UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT A0 CÁLCULO A 009 ª LISTA ( QUESTÕES DE PROVAS ) Regra da cadeia ( f ( g( h(( t( )))))) f ( g( h(( t( ))))) g ( h(( t( )))) h (( t( ))) t ( ) Para cada uma das funções seguintes determine a derivada indicada: a) (999 ) sendo arctg ( ) (arcsen ( ))[log ( )] d log ( ) / b) (999 ) sendo e [sen (cos( ))] c) (999 ) sendo arccos (sen ( e )) arctg ( ) d d) (999 ) f (0) sabendo que f ( tg ( ) ) f (π ) cos ( ) e) (999 ) f () sabendo que f ( ) f ( ) R f) (998 ) 8 f (0) sendo f (8 ) f ( 9 8) e f ( 0) g) (998 ) π f () sendo f ( ) g( cos( )) [ ] com g : R R uma função derivável e g () h) (006-) f '(5) sabendo que f( ) f( ) arcotg( ) i) ( ) (005- ) f '( ) sendo f ( ) ( arctg) 0 < < π / j) (006 ) g () sabendo que f ( ) e g ( ) f ( arcsen) Derivada da função inversa f Se eiste f '( ) e f '( ) 0 então eiste ( )'( f ( )) e ( f ) ( f ( )) f ( )
Aplicando o resultado anterior faça o que se pede nos itens a seguir: a) (999 ) Encontre ( f sen () π π ) ( f ( )) sendo f ( ) cos ( ) b) (999 ) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P ( arctg() 0) sabendo que f ( ) c) (998 ) Calcule g ( f ()) sendo f ( ) e g a inversa de f d) (999 ) Determine a derivada da função f no ponto de abscissa 5 sabendo que D ( f ) ] [ e f está definida pela equação f ( ) 5 ( ) / e) (998 ) Determine ( f ) () sendo f ( ) e f) (006 ) De termine ( f ) (0) sendo f ( ) ( ) arctg g) (006 ) Determine ( f ) () sendo f ( ) Derivação implícita Para cada um dos seguintes itens determine a derivada indicada: a) (999 ) sendo f ( ) dada implicitamente pela equação e ln ( ) d b) (999 ) d sendo f ( ) dada implicitamente pela equação c) (999 ) sabendo que sen( ) d d) (998 ) ' sendo P ( 0 0 ) e f () uma função que satisfaz a equação P arccos () ln ( ) tg ( ) sen ( ) 0 e) (999 ) ' sendo P ( π) sabendo que sen ( ) π P f) (006-) no ponto de ordenada sabendo que é dada implicitamente por d π arctg( ) e e g) (006-) no ponto de abscissa 0 sabendo que é dada implicitamente por d h) (008-) no ponto em que abscissa e ordenada possuem o mesmo valor sabendo que é d dada implicitamente por
Reta tangente e reta normal Determine: a) (998 ) Uma equação da reta tangente à elipse 9 no ponto 5 P ( ) b) (999 ) Uma equação da reta tangente ao gráfico de sendo f ( ) com > f no ponto de abscissa a f () c) (998 ) Uma equação da reta normal à curva no ponto do º quadrante onde a reta tangente é perpendicular à reta r : d) (998 ) Uma equação da reta tangente ao gráfico de f tal que a mesma seja paralela a reta r : 0 sendo f () dada implicitamente pela equação para todo D ( f ) com f () > 0 e) (005 ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de arctg() sabendo que f ( ) f no ponto P(0) f) (006 ) Determine a equação da reta normal ao gráfico de sabendo que f ( ) e f no ponto de abscissa g) (008 ) uma equação da reta tangente ao gráfico de f() > 0 f no ponto de abscissa 0 sabendo que Limites Regra de L Hospital 5 Calcule os seguintes limites: a) ( 998 ) π π sen arctg( ) lim b) ( 998 ) lim( ) 0 e
c) ( 998 ) ln (sen ( )) lim ( π ) π d) ( 998 ) e lim 0 sen e) ( 999 ) lim 0 e f) ( 999 ) lim ( cot g() arctg( ) ) 0 g) ( 999 ) lim h) ( 998 ) lim (cos( )) 0 ( ) i) ( 998 ) lim ( ) j) ( 998 ) lim ( ) k) ( 998 ) / ) ) ( lim ( l) ( 999 ) lim tg π 0 (/ ) m) ( 999 ) lim [ cos() ] 0 / n) ( 999 ) lim ( cos()) 0 cos sec() o) ( 008 ) e sen π lim p) (005 ) lim arctg 0 (/ ) q) (005 -) lim ( sen) r) (006 -) lim (cot g() arctg( )) 0 0 a 6 (008 -) Determine o valor da constante a tal que lim a Máimos e Mínimos Com base na tabela seguinte e utilizando os conhecimentos sobre assíntotas adquiridos durante o curso resolva as questões 6 7 8 9 0 e
RELAÇÃO ENTRE AS CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UMA FUNÇÃO E AS DERIVADAS DE ª e ª ORDENS DESTA FUNÇÃO Características ª Derivada PONTO CRÍTICO DE f o de D ( f) tal que f ( o ) 0 ou f () ª Derivada Não informa ABSCIS SA DE MÁX LOCAL DE G ( f ) o é ponto crítico de f e o sinal de f () muda de para em o Não informa ABISCISSA DE MÍN LOCAL DE G ( f ) o é ponto crítico de f e o sinal de f () muda de para em o Não informa INTERVALO DE CRESCIMENTO Não informa INTERVALO DE DESCRECIMENTO INTERVALO ONDE G ( f ) TEM CVC INTERVALO ONDE G ( f ) TEM CVB crescente decrescente Não informa ABISCISSA DE PONTO DE INFLEXÃO f é contínua em é ponto crítico de f e f muda de crescimento em f ( ) 0 ou f ( ) e f muda de sinal em 7 (998 ) Considere uma função definida e contínua em R {} e o gráfico de a seguir: ' f é dado O 5 6 7 8 Determine: 7) os pontos críticos de f 7) os intervalos de crescimento e decrescimento de f 7) os pontos de máimo e de mínimo locais de f 7) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima (CVC) e onde tem concavidade voltada para baio (CVB) 75) as abscissas dos pontos de infleão do gráfico de f 76) o esboço de um gráfico de f considerando f ( 0) f () f (5) f (6) f (7) e f ( 8) 6 8 Para cada uma das funções dadas a seguir determine (se possível): o domínio de f as interseções do gráfico de f com os eios coordenados as assíntotas ao gráfico de f as interseções das assíntotas com o gráfico de f e com os intervalos de crescimento e de decrescimento de f os máimos e mínimos locais de f os intervalos onde o gráfico tem concavidade voltada para cima e onde o gráfico tem concavidade voltada para baio os pontos de infleão do gráfico de f e o esboço gráfico 8) (999 ) 8) (998 ) f ( ) com R f ( ) sabendo que f '( ) e f ( ) ''( ) 5
8) (998 ) f ''( ) ( ) 5 6 f ( ) sabendo que f '( ) e ( ) 8) (998 ) 85) (999 ) 86) (998 ) 87) (006- ) f ( ) e sabendo que f '( ) e ( ) e f ''( ) e ( 9 6 ) ( ) f ( ) sabendo que f '( ) e f ''( ) ( ) ( ) 8 f ( ) sabendo que f '( ) e 6 f ( ) sabendo que f ( ) e ( ) f ''( ) 8 f ( ) ( ) 9 Determine as constantes a e b de modo que 9) (998 ) o gráfico da função f ( ) a b tenha máimo relativo no ponto P (9 ) 9) (998 ) o gráfico da função f ( ) a b tenha ponto de infleão P () 9) (998 ) a função f ( ) a b tenha um etremo em e o gráfico de f tenha ponto de infleão de abscissa 0 Resolva os seguintes problemas: 0) (999 ) O custo de produção de unidades de um certo produto é dado em reais por 5 75 Encontre o valor mínimo do custo médio por unidade produzida (Sabe se que o custo médio por unidade produzida é dado por C ) 0) (999 ) O preço de uma certa ação na bolsa de valores em função do tempo t decorrido 60t após sua compra por um investidor é dado por P ( t) ( t) ( t em anos e P (t) em reais) Para vendê-la o investidor tem que esperar no mínimo anos e no máimo 5 anos Dê a melhor ocasião para venda 0) (998 ) Uma pista de atletismo com comprimento total de 00m consiste de dois semicírculos e um retângulo conforme figura ao lado Determine as dimensões de a e r de tal maneira que a área retangular demarcada na figura seja máima r a r 0) (999 ) Determine as dimensões de uma caia retangular de base quadrada sem tampa de forma que sua área total tenha 8 cm e seu volume seja o maior possível 6
05) (999 ) Um cilindro circular reto é gerado pela rotação de um retângulo de 0 cm de perímetro em torno da reta determinada pelos pontos médios de dois lados opostos desse retângulo Que dimensões o mesmo deve ter para gerar o cilindro de volume máimo? 06) (999 ) A resistência de uma viga é diretamente proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura da seção transversal ( R α sendo α a constante de proporcionalidade a largura e a altura) Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de um toro cilíndrico de raio a ( Ver figura ao lado ) a 077) (006 -) Determine as dimensões do cone circular reto que minimizam seu volume sabendo que a sua geratriz é o segmento de reta cujas etremidades são os pontos A ( a 0 ) e B ( 0b ) e que passa pelo ponto P ( ) conforme a figura ao lado b B P O a A 08) (008-) Uma folha retangular com perímetro de 6 cm e dimensões será enrolada para formar um cilindro Que valores de e fornecem o maior volume 09)(008 -) Deseja-se construir uma caia com forma cilíndrica de volume igual a m Nas laterais será utilizado um material que custa R$000 por m enquanto que na tampa e no fundo da caia se utilizará um material que custa R$500 por m Determine as dimensões da caia de forma que o custo seja mínimo 7
RESPOSTAS ) a) b) c) d d d log ( ) arcsen ( ) ln0 log e sen cos (cos ) ln sen (cos ) e cos ( e ) arctg ( ) sen ( e ) 8 π d) f '(0) e) f '() f) f '(0) g) f '() h) f '(5) /5 5 i) ( ) ( ) f ( ) ( arctg) ( )ln( arctg) ( ) arctg (( arcsen) ) j) g ( ) [ cos ()] a) ( f )'( f ( )) [ cos () ] b) a t ( f )'() ; ( f )'( f ( )) f '(0) ln ln c) g '( f ()) ; g'( f ( )) ( ln ) ln d) ( f )'(5) ; ( f )'( f ( )) f '( ) 8 5 e) ( f )'() ; ( f )'( f ( )) f '( ) ( ) / ( ) e f) ( f ) (0) f ( ) arctg( ) g) ( f )'() f '(0) ln a) d ( ) e b) ( ) e d arctg() c) 8 d sen sen cos 8
d) ' 6 e) π f) g) P ( 00) d h) ' P ( ) d 5 π () e d 5 5 a) t : ( ) ; 9 ' 50 ( ) b) t : ( ) ; ( f )' ( f ( )) 7 5 c) n : 0 ; ' e ' P 5 d) t : ( ) ; ' e) ( ) f) ( ) g) ln 5 a) /8 b) c) /8 d) e) / f) / g) h) / e i) j) k) l) e m) /e 6 n) e o) p) 6 q) e r) ½ 6 a ln 7 7) Pontos críticos de f : 0 5 6 e 8 7) Intervalos de crescimento: [ 0 [ ; ] 5 ] e [ 6 8 ]; intervalos de decrescimento: ] 0 ] ; [ 5 6 ] e [ 8 [ 7) Pontos de máimo local de f : 5 e 8 ; pontos de mínimo local de f : 0 e 6 7) CVC: ] [ e ] 7 [ ; CVB: ] [ e ] 7 [ 75) Abscissas de pontos de infleão de G ( f ) : e 7 0 5 6 7 8 f G ( f ) f ( 0 ) 0 p to de m D f ( ) 0 f (5) a p to I p to de M f (6) 0 f (7) >0 f (8)0 p to de m a p to I p to de M 9
76) Gráfico de f : 6 O 5 6 7 8 8 8) D ( f ) R * ; o gráfico de f não intercepta os eios coordenados; assíntota vertical: 0 e assíntota oblíqua: ( quando e ); as assíntotas não interceptam G ( f ) ; f é crescente em ] ] e em [ [ e é decrescente em [ 0 [ e em ] 0 ] ; f '( ) ; ponto de máimo local de G ( f ) : ( ); ponto de mínimo local de G ( f ): () ; f ''( ) ; G ( f ) tem CVC em ] 0 [ e CVB em ] 0[ ; G ( f ) não tem ponto de infleão Grafico de f 0
8) D ( f ) R * ; o gráfico de f intercepta apenas o eio O no ponto ( 0 ); assíntota vertical : 0 assíntota horizontal: 0 ( quando e ) ; apenas a assíntota horizontal intercepta o gráfico de f no ponto ( 0 ); f é crescente em ] 0 ] e é decrescente em ] 0[ e em [ [ ; ponto de máimo local do gráfico de f : ( / ) ; não tem ponto de mínimo local ; G ( f ) tem CVC em ] [ e CVB em ] 0 [ e em ] 0 [ ; ponto de infleão G ( f ): ( /9 ) Gráfico de f 8) D ( ) R { }; interseção do eio O com G ( f ) nos pontos: ( 0 ) e ( 0 ) e interseção do eio O com G ( f ) no ponto: ( 0 6 ); assíntota vertical : assíntota oblíqua : (quando e ); as assíntotas não interceptam G ( f ) a assíntota vertical intercepta O em ( 0 ) e não intercepta O e a assíntota oblíqua intercepta O em ( 0 ) e O em ( 0 ); f é crescente em ] ] e em [ [ e é decrescente em [ [ e em ] ]; ponto de máimo local do gráfico de f : ( ) ( 0 6 ) e ponto de mínimo local do gráfico de f : ( ) ( 0 ) ; G ( f ) tem CVC em ] [ e CVB em ] [ ; G ( f ) não tem ponto de infleão 8) D ( f ) R; o gráfico de f intercepta os eios coordenados na origem; não tem assítota vertical nem oblíqua e a assíntota horizontal é 0 ( ) que intercepta G ( f ) na origem; f é crescente em ] /] e é decrescente em [/ [ ; o gráfico de f tem máimo local no ponto (0 0 ) e não tem mínimo local; e G ( f ) tem CVC em ] / [ e tem CVB em ] / [ ; ponto de infleão: e (07 0) Gráfico de f Gráfico de f
85) D ( f ) R ; o gráfico de f intercepta os eios coordenados na origem ; não tem assíntota vertical nem oblíqua e a assíntota horizontal é (quando e ) que não intercepta G ( f ) e intercepta apenas o eio O no ponto ( 0 ) ; f é crescente em [ 0 [ e é decrescente em ] 0]; o gráfico de f tem mínimo local no ponto O ( 0 0 ) e não tem máimo local; G ( f ) tem CVC em e em tem CVB em ; os pontos de infleão são: e 86) D ( f ) R * ; o gráfico de f intercepta apenas o eio O no ponto ( 0 ) ; assíntota vertical: 0 não tem assíntota horizontal e a assíntota oblíqua é ( quando e ) que não intercepta G ( f ) e intercepta os eios coordenados na origem; f é crescente em ] ] e em ] 0 [ e é decrescente em [ 0 [ ; G ( f ) não tem mínimo local e tem máimo local no ponto ( ) ; G ( f ) tem apenas CVB em ] 0 [ e em ] 0 [ ; não tem ponto de infleão Gráfico de f Gráfico de f 87) D(f) R {}; * ; o gráfico de f intercepta os eios na origem (00); assíntota vertical: não tem assíntota horizontal e a assíntota oblíqua é -- ( quando e ) que não intercepta G ( f ) e intercepta os eios em (-0) e (0-); f é decrescente em ] 0] e em [6 [ e é crescente em [0[ e em ]6] ; G ( f ) tem mínimo local no ponto (00) e tem máimo local no ponto (6 ) ; G ( f ) tem CVC em ] [ e CVB em ] [ ; não tem ponto de infleão 9 9 9 8 9 8 7 9 9) a e b 9 ( Observe que f () < 0 logo nestas condições é ponto de máimo relativo de f )
9 9) a 6 e b 8 9) a e b 6 0 0) O valor mínimo do custo médio por unidade produzida é de R$ 500 0) A melhor ocasião de venda se dá no 5 o ano ( ou t anos ) 00 0) a 00 m e r m π 0) A base quadrada deve ter lados de medida cm cada e a altura deve medir cm 05) Os lados onde foram considerados os lados médios devem medir 0 cm cada e os outros dois lados 5 cm cada 06) A viga de resistência máima que pode ser cortada em um toro cilíndrico de raio a deve ter a a largura de e altura de 6 07) a / uc e b uc 08) cm e 6 cm 09) r m e 9π h m π