Israel Vainsencher Maceió folheações singulares ao longo de uma curva

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1 Israel Vainsencher Maceió 2013 folheações singulares ao longo de uma curva

2 Folheações singulares ao longo de uma curva

3 Folheações singulares ao longo de uma curva Uma folheação de dimensão um em P 3 admite apenas um número finito de singularidades.

4 Folheações singulares ao longo de uma curva Uma folheação de dimensão um em P 3 admite apenas um número finito de singularidades. Dada uma família W de curvas, estudamos a subvariedade Σ(W, d) do espaço projetivo F(3, d) de folheações de grau d, definida pela condição de que o lugar singular contenha algum membro de W.

5 Folheações singulares ao longo de uma curva Uma folheação de dimensão um em P 3 admite apenas um número finito de singularidades. Dada uma família W de curvas, estudamos a subvariedade Σ(W, d) do espaço projetivo F(3, d) de folheações de grau d, definida pela condição de que o lugar singular contenha algum membro de W. Mostramos que o grau de Σ(W, d) em F(3, d) é dado por um polinômio q W (d) para todo d >> 0.

6 Folheações singulares ao longo de uma curva Uma folheação de dimensão um em P 3 admite apenas um número finito de singularidades. Dada uma família W de curvas, estudamos a subvariedade Σ(W, d) do espaço projetivo F(3, d) de folheações de grau d, definida pela condição de que o lugar singular contenha algum membro de W. Mostramos que o grau de Σ(W, d) em F(3, d) é dado por um polinômio q W (d) para todo d >> 0. Calculamos explicitamente em alguns exemplos. Esses exemplos parecem indicar que o grau do polinômio q W (d) é igual ao dobro da dimensão de W,

7 Folheações singulares ao longo de uma curva Uma folheação de dimensão um em P 3 admite apenas um número finito de singularidades. Dada uma família W de curvas, estudamos a subvariedade Σ(W, d) do espaço projetivo F(3, d) de folheações de grau d, definida pela condição de que o lugar singular contenha algum membro de W. Mostramos que o grau de Σ(W, d) em F(3, d) é dado por um polinômio q W (d) para todo d >> 0. Calculamos explicitamente em alguns exemplos. Esses exemplos parecem indicar que o grau do polinômio q W (d) é igual ao dobro da dimensão de W, embora só consigamos limitá-lo, via GRR, pelo triplo.

8 Folheações singulares ao longo de uma curva Uma folheação de dimensão um em P 3 admite apenas um número finito de singularidades. Dada uma família W de curvas, estudamos a subvariedade Σ(W, d) do espaço projetivo F(3, d) de folheações de grau d, definida pela condição de que o lugar singular contenha algum membro de W. Mostramos que o grau de Σ(W, d) em F(3, d) é dado por um polinômio q W (d) para todo d >> 0. Calculamos explicitamente em alguns exemplos. Esses exemplos parecem indicar que o grau do polinômio q W (d) é igual ao dobro da dimensão de W, embora só consigamos limitá-lo, via GRR, pelo triplo. Por fim, mostramos uma fórmula para o número de singularidades isoladas de uma folheação geral dentre aquelas singulares ao longo de uma dada curva.

9 Folheação?

10 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

11 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

12 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

13 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

14 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

15 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

16 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

17 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

18 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

19 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

20 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

21 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

22 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto.

23 Folheação? Heurística: por cada ponto no espaço, estipular uma direção tangente, ou equivalentemente, uma reta passando pelo ponto. As folhas são curvas anaĺıticas cuja reta tangente em cada ponto é dada pela direção associada ao ponto.

24 { ẋ = a(x, y), ẏ = b(x, y),

25 { ẋ = a(x, y), ẏ = b(x, y), alguma distribuição de direções

26 Aqui: folheações algébricas de dimensão um em P n.

27 Aqui: folheações algébricas de dimensão um em P n. Podemos imaginar a correspondência P n x reta x definida assim:

28 Aqui: folheações algébricas de dimensão um em P n. Podemos imaginar a correspondência P n x reta x definida assim: primeiro escolhemos um mapa P n x f(x) P n e então tomamos a reta gerada x, f(x) P n.

29 Aqui: folheações algébricas de dimensão um em P n. Podemos imaginar a correspondência P n x reta x definida assim: primeiro escolhemos um mapa P n x f(x) P n e então tomamos a reta gerada x, f(x) P n. O mapa f por sua vez é dado por (f 0,..., f n ), polinômios homogêneos do mesmo grau, degf i = d.

30 Aqui: folheações algébricas de dimensão um em P n. Podemos imaginar a correspondência P n x reta x definida assim: primeiro escolhemos um mapa P n x f(x) P n e então tomamos a reta gerada x, f(x) P n. O mapa f por sua vez é dado por (f 0,..., f n ), polinômios homogêneos do mesmo grau, degf i = d. As retas x, f(x) e x, g(x) x + f(x) coincidem para qualquer polinômio homogêneo g(x) de grau d 1.

31 A reta x, f(x) não está definida quando os vetores x, f(x) C n+1 são proporcionais,

32 A reta x, f(x) não está definida quando os vetores x, f(x) C n+1 são proporcionais, i.e., no lugar dos pontos onde a( matriz x0 x 1 x n ) f 0 (x) f 1 (x) f n (x) tem posto < 2: x i f j (x) x j f i (x) = 0 i, j.

33 A reta x, f(x) não está definida quando os vetores x, f(x) C n+1 são proporcionais, i.e., no lugar dos pontos onde a( matriz x0 x 1 x n ) f 0 (x) f 1 (x) f n (x) tem posto < 2: x i f j (x) x j f i (x) = 0 i, j. Mostra-se que este lugar singular é não vazio

34 A reta x, f(x) não está definida quando os vetores x, f(x) C n+1 são proporcionais, i.e., no lugar dos pontos onde a( matriz x0 x 1 x n ) f 0 (x) f 1 (x) f n (x) tem posto < 2: x i f j (x) x j f i (x) = 0 i, j. Mostra-se que este lugar singular é não vazio e, quando finito, consiste em 1 + d + + d n pontos contados com multiplicidade.

35 A reta x, f(x) não está definida quando os vetores x, f(x) C n+1 são proporcionais, i.e., no lugar dos pontos onde a( matriz x0 x 1 x n ) f 0 (x) f 1 (x) f n (x) tem posto < 2: x i f j (x) x j f i (x) = 0 i, j. Mostra-se que este lugar singular é não vazio e, quando finito, consiste em 1 + d + + d n pontos contados com multiplicidade. Suporemos doravante que f não é múltiplo da identidade.

36 Genericamente, # Sing = 1 + d + + d n.

37 Genericamente, # Sing = 1 + d + + d n. Por exemplo, d = 1, f : P n P n induzida por C n+1 C n+1 linear,

38 Genericamente, # Sing = 1 + d + + d n. Por exemplo, d = 1, f : P n P n induzida por C n+1 C n+1 linear, as singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos).

39 Genericamente, # Sing = 1 + d + + d n. Por exemplo, d = 1, f : P n P n induzida por C n+1 C n+1 linear, as singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos). Note que a folheação definida por f pode ser igualmente representada por f + ki.

40 Genericamente, # Sing = 1 + d + + d n. Por exemplo, d = 1, f : P n P n induzida por C n+1 C n+1 linear, as singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos). Note que a folheação definida por f pode ser igualmente representada por f + ki. Existe um único representante com traço nulo, a menos de fator constante.

41 The moduli bug1

42 The moduli bug 1 (isso pega!:-) 1 Geometers of all kinds are excited, one may say obsessed, with moduli spaces; these are the spaces which serve as parameter spaces for the basic spaces geometers are most interested in. (Dan Abramovich, arxiv: v1)

43 The moduli bug 1 (isso pega!:-) 1 Geometers of all kinds are excited, one may say obsessed, with moduli spaces; these are the spaces which serve as parameter spaces for the basic spaces geometers are most interested in. (Dan Abramovich, arxiv: v1) Obsessão: espaço das folheações de dimensão um e grau d.

44 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d;

45 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d

46 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1

47 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x )

48 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 (Euler) seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x )

49 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x ) (Euler) H 0 (P n, T P n (d 1))

50 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x ) (Euler) H 0 (P n, T P n (d 1)) F(n, d) = P(H 0 (P n, T P n (d 1))) = espaço das folheações de dimensão um e grau d

51 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x ) (Euler) H 0 (P n, T P n (d 1)) F(n, d) = P(H 0 (P n, T P n (d 1))) = espaço das folheações de dimensão um e grau d ( 1) em P n.

52 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x ) (Euler) H 0 (P n, T P n (d 1)) F(n, d) = P(H 0 (P n, T P n (d 1))) = espaço das folheações de dimensão um e grau d ( 1) em P n. dimf(n, d) = (n + 1) ( ) ( n+d n n+d 1 ) n 1.

53 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x ) (Euler) H 0 (P n, T P n (d 1)) F(n, d) = P(H 0 (P n, T P n (d 1))) = espaço das folheações de dimensão um e grau d ( 1) em P n. dimf(n, d) = (n + 1) ( ) ( n+d n n+d 1 ) n 1. Para F geral em F(n, d), o lugar singular é finito,

54 P d = espaço vetorial dos polinômios homogêneos de grau d; P d 1 P (n+1) d f = (f 0,..., f n ) P (n+1) d f g x + f, g P d 1 seq. exata: P (n+1) /( d Pd 1 x ) (Euler) H 0 (P n, T P n (d 1)) F(n, d) = P(H 0 (P n, T P n (d 1))) = espaço das folheações de dimensão um e grau d ( 1) em P n. dimf(n, d) = (n + 1) ( ) ( n+d n n+d 1 ) n 1. Para F geral em F(n, d), o lugar singular é finito, # Sing F = 1 + d + + d n.

55 Obsessão: obrigar # Sing F =.

56 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF,

57 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva.

58 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa

59 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato.

60 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato. Questões:

61 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato. Questões: (1) se Sing F C =curva, persistem algumas singularidades isoladas?

62 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato. Questões: (1) se Sing F C =curva, persistem algumas singularidades isoladas? Quantas?

63 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato. Questões: (1) se Sing F C =curva, persistem algumas singularidades isoladas? Quantas? (2) informações sobre o lugar Σ F(n, d) formado pelos infratores:

64 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato. Questões: (1) se Sing F C =curva, persistem algumas singularidades isoladas? Quantas? (2) informações sobre o lugar Σ F(n, d) formado pelos infratores: dimσ?

65 Obsessão: obrigar # Sing F =. Ou seja, queremos impor a F uma componente de dimensão positiva em SingF, por exemplo uma curva. Inspirado por Gilcione Costa e MaurícioArturoGilcioneRenato. Questões: (1) se Sing F C =curva, persistem algumas singularidades isoladas? Quantas? (2) informações sobre o lugar Σ F(n, d) formado pelos infratores: dimσ? degσ?

66 exemplo1 F(n, 1) = P (n+1)2 1 1, matrizes (n + 1) (n + 1) de traço nulo, a menos de fator constante.

67 exemplo1 F(n, 1) = P (n+1)2 1 1, matrizes (n + 1) (n + 1) de traço nulo, a menos de fator constante. As singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos).

68 exemplo1 F(n, 1) = P (n+1)2 1 1, matrizes (n + 1) (n + 1) de traço nulo, a menos de fator constante. As singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos). Impor uma reta singular existe algum autovalor com multiplicidade geométrica = 2.

69 exemplo1 F(n, 1) = P (n+1)2 1 1, matrizes (n + 1) (n + 1) de traço nulo, a menos de fator constante. As singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos). Impor uma reta singular existe algum autovalor com multiplicidade geométrica = 2. (Sobram, em geral, n 1 distintos.)

70 exemplo1 F(n, 1) = P (n+1)2 1 1, matrizes (n + 1) (n + 1) de traço nulo, a menos de fator constante. As singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos). Impor uma reta singular existe algum autovalor com multiplicidade geométrica = 2. (Sobram, em geral, n 1 distintos.) n = 3;

71 exemplo1 F(n, 1) = P (n+1)2 1 1, matrizes (n + 1) (n + 1) de traço nulo, a menos de fator constante. As singularidades correspondem aos n + 1 auto-subespaços (em geral distintos). Impor uma reta singular existe algum autovalor com multiplicidade geométrica = 2. (Sobram, em geral, n 1 distintos.) n = 3; P 14 G(2, 4) {(A, V ) A V = ki V (para algum k).} W

72 S Cálculo de Schubert C 4 Q

73 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1)

74 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1) u := c 4 (S Q(1)) = ciclo com suporte {(A, V ) AV V }; }{{} Hom(S,Q)

75 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1) u := c 4 (S Q(1)) = ciclo com suporte {(A, V ) AV V }; }{{} Hom(S,Q) H := Hom(S, S) / I ;

76 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1) u := c 4 (S Q(1)) = ciclo com suporte {(A, V ) AV V }; }{{} Hom(S,Q) H := Hom(S, S) / I ; v := c 3 (H(1)) = ciclo com suporte os múltiplos da identidade;

77 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1) u := c 4 (S Q(1)) = ciclo com suporte {(A, V ) AV V }; }{{} Hom(S,Q) H := Hom(S, S) / I ; v := c 3 (H(1)) = ciclo com suporte os múltiplos da identidade; u v = [{(A, V ) A V = ki V (para algum k)}]

78 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1) u := c 4 (S Q(1)) = ciclo com suporte {(A, V ) AV V }; }{{} Hom(S,Q) H := Hom(S, S) / I ; v := c 3 (H(1)) = ciclo com suporte os múltiplos da identidade; u v = [{(A, V ) A V = ki V (para algum k)}] 20h 3

79 S S(1) Cálculo de Schubert C 4 Q C 4 (1) Q(1) u := c 4 (S Q(1)) = ciclo com suporte {(A, V ) AV V }; }{{} Hom(S,Q) H := Hom(S, S) / I ; v := c 3 (H(1)) = ciclo com suporte os múltiplos da identidade; u v = [{(A, V ) A V = ki V (para algum k)}] 20h 3 = ciclo de codimensão 3 e grau 20 em P 14.

80 Teorema A. Seja W uma subvariedade fechada, irredutível de um esquema de Hilbert de subvariedades em P n com polinômio de Hilbert P W (d). Seja N = dimf(n, d). Seja Σ(W, d) F(n, d) o lugar das folheações cujo esquema de singularidades contém algum membro de W.

81 Teorema A. Seja W uma subvariedade fechada, irredutível de um esquema de Hilbert de subvariedades em P n com polinômio de Hilbert P W (d). Seja N = dimf(n, d). Seja Σ(W, d) F(n, d) o lugar das folheações cujo esquema de singularidades contém algum membro de W. Suponha (i) degp W (d) > 0, (ii) o membro genérico da família parametrizada por W é de dimensão pura e reduzido.

82 Teorema A. Seja W uma subvariedade fechada, irredutível de um esquema de Hilbert de subvariedades em P n com polinômio de Hilbert P W (d). Seja N = dimf(n, d). Seja Σ(W, d) F(n, d) o lugar das folheações cujo esquema de singularidades contém algum membro de W. Suponha (i) degp W (d) > 0, (ii) o membro genérico da família parametrizada por W é de dimensão pura e reduzido. Então, para todo d >> 0, Σ(W, d) é uma subvariedade fechada, irredutível de F(n, d), de dimensão N + dimw ((n + 1)P W (d) P W (d 1))

83 Teorema A. Seja W uma subvariedade fechada, irredutível de um esquema de Hilbert de subvariedades em P n com polinômio de Hilbert P W (d). Seja N = dimf(n, d). Seja Σ(W, d) F(n, d) o lugar das folheações cujo esquema de singularidades contém algum membro de W. Suponha (i) degp W (d) > 0, (ii) o membro genérico da família parametrizada por W é de dimensão pura e reduzido. Então, para todo d >> 0, Σ(W, d) é uma subvariedade fechada, irredutível de F(n, d), de dimensão N + dimw ((n + 1)P W (d) P W (d 1)) e grau dado por um polinômio q W (d) de grau ndimw.

84 Teorema B. Seja ξ uma folheação de grau d em P 3, geral dentre aquelas que são singulares ao longo de uma curva lisa C de grau m e gênero g.

85 Teorema B. Seja ξ uma folheação de grau d em P 3, geral dentre aquelas que são singulares ao longo de uma curva lisa C de grau m e gênero g. Se d >> 0, o esquema de singularidades de ξ é a união de C com um conjunto finito de singularidades, F,

86 Teorema B. Seja ξ uma folheação de grau d em P 3, geral dentre aquelas que são singulares ao longo de uma curva lisa C de grau m e gênero g. Se d >> 0, o esquema de singularidades de ξ é a união de C com um conjunto finito de singularidades, F,cujo número é dado por ( #F = c 3 TP 3(d 1) O X ( E) ) = d 3 + d 2 (3m 1)d + 3m 1 + 2g.

87 Teorema B. Seja ξ uma folheação de grau d em P 3, geral dentre aquelas que são singulares ao longo de uma curva lisa C de grau m e gênero g. Se d >> 0, o esquema de singularidades de ξ é a união de C com um conjunto finito de singularidades, F,cujo número é dado por ( #F = c 3 TP 3(d 1) O X ( E) ) = d 3 + d 2 (3m 1)d + 3m 1 + 2g. Fórmulas análogas podem ser obtidas para n 3

88 Teorema B. Seja ξ uma folheação de grau d em P 3, geral dentre aquelas que são singulares ao longo de uma curva lisa C de grau m e gênero g. Se d >> 0, o esquema de singularidades de ξ é a união de C com um conjunto finito de singularidades, F,cujo número é dado por ( #F = c 3 TP 3(d 1) O X ( E) ) = d 3 + d 2 (3m 1)d + 3m 1 + 2g. Fórmulas análogas podem ser obtidas para n 3 bem como trocando C por um subesquema fechado com classe de Segre conhecida.

89 demonstração do teorema A Imitamos argumentos de Collier-JVP e Cukierman-Lopez-V.

90 demonstração do teorema A Imitamos argumentos de Collier-JVP e Cukierman-Lopez-V. Considere a correspondência natural Σ(W, d) W P N formada pelos pares (C, ξ) W P N tais que C é um subesquema de Sing ξ.

91 demonstração do teorema A Imitamos argumentos de Collier-JVP e Cukierman-Lopez-V. Considere a correspondência natural Σ(W, d) W P N formada pelos pares (C, ξ) W P N tais que C é um subesquema de Sing ξ. Trata-se de um subfibrado projetivo com a dimensão total igual à esperada.

92 demonstração do teorema A Imitamos argumentos de Collier-JVP e Cukierman-Lopez-V. Considere a correspondência natural Σ(W, d) W P N formada pelos pares (C, ξ) W P N tais que C é um subesquema de Sing ξ. Trata-se de um subfibrado projetivo com a dimensão total igual à esperada. Grosso modo, a condição para que uma C fixa esteja em Sing ξ é linear no campo vetorial ξ.

93 demonstração do teorema A Imitamos argumentos de Collier-JVP e Cukierman-Lopez-V. Considere a correspondência natural Σ(W, d) W P N formada pelos pares (C, ξ) W P N tais que C é um subesquema de Sing ξ. Trata-se de um subfibrado projetivo com a dimensão total igual à esperada. Grosso modo, a condição para que uma C fixa esteja em Sing ξ é linear no campo vetorial ξ. Agora o ponto central é que o número de condições depende apenas do polinômio de Hilbert P W (d) para d >> 0.

94 Temos de fato Σ(W, d) = P(U d ),

95 Temos de fato Σ(W, d) = P(U d ), projetivização de um fibrado vetorial expĺıcito U d W, que se encaixa numa sequência exata, U d H 0 (T P n (d 1)) W V d.

96 Temos de fato Σ(W, d) = P(U d ), projetivização de um fibrado vetorial expĺıcito U d W, que se encaixa numa sequência exata, U d H 0 (T P n (d 1)) W V d. O grau da imagem de Σ(W, d) em Σ(W, d) P N = P ( H 0 (T P n (d 1)) ) pode ser calculado como a classe de Segre top -dimensional do fibrado vetorial U d

97 Temos de fato Σ(W, d) = P(U d ), projetivização de um fibrado vetorial expĺıcito U d W, que se encaixa numa sequência exata, U d H 0 (T P n (d 1)) W V d. O grau da imagem de Σ(W, d) em Σ(W, d) P N = P ( H 0 (T P n (d 1)) ) pode ser calculado como a classe de Segre top -dimensional do fibrado vetorial U d (a qual é igual à classe de Chern máxima de V d ),

98 Temos de fato Σ(W, d) = P(U d ), projetivização de um fibrado vetorial expĺıcito U d W, que se encaixa numa sequência exata, U d H 0 (T P n (d 1)) W V d. O grau da imagem de Σ(W, d) em Σ(W, d) P N = P ( H 0 (T P n (d 1)) ) pode ser calculado como a classe de Segre top -dimensional do fibrado vetorial U d (a qual é igual à classe de Chern máxima de V d ), desde que saibamos que o mapa é genericamente injetivo. Σ(W, d) Σ(W, d)

99 Seja Γ P n W espaço total da família W.

100 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção.

101 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve O P n O P n(1) C n+1 T P n

102 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i.

103 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. Tensorize por O P n(d 1);

104 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. Tensorize por O P n(d 1); tome a imagem recíproca (pullback) para P n W e restrinja sobre Γ :

105 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve Tensorize por O P n(d 1); O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. tome a imagem recíproca (pullback) para P n W e restrinja sobre Γ : O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1)

106 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve Tensorize por O P n(d 1); O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. tome a imagem recíproca (pullback) para P n W e restrinja sobre Γ : O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ

107 Seja Γ P n W espaço total da família W. Seja q : P n W W induzido por projeção. A sequência de Euler se escreve Tensorize por O P n(d 1); O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. tome a imagem recíproca (pullback) para P n W e restrinja sobre Γ : O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Γ P n W q W

108 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ

109 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Faça imagem direta para W ; obtemos o diagrama de fibrados vetoriais / W, H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ )

110 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Faça imagem direta para W ; obtemos o diagrama de fibrados vetoriais / W, H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1

111 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Faça imagem direta para W ; obtemos o diagrama de fibrados vetoriais / W, H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1 U d := ker ε q (T P n (d 1)) ε V d := q (T P n (d 1) Γ )

112 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Faça imagem direta para W ; obtemos o diagrama de fibrados vetoriais / W, H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1 U d := ker ε q (T P n (d 1)) H 0 (P n, T P n (d 1)) W ε V d := q (T P n (d 1) Γ )

113 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Faça imagem direta para W ; obtemos o diagrama de fibrados vetoriais / W, H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1 U d := ker ε q (T P n (d 1)) logo que h 1 (O Γ (d 1))=0; H 0 (P n, T P n (d 1)) W ε V d := q (T P n (d 1) Γ )

114 O P n(d 1) O P n(d) O (n+1) W T P n (d 1) O P n(d 1) Γ O P n(d) O (n+1) Γ T P n (d 1) Γ Faça imagem direta para W ; obtemos o diagrama de fibrados vetoriais / W, H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1 U d := ker ε q (T P n (d 1)) ε V d := q (T P n (d 1) Γ ) H 0 (P n, T P n (d 1)) W logo que h 1 (O Γ (d 1))=0; por anulação de Serre, isso ocorre d>>0.

115 Mostra-se que V d é um fibrado vetorial para d >> 0.

116 Mostra-se que V d é um fibrado vetorial para d >> 0. A fibra de V d sobre C é H 0 (C, T P n (d 1) C ).

117 Mostra-se que V d é um fibrado vetorial para d >> 0. A fibra de V d sobre C é H 0 (C, T P n (d 1) C ). A fibra q (O P n(d)) C = H 0 (C, O C (d)), cujo posto é P W (d).

118 Mostra-se que V d é um fibrado vetorial para d >> 0. A fibra de V d sobre C é H 0 (C, T P n (d 1) C ). A fibra q (O P n(d)) C = H 0 (C, O C (d)), cujo posto é P W (d). Analogamente, a fibra (U d ) C é o espaço dos ξ H 0 (P n, T P n (d 1)) t.q. ξ C = 0.

119 Mostra-se que V d é um fibrado vetorial para d >> 0. A fibra de V d sobre C é H 0 (C, T P n (d 1) C ). A fibra q (O P n(d)) C = H 0 (C, O C (d)), cujo posto é P W (d). Analogamente, a fibra (U d ) C é o espaço dos ξ H 0 (P n, T P n (d 1)) t.q. ξ C = 0. Temos Σ(W, d) = P(Ud ).

120 Mostra-se que V d é um fibrado vetorial para d >> 0. A fibra de V d sobre C é H 0 (C, T P n (d 1) C ). A fibra q (O P n(d)) C = H 0 (C, O C (d)), cujo posto é P W (d). Analogamente, a fibra (U d ) C é o espaço dos ξ H 0 (P n, T P n (d 1)) t.q. ξ C = 0. Temos Σ(W, d) = P(Ud ). As mesmas sequências exatas serão utilizadas para computar classes de Chern equivariantes de V d nos exemplos abaixo.

121 q (O P n(d 1) Γ ) q (O P n(d) Γ ) (n+1) V d := q (T P n (d 1) Γ ).

122 q (O P n(d 1) Γ ) q (O P n(d) Γ ) (n+1) V d := q (T P n (d 1) Γ ). Lembremos o polinômio de Hilbert P W (d) = h 0 (C, O C (d)) d >> 0.

123 q (O P n(d 1) Γ ) q (O P n(d) Γ ) (n+1) V d := q (T P n (d 1) Γ ). Lembremos o polinômio de Hilbert P W (d) = h 0 (C, O C (d)) d >> 0. Temos assim rk V d = (n + 1)P W (d) P W (d 1).

124 q (O P n(d 1) Γ ) q (O P n(d) Γ ) (n+1) V d := q (T P n (d 1) Γ ). Lembremos o polinômio de Hilbert P W (d) = h 0 (C, O C (d)) d >> 0. Temos assim rk V d = (n + 1)P W (d) P W (d 1). Ponha m := dimw. A dimensão esperada de Σ(W, d) é edim Σ(W, d) = N + m rk V d = dim Σ(W, d).

125 q (O P n(d 1) Γ ) q (O P n(d) Γ ) (n+1) V d := q (T P n (d 1) Γ ). Lembremos o polinômio de Hilbert P W (d) = h 0 (C, O C (d)) d >> 0. Temos assim rk V d = (n + 1)P W (d) P W (d 1). Ponha m := dimw. A dimensão esperada de Σ(W, d) é edim Σ(W, d) = N + m rk V d = dim Σ(W, d). Temos edim Σ(W, d) dimσ(w, d) com igualdade quando o mapa Σ(W, d) Σ(W, d) for genericamente finito.

126 Proposiçâo. O mapa Σ(W, d) Σ(W, d) é genericamente injetivo d >> 0.

127 Proposiçâo. O mapa Σ(W, d) Σ(W, d) é genericamente injetivo d >> 0. Prova. Tome C correspondendo a um ponto geral em W e seja ξ geral na fibra de Σ(W, d) W. Por hipótese, C é reduzido e de dimensão pura positiva, dimc = degp W (d) > 0.

128 Proposiçâo. O mapa Σ(W, d) Σ(W, d) é genericamente injetivo d >> 0. Prova. Tome C correspondendo a um ponto geral em W e seja ξ geral na fibra de Σ(W, d) W. Por hipótese, C é reduzido e de dimensão pura positiva, dimc = degp W (d) > 0. Devemos mostrar que C é o único membro de W que aparece como subesquema de Sing(ξ).

129 Proposiçâo. O mapa Σ(W, d) Σ(W, d) é genericamente injetivo d >> 0. Prova. Tome C correspondendo a um ponto geral em W e seja ξ geral na fibra de Σ(W, d) W. Por hipótese, C é reduzido e de dimensão pura positiva, dimc = degp W (d) > 0. Devemos mostrar que C é o único membro de W que aparece como subesquema de Sing(ξ). Mais geralmente, temos o seguinte resultado tipo Bertini.

130 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n.

131 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0.

132 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y

133 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y união um conj. finito de pontos fora de Y.

134 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y união um conj. finito de pontos fora de Y. Prova. ( JVP)

135 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y união um conj. finito de pontos fora de Y. Prova. ( JVP) Ponha U := H 0 (X, J T ).

136 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y união um conj. finito de pontos fora de Y. Prova. ( JVP) Ponha U := H 0 (X, J T ). Este é o espaço de seções globais de T que são nulas ao longo de Y,

137 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y união um conj. finito de pontos fora de Y. Prova. ( JVP) Ponha U := H 0 (X, J T ). Este é o espaço de seções globais de T que são nulas ao longo de Y, por conta das sequências exatas J T T T Y

138 Lema. Seja Y um subesquema fechado de um esquema integral X de dimensão n, com feixe de ideais J. Seja T um feixe localmente livre sobre X de posto n. Suponha J T globalmente gerado e H 1 (X, J T ) = 0. Então a seção geral em H 0 (X, J T ) tem esquema de zeros suportado em Y união um conj. finito de pontos fora de Y. Prova. ( JVP) Ponha U := H 0 (X, J T ). Este é o espaço de seções globais de T que são nulas ao longo de Y, por conta das sequências exatas J T (e lembrando H 1 (X, J T ) = 0,) T T Y U H 0 (X, T ) H 0 (Y, T Y ).

139 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ).

140 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ). Seja X 0 := X \ Y, W 0 := W X 0.

141 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ). Seja X 0 := X \ Y, W 0 := W X 0. Note que J X 0 = O X 0.

142 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ). Seja X 0 := X \ Y, W 0 := W X 0. Note que J X 0 = O X 0. Logo, a correspondência W 0 = {(x, ξ) X 0 U ξ(x) = 0}

143 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ). Seja X 0 := X \ Y, W 0 := W X 0. Note que J X 0 = O X 0. Logo, a correspondência W 0 = {(x, ξ) X 0 U ξ(x) = 0} é um subfibrado vetorial de co-posto = rk T = dimx.

144 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ). Seja X 0 := X \ Y, W 0 := W X 0. Note que J X 0 = O X 0. Logo, a correspondência W 0 = {(x, ξ) X 0 U ξ(x) = 0} é um subfibrado vetorial de co-posto = rk T = dimx. Assim a dimensão de seu espaço total vale dimw 0 = dimu.

145 Lembre U := H 0 (X, J T ). Ponha W = ker ( X U J T ). Seja X 0 := X \ Y, W 0 := W X 0. Note que J X 0 = O X 0. Logo, a correspondência W 0 = {(x, ξ) X 0 U ξ(x) = 0} é um subfibrado vetorial de co-posto = rk T = dimx. Assim a dimensão de seu espaço total vale dimw 0 = dimu. Segue que a fibra geral de W 0 U é finita.

146 Obs. A Proposição sobre a injetividade genérica de Σ(W, d) Σ(W, d) segue, fazendo Y = C, T = T P n (d 1).

147 Obs. A Proposição sobre a injetividade genérica de Σ(W, d) Σ(W, d) segue, fazendo Y = C, T = T P n (d 1). De fato, se C é um membro de W com o mesmo suporte que C então C = C como esquemas

148 Obs. A Proposição sobre a injetividade genérica de Σ(W, d) Σ(W, d) segue, fazendo Y = C, T = T P n (d 1). De fato, se C é um membro de W com o mesmo suporte que C então C = C como esquemas porque C é reduzido e os polinômios de Hilbert são os mesmos.

149 Obs. A Proposição sobre a injetividade genérica de Σ(W, d) Σ(W, d) segue, fazendo Y = C, T = T P n (d 1). De fato, se C é um membro de W com o mesmo suporte que C então C = C como esquemas porque C é reduzido e os polinômios de Hilbert são os mesmos. Vale também com a hipótese C interseção completa local.

150 Agora, prosseguimos para limitar o grau de q W (d). Recordemos degσ(w, d) = W c m V d.

151 Agora, prosseguimos para limitar o grau de q W (d). Recordemos degσ(w, d) = W c m V d. Dado que o fibrado vetorial é uma imagem direta, V d = q (T P n (d 1) Γ )

152 Agora, prosseguimos para limitar o grau de q W (d). Recordemos degσ(w, d) = W c m V d. Dado que o fibrado vetorial V d = q (T P n (d 1) Γ ) é uma imagem direta, estamos na mesma situação de Cukierman-Lopez-V.

153 Em resumo, a classe de Chern c m V d é um polinômio ponderado de grau m = dimw nos coeficientes do caracter de Chern de V d.

154 Em resumo, a classe de Chern c m V d é um polinômio ponderado de grau m = dimw nos coeficientes do caracter de Chern de V d. Por Grothendieck-Riemann-Roch, esse caracter de Chern é por sua vez a imagem direta do produto da classe de Todd de P n pelos caracteres de Chern dos feixes O Γ e de T P n (d 1).

155 Em resumo, a classe de Chern c m V d é um polinômio ponderado de grau m = dimw nos coeficientes do caracter de Chern de V d. Por Grothendieck-Riemann-Roch, esse caracter de Chern é por sua vez a imagem direta do produto da classe de Todd de P n pelos caracteres de Chern dos feixes O Γ e de T P n (d 1). Este último envolve d apenas em grau n.

156 Em resumo, a classe de Chern c m V d é um polinômio ponderado de grau m = dimw nos coeficientes do caracter de Chern de V d. Por Grothendieck-Riemann-Roch, esse caracter de Chern é por sua vez a imagem direta do produto da classe de Todd de P n pelos caracteres de Chern dos feixes O Γ e de T P n (d 1). Este último envolve d apenas em grau n. Logo, c m V d é um polinômio em d de grau mn.

157 exemplos Impor uma reta em Sing ξ.

158 exemplos Impor uma reta em Sing ξ. Por simplicidade, n = 3. Agora a família W = G(2, 4), grassmanniana de retas em P 3.

159 exemplos Impor uma reta em Sing ξ. Por simplicidade, n = 3. Agora a família W = G(2, 4), grassmanniana de retas em P 3. Considere a sequencia tautológica, S P 1 Q onde P 1 = o fibrado trivial com fibra x 0,..., x 3, o espaço de polinômios homogêneos lineares.

160 exemplos Impor uma reta em Sing ξ. Por simplicidade, n = 3. Agora a família W = G(2, 4), grassmanniana de retas em P 3. Considere a sequencia tautológica, S P 1 Q onde P 1 = o fibrado trivial com fibra x 0,..., x 3, o espaço de polinômios homogêneos lineares. A fibra S l é o subespaço (2dim) de equações de uma reta l.

161 exemplos Impor uma reta em Sing ξ. Por simplicidade, n = 3. Agora a família W = G(2, 4), grassmanniana de retas em P 3. Considere a sequencia tautológica, S P 1 Q onde P 1 = o fibrado trivial com fibra x 0,..., x 3, o espaço de polinômios homogêneos lineares. A fibra S l é o subespaço (2dim) de equações de uma reta l. O quociente Q l é espaço (2dim) de coordenadas homogêneas sobre a reta.

162 A sequência exata vertical da direita no diagrama de imagens diretas H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1 q (T P n (d 1)) ε V d := q (T P n (d 1) Γ )

163 A sequência exata vertical da direita no diagrama de imagens diretas H 0 (P n, O P n(d 1)) W q (O P n(d 1) Γ ) H 0 (P n, O P n(d)) C n+1 W q (O P n(d) Γ ) C n+1 q (T P n (d 1)) ε V d := q (T P n (d 1) Γ ) agora se lê S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). } {{ } rank=3d+4

164 Usando um código para Schubert2 em Macaulay2 achamos

165 Usando um código para Schubert2 em Macaulay2 achamos ( d+2 ) 3 (81d d d d d + 48)/32,

166 Usando um código para Schubert2 em Macaulay2 achamos ( d+2 ) 3 (81d d d d d + 48)/32, grau da subvariedade Σ(W, d) P N de folheações em P 3 de grau d singular ao longo de alguma reta (variável). Temos aqui dimσ(w, d) = N 3d.

167 Usando um código para Schubert2 em Macaulay2 achamos ( d+2 ) 3 (81d d d d d + 48)/32, grau da subvariedade Σ(W, d) P N de folheações em P 3 de grau d singular ao longo de alguma reta (variável). Temos aqui dimσ(w, d) = N 3d. (3 + 5 = 2dimW.)

168 Bott-Elligsrud-Strømme

169 Bott-Elligsrud-Strømme Vamos indicar o cálculo acima usando localização. Isso é necessário para trabalhar com outros exemplos.

170 Bott-Elligsrud-Strømme Vamos indicar o cálculo acima usando localização. Isso é necessário para trabalhar com outros exemplos. Fazemos o toro T = C agir em (C 4 ) = x 0,..., x 3 via t x i := t w ix i, com pesos convenientes, e.g., w 0 = 0, w 1 = 2, w 2 = 7, w 3 = 16.

171 Bott-Elligsrud-Strømme Vamos indicar o cálculo acima usando localização. Isso é necessário para trabalhar com outros exemplos. Fazemos o toro T = C agir em (C 4 ) = x 0,..., x 3 via t x i := t w ix i, com pesos convenientes, e.g., w 0 = 0, w 1 = 2, w 2 = 7, w 3 = 16. Ganhamos ações naturais induzidas em P 3, de modo que os fibrados vetoriais usuais, O P 3(d), T P 3 são equivariantes.

172 Relembrando Euler, O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. vemos que na fibra, e.g., sobre e 0 P 3, o termo central é x 0 e 0,..., e 3.

173 Relembrando Euler, O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. vemos que na fibra, e.g., sobre e 0 P 3, o termo central é x 0 e 0,..., e 3. Assim, (T P 3 ) e0 = x 0 e 1, e 2, e 3 como T-espaços;

174 Relembrando Euler, O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. vemos que na fibra, e.g., sobre e 0 P 3, o termo central é x 0 e 0,..., e 3. Assim, (T P 3 ) e0 = x 0 e 1, e 2, e 3 como T-espaços; isso se decompõe como T-espaços uni-dimensionais com pesos u i := w 0 w i, i = 1, 2, 3.

175 Relembrando Euler, O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. vemos que na fibra, e.g., sobre e 0 P 3, o termo central é x 0 e 0,..., e 3. Assim, (T P 3 ) e0 = x 0 e 1, e 2, e 3 como T-espaços; isso se decompõe como T-espaços uni-dimensionais com pesos u i := w 0 w i, i = 1, 2, 3. As classes de Chern T-equivariantes de T P 3 no ponto fixo f = e 0 são precisamente as funções simétricas elementares,

176 Relembrando Euler, O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. vemos que na fibra, e.g., sobre e 0 P 3, o termo central é x 0 e 0,..., e 3. Assim, (T P 3 ) e0 = x 0 e 1, e 2, e 3 como T-espaços; isso se decompõe como T-espaços uni-dimensionais com pesos u i := w 0 w i, i = 1, 2, 3. As classes de Chern T-equivariantes de T P 3 no ponto fixo f = e 0 são precisamente as funções simétricas elementares, c f 1 = u 1 + u 2 + u 3,

177 Relembrando Euler, O P n O P n(1) C n+1 T P n 1 xi e i. vemos que na fibra, e.g., sobre e 0 P 3, o termo central é x 0 e 0,..., e 3. Assim, (T P 3 ) e0 = x 0 e 1, e 2, e 3 como T-espaços; isso se decompõe como T-espaços uni-dimensionais com pesos u i := w 0 w i, i = 1, 2, 3. As classes de Chern T-equivariantes de T P 3 no ponto fixo f = e 0 são precisamente as funções simétricas elementares, c f 1 = u 1 + u 2 + u 3, c f 2 = u 1u 2 + u 1 u 3 + u 2 u 3, c f 3 = u 1u 2 u 3.

178 Analogamente, temos ações naturais induzidas na grassmanniana de retas W = G(2, 4) e em seus fibrados T-equivariantes.

179 Analogamente, temos ações naturais induzidas na grassmanniana de retas W = G(2, 4) e em seus fibrados T-equivariantes. Aqui W tem seis pontos fixos, correspondentes aos eixos coordinados, x 0, x 1, x 0, x 2, x 0, x 3, x 1, x 2, x 1, x 3, x 2, x 3.

180 Analogamente, temos ações naturais induzidas na grassmanniana de retas W = G(2, 4) e em seus fibrados T-equivariantes. Aqui W tem seis pontos fixos, correspondentes aos eixos coordinados, x 0, x 1, x 0, x 2, x 0, x 3, x 1, x 2, x 1, x 3, x 2, x 3. Localizando nesses pontos fixos:

181 Analogamente, temos ações naturais induzidas na grassmanniana de retas W = G(2, 4) e em seus fibrados T-equivariantes. Aqui W tem seis pontos fixos, correspondentes aos eixos coordinados, x 0, x 1, x 0, x 2, x 0, x 3, x 1, x 2, x 1, x 3, x 2, x 3. Localizando nesses pontos fixos: degσ(w, d) = 4 (V d ) = Wc c f 4 (V d) f c f 4 (T W ),

182 Analogamente, temos ações naturais induzidas na grassmanniana de retas W = G(2, 4) e em seus fibrados T-equivariantes. Aqui W tem seis pontos fixos, correspondentes aos eixos coordinados, x 0, x 1, x 0, x 2, x 0, x 3, x 1, x 2, x 1, x 3, x 2, x 3. Localizando nesses pontos fixos: degσ(w, d) = 4 (V d ) = Wc c f 4 (V d) f c f 4 (T W ), onde c f 4 ( ) denota a classe de Chern T-equivariant no ponto fixo f.

183 f c f 4 c f 4 (V d) (T W )

184 f c f 4 c f 4 (V d) (T W ) Vejamos como se calcula o denominador, digamos em f = x 0, x 1.

185 f c f 4 c f 4 (V d) (T W ) Vejamos como se calcula o denominador, digamos em f = x 0, x 1. Calculamos a fibra T f W = Hom(S f, Q f ) = x 0, x 1 x 2, x 3

186 f c f 4 c f 4 (V d) (T W ) Vejamos como se calcula o denominador, digamos em f = x 0, x 1. Calculamos a fibra T f W = Hom(S f, Q f ) = x 0, x 1 x 2, x 3 = x 2 x 0 + x 3 x 0 + x 2 x 1 + x 3 x 1

187 f c f 4 c f 4 (V d) (T W ) Vejamos como se calcula o denominador, digamos em f = x 0, x 1. Calculamos a fibra T f W = Hom(S f, Q f ) = x 0, x 1 x 2, x 3 = x 2 x 0 + x 3 x 0 + x 2 x 1 + x 3 x 1 onde x i x j denota o T-subespaço com peso w i w j.

188 f c f 4 c f 4 (V d) (T W ) Vejamos como se calcula o denominador, digamos em f = x 0, x 1. Calculamos a fibra T f W = Hom(S f, Q f ) = x 0, x 1 x 2, x 3 = x 2 x 0 + x 3 x 0 + x 2 x 1 + x 3 x 1 onde x i x j denota o T-subespaço com peso w i w j. Temos c f 4 (T W ) = (w 2 w 0 )(w 3 w 0 )(w 2 w 1 )(w 3 w 1 ).

189 f c f 4 c f 4 (V d) (T W ) Vejamos como se calcula o denominador, digamos em f = x 0, x 1. Calculamos a fibra T f W = Hom(S f, Q f ) = x 0, x 1 x 2, x 3 = x 2 x 0 + x 3 x 0 + x 2 x 1 + x 3 x 1 onde x i x j denota o T-subespaço com peso w i w j. Temos c f 4 (T W ) = (w 2 w 0 )(w 3 w 0 )(w 2 w 1 )(w 3 w 1 ). Com a nossa escolha de pesos, isso vale 7840.

190 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ).

191 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1.

192 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1. Assim S 2 Q f = x 2 2, x 2 x 3, x 2 3.

193 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1. Assim S 2 Q f = x 2 2, x 2 x 3, x 2 3. A fibra do termo central é x 2 2, x 2 x 3, x 2 3 e0,..., e 3.

194 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1. Assim S 2 Q f = x 2 2, x 2 x 3, x3 2. A fibra do termo central é x 2 2, x 2 x 3, x3 2 e0,..., e 3. Temos que tomar o quociente pela imagem de x 2, x 3 pelo mapa v vx i e i = vx 2 e 2 + vx 3 e 3.

195 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1. Assim S 2 Q f = x 2 2, x 2 x 3, x 2 3. A fibra do termo central é x 2 2, x 2 x 3, x 2 3 e0,..., e 3. Temos que tomar o quociente pela imagem de x 2, x 3 pelo mapa v vx i e i = vx 2 e 2 + vx 3 e 3. Portanto a fibra de V 2 se decompõe na forma (x2 ) i (x 3 ) 2 i x j x 2 x 3

196 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1. Assim S 2 Q f = x 2 2, x 2 x 3, x 2 3. A fibra do termo central é x 2 2, x 2 x 3, x 2 3 e0,..., e 3. Temos que tomar o quociente pela imagem de x 2, x 3 pelo mapa v vx i e i = vx 2 e 2 + vx 3 e 3. Portanto a fibra de V 2 se decompõe na forma (x2 ) i (x 3 ) 2 i x j x 2 x 3 = x 2 2 x 3 + x x2 2 x 1 + x2 2 x 0 + x x 2x 3 x 1 + x 2x 3 x 0 + x2 3 x 2 + x2 3 x 1 + x2 3 x 0.

197 Analogamente, o numerador requer a decomposição em pesos de V d : S d 1 Q S d Q P 1 V d := q (T P 3 (d 1) Γ ). Digamos d = 2, f = x 0, x 1. Assim S 2 Q f = x 2 2, x 2 x 3, x 2 3. A fibra do termo central é x 2 2, x 2 x 3, x 2 3 e0,..., e 3. Temos que tomar o quociente pela imagem de x 2, x 3 pelo mapa v vx i e i = vx 2 e 2 + vx 3 e 3. Portanto a fibra de V 2 se decompõe na forma (x2 ) i (x 3 ) 2 i x j x 2 x 3 = x 2 2 x 3 + x x2 2 x 1 + x2 2 x 0 + x x 2x 3 x 1 + x 2x 3 x 0 + x2 3 x 2 + x2 3 x 1 + x2 3 x 0. A contribuição numérica correspondente vale

198 O ponto fixo escolhido fornece a fração /7840.

199 O ponto fixo escolhido fornece a fração /7840. A contribuição total nos 6 pontos fixos vale 11913/ / / / / /7840 = 952,

200 O ponto fixo escolhido fornece a fração /7840. A contribuição total nos 6 pontos fixos vale 11913/ / / / / /7840 = 952, grau da subvariedade de F(n, 2) formada pelas folheações de grau 2 que são singulares ao longo de alguma reta.

201 O ponto fixo escolhido fornece a fração /7840. A contribuição total nos 6 pontos fixos vale 11913/ / / / / /7840 = 952, grau da subvariedade de F(n, 2) formada pelas folheações de grau 2 que são singulares ao longo de alguma reta. Como degσ(w, d) é um polinômio em d de grau 12, basta achar o grau para 13 valores de d

202 O ponto fixo escolhido fornece a fração /7840. A contribuição total nos 6 pontos fixos vale 11913/ / / / / /7840 = 952, grau da subvariedade de F(n, 2) formada pelas folheações de grau 2 que são singulares ao longo de alguma reta. Como degσ(w, d) é um polinômio em d de grau 12, basta achar o grau para 13 valores de d e interpolar:-).

203 O ponto fixo escolhido fornece a fração /7840. A contribuição total nos 6 pontos fixos vale 11913/ / / / / /7840 = 952, grau da subvariedade de F(n, 2) formada pelas folheações de grau 2 que são singulares ao longo de alguma reta. Como degσ(w, d) é um polinômio em d de grau 12, basta achar o grau para 13 valores de d e interpolar:-). Contas todas feitas com Singular.

204 impor uma cônica Nossa família W é uma P 5 -fibração sobre ˇP 3.

205 impor uma cônica Nossa família W é uma P 5 -fibração sobre ˇP 3. Concretamente, escrevamos a sequencia tautológica do espaço projetivo dual, OˇP3( 1) (C 4 ) ˇP 3 Q. Temos W = P(S 2 Q), uma P 5 -fibração sobre ˇP 3.

206 impor uma cônica Nossa família W é uma P 5 -fibração sobre ˇP 3. Concretamente, escrevamos a sequencia tautológica do espaço projetivo dual, OˇP3( 1) (C 4 ) ˇP 3 Q. Temos W = P(S 2 Q), uma P 5 -fibração sobre ˇP 3. Há 4 6=24 pontos fixos.

207 impor uma cônica Nossa família W é uma P 5 -fibração sobre ˇP 3. Concretamente, escrevamos a sequencia tautológica do espaço projetivo dual, OˇP3( 1) (C 4 ) ˇP 3 Q. Temos W = P(S 2 Q), uma P 5 -fibração sobre ˇP 3. Há 4 6=24 pontos fixos. Calculando Bott para 2 d 26 e interpolando, vem

208 degσ(w, d) = ( ) 3 ( d 2 (3d 2 d + 2i) 16767d d d d d d d d d d 96000) /( ).

209 degσ(w, d) = ( ) 3 ( d 2 (3d 2 d + 2i) 16767d d d d d d d d d d 96000) /( ). De maneira análoga, para o caso W = { cúbicas planas }: degσ(w, d) = ( ) 9 ( d 1 2 (3d 2 7d + 2i) 18225d d d d d d d d d d ) /( ).

210 degσ(w, d) = ( ) 3 ( d 2 (3d 2 d + 2i) 16767d d d d d d d d d d 96000) /( ). De maneira análoga, para o caso W = { cúbicas planas }: degσ(w, d) = ( ) 9 ( d 1 2 (3d 2 7d + 2i) 18225d d d d d d d d d d ) /( ). (Compare deg s e dim s.)

211 W := {twisted cubics} Para detalhes computationais, veja meu www. ( (d 1) d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ) /( ).