MAT 45 - Cálculo I - POLI - 006 Gabarito da P - A Questão A) Calcule (.0) (a) lim ( cos() ) / (.0) (b) 0 ( ( π ) ) cos + e d (a) Tem-se, ( π/4, π/4) \ {0}: (cos ) / = ep( ln(cos )). Pondo f() =. ln(cos ) e g() =., f e g são funções deriváveis em ( π/4, π/4), cujas derivadas são dadas, respectivamente, por f sen () = cos e g () =. Assim, ( ( π/4, π/4) \ {0}) f () g () = sen cos, donde lim = (usamos aqui o limite trigonométrico fundamental, limite de função composta, f () g () continuidade da função cosseno, regras do produto e do quociente para limites). Como lim f() = f(0) = 0 e lim g() = g(0) = 0 (f e g são deriváveis, logo contínuas), podemos aplicar a primeira f() regra de l Hôpital para concluir que lim g() =, donde lim ln(cos ) = lim f() g() = 6. Finalmente, como ep é contínua, segue-se lim ep(/ ln(cos )) = e 6. (b) Seja f : [0, ] R dada por f() = cos ( ) π + e. A função F : [0, ] R dada por F () = sen π/ π/ + e é primitiva de f; assim, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, 0 f = F () F (0) = π + e. Questão A) Seja f() = + + ln( + ). (0.5) (a) Determine o domínio de f e os intervalos de crescimento e decrescimento de f. (.0) (b) Determine os intervalos em que f tem concavidade para cima e os intervalos em que f tem concavidade para baio. (.0) (c) Determine, caso eistam, as assíntotas verticais, horizontais e as da forma y = a + b, com a 0, de f. (.0) (d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f. (a) Tem-se: dom f = { R > }; a função em apreço é derivável e sua função derivada é dada por ( > )f () = + + = +. Assim, f tem sinal positivo nos intervalos (, ) e (, + ) e sinal negativo no intervalo (, ). Por corolário do teorema do valor médio, segue-se que f é estritamente crescente nos intervalos (, ] e [, + ), e estritamente decrescente no intervalo [, ]. (b) f é derivável até segunda ordem, e f : (, + ) R é dada por f () = = +4+ = (+) (+) ( 0 )( ), onde (+) 0 = e = + (portanto 0 < e < < 0). Assim, f tem sinal positivo no intervalo (, + ) (i.e. f tem concavidade para cima no referido intervalo) e sinal negativo no intervalo (, ) (i.e. f tem concavidade para baio no referido intervalo).
(c) Tem-se: lim f() =, logo a reta = é uma assíntota vertical. Uma aplicação da segunda ln(+) f() ( regra de l Hôpital fornece lim + = lim + + = 0, logo lim + = lim / + + / + ln(+) ) = +, portanto f não tem assíntota à direita. Note que, em particular, segue-se do cálculo do último limite que lim f() = lim ( f() ) + + = +. (d) O gráfico de f é conforme esboçado na figura abaio: 4.5 4.5.5 - - 4 5 Questão A) (Valor:.0) Para esta questão você utilizá o seguinte fato: Considere uma viga de seção transversal retangular e densidade uniforme. Sabe-se que, quando apoiada em dois pontos, sua defleão δ (vide figura abaio) é inversamente proporcional ao momento de inércia de sua seção transversal, dado por I = y, sendo e y os lados do retângulo. seção transversal da viga y viga com defleão viga sem defleão δ r y Utilizando a informação acima resolva o seguinte problema. Suponha que uma viga seja fabricada a partir de um cilindro de raio r = 4, isto é, a seção transversal será um retângulo inscrito no círculo, conforme a figura. Calcule as dimensões e y para que a defleão seja mínima. Uma condição necessária e suficiente para que um retângulo de lados > 0 e y > 0 possa ser inscrito num círculo de diâmetro d = r é, pelo teorema de Pitágoras, + y = d, i.e. y = (d ) /. Assim, para um tal retângulo, o momento de inércia I do enunciado será dado por I = y = (d ) /. O problema se reduz, pois, a encontrar (caso eista) o(s) ponto(s) de máimo da função f : (0, d) R dada por f() = (d ) /. Aplicando-se a regra de Leibnitz e a regra da cadeia, conlui-se que tal função é derivável, e sua derivada é dada por ( (0, d)) f () = (d ) / + (d ) / ( ) = (d ) / (d 4 ). Assim, f é positiva no intervalo (0, d/) e negativa no intervalo (d/, d), donde (por corolário do teorema do valor médio) f é estritamente crescente no primeiro intervalo e estritamente
decrescente no segundo. Ou seja, d/ = r é o único ponto de máimo de f. As dimensões da seção transversal da viga que minimizam a defleão são, pois, = r = 4 e y = ((r) ) / = r = 4. Questão A4) (.5) (a) Prove a desigualdade: sen(b) sen(a) < b a, sempre que 0 < a < b < π. (.0) (b) Seja f : [0, ] R uma função contínua em [0, ], derivável em ]0, [ e tal que 0 < f() <, para todo [0, ], e f () <, para todo ] 0, [. Prove que a equação f() = tem uma e somente uma solução real. (a) Seja f : (0, π/) R dada por f() = sen. Mostremos que f é estritamente decrescente (donde a desigualdade afirmada no enunciado). A função em questão é derivável e, aplicandose a regra do quociente, sua derivada é dada por, (0, π/): f cos sen () =. O sinal de f () é, portanto, dado pelo sinal do numerador da última fração (uma vez que > 0 para (0, π/)). Tomando-se g : [0, π/) R dada por g() = cos sen, g é derivável e ( 0)g () = cos sen cos = sen, logo g < 0 em (0, π/), donde g é estritamente decrescente em [0, π/) (por corolário do teorema do valor médio). Como g(0) = 0, segue-se g < 0 em (0, π/), donde f < 0 em (0, π/), portanto f é estritamente decrescente (novamente por corolário do TVM), como queríamos demonstrar. (b) É equivalente mostrar que a função g : [0, ] R dada por g() = f() tem um único zero. Com efeito, g é contínua em [0, ] (pois é diferença de duas funções contínuas), derivável em ]0, [ (pois é diferença de duas funções deriváveis), e sua derivada g :]0, [ R é dada por g () = f (), portanto g < 0 por hipótese. Assim, por corolário do teorema do valor médio, g é estritamente decrescente e, em particular, injetiva o que nos garante a unicidade do zero, caso ele eista. Por outro lado, temos g(0) = f(0) > 0 (por hipótese) e g() = f() < 0 (também por hipótese), e decorre da continuidade de g e do teorema do valor intermediário que a referida função tem pelo menos um zero no intervalo ]0, [.
MAT 45 - Cálculo I - POLI - 006 Gabarito da P - B Questão B) Calcule (.0) (a) lim (cos()) 5/ (.0) (b) 0 ( ( π ) ) cos + e d (a) Tem-se, ( π/4,π/4) \ {0}: (cos ) 5/ = ep( 5 ln(cos )). Pondo f() =. ln(cos ) e g() =., f e g são funções deriváveis em ( π/4,π/4), cujas derivadas são dadas, respectivamente, por f () = lim sen cos e g () =. Assim, ( ( π/4,π/4) \ {0}) f () g () = cos sen, donde f () g () = (usamos aqui o limite trigonométrico fundamental, limite de função composta, continuidade da função cosseno, regras do produto e do quociente para limites). Como lim f() = f(0) = 0 e lim g() = g(0) = 0 (f e g são deriváveis, logo contínuas), podemos aplicar a primeira f() regra de l Hôpital para concluir que lim g() Finalmente, como ep é contínua, segue-se lim =, donde lim 5 ln(cos ) = lim 5 f() g() = 0. ep(5/ ln(cos )) = e 0. (b) Seja f : [0,] R dada por f() = cos ( ) π + e. A função F : [0,] R dada por F() = sen π/ π/ + e é primitiva de f; assim, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, 0 f = F() F(0) = π e +. Questão B) Seja f() = 5 + ln( + ). (0.5) (a) Determine o domínio de f e os intervalos de crescimento e decrescimento de f. (.0) (b) Determine os intervalos em que f tem concavidade para cima e os intervalos em que f tem concavidade para baio. (.0) (c) Determine, caso eistam, as assíntotas verticais, horizontais e as da forma y = a + b, com a 0, de f. (.0) (d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f. (a) Tem-se: dom f = { R > }; a função em apreço é derivável e sua função derivada é dada por ( > )f () = + + = + + = (+) +. Assim, f tem sinal positivo nos intervalos (, ) e (0, + ) e sinal negativo no intervalo (, 0). Por corolário do teorema do valor médio, segue-se que f é estritamente crescente nos intervalos (, ] e [0, + ), e estritamente decrescente no intervalo [,0]. (b) f é derivável até segunda ordem, e f : (,+ ) R é dada por f () = = +6+6 = (+) (+) ( 0 )( ) (+), onde 0 = e = + (portanto 0 < e < < 0). Assim, f tem sinal positivo no intervalo (,+ ) (i.e. f tem concavidade para cima no referido intervalo) e sinal negativo no intervalo (, ) (i.e. f tem concavidade para baio no referido intervalo).
(c) Tem-se: lim f() =, logo a reta = é uma assíntota vertical. Uma aplicação da segunda ln(+) f() ( regra de l Hôpital fornece lim = lim = 0, logo lim = lim / 5/ + ln(+) + + + do cálculo do último limite que lim + (d) O gráfico de f é conforme esboçado na figura abaio: + + ) = +, portanto f não tem assíntota à direita. Note que, em particular, segue-se ( f() = lim f() ) + = +. - - - 4-0.5 - -.5 - -.5 Questão B) (Valor:.0) Para esta questão você utilizá o seguinte fato: Considere uma viga de seção transversal retangular e densidade uniforme. Sabe-se que, quando apoiada em dois pontos, sua defleão δ (vide figura abaio) é inversamente proporcional ao momento de inércia de sua seção transversal, dado por I = y, sendo e y os lados do retângulo. seção transversal da viga y viga com defleão viga sem defleão δ r y Utilizando a informação acima resolva o seguinte problema. Suponha que uma viga seja fabricada a partir de um cilindro de raio r = 6, isto é, a seção transversal será um retângulo inscrito no círculo, conforme a figura. Calcule as dimensões e y para que a defleão seja mínima. Uma condição necessária e suficiente para que um retângulo de lados > 0 e y > 0 possa ser inscrito num círculo de diâmetro d = r é, pelo teorema de Pitágoras, + y = d, i.e. y = (d ) /. Assim, para um tal retângulo, o momento de inércia I do enunciado será dado por I = y = (d ) /. O problema se reduz, pois, a encontrar (caso eista) o(s) ponto(s) de máimo da função f : (0, d) R dada por f() = (d ) /. Aplicando-se a regra de Leibnitz e a regra da cadeia, conlui-se que tal função é derivável, e sua derivada é dada por ( (0,d)) f () = (d ) / + (d ) / ( ) = (d ) / (d 4 ). Assim, f é positiva no intervalo (0,d/) e negativa no intervalo (d/,d), donde (por corolário do teorema do valor médio) f é estritamente crescente no primeiro intervalo e estritamente
decrescente no segundo. Ou seja, d/ = r é o único ponto de máimo de f. As dimensões da seção transversal da viga que minimizam a defleão são, pois, = r = 6 e y = ((r) ) / = r = 6. Questão B4) (.5) (a) Prove a desigualdade: sen(b) sen(a) < b a, sempre que 0 < a < b < π. (.0) (b) Seja f : [0,] R uma função contínua em [0,], derivável em ]0,[ e tal que 0 < f() <, para todo [0,], e f () <, para todo ]0,[. Prove que a equação f() = tem uma e somente uma solução real. (a) Seja f : (0,π/) R dada por f() = sen. Mostremos que f é estritamente decrescente (donde a desigualdade afirmada no enunciado). A função em questão é derivável e, aplicandose a regra do quociente, sua derivada é dada por, (0,π/): f cos sen () =. O sinal de f () é, portanto, dado pelo sinal do numerador da última fração (uma vez que > 0 para (0,π/)). Tomando-se g : [0,π/) R dada por g() = cos sen, g é derivável e ( 0)g () = cos sen cos = sen, logo g < 0 em (0,π/), donde g é estritamente decrescente em [0,π/) (por corolário do teorema do valor médio). Como g(0) = 0, segue-se g < 0 em (0,π/), donde f < 0 em (0,π/), portanto f é estritamente decrescente (novamente por corolário do TVM), como queríamos demonstrar. (b) É equivalente mostrar que a função g : [0,] R dada por g() = f() tem um único zero. Com efeito, g é contínua em [0, ] (pois é diferença de duas funções contínuas), derivável em ]0,[ (pois é diferença de duas funções deriváveis), e sua derivada g :]0,[ R é dada por g () = f (), portanto g < 0 por hipótese. Assim, por corolário do teorema do valor médio, g é estritamente decrescente e, em particular, injetiva o que nos garante a unicidade do zero, caso ele eista. Por outro lado, temos g(0) = f(0) > 0 (por hipótese) e g() = f() < 0 (também por hipótese), e decorre da continuidade de g e do teorema do valor intermediário que a referida função tem pelo menos um zero no intervalo ]0,[.
Questão : (,5 pontos). Seja a Prova - MAT-45 - Cálculo I POLI-7/05/005 B ímpar e A par f() = +. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, os de concavidade, os pontos de máimo e mínimo locais, as assíntotas e os limites necessários. Esboce o gráfico. Sinais: 0 + + + + + + + + + Assíntotas: Em lim + f() = lim f() = No ± lim ± f() = lim ± f() + = As assíntotas são = e y =. Primeira Derivada: f () = ( ) + = (+)( ) ( +)( ) = ++ ( ) ( ) O denominador não está definido para = e onde está definido, é sempre positivo. O numerador tem raízes ±. + + Observe que < < 0 < < +. A função decresce em ], [ e ] +, [. Em ], + [, cresce. Segunda Derivada: f () = ( ++ ( ) ( +)( ) ( ++)( ) = 4 ( ) ( ) ) = ( +)( ) ( ++)(()( )( )) ( ) 4 =
O sinal de f é o sinal de Gráfico: + 0 5 - - - 4-5 -0-5 Figura : Gráfico de f() = + Questão : (,5 pontos) (i) Encontre o polinômio de Taylor de ordem em volta de 0 = da função f() = ln +. (ii) Prove que ln + ( ) < 6
para todo >. f() = ln + f() = f () = ln + + f () = f () = + f () = f () = P () = f() + f ()( ) + f ()! ( ) P () = + ( ) + ( ) = Sabemos que o erro de f é dado por E() = f ()! ( ), para certo entre e. Então temos, E() = ( ). 6 Se >, temos < < e Como <, <. Donde, f() P () = E() ( ln + ) + = 6 ( ) ln + < ( ) 6 Questão : (,5 pontos) (i) Prove que para todo b > a >. eb b ea a < eb b (b a) 4 (ii) Calcule o limite lim + ( ) ln i) Considere a função f() = e. Essa função é derivável e, pelo TVM, eiste a < c < b = f (c). Substituindo onde f(b) f(a) b a e b b ea a b a = ec (c ) c Como < a < c, c < 4. Como c < b, ec < e b e c < b < b. Daí: e b b ea a b a = ec (c ) c < eb (b ) 4 (b a) < eb b 4 (b a)
ii) Considere a função f() = ( ) ln. Passando ao log, ln f() = ln( ) ln = ln ln( ) Como log é uma função crescente e, usando L Hospital, lim ln( ) ln = lim = lim = então lim + ( ) ln = e. Questão 4: (,5 pontos) Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a. (i) Encontre o raio da esfera e o lado do cubo que minimizam a soma de seus volumes. (ii) Encontre o raio da esfera e o lado do cubo que maimizam a soma de seus volumes. Sejam r 0 o raio da esfera e l 0 o lado do cubo. A soma das áreas de suas superfícies é dada por: A = 6l + 4πr = Soma dos volumes: V = 4 πr + l Fazendo 6l = 4πr 4πr, temos l = 6. Assim, o problema se reduz a encontrar (caso eistam) os pontos de máimo e mínimo da função V : [0, π ] R dada por: V (r) = 4 ( πr πr + Como V é contínua e está definida no intervalo fechado e limitado [0, π ], pelo teorema de Weierstrass conclui-se que eistem pontos de máimo e de mínimo de V no referido intervalo. Além disso, como V é derivável, segue do teorema de Fermat que, se um destes pontos não for etremidade do intervalo, deverá ser um ponto crítico de V no interior do mesmo. Conclusão: V tem pontos de máimo e mínimo no intervalo [0, π ], e tais pontos pertencem ao conjunto formado pelas etremidades do intervalo e pelos pontos críticos de V no interior do mesmo. A função derivada de V, V : [0, π ] R, é dada por: ) / πr V (r) = 4πr πr = ( πr ) = πr r
( Para encontrar os pontos críticos de V, observe que πr se, r = 0 ou r = ) πr r = 0 se, e somente πr, i.e. se, e somente se r = 0 ou r = π+. Assim, os pontos críticos de V são 0 e r 0. = π+ (0, π ). Além disso, como 0 e r 0 são os únicos zeros de V, e como V é contínua, segue do teorema do valor intermediário que V deve ter sinal constante nos intervalos (0, r 0 ) e (r 0, π ]. Mas ) ( ) V ( π ) = > 0, e lim r 0 (r = < 0 (portanto πr r πr πr tem sinal negativo para r > 0 e próimo de zero), o que nos permite concluir que V tem sinal negativo em (0, r 0 ) e positivo em (r 0, π ). Logo, pelo teste da derivada primeira, r 0 = π+ é o ponto de mínimo de V. Por outro lado, temos: V (0) = 7 e V ( π ) = 9 π. Como π < 4, tem-se π <, logo 9 π < 7, donde 9 π > 7, o que implica V ( π ) > V (0). Assim, π é o ponto de máimo de V.