Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 1 / 49

Conceitos Fundamentais Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 2 / 49

História da Estatística no mundo Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 8 / 49

Introdução Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 20 / 49

Introdução A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática desenvolvido para tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade de a sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Exemplos: 1 O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de Ohm: I = E/R). 2 O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo (Lei da Gravitação: t = 2d/g). 3 O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC = peso/altura 2 ). Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o resultado do experimento são apropriados. Tais modelos são chamados de modelos determinísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 21 / 49

Introdução Existem outros fenômenos cuja observação, repetida sob condições especificadas, não conduz sempre ao mesmo resultado. Exemplos: 1 Lançamento de uma moeda. 2 Jogo de futebol: SPORT x Náutico. 3 Pode parecer impossível fazer qualquer afirmação válida sob tais fenômenos, contudo a experiência mostra que muitos fenômenos aleatórios exibem uma regularidade estatística que os torna passíveis de estudo. Para tais fenômenos, modelos que estipulam que as condições do experimento determinam apenas o comportamento probabilístico do resultado observável são apropriados. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 22 / 49

Introdução A teoria da probabilidade oferece métodos de quantificação das chances ou possibilidades de ocorrência associadas aos diversos resultados de um experimento aleatório. Experimento Aleatório: É qualquer ação ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza. Isto é, um experimento aleatório pode fornecer diferentes resultados, embora seja repetido da mesma maneira. Pergunta: O que os experimentos aleatórios têm em comum? Resposta: Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Embora não possamos afirmar que resultado particular ocorrerá, nós podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 23 / 49

Introdução Quando o experimento é executado repetidamente, sob as mesmas condições, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma casual (acidental). No entanto, à medida que o número de repetições aumenta, surgem certos padrões na frequência de ocorrência dos resultados. É esta regularidade (padrão) que torna possível construir um modelo matemático para analisar o experimento. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 24 / 49

Introdução Observação 1.1: Cada resultado possível é denominado elemento de Ω e denotado por ω. Exemplos de experimentos aleatórios: E1: Jogue um dado e observe a face superior. E2: Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e coroas. E3: Jogue uma moeda três vezes e observe ao número de caras obtidos. E4: Jogue uma moeda até obter a primeira cara e observe a sequência obtida. E5: Jogue uma moeda até obter a primeira cara e observe o número de lançametos necessários. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 26 / 49

Introdução Exemplos de experimentos aleatórios: E6: Um lote de 10 testes de farmácia contém 3 defeituosos. Os testes são retirados um a um (sem reposição) até que o último teste defeituoso seja encontrado. O número total de testes retirados do lote é contado. E7: Avaliação de uma nova máquina para realização de exames no Hospital Vida Saudável. O tempo decorrido (em horas) até a falha é registrado. E8: Avaliação de perdas na Energisa. O número de ligações clandestinas em uma comunidade é anotado. E9: Avaliação do desempenho dos alunos de MPIE. A média final é anotada. E10: Em um estudo sobre obesidade infantil, escolhe-se dez crianças cujos pesos são anotados. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 27 / 49

Introdução Exercício: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos anteriormente. Espaços amostrais: E1: Ω =. E2: Ω = E3: Ω =. E4: Ω = E5: Ω =. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 28 / 49

Introdução Exercício: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos anteriormente. Espaços amostrais: E6: Ω =. E7: Ω =. E8: Ω = E9: Ω =. E10: Ω =. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 29 / 49

Exercícios Exercício: Descreva um espaço amostral para cada um dos experimentos descritos abaixo. (a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. (b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. (c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 30 / 49

Exercícios (d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. (e) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma. (f) Uma máquina produz 20 medicamentos por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. (g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. As faces observadas são anotadas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 31 / 49

Introdução Definição 1.2: (Evento) É qualquer subconjunto de resultados contidos no espaço amostral. Observação 1.2: Como regra geral, uma letra maiúscula será usada para denotar um evento. Observação 1.3: Quando um experimento é realizado, diz-se que ocorre o evento A se o resultado do experimento estiver contido em A. Observação 1.4: O espaço amostral Ω é o evento certo e o conjunto vazio é o evento impossível. IMPORTANTE: Escrevemos ω Ω para indicar que o elemento ω está em Ω. Escrevemos A Ω para indicar que A é um subconjunto do espaço amostral. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 32 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 33 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos Para apresentar os conceitos básicos de probabilidade, usaremos algumas ideias da teoria de conjuntos. Um conjunto é uma coleção de objetos, representados por letras maiúsculas A, B, etc. Existem três maneiras de descrever que objetos estão contidos no conjunto A: 1 Fazer uma lista dos elementos de A: A = {1, 2, 3, 4}. 2 Descrever o conjunto A por meio de palavras: A é formado pelas notas dos alunos aprovados em Probabailidade I. 3 A = {x 0 x 1}; A é o conjunto de todos os números reais entre 0 e 1. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 34 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos Algumas Notações Importantes: A notação ω A significa que ω é um elemento de A. A notação ω / A significa que ω não pertence a A. Para representar um conjunto, também usaremos a notação{ω : p(ω)}, onde p(ω) é uma proposição concernete a ω, e o conjunto consiste de todos os elementos para os quais p(ω) é verdadeira. Exemplo: {ω : ω = 2k; k = 1, 2,...} é o conjunto de todos os inteiros positivos pares. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 35 / 49

Introdução Exercício: Descreva o evento associado a cada experimento. Eventos: (E1) A =Um número ímpar ocorre. (E2) =Obtenção de faces iguais. (E7) C =A máquina falha em menos de um dia. (E8) D =Pelo menos quatro casas apresentam ligações clandestinas. (E9) E =O Aluno passa na disciplina. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 36 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos 1.1 Algumas operações entre conjuntos 1 UNIÃO: A B = {w Ω : w A ou w B (ou ambos)} A B será formado por todos os elementos que estejam em A, ou em B, ou em ambos (adição). 2 INTERSEÇÃO: A B = {w Ω : w A e w B} A B será formado por todos os elementos que estejam em A e em B (multiplicação). 3 COMPLEMENTAR: A c = {w Ω : w / A} A c será formado por todos os elementos de Ω que não estejam em A. 4 DIFERENÇA: A B = {w Ω : w A e w / B} A B será formado por todos os elementos de A, exceto os que também estejam em B (A B = A B c ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 37 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos Observação 1.8: As operações de união e interseção podem ser estendidas a mais de dois eventos. A 1 A 2... A n ou A 1 A 2... A n ou n i=1 n i=1 A i A i IMPORTANTE: Uma representação gráfica utilizada para uma melhor visualização das operações entre eventos é o diagrama de Venn. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 38 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos Definição 1.5: (Eventos disjuntos) Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos se e somente se A B =. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 44 / 49

Uma revisão sobre a teoria dos conjuntos Definição 1.6: (Espaço produto) Sejam Ω 1 e Ω 2 dois espaços amostrais. O espaço produto Ω = Ω 1 Ω 2 é dado por: Ω 1 Ω 2 = {(w 1, w 2 ) : w 1 Ω 1 e w 2 Ω 2 } Exeperimento: Dois dados são jogados e as faces são observadas. Espaço Amostral(Ω): 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 46 / 49

Exercícios 1. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelha. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida a urna e retira-se outra bola. Anota-se o resultado obtido. Obtenha o espaço amostral desse experimento. 2. Dois dados são lançados. Sejam os eventos: A=o primeiro número é maior que o segundo, B=o primeiro número é igual ao dobro do segundo e C=a soma dos dois números é maior ou igual a 8. Descreva os eventos: A, B, C, A c B, B C c, (A c ) c C e (A (B C)) c. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 47 / 49

Exercícios 3. Considere os veículos que trafegam pela BR-230 na altura da UFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(S), seguir em direção à UFPB(R) ou seguir em direção ao centro (L). Observe a direção de cada um de 3 veículos sucessivamente: 1 Relacione todos os resultados do evento A em que todos os veículos seguem na mesma direção. 2 Relacione todos os resultados do evento B em que todos os veículos seguem diferentes direções. 3 Relacione todos os resultados do evento C em que exatamente dois dos três veículos seguem para a UFPB. 4 Relacione todos os resultados do evento D em que exatamente dois veículos seguem na mesma direção. 5 Relacione os resultados em D c, C D e C D. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 48 / 49