Cao cusista, Todas as dúvidas deste cuso podem se esclaecidas atavés do nosso plantão de atendimento ao cusista. Plantão de Atendimento Hoáio: quatas e quintas-feias das 14:00 às 15:30 MSN: lizado@if.uff.b Telefones: Endeeço: 0800-282-3939 (21) 2299-9622 Fundação CECIERJ Extensão em Física Rua Visconde de Niteói, 1364 Mangueia - Rio de Janeio CEP: 20943-001 Se você enconta eos ou tive sugestões paa melhoa a qualidade das aulas do cuso, po favo, nos mande uma mensagem atavés do link: http://www.cedej.edu.b/extensao/fisica/fale.php?pocedencia=http: //www.cedej.edu.b/extensao/contato/index.htm Texto atualizado em 21 de Junho de 2007
Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Aula 5 Aplicações das leis de Newton II Na aula anteio nós estudamos algumas aplicações das leis de Newton em situações envolvendo movimento linea. Agoa nós discutiemos o movimento que é pouco mais complicado. Po exemplo, nós aplicaemos as leis de Newton a objetos pecoendo caminhos ciculaes. 5.1 Movimento cicula Confome vimos no cuso de cinemática, uma patícula com velocidade unifome v em um caminho cicula de aio expeimenta uma aceleação que tem um magnitude a c = v2 (5.1) A aceleação é chamada aceleação centípeta devido ao fato de a c está diigida em dieção ao cento do cículo. Além disso, a c é sempe pependicula a v, se existisse uma componente de aceleação paalela a v, a velocidade da patícula estaia mudando. Vamos considea uma bola de massa m que está pessa a uma coda de compimento e que está sendo giada em velocidade constante em um caminho cicula hoizontal, como ilustado na figua abaixo. Seu peso é balanceado po uma mesa cuja supefície não tem ficção. Façamos então a seguinte pegunta: O que faz com que a bola se mova em um cículo? De acodo com a pimeia lei de Newton, a bola tende a se move em uma linha eta; no entanto, a coda evita o movimento ao longo de uma linha eta, execendo sobe a bola uma foça adial de F que faz ela segui o caminho cicula. Está foça é diigida ao longo da coda em dieção ao cento do cículo, como mostado na figua acima. página 44
Dinâmica Figua 5.1: O movimento cicula. Se nós aplicamos a segunda lei de Newton ao longo da dieção adial, nós encontamos que a foça total causando a aceelação centipeta pode se calculada da seguinte foma: F = ma c = m v2. (5.2) Uma foça causando a aceleação centípeta aponta na dieção ao cento do caminho cicula e causa uma mudança na dieção do veto velocidade. Se, po acaso, esta foça se anulasse, o objeto podeia não mais movê-se em seu caminho cicula; ao invés disso, ele iia se move ao longo de um caminho em linha eta tangente ao cículo. Esta idéia é ilustada na figua abaixo paa a bola giando no extemo de uma coda em um plano hoizontal. Se a coda queba em algum instante, a bola iá se move ao longo de um caminho em linha eta tangente ao cículo no ponto onde a coda se patiu. De foma a exemplifica as idéias expostas acima, vamos considea duas patículas, de massas espectivamente iguais a m 1 e m 2, que estão ligadas po meio de um fio ideal de compimento l, que passa po um pequeno buaco na supefície lisa de uma mesa. Suponha que a pimeia patícula se movimente, sem nunca pede o contato com a supefície da mesa, e que desceva um MCU de aio, enquanto a segunda pemanece em epouso, a uma distância l abaixo do buaco da mesa, como indica a figua abaixo. Desejamos aqui esponde às seguintes questões: página 45
m 1 g + N 1 + T 1 = m 1 a 1 (5.3) Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Figua 5.2: A linha tangente ao cículo. quais são os módulos das foças de vínculo que atuam no sistema? qual é a elação ente o módulo da velocidade da pimeia patícula que designaemos po (v 1 ), o aio de sua tajetóia cicula () e o módulo da aceleação da gavidade (g), paa que a situação que acabamos de desceve seja vedadeia? Antes de tudo, obseve que há tês foças de vínculo nesse poblema. São elas: a eação nomal que a supefície da mesa exece sobe a pimeia patícula; a foça que o fio faz sobe essa mesma patícula e a foça que o fio exece sobe a segunda patícula. Emboa os efeitos das foças de vínculo sejam conhecidos (po exemplo, a eação nomal execida pela mesa sobe a pimeia patícula não deixa que ela penete na supefície da mesa), tais foças não são conhecidas a pioi, mas deveão se encontadas duante a solução do poblema. Vamos aplica a Segunda Lei de Newton a cada patícula do sistema: m 2 g + T 2 = 0 página 46
Dinâmica Figua 5.3: O poblema da mesa. em que T 1 é a foça que o fio exece sobe m 1, T 2 é a foça que o fio exece sobe m 2, N 1 é a eação nomal que a supefície da mesa exece sobe m 1 e a 1 é a aceleação dessa patícula. Note que, po se tata de um fio ideal, T 1 = T 2 := T. Escolhendo os eixos catesianos, de modo que a supefície da mesa coincida com o plano OXY, que o eixo OZ aponte paa cima e a oigem esteja localizada no buaco da mesa, podemos esceve (N 1 m 1 g)û z T û = m 1 v 2 1 û (T m 2 g)û z = 0 (5.4) em que û é o unitáio na dieção adial e N 1 = N 1. Usando, então, a independência linea ente û z e û, concluímos: N 1 g = m 1 g T = m 1 v 2 1 (5.5) T = m 2 g Nesse poblema, as foças de vínculo têm módulos constantes, dados pela pimeia e última equações escitas na Equação (5.5). Paa obte a elação desejada ente v 1, e g, basta utiliza as duas últimas equações: m 2 m 1 g = v 2 1. (5.6) Note que quanto maio a massa m 2 e, potanto, maio a tensão no fio, maio deveá se a velocidade da pimeia patícula, paa que ela desceva um MCU com o mesmo aio. página 47
Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Vamos considea agoa um outo poblema. Um cao se movimenta ao longo de uma pista cicula, cuja supefície está inclinada de θ em elação ao plano hoizontal. Ele desceve um MCU cujo aio de cuvatua vale, como indica a figua abaixo. Figua 5.4: Pista inclinada. Suponha que exista atito ente os pneus e a pista, sendo?e o coeficiente de atito estático coespondente. No entanto, considee que a foça de atito não possua componente ao longo da dieção do movimento do cao, isto é, suponha que a foça de atito sobe os pneus seja paalela à supefície da pista e pependicula à velocidade do cao. Essa hipótese é bastante azoável, pois, como o cao se movimenta com MCU, o módulo de sua velocidade pemanece constante (se o motoista apetasse o aceleado ou o feio, apaeceia uma componente da foça de atito ao longo da dieção do movimento do cao). Desejamos analisa aqui algumas situações inteessantes. Mais especificamente, gostaíamos de esponde às seguintes peguntas: 1. qual deve se o módulo da velocidade do cao, paa que a foça de atito sobe os pneus seja nula? 2. qual é o valo cítico paa o módulo da velocidade do cao, acima do qual ele começa a deapa? Como pimeio comentáio, devemos dize que, emboa o cao não seja um sistema ígido (os pneus giam em elação ao eixo etc.), vamos tatá-lo apoximadamente como tal. Paa esponde ao pimeio item, basta aplica a Segunda Lei de Newton, e lemba que o cao não possui componente vetical de aceleação, mas possui uma componente centípeta não-nula, uma vez que desceve um MCU. Sendo v 0 o módulo da velocidade do cao, temos, então: { N cosθ = mg, N + m g = m a N sinθ = m v2 0. (5.7) página 48
Dinâmica Dividindo a equação de baixo pela de cima, obtemos: v 2 0 = g tanθ. (5.8) A pati da equação anteio, vemos, po exemplo, que quanto mais veloz estive o cao, mais inclinada deveá se a pista, paa que ele desceva um MCU com o mesmo aio R sem o auxílio da foça de atito execida pela pista sobe os pneus. Em contapatida, paa uma mesma inclinação da pista em elação à hoizontal, quanto maio fo a velocidade maio seá o aio do MCU descito pelo cao. Potanto, se um cao enta numa cuva cicula de aio com uma velocidade maio do que v 0 = g tanθ, ele tendeá a deapa paa cima, a não se que a foça de atito estática seja gande o suficiente paa mantê-lo na cuva de aio. Suponhamos, então, que isso aconteça, isto é, que o cao esteja com uma velocidade de módulo v > v 0 mas que, mesmo assim, devido ao atito ente os pneus e a supefície da pista, ele desceva um MCU de aio. Calculemos, nesse caso, o módulo da foça de atito em temos de v, θ, m, g e. Como o cao tende a deapa, deslizando paa cima da pista, a foça de atito, que é tangente às supefícies em contato, aponta paa baixo. Da Segunda Lei de Newton, temos: { N cosθ fat sinθ mg = 0, N + f at + m g = m a N sinθ + f at cosθ = m v2, (5.9) Obtemos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas, ( N e f at ). Da pimeia delas, escevemos: N = mg + f at sinθ cosθ (5.10) A substituição da Equação (5.10) na segunda equação do sistema anteio nos leva a: mg + f at sinθ sinθ + f at cosθ = m v2 (5.11) cosθ e, conseqüentemente, ao esultado f at = m v2 cosθ mgsinθ (5.12) Note que essa última equação é consistente com o esultado escito na Equação (5.8), pois, se substituimos na equação anteio v = v 0, com v 0 dado pela Equação (5.8), obteemos um valo nulo paa fat, como espeado. Paa obte o valo de N, devemos substitui na Equação (5.10) o valo de f at, dado pela Equação (5.12). Com isso, obtemos que: N = mgcosθ + m v2 sinθ. (5.13) página 49
Aula 5. Aplicações das leis de Newton II (Veifique como execício!) Analisando a Equação (5.12), vemos que se v cesce a pati do valo v 0 = g tanθ, o módulo da foça de atito f at cesce a pati do valo nulo. No entanto, f at não pode aumenta indefinidamente, pois, como sabemos, existe um valo máximo paa o módulo da foça de atito ente duas supefícies em contato, dado po µ e N. Potanto, existe um valo máximo paa v, que designaemos v max, acima do qual o cao deapaá sobe a pista, no sentido paa cima. Paa descobimos o valo de v max, basta substitui na Equação (5.12) o valo máximo do módulo da foça de atito, ou seja, basta esceve f at = µ e N, com N dada pela Equação (5.13). Seguindo esse pocedimento, obtemos: ou seja, µ e (mgcosθ + m v2 max sinθ) = m v2 max v 2 max = g (sinθ + µ e cosθ) (cosθ µ e sinθ) cosθ mgsinθ, (5.14) (5.15) Como último comentáio a espeito desse exemplo, note que, se v decesce a pati do valo v 0 = g tanθ, o módulo da foça de atito também aumenta a pati do valo nulo, poém com uma difeença impotante em elação ao caso que acabamos de tata: a foça de atito sobe os pneus do cao aponta paa cima, pois o cao tende a deapa paa baixo. Supondo que a inclinação da pista em elação à hoizontal seja maio do que o ângulo cítico θ c = actan µ e, haveá um valo mínimo v min paa o módulo da velocidade do cao, abaixo do qual ele iá deapa paa baixo na pista. 5.2 Roldanas Vamos agoa aplica as leis de Newton no estudo de um sistema análogo a um fio de massa despezível, que é um polia de massa despezível. Seja uma polia de aio R suspensa de um supote e capaz de gia, sem atito, em tono de um eixo que passa pelo seu cento O. Não podemos epesenta a polia como uma patícula poque suas váias pates se movem de difeentes maneias. Paa contona esse poblema de uma foma pática, isto é, vamos admiti que a massa da polia é despezível em elação às massas dos outos copos do sistema. Se T e T são duas foças aplicadas aos dois lados do fio que passa pela polia, então, no caso em que a massa da polia é despezível, temos T = T = T, onde T é a tensão do fio. O efeito da polia é altea a dieção da foça aplicada ao fio, sem altea o seu módulo. Ao mesmo tempo, paa que a polia pemaneça em equilíbio, a esultante das foças a ela aplicadas deve anula-se. Vamos considea o seguinte exemplo: duas massas m 1 e m 2 suspensas po um sistema de duas polias e de fios, todas de massa despezível, página 50
Dinâmica da foma indicada na figua abaixo. Qual é o movimento do sistema? As pates móveis do sistema são duas, delineadas na figua po linhas fechadas inteompidas: a massa m 1 e o sistema fomado pela massa m 2 pessa à polia 2, que se movem solidaiamente. m 1 m 2 Figua 5.5: Polia, inteelacionando as massas m 1 e m 2. Chamamos de T a tensão do fio, que de acodo com a nossa discussão acima, é a mesma dos dois lados da polia 2, e é também a mesma com a qual a polia 1 age sobe a massa m 1. Seja a aceleação da massa m 1, tomada positivamente quando diigida paa cima ( os movimentos são todos na vetical ). A equação de movimento da massa m 1 é então T m 1 g = m 1 a. (5.16) Qual é a aceleação da massa m 2? Se l 1 e l 2 são os compimentos das poções de fio indicadas na figua, vemos pela figua que l 1 + 2l 2 = constante, (5.17) ou seja, se a massa m 1 sobe ou desce, vaiando l 1 de l 1, devemos te l 1 + 2 l 2 = 0 l 2 = l 1 2 (5.18) Logo, se m 1 sobe de uma ceta distância, m 2 desce de metade dessa distância, mostando que a aceleação de m 2 é igual a a/2, potanto a página 51
Aula 5. Aplicações das leis de Newton II Equação (5.17), funciona como um vínculo. A equação de movimento da outa pate do sistema é então: 2T m 2 g = m 2a 2 (5.19) Resolvendo as duas Equações (5.16) e (5.17) em elação às duas incógnitas a e T, obtemos: a = 2(m 2 2m 1 ) 4m 1 + m 2 g (5.20) e T = 3m 1m 2 4m 1 + m 2 g (5.21) Em paticula, temos equilíbio (a = 0) paa m 1 = m 2 2 (5.22) ou seja, o sistema de polias eduz à metade o peso (ou foça) necessáio paa equiliba um dado peso m 2 g, popocionando assim uma vantagem mecânica. Potanto, em um sistema análogo com 2n polias, teíamos a elação Em paticula, temos equilíbio (a = 0) paa m 1 = m 2 2n (5.23) Note também que a > 0 na Equação (5.20) quando m 2 > 2m 1, confome deveia se: uma massa m 2 maio que a de equilíbio faz subi a massa m 1. O estudo de polias tem ampla aplicação na vida cotidiana em conseqüência do fato dela eduzi o esfoço no levantamento de divesos copos. página 52
Céditos Texto adaptado po Calos Magno da Conceição da Apostila Física 1A - v.2 de Calos Faina de Souza, Macus Venicius C. Pinto e Paulo Cailho Soaes Filho Revisão: Mônica dos Santos Dahmouche Ilustação: Equipe CEDERJ Logotipo da Extensão em Física ciado po Andé Nogueia