Regras de probabilidades Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 16 de maio de 2018 Londrina 1 / 17
Propriedades As probabilidades sempre se referem a ocorrência de eventos e, independentemente do conceito utilizado, clássico ou frequentista, o modelo de probabilidade terá sempre uma coerência interna que resulta dos axiomas de probabilidade: 0 P(A) 1 P(Ω) = 1 P( ) = 0 Ou seja, a probabilidade é uma função que associa a cada evento um valor entre 0 e 1. 2 / 17
Regras de cálculo Propriedades Regra 1-a Probabilidade da união de eventos. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Exemplo 1 Considere o experimento lançamento de um dado e os seguintes eventos: A : sair o número 2, 3 e 4; B : sair número par; C : sair número ímpar. Determinar P(A B) e P(A C). 3 / 17
Regra 1-b Probabilidade da união de eventos disjuntos. Se A e B são disjuntos então P(A B) = P(A) + P(B) Se A 1, A 2, A 3,..., formam uma sequência de eventos disjuntos, então: ( n ) P A i = i=1 n P(A i ) i=1 4 / 17
Exemplo 2 No lançamento de duas moedas temos: A : pelo menos uma cara, B : duas coroas. Qual a probabilidade de sair duas coroas ou pelo menos uma cara? 5 / 17
Exemplo 3 Em uma pesquisa realizada no Hospital Veterinário da Universidade Estadual de Londrina, no ano de 2010, foram coletadas diversas informações e, entre elas, a quantidade de animais segundo o Porte: Porte Pequeno Médio Grande 1144 68 142 Qual a probabilidade de um animal selecionado aleatoriamente nesse ano: a) ser do porte médio; b) ser do porte pequeno ou grande? c) ser do porte grande ou médio? 6 / 17
Regra 2 Probabilidade do complemento. P(A c ) = 1 P(A) Exemplo 4 Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade de sair A : pelo menos um 6? 7 / 17
Algumas vezes a probabilidade de um particular evento acontecer depende do resultado de algum outro evento. Por exemplo, o crescimento do país no próximo ano depende, naturalmente, da poĺıtica econômica adotada no presente período. A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional de A dado B, denota-se por P(A B). 8 / 17
Definição Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento B, como se mostra a seguir: P(A B) = P(A B), se P(B) > 0 P(B) Na probabilidade condicional, a ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência do outro. 9 / 17
Exemplo 5 Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2,..., 15. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de que seja o número 9? 10 / 17
Regra 3-a Probabilidade da intersecção de dois eventos. A probabilidade condicional permite-nos calcular diretamente a probabilidade da intersecção de dois eventos. Assim, P(A B) = P(B)P(A B) Exemplo 6 Considere os seguintes eventos: A: retirar uma carta de copas do baralho e B: retirar um às do baralho. Determine a probabilidade desses eventos ocorrerem simultaneamente. 11 / 17
Independência de Eventos Regra 3-b Probabilidade da intersecção de dois eventos independentes. Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não depende da ocorrência do outro, isto é, P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B). Logo, o teorema do produto para dois eventos independentes é dado por: P(A B) = P(A)P(B) 12 / 17
Exemplo 7 Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 40%, ser A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 90% e que o fator independe do tipo sanguíneo. Nestas condições, qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser: a) O e Rh+? b) AB ou Rh-? 13 / 17
Propriedades Exercício 1 Sabendo-se que 2% dos exames cĺınicos feitos por um laboratório apresentam falha humana, 1% falha técnica e 2,5% as duas falhas, qual a probabilidade de um exame ter pelo menos uma das falhas? 14 / 17
Exercício 2 Num cruzamento de galos de pescoço pelado com galinhas do mesmo tipo, temos a probabilidade de 1/4 para obter um filhote de pescoço coberto. Numa ninhada de seis pintos, qual a probabilidade de que pelo menos um tenha pescoço coberto? 15 / 17
Exercício 3 Em uma ninhada de 12 filhotes, 8 são sadios. Foram escolhidos dois filhotes ao acaso. Qual a probabilidade de que pelo menos um seja sadio? 16 / 17
Exercício 4 Uma fazenda contém quatro bezerros Nelore, cinco Gir e seis Guzerá. Outra fazenda contém cinco bezerros Nelore, seis Gir e dois Guzerá. Sorteia-se um bezerro de cada fazenda. Qual a probabilidade de que ambos sejam da mesma raça? 17 / 17