Plano de ulas Matemática Módulo 9 Trigonometria no triângulo retângulo
Resolução dos eercícios propostos Retomada dos conceitos PÍTULO 1 1 Os catetos medem 1 e 16 u.c. e o ilustrar esta situação, nota-se que o ângulo desta figura mede. Os 0 m podem ser interpretados como lados de um quadrado, e a ipotenusa, como sua diagonal, que também é bissetriz do ângulo reto. 0 0 m sen 0 16 0 e acordo com o teorema de Pitágoras, temos: 1 0 16 1 0 1 1 e M 0 m a Os catetos medem 9 e.18 u.c. cos 1 9 6 0 1 e acordo com o teorema de Pitágoras, temos: ( ) ( ) 9 [ ] 1. 18 0. 18 a) cos 6 + 7 6 E a :M & :M tm & tm :M é isósceles. Logo, o segmento tmeu é bissetriz do ângulo a, e o ponto E é o ponto médio de tu. Portanto, a tg a 1 1?. a a 6 Há duas possibilidades para que Eugênio acerte. Primeira: usar o comprimento calculado da rampa e compará-lo com a tg θ; segunda: a partir da tg a, calcular a medida da rampa e compará-la ao resultado anunciado. solução apresentada refaz o camino de Eugênio. 1 1 b) tg + 1 θ m
Se o desnível é de m e a tg θ, calcular o valor do cateto : pode-se 0? 0 onecido, pode-se calcular, que é o comprimento da rampa: 0 16 00 16 16 6 6 O cálculo de Eugênio não está correto. Possivelmente, ele não estava atento à solicitação do enunciado e confundiu a resposta correta com a medida, que faz parte do desenvolvimento da resolução. 7 d ipotenusa deste triângulo retângulo mede: 0 0. 00 0 solução do problema decorre da solução do sistema de equações: d d 6 d d ( 6 ) d d Se as equações forem comparadas: 6 d 8 Portanto, a distância entre as margens do rio é de 8 m. 9 d om o valor do cos θ e o valor da ipotenusa tu, podemos calcular a medida do cateto adjacente ao ângulo θ: 0, 6 1 0 cm 0 cm a relação de Pitágoras, temos a altura : 1 1 1 6 6 00 8 0 cm Se o ângulo β é o menor do triângulo, ele se opõe ao menor lado, que é o cateto de medida 0 cm. Logo: sen β 0 0 tg β 0 0 0,7 0,6; cos β 0 0 0,8; 6 P 1 P 6 m d e acordo com o esquema mostrado na figura, temos: tg d e tg d 6 Rio a P 6 00 0 O 0 0 figura mostra o PO, reto em, com O (raio) e P. Logo: sen 0 0, 0,? ( ) 7, 696 11 a Os triângulos e são isósceles, portanto, os ângulos de suas bases são congruentes. Uma vez que o ângulo do vértice é comum 1 + Se 7,69, a secante tpu mede aproimadamente 7,696 1 1 1,696 cm, o que pode ser aproimado para 1,7 cm.
1 às bases de ambos, os triângulos e são semelantes. Por isso: 6 8 omo os ângulos Q e Q são congruentes, Q é ponto médio e tqu, a mediatriz do segmento. s medidas do Q, reto em Q, são:, Q (metade de tu). O cálculo da tangente de Q, por sua vez, precisa do valor de Q, cateto do Q: Q Q 16 Q 18 9 Logo, tg Q 8 8 16 9? 1 8. PÍTULO 1 Os raios medem, aproimadamente, 6, cm e a 8,66 cm. 0 o 1 r tg 0º r 1? 0,77 1 r 8,66 cm r1 r 1 r1 1 8,66 r 6, cm 1 60 0 0 0 P (; ) os triângulos retângulos construídos na figura, temos: 1 sen 0 6 1 1 cos 0 6 1 1 r d b No, o segmento tu é cateto oposto ao ângulo de 0, e o segmento tu, cateto adjacente. omo tg 0 0, temos: 0 60 0 X d 0 d Y os triângulos da figura, obtemos as seguintes relações: tg 1 d d d tg 60 0 d 0 d (0 d) Substituindo d por na segunda equação, temos: ( 0 ) 0 0 1 [ ] Racionalizando a epressão: 0 1 0 1? 1 1 + 1 c O ângulo do vértice, interno ao, é suplementar ao ângulo de, portanto, mede 60. O cateto tu e a ipotenusa tu representam eatamente a trajetória que o avião realizou. Logo: 60 60 tg 60 60 60 0 60 60 sen 60 0 Portanto, o avião percorreu a distância de 60 km.
6 d figura mostra o triângulo retângulo v R v. esse triângulo, obtemos a razão: v tg 60 v Se a 60, temos: v sen 60 vr v v R O é semelante ao v R v, uma vez que a 60 é ângulo comum e ambos são retângulos. Logo: 60 7 c Observe a figura. 8 c 60 0 0 0 0 m tg 0 0 0 tg 1 R a segunda equação, sabe-se que e, ao substituir esse resultado na primeira equação: 0 + [ ] 0 0 0 0[ 1 ], 6 alculemos a medida do segmento tu no : tg 0 1 medida do segmento tu no é. alculemos a tangente do ângulo : tg 0 med 0 med 60 0 1 a 60 a 0 Portanto, tg. 9 onsiderando que o telado esteja centralizado, a afirmação do problema está correta. O cateto adjacente ao ângulo de 0 mede m. Logo: tg 0 d altura de m é o cateto oposto ao ângulo de 0, e a rampa é a ipotenusa: 1 sen 0 11 c O cateto oposto ao ângulo de 0 mede u.c., e a ipotenusa equivale a dois raios: 1 1 sen 0 r r r 1 a 0 0 1, altura do triângulo isósceles é o cateto oposto ao ângulo de 0 do, retângulo. Logo: 1, 1 1, sen 0 1, tg 0 1, 0 0, 1, O perímetro do é 1 1. Portanto, é igual a 6 1. 1
1 c 1 b s medidas da altura tmu e do cateto adjacente tmu podem ser calculadas por meio de razões no M, retângulo: M 1 M sen 0 M 1 M M cos 0 M O M tem altura M 1 e base M, logo, sua área é de cm. No E: sen 0 1 80 80 0 No : 1 sen 0 0 0 0 No : sen 0 1 0 0 16 a o 0 o z = 1 E F No : sen 0 1 No : cos Observe as construções feitas no trapézio e a sequência de cálculos: tg 60 1 1 No F, retângulo: 17 β β E z 1 b 1 [ ] z 1 1 z 1 No : sen 1 0, portanto, c é verdadeira. Se a 0º β 60, logo, no E: 16 0 o 0 o 0 o E tg 60 1 Sendo 1, o segmento teu mede cm, portanto, a afirmação a é verdadeira.
O E tem área de: afirmação b é falsa.? 1 cm², logo a No E, os lados tu e teu medem respectivamente cm e 1 cm. Para o E eistir, é necessário que o lado teu seja estritamente menor que a soma de e E, portanto, estritamente menor que cm. 1 1 1 E, 6. Logo, a afirmação d é verdadeira. PÍTULO 1 OI cm e O cm O ; tg 18? 1,70 18 tg 9 18 18 18 0, rampa deverá ter aproimadamente 1,1 m. o,8 sen 0,9 1,1 m,8,8 6 distância é de aproimadamente.9 metros. I cm sen sen? cos cos OI tg OI cm e acordo com o teorema de Pitágoras, temos: ( O) O 1 cm medida de é de aproimadamente 0,1. E E? tg med( ) 6 omo e são complementares, temos: 90 6 7. tg 7 1 0,1 o o.00.00 sen 0,176.9 m.00 m 7 a 0 0 0 sen 0,0 r 600 r r 0,0 8 c Se a rampa tem 600 m e a velocidade do ciclista é de m/s, ele levará 600 segundos para subir a rampa. Esse tempo corresponde a, minutos. a) cos 0,9 0,9 11,0 1 b) o cos 0,9,6 Pelo Teorema de Pitágoras, 1,6 & 1,9 E 1 1 tg 0 17
E E? E E E 1 E sen 0 E E E Logo: E E E E E PÍTULO 1 a) O maior ângulo é de aproimadamente 18. 11,66 Portanto: 7 ( E) 1 ( E) E 7 9 e Se o ponteiro dos minutos gira 60 em uma 60 ora, ele girará 6 por minuto. 60 min Se o ponteiro se movimentou 6 a 6 por minuto, isso significa que o tempo gasto foi de 6 minutos. Logo, o novo orário apresentado no relógio é 11min. a Passadas 1min, o orário será min. Tomando por referência a posição dos ponteiros às 1, quando estão juntos, basta verificar o giro de cada um às min e calcular a medida do menor ângulo. Movimento do ponteiro dos minutos: 60 min min 70 60 60? 60,66 tg tg 0, 18 11 b) O maior ângulo é de aproimadamente 1. Os alunos podem sugerir a possibilidade de bola no ângulo. Nesse caso, o ângulo é menor, pois a bola percorre uma ipotenusa maior para a mesma altura da trave., β 11, tg tg 0, 1 11 escada alcança uma abertura máima de aproimadamente 0,8 m. sen 70 0 0? 0,997 18, 8 m Se é a altura máima que a escada alcança, temos: 0, 8 m árvore tem aproimadamente,8 m de altura. 0 70 o 18 Movimento do ponteiro das oras: 1 ora 0 19? 0 ora 1 0' Se os dois ponteiros giram no mesmo sentido, o menor ângulo formado entre eles é resultado da diferença: 70 1 09 17 09 ou 17, o 1, 1,7 tg 0,700? 1, 1, 8,8 m ssim: 8, 8 1, 7, 8 m
O perímetro e os ângulos internos medem, respectiva e aproimadamente,,66 cm, 9 e 11. β 7 d 1 0 8 d o m o 1,8 m e acordo com o teorema de Pitágoras, temos: 1, 8 Portanto, o perímetro desse trapézio é de aproimadamente ( 1 1?,8) cm, ou seja,,66 cm. Logo: tg tg 1,6667 9 omo a e β são suplementares, 180 9, isto é, b 11. parede tem 0,1 m de espessura, portanto, o cateto adjacente ao ângulo de mede m. álculo de d: cos d d d álculo pedido: d [ ] 0 0 8 0 8 e acordo com o teorema de Pitágoras, temos uma solução alternativa: d? 8 d 1 0 8 1,7 m 0 o 8 tg 0 1,7? 0,891 1, m 1,7 1,7 1,7 cos 0, m 0,7660 Logo, antes de quebrar-se, o bambu tina aproimadamente,6 m de altura. 6 altura do prédio é, aproimadamente, 70,98 m. tg 60 1,71 tg 0 Logo, temos: 1, 71 o 0 0 0 0 1, 71 1, 96 0, 71 1, 96 70, 98 m 6 a) Para calcular a distância entre e, é necessário calcular o valor de : sen 60 6 6 6 distância entre e é de 1. b) Para calcular a área do, retângulo, é necessário calcular o valor de : 1 cos 60 6 6 6 Logo, a área do é: +? 1 9 [ ] u.a. rio 19
9 distância entre os dois omens é [ 1 7 ] m. álculo de : tg 0 [ ] 1 m m H m 1, m H 0 o 1 w Na figura, a distância entre os dois omens é resultado da soma entre e w. Para calculá-las, aplicam-se as razões trigonométricas aos triângulos retângulos da figura. álculo de : tg 0 6 6? 1 9 1 6 s medidas dos ângulos agudos dos triângulos à direita da figura não são conecidas. Em razão disso, se calcula o valor de w por semelança entre os dois triângulos, ambos com ângulos congruentes: w 1, ( w )? 1, 1 1, w, 1 1,? w, w, 1, 7 distância entre os dois omens é de [ 1 7 ] m. Eercícios de integração 1 Se, e são ângulos internos de um triângulo, temos: 1 1 180 0 tnu e tmu medem 0 cm. 0 o cm N a M 1 sen 0 Portanto, o lado maior desse triângulo mede. O ângulo será de 60. 6 m 18 o, temos: cm tg tg 60 Uma vez que o 9NM é resultado da dobra do NM, o 9NM NM. 0 sen 18 sen 6 60 N9M NM MN MN9 N M N M9 (I)
cm N lém disso, tu tu e t9mu tu, o que resulta tu / t9mu. e, portanto, 9MN MN (ângulos alternos internos). (II) e (I) e (II) temos que MN & NM. omo a 60, concluímos que :NM é equilátero N M. onsiderando N M, temos a seguinte figura: N 0 o Obs.: N N (dobra do papel) M M :N9 sen 0 0 0 Portanto, tn e tm medem 0 cm. 1 Uma vez que a distância entre Siene e leandria corresponde a.000 estádios e que essa distância corresponde a 1 1 da circunferência (60 : 7 1), como mostra o esquema, a circunferência da Terra mede.000 estádios (1?.000). b) Se 1 estádio corresponde a 17, m,.000 estádios equivalem a 0.16.00 m ou 0.16, km. medida encontrada por Eratóstenes tina menos de 0 km a mais que a medida calculada oje. 7,69 1 o 1 o 0 o e acordo com o teorema de Pitágoras no, temos: () () 1 () () 1 1 1 1 Logo: sen 1 1? 0, 88 1 7, 66 6 altura do poste telefônico é [ 1 6 ] m. m m z 1 a).000 estádios 8 m 0 o 0,008 estádio 0,06 estádio 0, 008 tg 0, 17 7 0, 06 leandria 7 o Siene e acordo com a figura: sen 60 m 8 8 8 1 sen 0 8 8 8 z ( ) z 0 6 z 6 z 6 Portanto, a altura do poste é [ 1 6 ] m. 1
7 a) km e EF 1,7 km F E 1, H altura do trapézio é cateto oposto ao ângulo de 60 no MRQ, logo: tg 60 om a altura é possível calcular a área do trapézio: 0 trapézio? 7 cm álculo de : cos 60 1 álculo de EF: tg 60 1 1 1, 7 b) distância percorrida foi de 1 km. o substituirmos essa quantidade pela variável, obtemos o valor desejado: 0, 8? 1 1, O preço da corrida de tái foi de R$ 1,0. a No : E z 0 o 0 o cos 0 8 Podemos verificar que, e que, portanto, 0. Logo, : é isósceles (tem ângulos internos congruentes). 9 c Portanto. No : temos: cos 60 1. Portanto,. M Q P θ R N No E: cos 0? sen 0 z 1 z 1 z? z 9 Portanto, a área do E é obtida por: E 9? 7
Gabarito Retomada dos conceitos PÍTULO 1 1 16 e 1 9 e. 18 a) b) 1 e e 6 O cálculo de Eugênio não está correto. 7 d 8 distância entre as margens é 8 m. 9 d a 11 a PÍTULO 1 Os raios medem, aproimadamente, 6, cm e 8,66 cm. a b d c 6 d 7 c 8 c 9 afirmação do problema está correta. d 11 c 1 a 1 c 1 b 1 b 16 a 17 a) verdadeira c) verdadeira b) falsa d) verdadeira PÍTULO 1 OI cm e O cm medida de tu é de aproimadamente 0,1. a) 11,0 b) 1,9 rampa deverá ter aproimadamente 1,1 m. 6 distância é de aproimadamente.9 m. 7 a 8 c 9 e a PÍTULO 1 a) O maior ângulo é de aproimadamente 18. b) O maior ângulo é de aproimadamente 1. escada alcança uma abertura máima de aproimadamente 0,8 m. árvore tem aproimadamente,8 m de altura. O perímetro e os ângulos internos medem, respectiva e aproimadamente,,66 cm, 9 e 11. ntes de quebrar-se, o bambu tina aproimadamente,6 m de altura. 6 altura do prédio é de, aproimadamente, 70,98 m. 7 d 1 0 8 8 a) distância entre e é 1. b) área do é 1 1 9 u.a. 9 distância entre os dois omens é 1 7 m.
Eercícios de integração 1 O lado maior mede. O ângulo será de 60. tnu e tmu medem 0 cm. a).000 estádios 7,69 6 altura do poste telefônico é 1 6 m. 7 a) km e EF 1,7 km. b) O preço da corrida de tái foi R$ 1,0. 8 Ver resolução na p. deste Plano de ulas. 9 c a