MAT45- Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I - POLI o Semestre de - a Lista de Eercícios I - Integrais Indefinidas Calcule as integrais indefinidas abaio: 7 + +.. 7 5. 6. 9. tg. e. tg sec 7.. + cos 7 4. sen cos 8.. + 4 tg tg +. 6. 9.. 5. 8.. 4. 7. 4. 4. 4. 5 + 7. (arcsen ). e. e arctg 6. + e cos 9. e. sec 5. sec 5. + ln 4 + 8 ln 8. + 8 + e sen. + e + cos e + e sen 4. ( + ) 7. sen r ln, r R. arctg. cos 6. (ln) arcsen sen cos sen sen cos + 4 + 5 8. 9. cos ( )( )( ) + 4 + 5 5 + + 4. + 8 + ( ) 4. ( ) 8 44. 45. e
46. 49. 5. ln( + + ) 47. sen(ln ) 5. a + b 5. 5 + 48. 5. 4 a + b 54. ln + 5 + 4 + + + 55. 56. ( + ) 57. cos cos 58. sen 5 5 ( 59. sen 6. sen ) ( cos 5 ) 6. sen 5 cos 6. sen 4 6. sen cos 5 cos 64. sen cos 4 65. cos 6 () 66. sen 6 67. sen cos 4 68. 69. + (Sugestão: faça u = 6 ) + arctg 7. ( 7. + 4) 7. 4 + ln( + ) 7. ( 74. + )( + ) + e 75. 76. 5 + e 77. ( + 4) II - Aplicações da Integral Definida. Calcule sen( + ).. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação + y = a e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. ( π 4. Calcule lim sen π n n n + sen π ) (n )π +... + sen. n n 5. Calcule o comprimento do gráfico de f() = ln(cos), para π 4. 6. Calcule o comprimento da astróide + y = a. 7. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = ( + ).
8. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse a + y b =. 9. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio O do conjunto a) A = {(, y) R : y, + y 5 e > }. b) A = {(, y) R : y e ( ) + y }. c) A = {(, y) R : e e y e }. d) A = {(, y) R : >, y e / y 4/ }.. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = da região delimitada pelas parábolas y = e y =.. Seja A = {(, y) R : e ln( + ) + y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =.. O disco + y a é girado em torno da reta = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h a, de uma esfera de raio a. 4. Determine o comprimento da curva y = cosh, 4. 5. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R.
III - Miscelânea. Seja f : R R uma função contínua e periódica de período L, isto é, f( + L) = f(), para todo R. Sejam n Z e a R. Mostre que L L L f()cos ( nπ ) = L L a+l a f()cos ( nπ ). L. Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] e sejam u() e v() funções diferenciáveis cujos valores estão em [a, b]. Prove que d v() u() A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibnitz.. Calcule g () onde (a) g() = 4. Calcule π/ sen cos e t dt (b) g() = sen cos + f(t)dt = f(v()) dv f(u())du. em termos de A = sen(t )dt π cos ( + ). 5. Trabalho. Quando uma força constante de intensidade F é aplicada na direção do movimento de um objeto e esse objeto é deslocado de uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto por W = F.d, se a força age no sentido do movimento e por W = F.d, se ela age no sentido oposto. Suponha agora que um objeto está se movendo na direção positiva ao longo do eio, sujeito a uma força variável F(). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este é deslocado de = a até = b, e encontre uma fórmula para calculá-lo. 6. Energia cinética. Use as notações do eercício anterior, a segunda lei de Newton e a regra da cadeia dv dt = dv dt = v dv para mostrar que o trabalho realizado por uma força F atuando sobre uma partícula de massa m que se moveu de até é W = F() = mv mv, onde v e v são as velocidades do corpo em e. Em Física, a epressão mv é chamada de energia cinética de um corpo em movimento com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e podemos determinar o trabalho calculando esta variação. 4
7. Suponha que uma partícula se desloca ao longo do eio, segundo uma função horária : [t, t ] R e sob ação de uma força f() i, dada f : R R contínua. Admita que a dinâmica da partícula é governada por um modelo relativístico: sua massa m depende da sua velocidade v, segundo a função m : ( c, c) R definida por (dados c > velocidade da luz e m > massa de repouso): m m(v) = ( ), v c e sua função horária satisfaz a equação diferencial: d ( m( (t)) (t) ) = f ( (t) ). dt Mostre que, se interpretarmos o trabalho f() realizado pela força f quando a partícula se desloca de = (t ) a = (t ) como variação de energia E, e se m = m ( (t ) ) m ( (t ) ), então: E = m c. Sugestão: Use o teorema de mudança de variáveis na integral de Riemann e o teorema fundamental do cálculo. 8. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y() = sen( t)f(t)dt Prove que y + y = f() e y() = y () =, para todo I. 9. Determine o volume da intersecção de dois cilindros, ambos de raio R e cujos eios são ortogonais.. Seja F() =. Calcule lim + t dt. Calcule cos(t )dt. Mostre que f() = constante?. e t dt /. Mostre que 7 π = 4. Seja f() = t + dt + 4 ( ) 4 +. dt, R. + t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. F() em termos de F(). t dt é constante em (, ). Qual o valor dessa + (b) Mostre que f() f() +,. (Sugestão: Integre +t de a.) 4 t 5
(c) Mostre que lim f() eiste e é um número real positivo. (d) Esboce o gráfico de f(), localizando seu ponto de infleão. 5. Seja f : R \ {} R dada por f() =. Estude as integrais de Riemann impróprias: (a) f() 6. Seja f() = (b) f() e t dt. Mostre que f () f() =, para todo R. 7. Seja F : [, + [ R dada por F() = t dt. (a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre = e = 4. (b) Calcule lim F( ) F(8) sen( ) IV - Polinômio de Taylor. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem, calcule um valor aproimado e avalie o erro: (a) 8, (b) ln(, ) (c) sen(, ). Mostre que: a) sen! IR b) e ( + + ) < para.. Encontre o polinômio de Taylor de ordem 5 de f() = em volta de =. 4. a) Seja n natural ímpar. Mostre que para todo IR ( sen! + 5 n... + ( ) 5! b) Avalie sen() com erro, em módulo, inferior a 5. n ) n+ n! (n + )! 5. a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f() = e em torno de =. b) Avalie e com erro em módulo inferior a 5. c) Mostre que para todo IR, ) e ( + + 4 + 6 n +... + e n+! n! (n + )! d) Avalie 6. Mostre que e com erro inferior a 5. ( cos( ) 5.! + 9.4! ).6! 5.7! 6
7. Seja I um intervalo aberto e seja f : I IR IR derivável até a ordem em I. Use o polinômio de Taylor de grau e a fórmula de Taylor para provar o teste da segunda derivada, isto é, prove que se a I é um ponto crítico de f e a) Se f () para todo I, então f tem mínimo em a. b) Se f () para todo I, então f tem máimo em a. RESPOSTAS I - Integrais Indefinidas ) 6 6 + + k e ) + k ) 7sen 7 + k 4) tg + k 5) 7 ln + k 6) 4 tg4 + k 7) cos ( 5 cos ) + k 8) ln cos + k 9) tg + ln cos + k ) ln( + ) + k ) arctg + k ) arctg + k ) ( ) + k 4) ln sec + tg + k 5) + ln + k 6) 5 8 5 ( + ) 6 + k 7) ln( + 8 + ) + k 8) (ln) + k 9) ln arcsen + k ) ln( + e ) + k ) ln( + cos ) + k ) e + k ) 4 ( + e ) 4 + k 4) cos + k 5) e arctg + k 6) ( + ) ( + ) + k 7) cos { + sen + k 8) e (sen + cos ) + k r+ r+ r+ ln + k, se r (r+) 9) ) (ln) (ln ) + k (ln) + k, se r = ) ( )e + k ) arctg + arctg + k ) arcsen + + k 4) sec tg + lnsec + tg + k 5) ( + sen cos ) + k 6) sen 5 sen5 + k 7) 8 ( 4sen4) + k 8) ln + sen + k 9) 6 ln 5 ln + ln + k 4) 6 arctg(+ 6 ) + k 4) ln + + 5 ln + k 4) + 5 6 ln + 4 ln( + (+ ) ) + arctg(+ ) + k 4) arcsen + k 44) 8 ( ) + 8 arcsen + k 45) ( )e + k 46) ln( + + ) + + k 7
47) ln 5 + + + k 48) (ln ) + k 49) (sen(ln ) cos(ln )) + k 5) ln 4 + k 5) ln + ln( + + ) + arctg( + ) + k 5) a + b + a b ln(b a + a +b a ) + k 5) b ln(b a + a +b a ) + k + + ln( + + ) +k 54) 55) + + arcsen( + ) + k 56) arctg( ) + k 57) sen sen + k 58) cos + cos 5 cos5 + k 59) sen ln sen + k sen 6) 4 cos8 ( ) cos6 ( ) + k 6) tg + ln tg tg 4tg 4 + k 6) 8 4 sen() + sen(4) + k 6) sen 5 sen5 + 7 sen7 + k 64) 6 64 sen(4) + 48 sen () + k 65) 5 6 + sen(6) + 64 sen() 44 sen (6) + k 66) cotg 5 cotg5 + k 67) tg + tg cotg() + k 68) arcsen + + k 69) + + 6 6 + 6 ln 6 + k 7) 6 ln 6 ln( + 4) 64 arctg + 4 ( +4) + k 7) arctg + ln ln + + k 7) arcsen( ) ( ) + + k 7) ln + + ln( + ) + arctg( ) + k 74) ln( + e ) + k 75) ln(+) + ln ln( + ) + k 76) ( + )e + k 77) 4 ln 4 8 ln( + 4) 6 arctg ( ) + k II - Aplicações da Integral Definida... 8 5 a. 4.. 5. ln( + ). 6. 6a. 7. 4 5. III - Miscelânea 8. πab. 9. (a) 5 5 π. (b) π 6. (c) π (e e ). (d) 5π 6.. π. [. π (e + ). (πb)(πa ).. πh (a h ). 4. senh4 + senh. ] ln ( + ) =... 4. ( π+ + A). 9. 6 R.. F() 6 9.... π. 8