O método do lugar das raízes - Exemplos

Capítulo 5 O método do lugar das raízes - Exemplos 5. Introdução Neste capìtulo, apresentamos exemplos de projeto de controladores utilizando o método do lugar das raízes. 5.2 Projeto de controladores utilizando o lugar das raízes Antes de apresentarmos os exemplos da utilização do lugar das raízes para o projeto de controladores, vamos fazer uma breve revisão da análise de resposta transitória de sistemas de 2a. ordem. 5.2. Revisão: Resposta transitória de sistemas de 2a. ordem Suponha o seguinte sistema de 2a. ordem: G(s)= ω 2 n s(s+ 2ζω n ). Um sistema de controle em malha fechada com G(s) (veja Figura 5.) pode ser descrito como: R(s) = G(s) +G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω 2 ns+ω 2. n Figura 5.. Sistema de 2a. ordem em malha fechada. Os pólos em malha fechada (veja Figura 5.2) são dados por: s= σ±jω d, 7

ondeσ é a atenuação do sistema eω d é a freqüência natural amortecida. As seguintes relações podem ser definidas: ω d =ω n ζ 2, σ =ζω n, cosβ= σ ω n =ζ. Figura 5.2. Pólos complexos e grandezas associadas. A resposta transitória deste sistema assume diferentes comportamentos de acordo com o valor do coeficiente de amortecimentoζ (veja Figura 5.3): Figura 5.3. Resposta transitória a degrau em função deζ. Sistema sub-amortecido(<ζ < ): a resposta a degrau do sistema no domínio do tempo é dada por: ( ) y(t)= exp ζω nt ζ sin ω ζ 2 d t+ tan 2, parat. ζ Sistema com amortecimento crítico(ζ = ): a resposta do sistema no domínio do 2 de setembro de 27 - :37 PM 72 DRAFT V 5.

tempo é dada por: y(t)= exp ω nt (+ω n t), parat. Sistema superamortecido(ζ> ): neste caso a resposta no domínio do tempo: y(t)=+ 2 ζ 2 (ζ+ ζ 2 ) exp (ζ+ ζ 2 )ω n t 2 ζ 2 (ζ ζ 2 ) exp (ζ ζ 2 )ω n t parat. Para este sistema de 2a. ordem é possível estabelecer uma relação entre as grandezas que especificam a resposta transitória a degrau e os pólos do sistema. A resposta transitória a degrau para este sistema (veja Figura 5.4) pode ser caracterizado pelas seguintes grandezas: Figura 5.4. Resposta transitória do sistema de segunda ordem e suas grandezas características. Tempo de subidat r O tempo de subidat r é aqui definido como o tempo que o sistema demora para subir de e % do valor final: t r = π β ω d. Instante do picot p O instante do picot p se refere ao instante da ocorrência do primeiro pico do sobresinal: t p = π ω d. 2 de setembro de 27 - :37 PM 73 DRAFT V 5.

Máximo sobresinalm p O máximo sobresinal é definido da seguinte forma: M p = y(t p) y( ) y( ) e pode ser calculado da seguinte forma: %, M p = exp ζ π ζ 2. Tempo de acomodaçãot s O tempo de acomodaçãot s é definido como o instante de tempo tal que o sinal de erro passa a ser menor que um determinado valor percentual, em geral, definido como 2% ou 5%. O tempo de acomodaçãot s é em geral aproximado através das seguintes equações: Critério de 2%: t s = 4 ζω n. (5.) Critério de 5%: t s = 3 ζω n. Estas aproximações no entanto podem fornecer erros significativos como pode ser observado na Figura 5.5 que ilustra a variação det s em função deζ. 2 de setembro de 27 - :37 PM 74 DRAFT V 5.

Figura 5.5. Tempo de acomodaçãot s em função deζ. Podemos observar que o tempo de acomodaçãot s varia de forma discontínua. Para o critério de 2%, por exemplo,t s varia aproximadamente da seguinte forma: 3T <t s < 4T para.3<ζ<.7, 3T <t s < 6T para.7<ζ<.. Os lugares geométricos de freqüência natural não amortecida ω n constante descrevem círculos no planos e os lugares geométricos para coeficiente de amortecimento constanteζ são retas no planos como pode ser observado na Figura 5.6 2 de setembro de 27 - :37 PM 75 DRAFT V 5.

Figura 5.6. (a) Lugar geométrico para ω n = cte - (b) Lugar geométrico para ζ=cte - (c) Lugar geométrico paraσ =cte - (d) Lugar geométrico paraω d =cte. Exemplo 5. Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde a planta é dada por: G(s)=.5 s(s+ 3). R(s) + referencia E(s) H(s) Controlador U(s) G(s) Planta saida Figura 5.7. Sistema de controle em malha fechada. O controladorh(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificações:. Erro estacionárioe ss = para entrada a degrau; 2. Tempo de assentamentot s < 4seg (critério de 2%); 2 de setembro de 27 - :37 PM 76 DRAFT V 5.

3. Máximo sobresinalm p < 5%. O primeiro passo para o projeto é a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD, PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condição do erro estacionário e ss basta utilizar um controlador proporcionalh(s)=k p já que o sistemag(s) já possui um integrador /s. Podemos calcular o erro estacionário através da seguinte forma: e ss = lim t e(t)=lim s se(s), = lims +G(s)H(s) R(s), s(s+ 3) = lims s(s+ 3)+.5K p s, = lim s s(s+ 3) s(s+ 3)+.5K p, =. Concluímos então que o erro estacionárioe ss é nulo para uma entrada degrau caso seja adotado um controlador proporcional. Agora devemos escolher K p de tal forma que satisfaça as condições do tempo de assentamentot s e do máximo sobresinalm p. Para um controlador H(s)=K p, a função de transferência do sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como: R(s) =.5K p, s 2 + 3s+.5K p o que é equivalente ao sistema de 2a. ordem padrão: R(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2. n Para um sistema de 2a. ordem padrão as especificações transitórias de máximo sobresinalm p e do tempo de assentamentot s estabelecem um lugar geométrico no planos. O tempo de assentamentot s (critério de 2%) é dado aproximadamente por: como deseja-se quet s < 4seg então: t s = 4 ζω n, t s < 4seg 4 ζω n < 4 ζω n >. comoσ =ζω n então: σ >. 2 de setembro de 27 - :37 PM 77 DRAFT V 5.

Para o máximo sobresinal devemos ter: M p < 5% M p = exp ( ζ ζ 2 )π <.5 ζπ ζ 2 < 2.99 ζπ ζ 2 > 2.99 ζ ζ 2 >.95 ζ 2 >.48 ζ 2.48>. ( ) o que resulta emζ <.69 eζ >.69. Entretanto, sabemos que necessariamenteζ> então ficamos somente comζ>.69. Sabemos que: cosβ=ζ, onde β é o ângulo descrito por uma reta que cruza o pólo complexo e a origem do sistema de coordenadas e o eixo real (contado a partir do sentido anti-horário) Veja Figura 5.2. Para ζ=.69 β=.892rad=46.37 o. Então, como: ζ>.69 β<46.37 o. O lugar geométrico no planos onde estão as raízes do sistema em malha fechada que satisfazem as especificações det s < 4seg em p <.5 é dado pela intersecção das seguintes regiões: σ > e β<46.37 o. A Figura 5.8 ilustra o lugar geométrico definido por estas condições. 2 de setembro de 27 - :37 PM 78 DRAFT V 5.

ζ=.69 σ> ζ>.69 ζ>.69 ζ=.69 σ> σ< β σ= σ< Figura 5.8. Lugar geométrico resultante det s < 4seg em p < 5%. O lugar geométrico definido acima, define uma região no planos, tal que a ocorrência dos pólos do sistema de 2a. ordem padrão nesta região, define um sistema que satisfaz as especificações de tempo de assentamentot s e máximo sobresinalm p. Se pudermos simultaneamente definir o valor do coeficiente de amortecimentoζ e da freqüência natural não amortecidaω n, podemos alocar os pólos em qualquer local. Entretanto, para o nosso sistema, só podemos variar o ganhok p, o que limita a região possível para se alocar os pólos. Desta forma, os possíveis valores para os pólos que satisfazem as especificações compreeendem a intersecção entre o lugar geométrico definido acima e o lugar das raízes do sistema. A Figura 5.9 ilustra o lugar geométrico e o lugar das raízes do sistema em função dek p. 2 de setembro de 27 - :37 PM 79 DRAFT V 5.

Root Locus.5.86.76.64.5.34.6.94 ζ=.69.5.985 ζ>.69 K p =4.5 β<46.37 o Imag Axis 3 2.5 2.5.5 σ> σ<.5.985 ζ>.69.94 ζ=.69.5.86.76.64.5.34.6 3 2.5 2.5.5 Real Axis Figura 5.9. Lugar das raízes e lugar geométrico parat s em p. Através do grafico ilustrado na Figura 5.9 podemos escolher um pólo do sistema e consequentemente calcular o valor dek p associado. Lembre-se que podemos escolher qualquer pólo, desde que o pólo associado também pertença a região que permitida. Desta forma, o trecho do lugar das raízes[ 3, 2] não pode ser escolhido já que a escolha do pólo neste trecho implica em escolher o outro pólo associado no trecho[, ] que não pertence à região permitida. Por exemplo, podemos escolher o pólo duplo s =.5. Utilizando a condição de módulo, obtemos: G(s)H(s) = K p.5 s(s+ 3) = s s+ 3 K p =.5 s=.5.5.5+3 K p =.5 K p = 4.5 Com esta escolha de K p = 4.5 o sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como: R(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2 = n 2.25 s 2 + 3s+ 2.25. ondeζ= eω n =.5. A resposta a degrau do sistema em malha fechada é ilustrado na Figura 5.. Podemos observar que o tempo de assentamentot s = 3.87seg e o máximo sobresinalm p = %. 2 de setembro de 27 - :37 PM 8 DRAFT V 5.

Se calcularmos o tempo de assentamentot s pela Equação 5. obtemos: t s = 4 ζω n = 2.67seg. A Equação 5. fornece portanto valores muito diferentes paraζ=.. Step Response M p =%.9 System: s3 Settling Time: 3.89.8.7.6 Amplitude.5.4.3.2. 2 3 4 5 6 Time (sec) Figura 5.. Resposta a degrau do sistema Exemplo 5.2 Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde a planta é dada por: G(s)=.5 (s+ 3). O controladorh(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificações:. Erro estacionárioe ss = para entrada a degrau; 2. Tempo de assentamentot s < 4seg (critério de 2%); 3. Máximo sobresinalm p < 5%. O primeiro passo para o projeto é a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD, PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condição do erro estacionário e ss é necessário a inserção de um integrador /s em malha aberta já que o sistema G(s) é um sistema de a. ordem. Desta forma, vamos escolher um controlador proporcional-integral PI: H(s)=K p ( + T i s ). 2 de setembro de 27 - :37 PM 8 DRAFT V 5.

Podemos calcular o erro estacionário através da seguinte forma: e ss = lim t e(t)=lim s se(s), = lims +G(s)H(s) R(s), = lim s T i s(s+ 3) T i s(s+ 3)+.5K p (T i s+ ), = lim s +.5K p =. Concluímos então que o erro estacionárioe ss é nulo para uma entrada degrau caso seja adotado um controlador proporcional-integral. Para este caso, a função de transferência em malha aberta é dada por: G(s)H(s)=K p.5(t i s+ ) T i s(s+ 3), Os pólos e o zero em malha aberta são dados por: pólos em malha aberta:s=,s= 3; zero em malha aberta:s= /T i. por: A função de transferência do sistema de controle em malha fechada é dada R(s) = G(s)H(s) +G(s)H(s) =.5K p (T i s+ ) T i s(s+ 3)+.5K p (T i s+ ).5K p T i (s+ T = i ) s 2 +(3+.5K p )s+.5k. p T i A adição de um zero em malha aberta pode provocar uma mudança significativa de comportamento do sistema em relação ao sistema de 2a. ordem. Desta forma, não podemos utilizar as equações para o tempo de subidat r, tempo de assentamentot s, instante do picot p e o máximo sobresinalm p de maneira precisa. Muitas vezes, para efeito de projeto utilizamos as equações do sistema padrão, mas devemos nos lembrar que o efeito do zero adicional pode ser significativo. O controlador PI possui dois parâmetros, o ganho proporcional K p e o tempo integral T i. O lugar das raízes é obviamente construído em função de um único parâmetro. Desta forma, vamos escolher um valor parat i e construir o lugar das raízes em função dek p. Qual o valor det i que devemos escolher? Para mostrar como a escolha det i influencia a solução para este problema vamos escolher dois valores para T i e construir o lugar das raízes para estes valores.. Vamos escolher inicialmente fazert i =.5. Com esta escolha o zeros = /T i estará entre os dois pólos de malha aberta. Para este caso, a malha aberta pode ser escrita como: G(s)H(s)=.25s+.5.5s 2 +.5s O lugar das raízes para este sistema é ilustrado na Figura 5. Vamos escolher no lugar das raízes o pontos=.2 que resulta no valor dek p = 5.5. A outra raiz correspondente ak p = 5.5 és= 4.54. 2 de setembro de 27 - :37 PM 82 DRAFT V 5.

2.5.96 Root Locus.9.84.74.6.42.22 ζ=.69 ζ>.69.5.99 K p =5.5, s= 4.54 K p =5.5, s=.2 Imag Axis 5 4 3 2 σ> σ<.5.99.5.96 ζ>.69 ζ=.69.9.84.74.6.42.22 2 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2.5.5 Real Axis Figura 5.. Lugar das raízes parat i =.5. O sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:.375s+ 2.75 = R(s) s 2 + 5.75s+ 5.5. A resposta a degrau para este sistema é ilustrada na Figura 5.2. Note que o tempo de acomodaçãot s = 2.72seg e o máximo sobresinalm p = %. 2 de setembro de 27 - :37 PM 83 DRAFT V 5.

.9 Step Response From: r System: T_r2y Settling Time: 2.72 M p =%.8.7.6 Amplitude To: y.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) Figura 5.2. Resposta a degrau do sistema em malha fechada. Para efeito de comparação, vamos analisar o comportamento do sistema de 2a. ordem padrão equivalente. O sistema de 2a. ordem padrão equivalente é aquele que tem o mesmo denominador, ou seja, R(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2 = n 5.5 s 2 + 5.75s+ 5.5. Para este sistema, o coeficiente de amortecimentoζ=.22 e a freqüência natural não amortecidaω n = 2.35. Utilizando a fórmula para o tempo de acomodação temos: t s = 4 4 = ζω n.22 2.35 =.4seg. A resposta a degrau para este sistema está ilustrada na Figura 5.3. Note que o valor do tempo de assentamentot s é igual a 3.48seg e o máximo sobresinalm p = %. Desta forma, concluímos que a equação para o cálculo do tempo de assentamentot s não vale neste caso, e que o sistema padrão possui o tempo de assentamento para resposta a degrau bastante diferente do sistema em malha fechada projetado. 2 de setembro de 27 - :37 PM 84 DRAFT V 5.

Step Response M p =%.9 System: s Settling Time: 3.48.8.7.6 Amplitude.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) Figura 5.3. Resposta a degrau do sistema padrão. 2. Vamos escolher agora T i =.2, logo /T i = 5. Desta forma, o zero s = /T i está à esquerda dos pólos em malha abertas=,s= 3. A malha aberta para esta escolha det i é dada por: G(s)H(s)=.s+.5.2s 2 +.6s O lugar das raízes em conjunto com o lugar geométrico parat s < 4seg e M p < 5% está ilustrado na Figura 5.4. Note que agora, o lugar das raízes descreve um círculo aonde estão contidos os pólos conjugados complexos. Podemos por exemplo, escolher os póloss=.94±j.79 que correspondem ao ganhok p =.75. A função de transferência em malha fechada resultante pode ser escrita como:.75s+.875 = R(s) s 2 + 3.875s+ 4.375. A resposta a degrau para este sistema é ilustrada na Figura 5.5. Note que o tempo de acomodaçãot s = 2.3seg e o máximo sobresinalm p = %. 2 de setembro de 27 - :37 PM 85 DRAFT V 5.

Root Locus 3.935.88.8.66.48.25 2.975 ζ>.69 Imag Axis 8 6 4 2.994.994 s=.94+.79 K p =.75 O s=.94+.79 K p =.75 X + + β<46.37 o X 2.975 ζ>.69 σ> σ< 3.935.88.8.66.48.25 9 8 7 6 5 4 3 2 Real Axis Figura 5.4. Lugar das raízes e o lugar geométrico parat s < 4seg em p < 5%..4 Step Response.2 System: s3 Settling Time: 2.3.8 Amplitude.6.4.2 2 3 4 5 6 Time (sec) Figura 5.5. Resposta a degrau do sistema em malha fechada. Para efeito de comparação, vamos analisar o comportamento do sistema 2 de setembro de 27 - :37 PM 86 DRAFT V 5.

de 2a. ordem padrão equivalente. O sistema de 2a. ordem padrão equivalente é dado por: R(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2 = n 4.375 s 2 + 3.875s+ 4.375. Para este sistema, o coeficiente de amortecimentoζ=.93 e a freqüência natural não amortecidaω n = 2.. Utilizando a fórmula para o tempo de acomodaçãot s temos: t s = 4 4 = ζω n.93 2. = 2.5seg. A resposta a degrau para este sistema está ilustrada na Figura 5.6. Note que o valor do tempo de assentamento t s é igual a 2.4seg e o máximo sobresinal M p =.5%. Neste caso, a equação para o calculo do tempo de assentamentot s também não fornece um valor preciso. Entretanto, o sistema projetado e o sistema padrão possuem tempo de assentamentot s relativamente próximos..4 Step Response.2 System: s Settling Time: 2.4.8 Amplitude.6.4.2 2 3 4 5 6 Time (sec) Figura 5.6. Resposta a degrau do sistema padrão. Exemplo 5.3 Deseja-se projetar um controlador H(s) do tipo PID para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde a planta é dada por: G(s)= (s+ 2)(s+ 3). O controladorh(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificações: 2 de setembro de 27 - :37 PM 87 DRAFT V 5.

. Erro estacionárioe ss = para entrada a degrau; 2. Tempo de assentamentot s < 4seg (critério de 2%); 3. Máximo sobresinalm p < 5%. O controlador PID possui a seguinte função de transferência: ( H(s)=K p + ) T i s +T ds (T d T i s 2 +T i s+ ) =K p T i s (s+z )(s+z 2 ) =K p s Ondez ez 2 podem ser obtidos através da solução da seguinte equação: cuja solução é: T d s 2 +s+ T i, s= ± 4T d T i. 2T d Ou seja, um controlador PID introduz uma função de transferência com um pólo na origem e dois zeros que podem ser alocados através da escolha det d et i. Ao invés de selecionar valores parat d et i é mais interessante alocar os zerosz ez 2 (lembre-se que na verdade os zeros são z e z 2 ) já que vamos utilizar o lugar das raízes. Vamos escolher os zeros de tal forma a obter o lugar das raízes com parte complexa. Vamos fazer por exemplo, z = 3+j e z 2 = ẑ. Fazendo isto, obtemos a seguinte função de transferência em malha aberta: G(s)H(s)=K p (s 2 + 6s+ ) s 3 + 5s 2 + 6s. O lugar das raízes resultante está ilustrado na Figura 5.7. 2 de setembro de 27 - :37 PM 88 DRAFT V 5.

2 Root Locus.92.86.76.62.44.22.5.965 ζ>.69 O β<46.37 o.5.992 s=.2+j.558 K p =.55 + Imag Axis.5.992 s= 3.5 K p =.55 5 4 3 2 + s=.2 j.558 K p =.55 ζ>.69 X X X + O.5.965 σ> σ< 2.92.86.76.62.44.22 5 4 3 2 Real Axis Figura 5.7. Lugar das raízes e lugar geométrico parat s < 4seg em p < 5%.. Escolha Vamos escolher por exemplo o par de pólos complexos conjugados s =.2±j.558 que corresponde a um coeficiente de amortecimento ζ =.9 e uma freqüência naturalω n =.32rad/seg. O ganho proporcionalk p =.55 e o terceiro pólos= 3.. Para estes valores o tempo derivativo T d =.7 e o tempo integralt i =.75. O sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como: R(s) =.55s2 + 3.3s+ 5.5 s 3 + 5.55s 2 + 9.3s+ 5.5. A resposta a degrau do sistema em malha fechada está ilustrada na Figura 5.8. Note que o tempo de assentamentot s corresponde a 3.28seg e o Máximo sobresinalm p =.%. 2 de setembro de 27 - :37 PM 89 DRAFT V 5.

.4 Step Response.2 System: s4 Settling Time: 3.28.8 Amplitude.6.4.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) Figura 5.8. Resposta a degrau do sistema em malha fechada. Utilizando a equação para o tempo de assentamentot s obtemos: t s = 4 4 = ζω n.9.32 = 3.36seg. O sistema padrão similar corresponde a: R(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2 n =.74 s 2 + 2.38s+.74. A resposta a degrau deste sistema está ilustrado na Figura 5.9. O tempo de assentamento obtidot s = 3.58 e o Máximo sobresinalm p =.%. 2 de setembro de 27 - :37 PM 9 DRAFT V 5.

.4 Step Response.2 System: s5 Settling Time: 3.58.8 Amplitude.6.4.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) Figura 5.9. Resposta a degrau do sistema padrão em malha fechada. 2. Escolha 2 Vamos escolher agora um outro par de pólos complexos conjugados s = 3.±j.29 que corresponde a um coeficiente de amortecimentoζ =.92 e uma freqüência naturalω n = 3.36rad/seg. O ganho proporcional associado valek p =.4, e o terceiro pólo és= 9.2. A função de transferência em malha fechada pode ser escrita como R(s) =.4s2 + 62.4s+ 4 s 3 + 5.4s 2 + 68.4+4. A resposta a degrau do sistema em malha fechada está ilustrada na Figura 5.2. Note que o tempo de assentamentot s corresponde a.83seg e o Máximo sobresinalm p = 4.39%. 2 de setembro de 27 - :37 PM 9 DRAFT V 5.

.4 Step Response.2 M p =4.39% System: s7 Settling Time:.833.8 Amplitude.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8.9 Time (sec) Figura 5.2. Resposta a degrau do sistema em malha fechada. Utilizando a equação para o tempo de assentamentot s obtemos: t s = 4 4 = ζω n.92 3.36 = 3.seg. O sistema padrão similar corresponde a: R(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s+ω 2 n =.29 s 2 + 6.2s+.29. A resposta a degrau deste sistema está ilustrado na Figura 5.2. O tempo de assentamento obtidot s = 2.44seg e o Máximo sobresinalm p =.5%. 2 de setembro de 27 - :37 PM 92 DRAFT V 5.

.4 Step Response.2 System: s8 Settling Time:.47 M p =.5%.8 Amplitude.6.4.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 Time (sec) Figura 5.2. Resposta a degrau do sistema padrão em malha fechada. 2 de setembro de 27 - :37 PM 93 DRAFT V 5.