Séries de Potências Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Séries de Potências Definição A série do tipo a n (x c) n é denominado de série de potências. Dado uma série de potências, existe R na qual a série converge para x c < R (no interior do intervalo de raio R com centro em C) e diverge para x c > R. Este valor R é denominado de raio de convergência. Quanto mais próximo do centro, a convergência será mais rápida e quanto mais próximo dos extremos, a convergência mais lenta.
Raio e Intervalo de Convergência Uma forma de obter o raio de convergência R é aplicar o teste da razão ou da raiz, incluindo potências de (x c) para determinar valores de x na qual a série converge. Definição O intervalo de convergência é o intervalo I com centro em c e raio R tal que a série de potências converge se, e somente se, x I. Como convergência é garantido em x c < R R < x c < R c R < x < c + R e a divergência é análoga, o intervalo é similar a [c r, c + R] com cada extremo, aberto ou fechado dependendo da série, o que requer testes.
Intervalo de Convergência Teorema (Abel) A série de potências é contínua no intervalo de convergência. Exemplo Obter o raio e o intervalo de convergência da série n e n x 3n+5. Exercício 1 Obter o intervalo de convergência da série n n+1 (x 1) 2 2n. Exercício 2 Obter o raio e o intervalo de convergência da série (2x 1) n 2.
Exemplo Determine o intervalo de convergência de x n n. Exercício 3 Determine o intervalo de convergência das seguintes séries: (a) n n (x 3) n (b) x 2n+1 ( 4) n (c) ( 1) n+1 x n Respostas: (a) {3} (b) ( 2, 2) (c) ( 1, 1)
Derivadas e Integrais Séries de Potências Derivadas e integrais das séries de potências são efetuadas termo a termo. Deve se ter atenção quando obtêm-se a derivada, pois o termo constante vai sumir (a n x n para n = 0). Caso não se observar isto, poderá aparecer potências negativas! Na derivada, pode se perder a convergência nos extremos e na integral, poderá ganhar convergência nos extremos, mas o raio de convergência não muda. Exemplo Considerando que e x x n =, determine a representação em série n! de potência da função e x2 dx.
Exercício 4 (n + 1)x n Calcule a integral da série de potências no intervalo [ 1,1]. 2 n Exercício 5 Considerando que f (x) = ln(1 + x) = determine: (a) f (x) ( 1) n x n+1 n + 1 (b) f (x) dx para 1 < x 1, Exercício 6 Considerando que que f (x) = tg 1 x = determine: (a) f (x) (b) ( 1) n x 2n+1 2n + 1 f (x) dx para 1 x 1,
Série de Taylor Séries de Potências A Série de Taylor é importante pois serve para aproximar funções por polinômios numa vizinhança do ponto a. Série de Taylor f (x) = f (n) (a) (x a) n n! No caso particular da Série de Taylor quando a = 0, temos a Série de Maclaurin. Série de Maclaurin Exemplo f (x) = f (n) (0) x n n! Encontre as séries de Maclaurin para as funções: (a) f (x) = e x (b) f (x) = cos x (c) f (x) = sen x
Exercício 7 Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: (a) (b) (c) n=2 n(x 1) 2n 3 2n 1 ( 1) n x n n ln n (x + 5) n 1 n=1 n 2 (d) (e) (f) n!x n n=1 2 n (2n)! x 2n (3 x) n 1 n (g) (h) (i) n=1 n=1 n=1 (1 x) n (n + 1)3 n ( 1) n 2 n x n (n + 1) 3 ( 1) n+1 x 2n 1 (2n 1)! Respostas: (a) ( 2,4) (b) ( 1,1] (c) [ 6, 4] (d) {0} (e) (, ) (f) (2,4] (g) ( 2,4] (h) [ 1 2, 1 2 ] (i) (, )
Exercício 8 1 Usando a fórmula 1 x = x n, válida para x < 1, obtenha uma série de potências de x para representar cada uma das funções abaixo. Em cada caso, especique o conjunto de valores de x onde a representação é válida. (a) 1 1 4x (b) 1 1 x 2 (c) 1 1 + x 2 Respostas: (d) 1 1 x 4 (e) 1 2 + x (f) x 1 x 2 (g) x 2 3x (h) 1 (1 x) 2 (a) 4 n x n, x < 1 4 (d) x 4n, x < 1 ( 1) n x n (e), x < 2 2 n+1 (f) x 2n+1, x < 1 (g) 3 n x n+1 2 n+1, x < 2 3
Exercício 9 Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4 casas decimais: (a) (b) 1 3 0 1 2 0 Respostas: dx 1 + x 6 arctan(x 2 ) dx (c) (d) 1 2 0 1 0 e x3 dx sen (x) x dx (a) 0,3299 (b) 0,0413 (c) 0,4849 (d) 0,9460
Exercício 10 Encontre a Série de Maclaurin de cada função dada a seguir: (a) f (x) = e x 2 (b) f (x) = x sen x (c) f (x) = sen 2 x Respostas: (a) (b) (c) ( 1) n x 2n n=1 n! ( 1) n x 2n+2 (2n + 1)! ( 1) n+1 (2x) 2n 2(2n)! (d) f (x) = ln(1 + x 2 ) (e) f (x) = cos 2 x (f) f (x) = e 4 x ( 1) n x 2n+2 (d) n + 1 ( 1) n (2x) 2n (e) 1 + 2(2n)! (f) e 4 n=1 ( 1) n x n n! (g) f (x) = sen (4x) (h) f (x) = sen x x (g) (h) ( 1) n 4 2n+1 x 2n+1 (2n + 1)! ( 1) n x 2n (2n + 1)!
Exercício 11 Encontre uma série de potências que represente as funções: (a) ln(1 + x) (b) arctan(x) (c) arccotg(x) Exercício 12 Em estatística a função E(x) = 2 π x 0 e t2 dt recebe o nome de Função Erro. Encontre a Série de Maclaurin da função E(x). Resposta: E(x) = 2 ( 1) n x 2n+1 π n!(2n + 1)