Probabilidade Aula 04

0303200 Probabilidade Aula 04 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências, tradução da 8a edição americana, Cengage, 2014

Sumário 3.1 Variáveis aleatórias 3.2 Distribuições de probabilidade para variáveis aleatórias discretas

3.1 Definição de variável aleatória Para um determinado espaço amostral S de algum experimento, a variável aleatória (v.a.) X é qualquer regra que associa um número com qualquer resultado s de S, ou seja, variável aleatória é uma função que atribui um número real X(s) = x a cada saída s do espaço amostral de um experimento aleatório. S s X(s) = x x reta real X(s) = x significa que x é o valor associado ao resultado s pela v.a. X.

3.1 Exemplo 3.1 Quando um aluno liga para a Seção de Alunos da Poli para tirar dúvidas de sua matrícula, ele poderá falar com alguém imediatamente (I) ou ficar aguardando (A). Com S = {I,A}, considere a v.a. X dada por X(I) = 1 X(A) = 0. A v.a. X indica se o aluno pode (1) ou não pode (0) falar com alguém de imediato.

3.1 Exemplo 3.2 Considere o experimento em que um número de telefone em um determinado código de área é discado por meio de um discador aleatório (dispositivo muito usado por empresas de pequisa) e considere uma v.a. Y como { 1 se o número selecionado não está na lista telefônica Y = 0 se o número selecionado está na lista telefônica Por exemplo, se 3091-5134 estiver na lista telefônica, Y(30915134) = 0 enquanto Y(30910000) = 1 nos diz que o número 3091-0000 não está na lista.

3.1 v.a. de Bernoulli Qualquer variável aleatória cujos únicos valores possíveis são 0 e 1 é chamada de variável aleatória de Bernoulli. Esse tipo de v.a. apareceu nos Exemplos 3.1 e 3.2.

3.1 Exemplo 3.3 Voltando ao Exemplo 2.3. Neste exemplo, considerou-se um experimento no qual foi determinado o número de bombas em uso em dois postos de gasolina com seis bombas cada. Considere as v.a. s X, Y e U definidas como X = o número total de bombas em uso nos dois postos Y = a diferença entre o número de bombas em uso no Posto 1 e o número em uso no Posto 2 U = o máximo de bombas em uso nos dois postos Se esse experimento for realizado e resultar em s = (2,3) então X((2,3)) = 2+3 = 5, de modo que o valor observado de X foi x = 5 Y((2,3)) = 2 3 = 1 U((2,3)) = max{2,3} = 3 Nem sempre uma v.a. assume um número finito de valores como aconteceu nos Exemplos 3.1 a 3.3.

3.1 Exemplo 3.4 Considere um experimento no qual pilhas de 9 volts são testadas até se obter uma com tensão aceitável (A). O espaço amostral é S = {A, FA, FFA, } Considere uma variável aleatória X definida como X = a quantidade de pilhas testadas antes do término do experimento. Assim, X(A) = 1, X(FA) = 2, X(FFA) = 3,, X(FFFFFFA) = 7 etc Qualquer inteiro positivo é um valor possível de X, de modo que o conjunto de valores possíveis é infinito.

3.1 Tipos de variáveis aleatórias Define-se a imagem da variável aleatória X como o conjunto S X = imagem de X = {x R : x = X(s) para algum s S}. Diz-se que X é discreta se a imagem de X for um conjunto enumerável (contável). Nos Exemplos 3.1 a 3.4, temos variáveis aleatórias discretas; contínua se a imagem de X for um conjunto não enumerável (e.g., um intervalo da reta real)

3.1 Exemplo Adicional 1 (A1): v.a. discreta Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda: S X = { 6, 5,, 1,1,2,6} C = cara (C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) S K = coroa (K,1) (K,2) (K,3) (K,4) (K,5) (K,6) X 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x

3.1 Exemplo Adicional 2 (A2): v.a. contínua Considere que as possíveis saídas de um dado experimento são números reais entre 0 e 12: S = {0 < s 12} Vamos definir a seguinte v.a.: X = X(s) = s 2. A v.a. X mapeia S no conjunto S X = {0 < x 144} 12 9 3 6 0 9 36 X x 144

3.1 Exemplo A3 - Disco graduado Suponha que um disco graduado possa ser girado em torno do seu centro. Se o disco for dividido em n setores iguais, qual a probabilidade do disco parar no setor i? n 1 0 1 2 A probabilidade para todo i vale P(i) = 1/n; Se o número de setores for aumentado, teremos: Se n, P(i) 0, i

3.1 Exemplo A3 - Disco graduado (continuação) O que se pode calcular é a probabilidade do disco parar em um certo setor (um certo intervalo); Se definirmos a v.a. X como o ângulo em que o disco para, então 0 X < 2π P(X = x) = 0, x mas P(θ 1 X θ 2 ) = θ 2 θ 1 2π Conclusão: Para uma v.a. contínua X, nenhum valor possível dessa v.a. tem probabilidade positiva, ou seja, P(X = x) = 0 para qualquer valor de x possível

3.1 Exemplo 3.6 Suponha que selecionemos casais aleatoriamente e façamos um teste sanguíneo em cada pessoa até encontrarmos um marido e mulher com o mesmo fator Rh. Seja a v.a. X = número de testes a ser realizado. Os possíveis valores de X são S X = {2, 4, 6, 8, } Como os possíveis valores de X foram listados em sequência, X é uma v.a. discreta.

3.2 Definição A distribuição de probabilidade de uma v.a. discreta é definida para todos os números x de modo que P[X = x] = P(todos s S : X(s) = x) Para cada valor possível x da v.a. X, a distribuição de probabilidade especifica a probabilidade de observar aquele valor quando o experimento for realizado. As seguintes condições são necessárias para todas as distribuições de probabilidade: P[X = x] 0 todos os possíveis xp[x = x] = 1 Voltando ao Exemplo A1 (com dado e moeda honestos), temos P[X = 1] = 1 12

3.2 Exemplo 3.7 A Sala Para o Aluno da Poli tem seis computadores reservados para os alunos da disciplina de Probabilidade. Seja X o número de computadores que estão em uso em determinado momento do dia. Suponha que a distribuição de probabilidade de X seja dada pela tabela a seguir x 0 1 2 3 4 5 6 P[X = x] 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10 Deseja-se calcular a probabilidade de: no máximo 2 computadores estarem em uso pelo menos 3 computadores estarem em uso ter entre 2 e 5 (inclusive) computadores em uso ter mais que 2 e menos que 5 computadores em uso

3.2 Exemplo 3.7 Resolução: Vamos calcular a probabilidade de: no máximo 2 computadores estarem em uso P(X 2) = P(X = 0 ou X = 1 ou X = 2) = P[X = 0]+P[X = 1]+P[X = 2] = 0,05+0,10+0,15 = 0,30 pelo menos 3 computadores estarem em uso P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 0,30 = 0,70 ter entre 2 e 5 (inclusive) computadores em uso P(2 X 5) = P(X = 2ouX = 3ouX = 4ouX = 5) = 0,75 ter mais que 2 e menos que 5 computadores em uso P(2 < X < 5) = P(X = 3 ou X = 4) = 0,25+0,20 = 0,45

3.2 Exemplo 3.8 Seis lotes de componentes estão prontos para serem entregues por um fornecedor. O número de componentes com defeito em cada lote é mostrado a seguir Lote 1 2 3 4 5 6 Número de componentes com defeito 0 2 0 1 2 0 Um desses lotes é selecionado aleatoriamente para entrega a um determinado cliente. Seja X o número de peças com defeito no lote selecionado. Determine a distribuição de probabilidade de X.

3.2 Exemplo 3.8 Resolução: Os três valores possíveis de X são 0, 1 e 2. Dos seis eventos igualmente simples, três resultam em X = 0, um em X = 1 e outros dois em X = 2. Então: P[X = 0] = P(se Lote 1 ou 3 ou 6 é selecionado) = 3 6 = 0,500 P[X = 1] = P(se Lote 4 é selecionado) = 1 6 = 0,167 P[X = 2] = P(se Lote 2 ou 5 é selecionado) = 2 6 = 0,333

3.2 Exemplo 3.9 Vamos determinar se a próxima pessoa a comprar um computador em uma loja de eletrônicos adquire um notebook ou um desktop. Seja { 1 se o cliente compra um desktop X = 0 se o cliente compra um notebook Se 20% de todas as compras da semana correspondem a um desktop, determine a distribuição de probabilidade de X.

3.2 Exemplo 3.9 Resolução: P[X = x] = 0,8 se x = 0 0,2 se x = 1 0 se x 0 ou x 1 Gráfico de linhas da função de distribuição P[X = x] 0,8 0,2 0 1 x A função de distribuição descreve como o total da massa de probabilidade igual a 1 é distribuída nos diversos pontos ao longo do eixo dos possíveis valores da v.a.

3.2 Exemplo 3.12 Iniciando em um horário fixo, observamos o sexo de cada criança nascida em um determinado hospital até que nasça um menino (H). Seja p = P(H), presuma que nascimentos sucessivos sejam independentes e considere a v.a. X = número de nascimentos observados. Determine a função de distribuição de X.

3.2 Exemplo 3.12 Resolução: Observe que: P[X = 1] = P(H) = p P[X = 2] = P(MH) = P(M) P(H) = (1 p)p P[X = 3] = P(MMH) = P(M) P(M) P(H) = (1 p) 2 p.. { (1 p) P[X = x] = x 1 p, x = 1,2,3,... 0, caso contrário O parâmetro p pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. A expressão geral de P[X = x] descreve a família de distribuições geométrica.