar a ansatz para a coordenada x ( ψ m,j (x, ϑ) = a x m(ϑ) exp σ ) T i,jx ϑ. (2.42) Fazendo ˆL m,i,j = 0 na Eq.(2.36) e substituindo a expressão (2.42) na equação homogênea resultante, obtemos o problema de autovalor n=1 onde δ m,n é o delta de Kronecker e δ m,n c i,j (k e )ω n µ n a x n(ϑ) = 1 ϑ ax m(ϑ), m = 1 : M, (2.43) Podemos reformular a Eq.(2.43) como c i,j (k e ) = σ i,j(k e ) 4σ T i,j. (2.44) (ϑ µ m )a x m(ϑ) = c i,j (k e )ϑ a x n(ϑ)ω n. (2.45) n=1

32 29 Substituindo a condição de normalização na Eq.(2.45) obtemos a x n(ϑ)ω n = 1, (2.46) n=1 a x m(ϑ) = c i,j(k e )ϑ (ϑ µ m ). (2.47) Multiplicando a Eq.(2.47) por ω m e somando o resultado em todo m, obtemos m=1 c i,j (k e )ϑ ϑ µ m ω m = 1, ϑ µ m. (2.48) A Eq.(2.48) pode ser reformulada como uma equação polinomial de grau N (ordem da quadratura), devido à simetria da quadratura angular utilizada. Há exatamente N valores distintos de µ m e similarmente N valores distintos de η m. A Eq.(2.48) gerará portanto N raízes simples ϑ l, l = 1 : N, e devido à simetria dos conjuntos de quadratura S N bidimensionais, as raízes serão sempre simétricas em torno da origem, i.e., aparecerão aos pares ±ϑ l. Devemos ressaltar que para o caso onde c i,j (k e ) < 1, os N autovalores são todos reais. Se c i,j (k e ) > 1, a Eq.(2.48) gera N 2 autovalores reais e exatamente dois autovalores imaginários puros dominantes, pois têm módulo superior aos demais autovalores. Assim, nós determinamos N autovalores ϑ l e N autovetores cujas componentes são a x m(ϑ l ), m = 1 : M, que são dadas pela Eq.(2.47) para l = 1 : N. Por outro lado, para se obter o espectro completo precisamos de M autovalores e M autovetores. Os (M N) autovalores e correspondentes (M N) autovetores podem ser obtidos considerando a condição na Eq.(2.45), e portanto a x n(ϑ)ω n = 0, (2.49) n=1 cuja solução aparece como (ϑ µ m )a x m(ϑ) = 0, (2.50)

33 30 a x m(ϑ) 0, se ϑ = µ m, (2.51) e a x m(ϑ) = 0, se ϑ µ m. (2.52) Aqui, se ϑ = µ m, nós podemos escolher um autovetor cujas componentes satisfaçam a Eq.(2.50) e a condição (2.49). Estes autovalores ϑ = µ m possuem multiplicidade 1, e os correspondentes autovetores formam um conjunto linearmente independente. Este procedimento realmente gera N 2 2 N autovalores e os autovetores restantes, completanto 2 2 portanto o conjunto. Logo, a solução geral pode ser representada como e analogamente obtemos ψ m,j (x) = ψ p m,i,j + M l=1 β l a x m(ϑ l ) exp( σ T i,jx ϑ l ), (2.53) ˆψ m,i (y) = ˆψ p m,i,j + M l=1 α l a y m(ϑ l ) exp( σ T i,jy ϑ l ), (2.54) onde x, y D i,j, m = 1 : M e α l,β l são constantes arbitrárias. As expressões representadas pelas Eqs.(2.53) e (2.54) são o ponto de partida para obtenção das equações auxiliares do método espectronodal SD-SGF-CN. Maiores detalhes sobre a análise espectral descrita neste capítulo podem ser encontrados em (ALVES, 1999).

34 31 3 MÉTODO ESPECTRO NODAL HÍBRIDO SD-SGF-CN PARA PROBLEMAS S N DE AUTOVALOR A UMA VELOCIDADE EM GEOMETRIA RETANGULAR BIDIMENSIONAL Nesta dissertação, usamos o método espectronodal SD-SGF-CN, cf. spectral Diamond-spectral Green's function - constant nodal, proposto e desenvolvido por (AL- VES, 1999) para gerar soluções numéricas para problemas de autovalor S N. O método SD-SGF-CN é baseado num método numérico analítico para as equações S N integradas transversalmente, Eqs. ( 2.23) e ( 2.24), unidimensionais acopladas pelos termos de fonte, que são tratados analiticamente e pelos termos de fuga transversal aproximados por constantes. O algoritmo do método híbrido SD-SGF-CN consiste em usar equações de balanço espacial de ordem zero e equações auxiliares, que são obtidas a partir das soluções analíticas das equações S N integradas transversalmente, com aproximação constante apenas para os termos de fuga transversal (viz seção 2.4). O método SD é usado para regiões multiplicativas, i.e., regiões onde ocorre a reação de ssão e o método SGF para as regiões não-multiplicativas, i.e., regiões onde não ocorre reação de ssão. O segundo passo da construção do algoritmo é a implementação do esquema NBI, cf. One-Node Block Inversion, (BARROS, 1990) no processo iterativo interno e o método da potência no processo iterativo externo. O esquema NBI utiliza as mais recentes estimativas para os uxos angulares incidentes em um dado nodo espacial para determinar os uxos angulares emergentes do nodo na direção da varredura de transporte. O método da potência (BURDEN; FAIRES, 1993) nos permite obter o autovalor dominante k eff, denido como fator de multiplicação efetivo. Vários autores referem-se ao método da potência como o esquema numérico mais adequado para resolver o problema de autovalor (DUDERS- TADT; HAMILTON, 1975; STACEY, 2001). Os conjutos de quadraturas angulares que usamos são as quadraturas de simetria de nível encontradas em (LEWIS; MILLER, 1993)

35 32 e sucitamente descritas na seção 2.2. Na próxima seção apresentamos as equações de balanço espacial de ordem zero e as equações auxiliares SD e SGF usadas no método híbrido SD-SGF (ABREU, 1996) para o caso bidimensional. 3.1 Equações S N de balanço espacial de ordem zero Aplicando o operador 1 h xi h yj xi+1/2 yj+1/2 x i1/2 y j1/2 ( )dxdy, (3.1) às equações de ordenadas discretas S N (2.16), Capítulo 2, que são denidas em um nodo arbitrário D i,j pertencentes à grade espacial retangular representada na Figura 2.4 com espalhamento isotrópico e sem fonte externa obtemos µ ( m ψm,i+1/2,j h ψ ) m,i1/2,j + η ( m ˆψm,i,j+1/2 xi h ˆψ ) m,i,j1/2 + yj + σ T i,j ψm,i,j = S i,j, m = 1 : M, (3.2) onde, por denição, o uxo angular médio no nodo é dado por ψ m,i,j 1 xi+1/2 yj+1/2 ψ m (x, y)dxdy, (3.3) h xi h yj x i1/2 y j1/2 e a fonte média no nodo que inclui espalhamento e ssão possui a forma S i,j σ i,j(k e ) 4 = σ si,j 4 n=1 ψ n,i,j ω n = S Si,j + 1 SF i,j = k e n=1 ψ n,i,j ω n + νσ fi,j 4k e ψ n,i,j ω n. n=1 (3.4) Fazendo um balanço entre equações e incógnitas do sistema representado na Eq.(3.4), vemos que o número de incógnitas é maior que o número de equações. Necessitamos, portanto, de equações auxiliares para que o sistema juntamente às condições de contorno conhecidas tenha solução única. Esse balanço espacial pode ser melhor visto com a ajuda da Figura 3.1 para um nodo arbitrário. Nós temos um sistema com M equações lineares e algébricas representado na Eq.(3.4), e se considerarmos que os uxos incidentes nos

36 33 contornos são uxos conhecidos, então o número de incógnitas são os M uxos médios no interior do nodo representados por ψ m,i,j (µ m > 0 ou µ m < 0) e 2M uxos que emergem do nodo representados por ψ m,i±1/2,j (µ m 0) e ˆψ m,i,j±1/2 (η m 0). Potanto, são necessárias (3M M) = 2M equações, as quais denominamos equações auxiliares. As equações auxiliares devem conter relações entre as incógnitas do sistema de equações representado na Eq.(3.4). Figura 3.1: Esquema representativo do balanço entre equações e incógnitas. Os índices 1, 2, 3 e 4 são a ordenação dos quadrantes. As equações auxiliares do método SD-SGF-CN apresentam parâmetros que preservam as soluções analíticas das equações S N integradas transversalmente com os termos de fonte S j (x) e Ŝi(y) tratados analiticamente e os termos de fuga transversal L m,j (x) e L m,i (y) aproximados por constantes. Estas equações auxiliares estão representadas nas Eqs. (2.53) e (2.54). Observamos que elas relacionam as mesmas grandezas que a convencional equação de balanço espacial de ordem zero (3.4). Na próxima seção apresentamos as equações auxiliares do método híbrido SD-SGF e explicaremos a razão do hibridismo.

37 Equações auxiliares Nesta seção apresentamos as equações auxiliares do método híbrido SD-SGF. Neste método as equações auxiliares SGF (BARROS, 1990) são usadas para meios nãomultiplicativos do domínio e as equações SD (ABREU, 1996) são usadas para meios multiplicativos. Este hibridismo é necessário, pois para cálculos de malha grossa, não se tem como indicar, fazendo uso apenas das equações auxiliares SGF, a presença de uma fonte de nêutrons não prescrita, e.g., ssão, no interior do nodo, já que as equações auxiliares SGF relacionam os uxos angulares médios nos nodos em uma dada direção µ m (ou η m ) com os uxos angulares médios nos lados dos nodos que incidem nos mesmos. A construção das equações auxiliares do método SD foi desenvolvida de tal forma a contornar tal limitação que implicava instabilidade de convergência em cálculos de malha grossa em certos problemas. Em (ALVES, 1999), no desenvolvimento do método SD- SGF-CN, preservou-se esta estrutura. A seguir apresentamos as equações auxiliares do método híbrido SD-SGF-CN para o caso bidimensional Método SGF (meios não-multiplicativos) As equações auxiliares do método SGF (BARROS, 1990) são ψ m,i,j = µn>0θ x m,n,i,j ψ n,i1/2,j + + µ n<0 θ x m,n,i,j ψ n,i+1/2,j + Ĝm,i,j, (3.5) ψ m,i,j = ηn>0θ y m,n,i,j ˆψ n,i,j1/2 + + η n<0 θ y m,n,i,j ˆψ n,i,j+1/2 + G m,i,j, m = 1 : M. (3.6) Método SD (meios multiplicativos) As equações auxiliares do método SD (ABREU, 1996) são ψ m,i,j = n=1 γ x m,n,i,j [ ψn,i1/2,j + ψ n,i+1/2,j 2 ] + Ĥm,i,j, (3.7)

38 35 ψ m,i,j = n=1 γ y m,n,i,j [ ˆψn,i,j1/2 + ˆψ n,i,j+1/2 2 ] + H m,i,j, m = 1 : M.. (3.8) As equações auxiliares para o método SGF (3.5) e (3.6) foram desenvolvidas para a solução numérica de problemas bidimensionais de fonte xa em geometria retangular (BARROS, 1990). As equações para o método SD (3.7) e (3.8) são uma extensão bidimensional das equações auxiliares obtidas em (ABREU, 1996). Estas extensões são apresentadas em (ALVES, 1999). Nas Eqs.( ), os coecientes θ x m,n,i,j, θ y m,n,i,j, γm,n,i,j x e γ y m,n,i,j são determinados de forma a preservarem as componentes homogêneas da solução geral das equações S N integradas transversalmente com aproximações constantes para os termos de fuga transversal e representadas pelas Eqs. (2.53) e (2.54), vistas no Capítulo 2. Os coecientes G m,i,j, Ĝ m,i,j, H m,i,j, Ĥ m,i,j são calculados de forma a preservarem as componentes particulares destas mesmas soluções. Assim, na Eq. (3.5) os coecientes θ x m,n,i,j e Ĝm,i,j são determinados de tal forma que a solução geral da Eq. (2.36) fornecida por (2.53) tenha uxos angulares médios nos nodos e nos lados dos nodos, que para todos os valores de β l, satisfaçam a Eq. (3.5). Portanto, para uma estimativa do autovalor k e, avaliamos os uxos médios no interior e os uxos médios nos lados dos nodos pela Eq. (2.53). Em seguida introduzimos estes resultados na Eq. (3.5) e exigimos que estes resultados sejam válidos para todo β l. Desta forma nós determinamos a expressão para Ĝm,i,j. Ademais, encontramos um sistema de M 2 equações lineares para as M 2 incógnitas θ x m,n,i,j, m, n = 1 : M. Para cada estimativa do autovalor dominante k e nas iterações externas, precisamos calcular os N autovalores ν l, l = 1 : N, e então, as M 2 incógnitas θ x m,n,i,j resolvendo sistemas de equações lineares e considerando os casos onde 0 < c i,j (k e ) < 1 ou c i,j (k e ) > 1 de acordo com a estimativa do autovalor k e. Seguindo procedimento similar obtemos expressões para G m,i,j, Hm,i,j, Ĥ m,i,j e γ x/y m,i,j. Uma vez determinados os parâmetros G m,i,j, Ĝm,i,j, H m,i,j, Ĥm,i,j, θ x/y m,i,j e γx/y m,i,j (mais detalhes em (ABREU, 1996; ALVES, 1999)) para o nodo espacial D i,j, as Eqs. ( ) constituem as equações auxiliares as quais, juntamente às equações S N de balanço espacial de ordem zero (3.2) são exatamente satisfeitas pela solução geral de cada equação S N unidimensional nodal integrada tranversalmente com aproximação constante para os termos de fuga transversal para um valor xo de k e. As equações S N de balanço espacial de ordem zero (3.2), combinadas às equações auxiliares ( ) e condições de continuidade e de contorno apropriadas formam as equações do método híbrido SD-SGF-CN para o caso bidimensional. Uma vez obtidas as equações constitutivas do método SD-SGF-CN

39 36 precisamos obter a solução destas equações via método direto ou método iterativo. Sob o ponto de vista de armazenamento de variáveis e número de operações de ponto decimal, os métodos diretos são inadequados. Considerando os métodos iterativos, há dois esquemas convencionais: as iterações internas e as externas. Para as iterações internas usamos o método NBI, que foi desenvolvido, paralelamente aos métodos de malha grossa, visando à implementação dos métodos cujas equações auxiliares são acopladas em direções angulares. No esquema iterativo externo, usamos o tradicional método da potência descrito em (BURDEN; FAIRES, 1993). Na próxima seção descrevemos o esquema iterativo de varredura NBI. 3.3 Esquemas numéricos de varredura A denominação esquema numérico de varredura refere-se a uma sequência de passos numéricos que são executados na grade espacial para a solução eciente dos sistemas de equações lineares e algébricas obtidos pela discretização espacial da formulação S N da equação de transporte. Os esquemas numéricos de varredura em geometria cartesiana bidimensional apresentam no máximo quatro direções de varredura que apresentamos a seguir e ilustramos na Figura varredura do primeiro quadrante (1Q), SW NE, (µ m > 0 e η m > 0); 2. varredura do segundo quadrante (2Q), SE NW, (µ m < 0 e η m > 0); 3. varredura do terceiro quadrante (3Q), NE SW, (µ m < 0 e η m < 0); 4. varredura do quarto quadrante (4Q), NW SE. (µ m > 0 e η m < 0); O conceito de varredura na grade espacial nos ajudará a entender a dinâmica do cálculo dos uxos angulares emergentes no esquema iterativo. A seguir descrevemos sucintamente o esquema iterativo NBI para o método SD-SGF-CN Esquema Iterativo NBI O procedimento para se obterem as equações de varredura NBI (BARROS, 1990) é muito trabalhoso do ponto de vista algébrico. Para se obterem as equações de varredura do método SD-SGF-CN, inicialmente substituimos as equações auxiliares SD-SGF-CN nas equações S N de balanço espacial de ordem zero e obtemos um sistema de equações lineares