2. Noções de Matemática Elementar 1 Notação cientíca Para escrever números muito grandes ou muito pequenos é mais cómodo usar a notação cientíca, que consiste em escrever um número na forma n é o expoente de 10. Temos x = a 10 n. (1) 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000... (2) Vemos portanto que 10 n quer dizer 1 seguido de n zeros. Para números menores que 1 usam-se os expoentes negativos: 10 1 = 1 10 1 = 0.1 10 2 = 1 10 2 = 0.01 10 3 = 1 = 0.001... (3) 103 Vemos portanto que 10 n é 0. seguido de n casas decimais, sendo a última um 1 e todas as outras 0. Exemplo 7, 5 10 2 = 7, 5 100 = 750 1
1.1 Regras 1. 2. 10 n 10 m = 10 n+m (4) 10 n 10 m = 10n m (5) 1.2 Prexos 1. Kilo=K=10 3 ; mili=m=10 3 ; 2. Mega=M=10 6 ; micro=µ = 10 6 ; 3. Giga=k=10 9 ; nano=n=10 9 ; 4. Tera=T=10 12 ; pico=p=10 12 ; 2 Álgebra Básica Oito vezes o meu número de laranjas é 32 quer dizer 8x = 32. Quanto é x? Podemos dividir os dois termos da equação por 8: 8x 8 = 32 8 x = 4. O meu número de laranjas mais 3 é 7 quer dizer x + 3 = 7. Quanto é x? Podemos adicionar 3 aos dois termos, e ca x + 3 3 = 7 3 x = 4. O meu número de laranjas a dividir por 2 é 2 quer dizer x 2 = 2. Quanto é x? Podemos multiplicar por 2 os dois termos, e ca x 2 2 = 2 2 x = 4. 2
Em geral, a b x + c = d a b x = d c (6) x = b (d c). a 3 Manipulação de parêntesis 1. Propriedade distributiva: 2. Expansão de um quadrado: a(b + c) = ab + ac. (7) (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a 2 + ba + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2. (8) 3. Uma factorização importante 4 Fracções 1. Multiplicação de fracções 2. Divisão de fracções a 2 b 2 = (a + b)(a b). (9) a b c d a b c d = ac bd. (10) = a b d c = ad bc. (11) 3. Para somar (ou subtrair) fracções há que reescrevê-las de forma a terem o mesmo denominador: a b ± c d = ad bd ± cb bd ad ± bc =. (12) bd 3
5 Potências A notação cientíca é um caso particular da aplicação de potências. Como há pouco, As regras são 1. Multiplicação x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x x x (13) x 1 = 1/x 1 x 2 = 1/x 2 x n = 1/x n x n x m = x n+m (14) 2. Divisão 3. Exponenciação 4. Radicais x n x m = xn m (15) (x n ) m = x nm (16) x 1/n = n x. (17) O que é n x? É um número y tal que y n = x: n x = y y n = x. (18) A raiz mais comum é a quadrada: 2 x = y y 2 = x. (19) 6 Funções O que é uma função? É uma operação que transforma elementos de um dado conjunto A em elementos de outro conjunto B, sendo que a cada elemento de A corresponde apenas 4
um elemento de B (mas o mesmo elemento de B pode ser a imagem de vários elementos de A). Por exemplo, se deixarmos cair um corpo do cimo de uma torre e pudermos medir a distância que ele vai percorrendo e o tempo em que percorre essa distância, então temos os conjuntos A=tempo de queda e B=distância percorrida. Se representarmos os elementos de A por t e os elementos de B por x, então a função que faz a correspondência entre os elementos de A e B é A ilustração deste exempo está na gura 1. x = f(t) = 4.9t 2. (20) Figura 1: A função queda livre transforma os tempos em distâncias Outro exemplo: o preço a pagar por uma dada quantidade de laranjas. Temos A=quantidade de laranjas (m, em kg) e B=preço a pagar (p, em euros). Então, se o preço por kg for 2 euros, temos p = f(m) = 2m. (21) Agora imaginemos que temos de pagar 50 cêntimos pelo saco que contém as laranjas, independentemente da quantidade de laranjas a comprar. Então a função preço passa a ser p = f(m) = 2m + 0.5. (22) As funções podem ser descritas por expressões analíticas simples, como as dos exemplos anteriores, mas também podem ter expressões muito mais complicadas. Podem ainda ser expressas por tabelas, sem que haja alguma fórmula que se lhe adapte. 5
7 Representação gráca Quando queremos representar uma função y = f(x) recorremos a um gráco. No eixo horizontal colocamos os valores de x e no eixo vertical colocamos os valores de y. Vejamos os grácos das funções dos exemplos anteriores nas guras 2 e 3: Figura 2: O gráco da função x = 4, 9t 2 Figura 3: O gráco da função p = 0, 5 + 2m Vejamos ainda outro exemplo: a posição de um carro que viaja à velocidade v=60 km/h. Temos então que a distância percorrida (d, em km) é uma função do tempo de viagem (t, em h). A correspondência é simplesmente d = 60t, (23) 6
e o gráco é também uma linha recta (gura 4). Figura 4: O gráco da função d = 60t O seguinte gráco (gura 5) refere-se também à distância percorrida por um carro. Como interpretar este gráco? Figura 5: Que função é esta? O que aconteceu ao carro? 8 Logaritmos O logaritmo de um número na base a dene-se assim: Se x = a y então y = log a x. (24) Por outras palavras, o logaritmo de x na base a é o número y a que é preciso elevar a para se ter a y = x. 7
Por agora os logaritmos que nos interessam são os de base 10. Por isso, em vez de escrever log 10 escrevemos simplesmente log. Temos Por exemplo, 1000 = 10 3 quer dizer que log 1000 = 3. Propriedades do logaritmos x = 10 y y = log x. (25) 1. Valores notáveis (porque 10 0 = 1). (porque 10 1 = 10) 2. log do produto log 1 = 0 (26) log 10 = 1 (27) log(ab) = log a + log b (28) 3. log da divisão log a b = log a log b (29) 4. log do expoente log(a n ) = n log a (30) O gráco da função logaritmo (ver a gura 6) mostra que o seu crescimento é lento: y = log x varia pouco relativamente a x. Na verdade, enquanto x toma os valores 1, 10, 100, 1000, 10000,..., y toma os valores 0,1,2,3,4,... Ex.: calcular log(5, 6 10 7 ) 9 Regras de três simples (proporcionalidade) Se 1,8 kg de laranjas custa 3 euros, quanto custa 0,6 kg? Uma forma rápida de não nos enganarmos é fazer uma regra de três simples, exprimindo a proporcionalidade entre a quantidade de laranjas e o seu preço 1, 8 kg 3 euros 0, 6 kg x euros (31) Temos então que x = 0, 6 3 euros 1, 8 = 1 euro. (32) 8
Figura 6: O gráco da função log x (nota: log 1 = 0 e log 0 não está denido. A escala é muito grande e parece que o primeiro ponto é 0. Não é. O primeiro ponto é x = 1.) 10 Ângulos Uma volta completa são 360 o graus Um jogador de futebol disse um dia que a sua vida tinha levado uma volta de 360 o... A partir dos 360 o os ângulos voltam a repetir-se. Por exemplo: 400 = 360 + 40 40 3601 = 10 360 + 1 1 10.1 Medida de graus em radianos Os ângulos podem também exprimir-se em radianos. Como se indica na gura 7, o ângulo em radianos vale θ = s r, (33) em que s é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo e r é o raio da circunferência. Como já sabemos que o perímetro da circunferência vale 2πr, então a volta completa em radianos (360 o ) vale θ(360 ) = 2πr r = 2π. (34) 9
Figura 7: Denição de radiano Para determinar qualquer outro ângulo podemos usar uma regra de 3 simples. Por exemplo, quanto é 45 o em radianos? 360 2π rad 45 θ rad e 45 2π θ = = π 360 4. (35) Outra forma de fazer as conversões é simplemente usar os factores de conversão: de graus para radianos: multiplicar por π/180 de radianos para graus: multiplicar por 180/pi Quanto é um radiano em graus? 11 Senos e co-senos A denição de seno e co-seno faz-se através da gura 8. É importante notar que o triângulo é recto, isto é, um dos seus ângulos internos é 90 o. As três coisas básicas que se devem saber sobre triângulos rectângulos: 1. Um dos seus ângulos intermos é 90 o. 2. Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2. 10
Figura 8: Denições de seno e co-seno 3. A soma dos seus três ângulos internos é 180 o (válido para qualquer triângulo). Temos que cateto oposto sin θ = hipotenusa = b (36) a e cateto adjacente cos θ = = c (37) hipotenusa a Através do teorema de Pitágoras podemos demostrar uma igualdade muito importante: sin 2 θ + cos 2 θ = 1. (38) Com efeito, temos, sin 2 θ + cos 2 θ = b2 a + c2 2 a = b2 + c 2 2 a 2 = a2 a 2 = 1. O círculo trigonométrico (gura 9) também nos ajuda a compreender estas funções. O círculo trigonométrico tem raio=1 e por isso a hipotenusa dos triângulos que vamos desenhar nesse círculo é 1. Assim temos que sin θ = b/1 = b e cos θ = c/1 = c O valor de cos θ lê-se no eixo dos xx. Em θ = 0 o segmento que dene θ coincide com o raio. Portanto cos θ = 1 em θ = 0. À medida que o ângulo vai aumentando o segmento que dene θ diminui de comprimento. Em θ = 90 é mesmo zero. Portanto cos 90 = 0. Quando passamos ao segondo quadrante (90 < θ < 180 ) passamos a ter valores de cos θ negativos. Em θ = 180 o comprimento do segmento é igual ao raio=1, mas tem valor negativo. ortanto 11
Figura 9: O círculo trigonométrico cos 180 = 1. Se zermos então o gráco da função cos θ (em que a cada valor de θ, na horizontal, se faz corresponder o seu valor de cos θ, na vertical), obtemos a gura 10. Figura 10: A função co-seno Podemos fazer a mesma representação para o seno. Desta vez obtemos a gura 11 Podemos representar as duas funções no mesmo gráco, tal como está na gura 12. 12
Figura 11: A função seno Figura 12: As funções seno e co-seno 11.1 Identidades Trigonométricas importantes Seguem-se algumas identidades que podem ser úteis no trabalho com as funções seno e co-seno: 1. sin 2 θ + cos 2 θ = 1 2. sin 2θ = 2 sin θ cos θ 3. cos 2θ = cos 2 θ sin 2 θ 4. sin 2 θ = 1 (1 cos θ) 2 2 5. cos 2 θ = 1 (1 + cos θ) 2 2 6. 1 cos θ = 2 sin 2 θ 2 13
7. sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b 8. cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b 9. sin a ± sin b = 2 sin[ 1(a ± b)] cos[ 1 (a b)] 2 2 10. cos a + cos b = 2 cos[ 1(a + b)] cos[ 1 (a b)] 2 2 11. cos a cos b = 2 sin[ 1(a + b)] sin[ 1 (b a)] 2 2 12 A importância das funções trigonométricas na acústica Muitos movimentos periódicos são descritos por uma função seno ou co-seno. Por exemplo, as oscilações numa corda podem ser sinusoidais (ver gura 13) Figura 13: A função seno numa corda Se num dado instante de tempo (fotograa) zermos a correspondência entre x (coordenada horizontal dos pontos da corda, com origem no rapaz da direita, p. ex.) e y (altura dos pontos da corda medida a partir da posição de repouso), então obtemos o gráco de um seno ou co-seno (gura 13). Também podemos pensar no movimento de uma massa ligada a uma mola (gura 14). Se agora zermos a correspondência entre t (tempo decorrido) e y (altura da massa relativamente à posição de equilíbrio), então também vamos obter o gráco do co-seno. Finalmente, e o mais importante para nós, o som é descrito através de funções trigonométricas. Como já vimos, o som corresponde à propagação de zonas de compressão e rarefacção do ar. Se zermos um gráco em que x é a distância da fonte (no caso da gura um altifalante) e y a densidade das moléculas de ar, então obteremos o gráco de um seno ou de um co-seno. Isto está ilustrado na gura 15. 14
Figura 14: A função seno numa mola Figura 15: A função seno no som 15