Função definida por mais de uma sentença Ex01: Seja f : uma função definida por Calcule: a) f ( 3), f (0) e f ( 3). x, se x f ( x) x 3, se x 1. x 5, se x 1 e) f ( 1. 3) f) f ( 1). f ( 3) Ex03: Em um encarte de supermercado há um anúncio de promoção de desodorantes. Veja os valores a seguir Preço da unidade Acima de 3 unidades: R$6,80 R$1,40 de desconto por unidade a) Qual será o valor total pago na compra de, 3, 4 ou 5 unidades de desodorante? b) x tal que f( x) 1. b) Seja x ( x ) o número de desodorantes comprados e y o valor total (em reais) gasto. Qual a lei da função que relaciona x e y? c) as raízes de f. c) Qual o desconto percentual obtido na compra, nessa promoção, de 5 unidades de desodorante? Ex0: Seja * f : definida por Determine a) f (0,1) b) 1 f 5 1, se x f( x) x x, se x * * *. Ex04: É comum observarmos em casas de fotocópias promoções do tipo: Até 100 cópias: R$0,10 por cópia Acima de 100 cópias (de um mesmo original): desconto de 3 centavos por cópia excedente. Determine: a) o valor pago por 130 cópias de um mesmo original. c) f (0,666...) d) f( ) f( ) b) a lei que define a função preço p pago pela reprodução de x cópias de um mesmo original.
Considere o texto abaixo para responder aos exemplos 05 e 06. A empresa A vende seu produto, a preços progressivos, de acordo com a seguinte tabela: Número de 1 a 1000 de 1001 a 5000 acima de 5000 Valor unitário R$,00 R$1,80 R$1,60 Ex01: Construa o gráfico de cada uma das funções e dê o seu conjunto imagem. a), se x 0 f() x 1, se x 0 A empresa B vende o mesmo produto da empresa A pelo valor fixo de R$1,80 Ex05: Uma loja comprou 8.000 unidades da empresa A, então o valor médio unitário foi de: a) R$1,64 b) R$1,65 c) R$1,70 d) R$1,75 e) R$1,76 b) x, se x 1 f() x x 1, se x 1 Ex06: É economicamente conveniente adquirir produtos da empresa A somente a partir de uma quantidade maior que: a) 6000 unidades b) 6500 unidades c) 7000 unidades d) 7500 unidades e) 8000 unidades c) x 1, se x 0 f( x) x 1, se x 0 Gráfico Obs1: Seja f uma função e g( x) a f ( x b). a 0 desloca o gráfico de f para cima; a 0 desloca o gráfico de f para baixo; b 0 desloca o gráfico de f para direita; b 0 desloca o gráfico de f para esquerda; Obs: Seja f uma função e g( x) a f ( x b). g( x) f( x ) reflete o gráfico de f em torno do eixo-x; g( x) f ( x ) reflete o gráfico de f em torno do eixo-y;
d) ( x 1), se x 1 f ( x), se 1 x x, se x FUNÇÃO MODULAR a) Esboce o gráfico da função cx ( ) no plano cartesiano para x de 0 a 30. Ex0: Uma operadora de celular oferece o seguinte plano no sistema pós-pago: valor fixo de R$80,00 por mês para até 100 minutos de ligações locais. Caso o cliente exceda esse tempo, o custo de cada minuto adicional é de R$1,0. a) Qual é o preço da conta de celular de quem falar 75 minutos em ligações locais em um mês? E de quem falar o dobro? b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um consumo mensal de 5 metros cúbicos? b) Qual é a lei da função que relaciona o valor da conta mensal (y) e o número de minutos de ligações locais (x)? c) Faça o gráfico da função do item anterior Ex04: (Vunesp) Três empresas A, B e C comercializam o mesmo produto e seus lucros diários ( Lx ( )), em reais, variam de acordo com o número de unidades diárias vendidas (x) segundo as relações: 10 130 580 Empresa A: L ( x ) A 9 x 9 x 9 Empresa B: L ( x) 10x 0 Empresa C: B 10, se x 15 LC () x 10x30, se x 15 Determine em que intervalo deve variar o número de unidades diárias vendidas para que o lucro da empresa B supere os lucros da empresa A e da empresa C. Ex03: (Unicamp) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço fixo é igual a 0 reais. Para um consumo superior, o preço é de 0 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere cxa ( ) função que associa o gasto mensal com o consumo x de metros cúbicos de água.
Módulo de um número real b) x tal que f( x ) 3. x, se x 0 x x, se x 0 Ex01: Calcule: a) 8 b) 8 Gráfico: c) 0 d) 5 e) f) 3,14 g) 3,15 h) 4 9 3 i) 3 1,6 1,6 Construção de gráficos: 1º caso: funções do tipo f ( x) a x b. a) f ( x) x 1 b) g( x) x j) 5,4 5 k) 1 l) 3,14 3,15 Propriedades dos módulos: M1: x 0, x M: x 0 x 0 M3: x a, a 0 x a M4: x. y x. y, x, y M5: x x, x, y y y e y 0 n n M6: x x, n M7: x a x a M8: x a, a 0 a x a M9: x a, a 0 x a ou x a M10: x x, x M11: x y x y, x, y M1: x y x y, x, y c) f ( x) x 3 d) f ( x) x 1 º caso: funções do tipo f ( x) g( x) k, k constante Função modular Chama-se função modular a função f : dada pela lei f ( x) x, ou seja Ex01: Calcule: a) f(5), f ( 10 3) e f ( 15 4) x, se x 0 f( x) x, se x 0 a) f ( x) x 3 b) f x x x ( ) 4
c) f ( x) x 6 1 d) f ( x) x 3 Equação modular 1º caso: Equações do tipo f ( x) k, k 0 a) x 3 4 b) 4x 3 x 0 3º caso: funções do tipo f ( x) g( x) h( x ) a) f ( x) x 4 x 3 c) x. x5 6 d) x 3 x 4 0 b) f ( x) 3x 6 3x 3 º caso: Equações do tipo f ( x) g( x) a) 3x1 x 6 4º caso: funções do tipo f ( x) g( x) h( x )... a) f ( x) x 1 x b) x 5 x x 5 c) x x 3
3º caso: Equações do tipo f ( x) g( x) b) 3x 6 4 x 6 a) x 5 x 5x 9 b) 5x10 x 3 Inequação modular 1º caso: inequações do tipo f ( x) a ou f ( x) a, a 0 a) 3x 1 8 b) x 1 1 c) x x x c) x x 4 d) x 5x 6 º caso: inequações do tipo f ( x) g( x)... a) 4x 5x 7 4º caso: Equações do tipo f ( x) g( x)... h( x) t( x) a) 3x 9 x 1 6x b) 3x 9 x 4x 1 x
01. (FAAP) Seja EXERCÍCIOS 1, se x é racional f() x 1, se x é irracional f (0) f (1) f ( ) E é igual a: f ( ) a) - b) c) -1 d) 1 e) -3. A expressão 0. (Fuvest) Considere a função f, cujo domínio é o intervalo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições: Para 0 x 1, tem-se f ( x) 3x 1; Para 1 x, tem-se f ( x) x 6; f é linear no intervalo [, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura abaixo; a área sob o gráfico de f no intervalo [, 5] é o triplo da área sob o gráfico de f no intervalo [0, ] Com base nessas informações, a) complete o gráfico de f. b) determine a área sob o gráfico de f no intervalo [0, ] c) determine f (4) Se a empresa E 1 comprou 400 uniformes e a E, 600, na planilha de gastos, deverá constar que cada uma pagou pelos uniformes, respectivamente: a) R$38.000,00 e R$57.000,00 b) R$40.000,00 e R$54.000,00 c) R$40.000,00 e R$57.000,00 d) R$38.000,00 e R$54.000,00 04. (ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função 7 t 0, para 0 t 100 Tt () 5 16 t t 30, para t 100 15 5 Em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48ºC e retirada quando a temperatura for 00ºC. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: a) 100 b) 108 c) 18 d) 130 e) 150 05. (FATEC) Seja f : a função definida por Então, a) 13 b) 15 x,para x racional f( x) 3 f (0) f f (1 8) é igual a: 4 1 x, para x irracional c) 17 d) 15 4 e) 17 4 03. (UFRN) Ao pesquisar preços para compra de uniformes, duas empresas, E 1 e E, encontraram, como melhor proposta, uma que n estabelecia o preço de venda de cada unidade por 10, 0 onde n é o número de uniformes comprados, com o valor por uniforme se tornando constante a partir de 500 unidades. 06. (PUC) Para definir módulo de um número real x posso dizer que: a) é igual ao valor de x se x é real b) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x c) é o valor de x tal que x d) é o oposto do valor de x e) é o maior interior contido em x
07. Consideremos a função f : x x se x definida por:, 0 f ( x) 1, se 0 x x, se x Então, podemos afirmar que a imagem dessa função é: a) Im(f) = { y ; y 0} b) Im(f) = { y ; y 0 ou y } c) Im(f) = { y ; y 0 ou y 1ou y 7 / 4} d) Im(f) = { y ; y 7 / 4} e) Im(f) = 08. (MACK) O gráfico abaixo representa a função: 1. (STA CASA) A soma e o produto das raízes da equação x x 8 0 são respectivamente: a) 0 e -16 b) 0 e 16 c) 1 e -16 d) e -8 e) - e 8 13. O gráfico da relação x y é formado: a) por um único ponto b) por uma reta c) por duas retas concorrentes d) duas retas paralelas e) quatro retas distintas a) y x a a b) y x a a c) y x a a d) x a se x a y x a se x a 09. (FUVEST) Qual o conjunto dos valores assumidos pela a expressão, b c abc quando a, b e c variam no a b c abc conjunto dos números reais não-nulos? a) {-4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4} b) {-4, -, 0,, 4} c) {-4, 0, 4} d) {4} e) 10. (STA CASA) Os gráficos das funções de em definidas x por f ( x) x e gx ( ) 1 tem dois pontos comuns. Desses pontos, o de menor abscissa tem ordenada igual a: a) 0 b) 3 c) 1 d) 3 e) 11. (STA CASA) A sentença x x é verdadeira se, e somente se, a) x b) x 0 c) x 1ou x 0 d) 0 x 1 e) x 0 ou x 1 14. O gráfico da relação {( x, y) ;1 x e 1 y } tem área igual a: a) 1 b) c) 4 d) 1 e) 5 15. (UFCE) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade 3 x 1 1 é: x 1 5 a) 3 b) c) -5 d) -3 16. (PUC) O conjunto solução da equação : a) possui apenas um elemento b) possui exatamente dois elementos c) é vazio d) possui exatamente três elementos e) possui exatamente quatro elementos 17. A equação x 1 x x 1, x : a) tem duas soluções distintas cuja soma é b) tem somente as soluções -1 e 0 c) não tem solução d) tem uma infinidade de soluções e) tem três soluções distintas cuja soma é 4 x 1 x 1 em 18. (CESGRANRIO) A interseção dos conjuntos { x ; x 4} e { x ; x 7 } é um intervalo de comprimento a) b) 5 c) 1 d) 3 e) 4
19. (MACK) O conjunto solução de 1 x 3 4 é o conjunto dos números x tais que: a) 4 < x < 7 ou -1 < x < b) -1 < x < 7 ou -3 < x < -1 c) -1 < x < 7 ou < x < 4 d) 0 < x < 4 e) -1 < x < 4 ou < x < 7 0. (CESGRANRIO) O conjunto solução da desigualdade x 1 x x é: a) [ 3,0] [1,73] b) { x x 0} [3,15] c) [ 3, 0] { x x 0} d) { x 5 x 1} { x 1 x 17} e) [ 4, ] [,1] 1. (GV) Seja V o conjunto de todas as soluções reais da equação x x x 1 1. Então: a) V = Ø b) V = { x x 1} c) V = {0} d) V = e) V = { x x 1}. Se x ], 0] então a expressão: vale: a) 5x 1 b) 3x 1 c) x 1 d) 7 x e) x - 7 ( x 3) x (4 3 x) 3. (CESCEA) Se a e b são dois números reais quaisquer, assinale dentre as afirmações abaixo a que é sempre verdadeira a) a b a b b) a b a b c) a b a b d) a b a b e) a b a b 5. (ITA) Os valores de x, para os quais a função real dada por f ( x) 5 x 1 6 está definida, formam o conjunto a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5, 0] U [1, ) d) (, 0] [1, 6] e) [ 5, 0] [1, 6] 6. (UFES) O gráfico acima representa a função a) f ( x) x 1 b) f ( x) x 1 x 1 c) f ( x) x 3 d) f ( x) x 1 e) f ( x) x 1 7. O polígono do plano cartesiano determinado pela relação 3 x 4 y 1 tem área igual a: a) 6 b) 1 c) 16 d) 4 e) 5 8. Dadas as funções reais definidas por g x x x considere I, II, III e IV abaixo. ( ) 4, f ( x) x 4 x e I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas. II. O número de soluções reais da equação f ( x) g( x) é 3 III. A soma de todas as raízes das funções é 4 IV. Não existe x tal que f ( x) g( x) O número de afirmações corretas é: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 4. (FGV) Relativamente à função f de em, dada por f ( x) x x 1, é correto afirmar que a) o gráfico de f é a reunião de duas semirretas b) o conjunto imagem de f é o intervalo [1, [ c) f é crescente para todo x d) f é decrescente para todo x ex 0 e) o valor mínimo de f é 0. GABARITO 01. E 07. C 1. A 17. D. C 7. D 03. C 08. A 13. C 18. C 3. C 8. B 04. D 09. C 14. C 19. A 4. B 05. E 10. B 15. A 0. C 5. E 06. B 11. A 16. D 1. E 6. A 0. b) 11/ e c) 9/3