Intgração nuérica: Método d Eulr Quando ua partícula s ov sob influência d forças co rsultant constant, sua aclração tabé é constant, podos ncontrar sua vlocidad posição a cada instant a partir d fórulas b conhcidas. Considr, poré, ua partícula qu s ov u spaço ond a força rsultant, portanto, sua aclração, dpnd da posição da vlocidad. Nss caso, a posição, a vlocidad a aclração da partícula u instant dtrina a posição a vlocidad u instant sguint, qu por sua vz, dtrina a aclração nst instant. Portanto, todas as três grandzas: posição, vlocidad aclração do corpo varia continuant no tpo. Ua das foras d rsolvr nuricant o probla consist substituir a variação contínua do tpo por ua sqüência d pqunos intrvalos d duração. A aproxiação ais sipls é a qu supõ qu a aclração sja constant durant cada intrvalo, qu dá orig ao étodo d Eulr. S o intrvalo d tpo for suficintnt pquno, a variação da aclração durant o intrvalo srá pquna podrá sr dsconsidrada. Sja x o, v ox a o x rspctivant a posição, vlocidad aclração na dirção x da partícula no instant inicial t o. Quando ignoraos a variação da vlocidad durant o intrvalo d tpo, a nova posição é dada por: x1 x v (1) o ox D anira siilar, s a aclração durant for constant, a vlocidad no tpo t to 1 srá dada por v1 vox aox () Podos usar os valors d x 1 v 1 para calcular a nova aclração x a 1 usando a quação d ovinto dpois calcular x v x usando x 1, v 1 x a 1 x : x x v 1 1x t (3) v v a 1 1x t (4) As rlaçõs ntr a posição a vlocidad nos tpos t n tn 1 tn são dadas por 1
xn 1 x v (5) n nx vn 1 v a (6) nx nx qu são gnralizaçõs das fórulas (1) (). Para ncontrar a vlocidad a posição algu tpo t, dividios, portanto, o intrvalo d tpo t t o u grand núro d intrvalos nors aplicaos rptidant as quaçõs (5) (6), coçando no tpo inicial t o. Isso nvolv u grand núro d cálculos rptitivos qu são ralizados ais facilnt u coputador. A técnica d dividir o intrvalo d tpo pqunos trchos calcular a aclração, vlocidad posição a cada novo passo usando os valors do passo antrior é chaada d intgração nuérica. A fi d ilustrar ssa técnica, vaos considrar u probla no qual u paraqudista rpouso s larga d ua crta altura, quando l passa a sr influnciado tanto pla gravidad quanto pla força d arrasto, qu é proporcional ao quadrado da rapidz. Encontraros a vlocidad v y a distância prcorrida y coo funçõs do tpo por io da intgração nuérica. A quação qu dscrv o ovinto d u objto d assa largado do rpouso, quando s ignora o puxo, é g bv a y (7) qu s adotou u rfrncial Oy orintado no sntido da força da gravidad. A aclração é, portanto, a y b g v (8) É convnint scrvr a constant quação (8), obtos b tros da rapidz trinal v T. Colocando a y 0 na b (9) 0 g vt
b g v T (10) Substituindo (10) (8), fica v a y g 1 (11) vt Para rsolvr nuricant a quação (11), prcisaos usar valors nuéricos para g para v T. E Física para cintistas ngnhiros, Paul Tiplr [1] é sugrido qu ua rapidz trinal razoávl para u paraqudista sja d 60 /s. Escolhndo-s y o 0 para a posição inicial, v o 0 para a vlocidad inicial a oy g 9, 8 /s² para a aclração da gravidad, ncontra-s a vlocidad v y a posição y algu tpo postrior, digaos para u instant d tpo t 0 s, divid-s o intrvalo d tpo 0 t 0 s uitos intrvalos pqunos aplicaos as quaçõs (5), (6) (11). Faz-s isso usando ua planilha ltrônica d cálculo, coo ostrado no apêndic, qu scolhos 0, 5 s obtivos os gráficos das figuras 1. Para t 0 s os rsultados v 59, 9 /s y 939, 9. vlocidad y vlocidad (/s) 70 60 50 40 30 0 10 0 0 5 10 15 0 5 tpo (s) vlocidad y Figura 1: Vlocidad adquirida plo paraqudista função do tpo, calculado confor odlo discutido no txto. 3
posição y posição y () 1000 800 600 400 00 posição y 0 0 5 10 15 0 5 tpo (s) Figura : Posição vrtical do pára-qudista função do tpo, calculado confor odlo discutido no txto. Podos sprar qu sja lhor adotar intrvalos d tpo uito pqunos, digaos 0,000.000.001 s. Mas xist plo nos duas razõs para não s adotar intrvalos d tpo xtrant pqunos. Priiro, quanto nor o intrvalo d tpo, aior srá o núro d cálculos ncssários ais tpo o prograa lvará para rodar. Sgundo, o coputador guarda apnas u núro fixo d algarisos cada passo do cálculo, d fora qu cada passo xist u rro d arrdondanto, qu vai s acuulando confor o tpo aunta. Quanto aior o núro d cálculos, ais iportant ficao rro d arrdondanto. Sgundo Física para cintistas ngnhiros, Paul Tiplr [1], ua boa rgra é não usar ais do qu crca d 5 10 intrvalos d tpo para cada intgração nuérica típica. Obsrvação 1: Est étodo t finalidad didática dá ua boa aproxiação casos sipls, coo o do ovinto d ua oda nu plano inclinado, as noralnt s usa o étodo d Rung-Kutta [], qu é acssívl ao studant qu ntndu o étodo d Eulr. Obsrvação : A quação (7) não lva conta o ar carrgado plo paraqudas, o qu dpnd da situação analisada pod não sr ua boa aproxiação. Para a solução coplta, vja rfrência [3]. 4
Apêndic Planilha d cálculo para o probla do pára-qudista: Δt= 0,5 s 5,5 1,9996 43,83684 4,57345 x0= 0 v0= 0 /s a0= 9,81 /s 6 144,918 46,1357 4,0188 6,5 167,9798 48,13001 3,497544 7 19,0448 49,87878 3,03049 VT= 60 /s 7,5 16,984 51,39403,6133 8 4,681 5,70019,4189 T y V a (s) () (/s) (/s ) 0 0 0 9,81 0,5 0 4,905 9,744439 1,455 9,777 9,549506 1,5 7,34111 14,55197 9,3954 14,6171 19,16845 8,808755,5 4,013 3,5783 8,95777 3 35,98773 7,707 7,716006 3,5 49,84809 31,5787 7,09588 4 65,63745 35,1501 6,447986 4,5 83,19996 38,34901 5,80489 5 10,3745 41,505 5,173186 8,5 69,0313 53,8111 1,916461 9 95,9419 54,77934 1,63886 9,5 33,3315 55,59578 1,3873 10 351,194 56,8944 1,175834 10,5 379,741 56,87736 0,99453 11 407,718 57,37463 0,839715 11,5 436,4001 57,79448 0,707949 1 465,974 58,14846 0,596113 1,5 494,3716 58,44651 0,501414 13 53,5949 58,697 0,41384 13,5 55,9435 58,90791 0,353863 14 58,3974 59,08484 0,96974 14,5 611,9398 59,3333 0,49099 5
15 641,5565 59,35788 0,0885 15,5 671,354 59,4631 0,175038 16 700,9666 59,5498 0,146655 16,5 730,7415 59,6315 0,184 17 760,5531 59,68457 0,10873 18 80,634 59,77908 0,07109 18,5 850,159 59,81513 0,060359 19 880,0605 59,84531 0,050518 19,5 909,9831 59,87057 0,0478 0 939,9184 59,89171 0,035379 17,5 790,3954 59,73601 0,086135 Exrcício Você stá praticando baloniso atira dirtant para baixo ua bola d tênis co ua rapidz inicial v0. A bola cai co ua rapidz trinal d 150 k/h. Suponha qu o arrast do ar sja proporcional ao quadrado da rapidz da bola. Us o étodo d Eulr para rspondr as qustõs abaixo. a) Quando v0 = 35 k/h, sti a rapidz da bola dpois d 10,0 s. b) Quando v0 = 0 k/h, dtrin o tpo qu a bola lva para atingir 99% d sua rapidz trinal, b coo a distância prcorrida ntr o lançanto st instant. Bibliografia [1] Tiplr, Paul A., Mosca, Gn. Física para Cintistas Engnhiros, volu 1, 6ª dição, LTC. [] Th Fynan Lcturs on Physics. [3] Th parachut paradox. (David Aurbach). A. J. Phys. 6 (11) 1041, Novbr 1994.