rasformação Liear NSFOMÇÕES LINEES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma fução : é uma trasformação liear se a fução preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar isto é se os seguites aiomas são satisfeitos: L Para quaisquer v u v u v u L Para todo v e para todo k k v k v Eemplos: : a erificado os aiomas: L z t z t para quaisquer z t? z t z t z t z t z t z t z t ssim a trasformação liear preserva a operação de adição de vetores L k k para todo e para todo k? k k k k k k k k k ssim a trasformação liear preserva a operação de multiplicação por escalar Cosidere v e u v u v u 0 5 v u 05 0 5 v 4 4 v - - - - : z a z 0 é uma trasformação liear erifique! Esta trasformação liear associa a cada vetor do sua projeção ortogoal sobre o plao 6
Z Z z z 0 trasformação liear 0 : tal que v a 0 v 0 é deomiada rasformação Nula Seja a trasformação liear : Se os cojutos e são iguais etão é deomiada um Operador Liear O operador liear : tal que v a I v v é deomiado Operador Idetidade I s trasformações lieares : são deomiadas Fucioais Lieares Operadores Lieares o Espaço etorial efleão em toro do eio : efleão em toro do eio : efleão em toro da origem: v vu u u vu v efleão em toro da reta efleão em toro da reta : : 6
Dilatação ou Cotração de fator k a direção do vetor: Se k > : dilatação k k com k vu v vu v u u Se k < : cotração Se k < 0 : troca de setido Se k : operador idetidade Dilatação ou Cotração de fator k a direção do eio : k com k k > 0 Se k > : dilatação Se 0 < k < : cotração Dilatação ou Cotração de fator k a direção do eio : k com k k > 0 Se k > : dilatação Se 0 < k < : cotração Cisalhameto a direção do eio : com k vu vu u u v v Cisalhameto a direção do eio : k com k 64
otação: cosθ seθ seθ cosθ com 0 θ π vu v v u u vu Propriedades Se : é uma trasformação liear etão 0 0 dem: 0 0 0 0 0 Mas 0 0 0 pois 0 e 0 é o elemeto eutro em ssim 0 0 0 0 Logo 0 0 Portato se 0 0 etão ão é uma trasformação liear No etato o fato de 0 0 ão é suficiete para que seja liear Por eemplo : tal que 4 5 5 95 5 09 5 47 4 7 649 ssim v u v u Embora 00 00 ão é uma trasformação liear Seja : uma trasformação liear Etão k v v v k v v v para quaisquer k k k v v v e para quaisquer Corolário: Sabedo-se as images dos vetores de uma base do espaço vetorial é possível determiar a trasformação liear : 65
Obtedo a Lei de uma rasformação Liear Seja : um operador liear tal que 5 e 0 Como ecotrar a lei que defie este operador? Solução: { 0} é base para erifique! Portato qualquer vetor v pode ser escrito como combiação liear destes vetores v k 0 com k k k k 0 k k k ssim k e k Etão k e k Logo 0 plicado o operador liear 0 0 5 5 7 4 7 4 Logo Núcleo e Imagem de uma rasformação Liear Núcleo de uma trasformação liear : é o cojuto de vetores do espaço vetorial cuja imagem é o vetor 0 Notação: N Ker { v v 0 } Imagem de uma trasformação liear : é o cojuto de vetores de que são imagem dos vetores do cojuto Notação: Im { w v w para algum v } N Im 0 66
Propriedades N é um subespaço vetorial de Im é um subespaço vetorial de eorema do Núcleo e da Imagem : dim dim N dim Im Eemplo: Seja : tal que 0 0 N { 000} Etão 0 0 000 ssim 0 Portato N { } { } Uma base é { } e dim N epresetação gráfica Z 000 N : 0 Im { 0 0 para todo Uma base para o cojuto imagem é { 00} e dim Im } Z : Im Observe que dim dim N dim Im 67
rasformação Liear Ijetora Uma trasformação liear : é ijetora se para quaisquer v u se v u etão v u O que é equivalete a se v u etão v u Eemplo: trasformação liear : tal que é ijetora Sejam z t Se z t z t z t z Etão t z t Logo z t Seja o operador liear o tal que z 00 que associa a cada vetor sua projeção ortogoal o eio Cosidere os vetores e 0 4 ssim 0 4 00 Etão ão é ijetora pois v u com v u eorema: Uma trasformação : é ijetora se e somete se N { 0 } ssim basta verificar se N { 0 } para garatir que uma trasformação liear é ijetora Eemplo: Seja o operador liear em o tal que N { 00} { 00} ssim 0 0 Etão N {00} é ijetora pois: rasformação Liear Sobrejetora Uma trasformação liear : é sobrejetora se o cojuto imagem de é o cojuto isto é Im Eemplo: O operador liear em do eemplo aterior é ijetor Etão dim N 0 Pelo eorema do Núcleo e da Imagem dim dim N dim Im ssim 0 dim Im dim Im Logo Im 68
rasformação Liear ijetora Isomorfismo Uma trasformação liear : é bijetora quado for ijetora e sobrejetora rasformações lieares bijetoras são também deomiadas isomorfismos e coseqüetemete e são deomiados espaços vetoriais isomorfos Eemplos: : tal que : tal que I v v I z t 4 : Mat tal que t z Uma trasformação : é deomiada de trasformação ivertível quado eistir uma trasformação : tal que o I e o I trasformação é deomiada a trasformação iversa de s trasformações lieares bijetoras são trasformações lieares ivertíveis eorema: Seja : uma trasformação trasformação é bijetora se e somete se é ivertível eorema: Seja : uma trasformação liear ivertível Etão a trasformação : é liear vw v - w - Obtedo a Lei da rasformação Liear Iversa Seja o operador liear : tal que O operador liear iverso obtido da maeira a seguir: { 00} é uma base para 0 0 e 0 0 Portato 0 0 e 0 0 Obtedo a lei de : k 0 0 k0 0 k k k k ssim k em-se que k e k Etão 0 0 0 0 0 0 0 0 Logo a lei é será 69
Matriz ssociada a uma rasformação Liear Sejam um espaço vetorial -dimesioal um espaço vetorial m-dimesioal e : uma trasformação liear Cosiderado as bases { v v v} de e { w w wm} de e um vetor qualquer v tem-se: v k v v v com k i para todo i plicado a trasformação liear v k v v v v k v v v lém disso v portato: v l w l w l m w m com l j para todo j m Como v i para todo i v a v a v a w w w a w a a w a a w a m m m w m w w m m Substituido em tem-se: v k a w am wm a w am wm a w a v k a a a w kam am am wm 4 m m w Comparado e 4 tem-se: Na forma matricial: ou seja l ka a a l ka a a l k a a a m m l a l a lm a a a a m [ v] [ ] [ v] m a k a k am k matriz [ ] é a matriz associada a trasformação em relação as bases e Eemplo: Seja a trasformação liear : tal que Sedo a base caôica do e a base caôica do tem-se: 0 0 00 0 00 00 e 0 0 0 00 00 00 70
0 Etão [ ] 0 Por eemplo [ ] 0 Obtém-se [ ] [5] 0 5 Sejam as bases ão caôicas { 5} e {0 0 } 7 ssim 0 0 e 6 7 55 5 58 0 0 6 6 6 7 Etão [ ] 6 7 55 6 Por eemplo [ ] 6 0 7 Obtém-se [ ] [5] 6 7 55 7 6 s matrizes associadas a algus dos operadores lieares o espaço vetorial em relação à base caôica efleão em toro do eio Dilatação ou Cotração de fator k a direção do vetor Cisalhameto a direção do eio otação [ ] [ v] [ v] 0 0 k 0 k 0 k k 0 k k cos θ seθ cosθ seθ seθ cosθ seθ cosθ 7
Operações com rasformações Lieares dição Sejam : e : trasformações lieares Defie-se a adição de com como sedo a trasformação liear: : v a v v v Matricialmete [ ode é uma base de e uma base de ] [ ] [ ] Eemplo: Sejam : tal que z z e : tal que z 00 z trasformação soma é : tal que z z 0 0 0 0 0 0 0 ida [ ] 0 0 [ ] 0 0 0 e [ ] 0 0 em relação a base caôica 0 0 0 0 0 0 do Multiplicação por Escalar Sejam : uma trasformação liear e k um escalar Defie-se a trasformação liear produto de pelo escalar k como sedo: k : v a k v k v Matricialmete [ k ] k [ ] ode é uma base de e é uma base de Eemplo: Seja [ ] 0 e k 0 Etão e 46 4 ida [ ] 0 [ ] 6 0 Composição Sejam : U e : U trasformações lieares Defie-se a composta de com como sedo a trasformação liear: : o v a o v v Matricialmete base de [ o ] C [ ] C [ ] ode é uma base de é uma base de U e C é uma 7
7 Eemplo: Sejam os operadores lieares o e 7 o 4 o Com relação a base caôica: 0 [ ] e 0 ] [ ssim 7 0 0 ] [ o e 4 0 0 0 [ ] o Propriedades de rasformações Ivertíveis Sejam U : e : : trasformações lieares ivertíveis e 0 k k k k o o Eercícios erificar se as trasformações são lieares: a : z z z a b : z z a c {0} : b a b a a d : z z a e : a Para que valores de k a trasformação o tal que z k z é liear? Seja Mat o espaço vetorial das matrizes quadradas sobre e Mat M uma matriz arbitrária qualquer trasformação : Mat Mat tal que M M é liear? 4 Sejam e 0 0 w t u v e : tal que que defie a dilatação de fator a direção do vetor epresete e w t u v w t u v em um sistema de eios cartesiaos
5 Cosidere a trasformação liear : Mat tal que 0 Determie 4 e 6 Ecotre a lei que defie a trasformação liear cada vetor v à sua refleão em toro do eio Determie epresete o sistema de eios cartesiaos : que faz associar 7 Seja : uma trasformação liear tal que 00 4 00 5 e Idique a lei de 8 Seja : uma trasformação liear defiida por 0 e 00 4 a Determie z b Determie z tal que z c Determie z tal que z 00 9 Calcule o úcleo e o cojuto imagem das trasformações abaio: : a z a z z z b : a 0 che uma trasformação liear : cujo úcleo seja gerado pelo vetor 0 Determiar um operador liear o cujo cojuto imagem seja gerado por { } Idique a lei de para cada uma das trasformações lieares: : a a b I : v a I v v c : Mat z t 4 a z t z t Seja o operador liear o tal que z z Mostre que é um isomorfismo e idique sua iversa 74
4 Cosidere { v u w} uma base do ode v u 5 e w 0 a che uma fórmula para a trasformação liear : tal que v 0 u 0 e w 0 b Ecotre uma base e a dimesão do N c Ecotre uma base e a dimesão da Im d é ivertível? Justifique sua resposta 5 Seja : tal que z z Idique: a [ ] cosiderado e bases caôicas C b [ ] D ode C { 000 000} e D {5} c [ v ] D ode v 0 6 Sejam S e operadores lieares o defiidas por S e Determie: a S b S 4 c S o d S o S 7 Escolha algus vetores de represete-os o plao cartesiao Em seguida ecotre a imagem de cada um deles em relação ao operador S aterior epresete essas images o plao cartesiao Observe o que acotece 8 epita os mesmos passos do eercício aterior para o operador 9 Seja a trasformação liear determiada pela matriz a Idique a lei da trasformação b Calcule 4 0 0 0 4 0 Seja o operador liear o defiido por z z 4 a Ecotre a matriz de a base {0000 } b Ecotre [ 0 ] utilizado [ ] 0 Seja a trasformação liear associada a matriz 0 0 0 a che uma base para N b che uma base para Im c é sobrejetora? E ijetora? d Determie a matriz associada a em relação a base { 00 0 } Seja : a trasformação liear defiida por 0 a che a matriz associada a relativa as bases { 4} e {000} 75
b Use a matriz para calcular [ v] ode [ v ] Seja a trasformação liear associada a matriz a Qual a lei que defie? b Determie o úcleo de e uma base para N c Determie a imagem de e uma base para Im 0 4 Seja a trasformação liear : tal que z z4 z a Cosiderado e as bases caôicas do e do ecotre[ ] b Cosiderado {000 } uma base do e { } uma base do ecotre [ ] 5 Seja a trasformação liear : tal que Ecotre: a matriz de em relação a base caôica b matriz de em relação as bases { 0} e {00000} 6 Cosidere [ ] 0 ode { 0 } e { 0 00} Ecotre as 0 coordeadas de [ v] sabedo que as coordeadas de v em relação à base caôica do são 7 Sabedo que a trasformação liear θ : cuja matriz em relação à base caôica é cosθ seθ aplicada a um vetor [ v] idica a rotação do vetor v de um âgulo θ seθ cosθ cosθ seθ ssim [ θ ] [ v] seθ cosθ Utilizado a matriz de rotação determie o vértice C de um triâgulo retâgulo e isósceles em ode e 5 0 0 8 Seja 0 0 a matriz associada a um operador em relação à base { 00 00 } 0 0 Determie a lei de 76
espostas b Sim k 0 Sim 5 5 e 4 6 e 7 z 4z4 5 8z 8 a z z4 z b { 6 z z z } { 0 } 9 a N { z z z z } Im b N {00} Im { z 5 4 z 0} a b I I t z c z t 7 z 9 z 4 a z b N { 0 } base N :{0 } dim N c Im base Im :{00} dim Im d Não pois ão é ijetora 0 5 a [ ] 0 C 5 6 b [ ] D 7 c [ v] D 8 6 a S 4 b S 4 6 44 c S o 6 d S o S 4 9 a 4 4 b 4 8 4 0 a [ ] 4 b [ 0 ] 5 a base N :{00 } b base Im :{ 0} c Nem ijetora em sobrejetora 4 0 0 d [ ] 0 5 0 0 0 0 5 a [ ] b [ v] 8 4 0 a b N {00} Im { z 5 6z 0} base Im :{ 0 } 4 a [ ] 4 7 7 6 b [ ] 5 0 5 a [ ] 0 b [ ] 0 0 6 [ v] 4 7 C 04 ou C 4 8 z 4 z 6 77
pêdice C eoremas eo Se : é uma trasformação liear etão 0 0 eo4 Seja : uma trasformação liear Etão k v v v k v v v para quaisquer v k k k v v e para quaisquer dem: idução em ase: Para k k v v k v k v k v v por L e L Passo: Hipótese de Idução Supor que vale a igualdade para k N k > isto é k v v v k v v v ale a igualdade para k vetores? k v v v v por L k v v v k v por L k v v v v v v v v k v v v k v v v por hipótese de idução k ssim Logo vale a igualdade para todo N Corolário4: Sabedo-se as images dos vetores de uma base do espaço vetorial é possível determiar a trasformação liear : eo5 Seja : é uma trasformação liear Etão i v v para todo v ii v u v u para quaisquer v u eo6 Seja : uma trasformação liear e S um subespaço vetorial do espaço vetorial etão S { w eiste s S tal que s w} é um subespaço vetorial do espaço dem: Sub Por hipótese S Por Sub 0 S Pelo eo 0 0 Logo 0 S Sub Sejam w w S Etão eistem v v S tais que v w e v w ssim w w v v v v por L Como S Pelo fechameto para operação de adição em S v v S Etão w w S Logo vale o fechameto para operação de adição em S Sub Sejam w S e k Etão eiste v S tal que v w ssim k w k v k v por L 78
Como S Pelo fechameto para operação de multiplicação por escalar em S k v S Etão k w S Logo vale o fechameto para operação de multiplicação por escalar em S eo7 N é um subespaço vetorial de eo8 Im é um subespaço vetorial de eo9 eorema do Núcleo e da Imagem Seja : uma trasformação liear Etão dim dim N dim Im dem: Cosidere dim N t e v v vt } N uma base para N Seja { { w w } Im s u w u w { v vt u us} dim Im s e w s uma base para Im Eistem u u u tais que u s ws Cosidere o cojuto Se v etão v Im Como [ w ws ] Im eistem l l s tais que v l w l s ws Cosidere o vetor u l u ls us v ssim u l u l u s s v u l u ls us v u l w ls ws v Pelo eo4 De De u v v ssim u 0 Etão u N Mas [ v vt ] N Etão eistem k k t tais que u k v t vt 4 De e 4 l u ls us v k v t vt ssim v l u ls us k v kt vt Etão [ v vt u us ] 5 Seja k v t vt t u t s us 0 com k k ts 6 ssim k v v u u 0 Pelo eo Pelo eo4 t t t t s s k v t vt t u t s us 0 v t vt t u t s us Mas { v vt } N k 0 Etão v 0 0 7 De e 7 ssim v t k 0 t 0 t w t s ws 0 kt w t s ws 0 { s Como w w } é uma base para Im Etão w w } é liearmete idepedete { s 79
em-se k 0 t k t s k v t v t 0 Substituido em 6 Como v v } é uma base para N { t Etão v v } é liearmete idepedete { t k k t { vt u us { vt u us em-se 0 Etão v } é liearmete idepedete 8 De 5 e 8 v } é uma base de Logo dim t s dim N dim Im eo40 Seja : é uma trasformação liear é uma trasformação liear ijetora se e somete se N { 0 } dem: Se é uma trasformação liear ijetora etão N { 0 }? Cosidere v N qualquer Etão v 0 Pelo eo 0 0 ssim v 0 Como é uma trasformação liear ijetora Se v 0 etão v 0 Logo N { 0 } Se N { 0 } etão é uma trasformação liear ijetora? Sejam v u tais que v u ssim v u 0 Pelo eo5 v u 0 Mas N { 0 } ssim v u 0 Etão v u Logo é uma trasformação liear ijetora eo4seja : é uma trasformação liear ijetora e { v v v} um cojuto de vetores liearmete idepedete O cojuto { v v v } também é liearmete idepedete eo4seja : é uma trasformação liear ijetora e dim dim Etão a trasformação liear é sobrejetora eo4seja : uma trasformação trasformação é bijetora se e somete se for ivertível 80
eo44 Seja : uma trasformação liear e { v v v} Se [ v v v ] etão v v v ] Im [ eo45 Sejam : e : U trasformações lieares Etão a trasformação composta o : U tal que o v v é liear eo46 Sejam : e : U trasformações lieares bijetoras e k k 0 Etão i a trasformação iversa : é liear ii iii k k iv o o eo47 Seja Q : : S : U e : U trasformações lieares e k Etão i S o Q S o Q o Q ii o Q o Q o iii k o Q k o Q o k Q eo48sejam e espaços vetoriais e { v v v} uma base Se o vetor v i pode ser associado a um vetor w i para todo i etão eiste uma úica trasformação liear : tal que v i w para todo i i eo49 Seja L ou Hom o cojuto de todas as trasformações lieares de em e as seguites operações: : L L L tal que v v a v : L L k a k tal que k v k v Etão [ L ] é um espaço vetorial eo50 Se dim e dim m etão dim L m O cojuto L ou Hom ou vetorial dual de * de todos os fucioais de em é deomiado espaço 8