. O PLANO COMPLEXO VARIÁVEL COMPLEXA - 07.. Números Comlexos. Em cada caso, reduza a exressão à forma a + ib; a; b R: (a) ( i) + (3 + 4i) (b) ( + i) i (3 + 4i) (c) ( + i) ( + i) (d) ( i) (e) ( i) 3 + i (f) ( i) ( + i) (g) ( i) (3 + i) (h) i 45. Reita o exercício recedente com as exressões: (a) 3i (b) + i 3i (c) ( i) (d) 3i30 i 9 i (e) 5 + 5i 3 4i + 0 4 + 3i : 3. Encontre números reais x e y, tais que 3x + iy ix + 5y = 7 + 5i: 4. Em cada caso, calcule o valor da exressão. (a) Re + i + i (b) Im 3 + 4i (c) Im z (d) + 4i 4 + i (e) 3e i (f) jcos + i sen j : 5. Determine o argumento rincial dos seguintes números comlexos: (a) z = 3 (b) z = i (c) z = i 3 (d) z = 4i (e) z = 6. Demonstre as seguintes roriedades: + i 3 (f) z = ( 3 i) 6 : (a) z + w = z + w (b) z = z (c) z w = z w (d) (z=w) = z=w: 7. Qual número real faz com que o número comlexo + i i seja: (a) Um número real (b) Um imaginário uro, isto é, com arte real nula. 8. Se z = i e w = 3e i=3 ; reresente no lano C os números comlexos z; z + w; z w e w. 9. Veri que que os números z = i satisfazem à equação z z + = 0: 0. Seja P (z) um olinômio com coe cientes reais. Mostre que P (z) = P (z) e a artir daí deduza que se z é uma raiz de P (z), então o conjugado z também o é.
CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA. Mostre que um número comlexo z é real se, e somente se, z = z:. Usando a forma olar, deduza que: (a) i( i 3)( 3 + i) = + i 3 (b) 5i + i = + i (c) ( + i)7 = 8 ( + i) : 3. Se z = (z), mostre que o número comlexo z ou é real ou é imaginário uro. 4. Use a Fórmula de De Moivre (cos + i sen ) n = cos (n) + i sen (n) e comrove as seguintes relações trigonométricas: (a) cos () = cos sen e sen () = sen cos : (b) cos (3) = cos 3 3 cos sen e sen (3) = 3 cos sen sen 3 : 5. Dado z C, mostre que j zj + j + zj = + jzj : 6. Prove que jre (z)j + jim (z)j jzj : 7. Estabeleça a fórmula de recorrência: + z + z + z 3 + + z n = zn+ ; z 6= : Exresse o número z comlexo + i + i + + i 79 na forma a + ib; a; b R: 8. Determine todos os valores de: (a) (i) = (b) ( i) =3 (c) 8 =6 (d) 3 + i 3= (e) ( ) 3=4 : 9. Determine as 4 raízes comlexas da equação z 4 +4 = 0 e, usando o resultado, decomonha o olinômio z 4 + 4 em fatores quadráticos com coe cientes reais. 0. Se w é uma raiz n-ésima da unidade, w 6=, mostre que + w + w + w 3 + + w n = 0:. Se jzj = jwj e Re z = Re w, mostre que z = w ou z = w:. Sabendo que jzj < e jwj <, mostre que jz + wj < j + z wj : 3. Se z w 6= 0, mostre que Re (z w) = jzj jwj se, e somente se, arg z arg w = n; n Z: Neste caso, tem-se jz + wj = jzj + jwj.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 3 4. Dado um número inteiro n, quantos valores distintos a exressão i n + i n ode assumir? 5. Calcule o valor de ( + i) (3 + i) e com o resultado, mostre que = arctan (=) + arctan (=3) : 4 6. Sabendo que z = 3 7 + i 5 é solução da equação z 3 = 7 + i 5, calcule o valor de 3 7 + i 5 : 7. Resolva em C as seguintes equações: (a) z = i 3 (b) z 4 = 6 (c) z 4 ( i) z i = 0 (d) z 7 = i (e) (z) 3 = i (f) z 4 ( i) z = i. Toologia do Plano C. Esboce e classi que em Aberto (A) ou Fechado (F) os subconjuntos do lano C caracterizados or: (a) jre zj < (b) jim zj > (c) jz 4j > jzj (d) 0 < arg (z) < 3=4; jzj > (e) Re z > 0 e < jz ij < (f) 0 arg (z) =4; z 6= 0 (g) Re (=z) < =: (h) Im (=z) = (i) Re z 0: (j) Im z 3 < 0:. Identi que as curvas do lano comlexo descritas or: (a) jz j = jz 3ij (b) jz + ij = j3 + i zj (c) jz ij + jz + j = 3 (d) jz + j = jz ij (e) Re ( z) = jzj (f) z = z 0 + re i, 0 < 3. Dado um número real, identi que o conjunto S = fz C : jzj = jz jg : 4. Sejam R uma constante ositiva e z 0 um número comlexo xado. Identi que o subconjunto do lano comlexo descrito ela equação jzj + Re (zz 0 ) + jz 0 j = R : 5. Por que o conjunto vazio? é aberto? Por que ele é um conjunto fechado? 6. Mostre que a união e a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. O que se ode dizer sobre a união e a interseção de dois conjuntos fechados? \ 7. Dada uma família in nita fa n ; n Ng de conjuntos abertos do lano C, a interseção A n é um conjunto aberto? n=
4 CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA.3 Exercícios Adicionais. Determine todos os valores inteiros de n ara os quais i 3 n é um número real.. Dado z um número comlexo, com jz izj 6= 0, mostre que w = z iz z iz é um número real. 3. Mostre que as raízes n-ésimas do número comlexo z formam um olígono regular de n lados, inscrito em uma circunferência de raio R = n jzj: 4. Se P (z) é um olinômio com coe cientes reais e P (3 + i) = i, qual o valor de jp (3 i)j? 5. Se jz j 6= jz 3 j, mostre que z z + z 3 jz j jjz j jz 3 jj : 6. Usando o Método de Indução Finita, estabeleça a Fórmula Binomial: ( + z) n = + nz + n (n ) z n (n ) : : : (n k + ) + + + + z n ; n = ; ; 3; : : : :! k! 7. Ainda com o Método de Indução, estabeleça a Desigualdade Triangular: jz + z + + z n j jz j + jz j + + jz n j : 8. Demonstre a identidade: + i tan i tan = ei : 9. Se < ; use a fórmula de recorrência do Exercício 7 da Seção. ara estabeler as relações: (a) + cos + cos () + + cos (n) = + sen [(n + =) ] sen (=) (b) sen + sen () + + sen (n) = cotg (=) cos [(n + =) ] sen (=) 0. Se C e jj =, mostre que jz + j + z ; 8z C, e ocorre a igualdade se, e somente se, jzj = :. Demonstre a identidade: e use-a ara resolver as equações: q q z = (jzj + Re (z)) + i sgn (Im z) (jzj Re (z))
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 5 (a) z + z + = i (b) z 3z + 3 = i (c) z (5 + i) z + 8 + i = 0:. Se N é um inteiro 4, mostre que os ossíveis valores de + i + i + + i N são ; + i; i ou 0, conforme o resto da divisão de N or 4 seja 3; ; ou 0: 3. Usando a forma olar, mostre que z = i é raiz da equação z 4 ( + 4i) z + 4i = 0: RESPOSTAS & SUGESTÕES.. NÚMEROS COMPLEXOS, EXPOENTES E RAÍZES :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. Das oerações com números comlexos, resulta: (a) ( i) + (3 + 4i) = 5 + 3i: (b) ( + i) i (3 + 4i) = + i 3i + 4 = 6 i: (c) ( + i) ( + i) = 0 + 4i = 4i: h (d) ( i) = ( i) i 6 = ( i) 6 = 64. (e) ( i) ( 3 + i) = + 3 + ( 3)i: (f) ( i) ( + i) = i = 5: (g) ( i) (3 + i) = i ( i) (3 i) = = 3 + i 3 3 (h) i 45 = i 44 i = i = i: 8 3 i:. Usando a relação encontrammos: z w = z w jwj ; (a) 3i = 4 3 + 6 3 i: (b) + i 3i = 3 + 8 3 i: (c) ( i) = i :
6 CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA (d) Considerando que i 30 = e i 9 = i, obtemos: 3i 30 i 9 i = + i: (e) 5 + 5i 3 4i + 0 3 + 4i = 3 i. 3. Os números x e y formam a solução do sistema 3x + 5y = 7 x + y = 5 ; isto é, x = e y = : 4. Dado um número comexo z = x + iy, recordemos que Re (z) = x; Im (z) = y; jzj = x + y e re i = r: (a) z = + i = i ) Re (z) = =5: 5 (b) z = + i ( + i) (3 4i) = = 3 + 4i 5 (c) Se z = x + iy, então: 0 5i 5 ) Im (z) = =5: z = x y xyi (x + y ) = x y jz 4 j xyi jz 4 j ) Im =z = Re (z) Im (z) jzj 4 : (d) + 4i 4 + i (e) 3e i = 3 = j + 4ij j4 + ij = 7 7 = : (f) jcos + i sen j = e i = : 5. Exresse o número comlexo sob a forma z = re i, ara descobrir o argumento. (a) 0 (b) =4 (c) =3 (d) = (e) 5=6 (f) : 6. Como ilustração, faremos os ítens (c) e (d). Se z = a + ib e w = c + id, então: (c) z w = (ac bd) i (ad + bc) e z w = (a ib) (c id) = (ac bd) i (ad + bc) : De forma geral, temos: i n = ( ) k, se n = k, e i n = ( ) k i, se n = k + :
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 7 (d) Primeiro, mostremos que =w = (=w). De fato, notando que =w = w= jwj e =w = w= jwj, temos: Agora, temos: =w = w jwj = z = w w w jwj = jwj = (=w): z = z = z w w w = z w : 7. Se z = + i, então Re (z) = i imaginário uro quando = : e Im (z) = +. Sendo assim, z é real se = e será 8. Veja a ilustração no grá co. 9. A comrovação ode ser feita or substituição direta de z na equação. 0. Use as roriedades da conjugação dadas no Exercício 6 da Seção... Primeiro observamos que z = a + ib é um número real se, e somente se, Im (z) = 0, isto é, b = 0. Ora, z = z, a + ib = a ib, ib = 0, b = 0:. Como ilustração faremos os ítens (b) e (c).
8 CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA (b) Se ' = Arg ( + i), então + i = 5e i' e, ortanto: 5i + i = 5 e i( ') = 5 sen ' + i 5 cos ': Como tg ' = =, segue que sen ' = = 5 e cos ' = = 5 e obtemos o resultado. (c) Temos que z = + i = e 3 4 i ) z 7 = 7 e 4 i = 8 e (6 3 4 )i = 8 e 3 4 i = 8 (cos (3=4) i sen (3=4)) = 8 ( + i) : 3. Considerando z = x + iy, temos que z = x y + xyi e z = x y xyi. Assim, z = z, x y + xyi = x y xyi, xy = 0: Ora, xy = 0 se, e somente se, x = 0 (neste caso z é imaginário uro) ou y = 0 (neste caso z é real). 4. Considere na Fórmula de De Moivre n = e n = 3 ara chegar aos resultados. (a) No caso n =, temos: (cos + i sen ) = cos () + i sen (), cos sen + i sen cos = cos () + i sen (), cos () = cos sen e sen () = sen cos : (b) No caso n = 3; roceda de forma similar! 5. Das roriedades algébricas em C e lembrando que z z = jzj, temos: j zj + j + zj = ( z) ( z) + ( + z) ( + z) = z z + z z + + z + z + z z = + jzj : 6. Considerando que jzj = Re (z) + Im (z), temos: (jre (z)j + jim (z)j) = jre (z)j + jre (z)j jim (z)j + jim (z)j jre (z)j + jim (z)j = jzj :
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 9 7. Para comrovar a relação + z + z + z 3 + + z n = zn+ z ou efetuamos a divisão de z n+ or z ou usamos a roriedade distributiva e comrovamos diretamente a relação ( z) + z + z + z 3 + + z n = z n+ : Considerando n = 79 e z = i, temos: + i + i + i 3 + + i 79 = i80 i 8. Recordemos que w = z = se, e somente se, z = w : = i 90 i = i = 0: (a) ( i) (b) i; 3 i (c) ; i 3 ; i 3 (d) ( + i) (e) ( i) : 9. As quatro raízes de z 4 + 4 = 0 são i e i. A fatoração do olinômio z 4 + 4 ca assim: z 4 + 4 = z + z + z z + : 0. Considerando que w n =, or ser w uma raiz da unidade, obtemos + w + w + w 3 + + w n = wn w = 0:. Se z = a + ib e w = c + id, as igualdades jzj = jwj e Re (z) = Re (w) nos conduz ao sistema: x + y = a + b x = a de onde deduzimos que y = b: Logo, z = a ib:. Considerando que jzj < e jwj <, temos: jzj jwj < jwj, jzj + jwj < + jzj jwj : Daí resulta: jz + wj = jzj + jwj + z w + z w < + jzj jwj + z w + z w = j + z wj :
0 CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA 3. Se zermos z = re i e w = z = e i', teremos: z w = re i( ') = r [cos ( ') + i sen ( ')] e, consequentemente, Da última relação, resulta: Re (zw) = r cos ( ') = jzj jwj cos ( ') : Re (z w) = jzj jwj, cos ( ') =, ' = k: Neste caso, temos: jz + wj = re i + e i(+n) = (r + ) = jzj + jwj : 4. Um cálculo direto nos conduz a: i n + i n = in + i n = ( )n + i n = 0, se n é ímar = ( ) k, se n = k, k Z: Logo, os ossíveis valores assumidos or i n + i n são: 0 e : 5. Se = arg ( + i) e = arg (3 + i), então = arctan (=) e = arctan (=3) e teremos: arg [( + i) (3 + i)] = + : Por outro lado, ( + i) (3 + i) = 5 + 5i e, ortanto, =4 = arg [( + i) (3 + i)] = + : 6. Se arg (z), então z 3 = 8e i ) z = 3 8 e i=3 ) jzj = : 7. Para resolver a equação z n = w, o rimeiro asso é exressar o número w sob a forma olar. (a) (b) i 3 i : e (c) i e i : 4 [ cos (=8) sen (=8)]
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO (d) Considerando que j ij = e Arg ( i) = 3=4, temos: z 7 = i, z 7 = e i3=4 e as raízes são dadas or: z k = cos =4 3=4 + k + i sen 7 3=4 + k ; k = 0; ; ; : : : ; 6: 7 (e) Temos que z 3 = i se, e somente se, z 3 = i e as raízes desta última equação são: z k = [cos (=6 + k) + i sen (=6 + k)] ; k = 0; ; : (f) z = ou z = i :.. TOPOLOGIA DO PLANO ::::::::::::::::::::::::: ::: C. Em certos casos, é conveniente olhar a descrição do conjunto em coordenadas cartesiana. Para isto, consideramos z = x + iy: jre)zj <, jxj < : (A) jim (z)j >, jyj > : (A)
CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA jz 4j jzj, x : (F) 0 < arg (z) < 3=4; jzj > : (A) Re (z) > 0; < jz ij < : (A) 0 arg (z) =4; z 6= 0: Re (z) < =: (A) Im (=z) =: (F)
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 3 Re z 0, x y : (F) Im z 3 < 0, 3x y y 3 < 0: (A). Como no exercício recedente, odemos considerar z = x + iy e olhar a equação na forma cartesiana. (a) jz j = jz 3ij, 4x 6y + 5 = 0: (Reta) (b) jz + ij = j3 + i zj, 4x + 4y + 5 = 0: (Reta) (c) jz ij + jz + j = 3: (Elise com Focos: z = i e z = ) (d) jz + j = jz ij : (Circunferência de centro z 0 = + i e raio R = 7) (e) Re ( z) = jzj, x = y : (Parábola com Foco: z 0 = i=) (f) z = z 0 + re i, jz z 0 j = r: (Circunferência de centro z 0 e raio r) 3. Se z = x + iy, a equação se reduz a: x + y + x = : Se = 0, o conjunto se reduz ao onto z = : Se =, o conjunto se reduz ao onto z = =: Se =, o conjunto é vazio. Nos demais casos, o conjunto é a circunferência (x a) + y = + a ; a = :
4 CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA 4. Considerando z = x + iy; z 0 = x 0 + iy 0 e assando a equação jzj + Re (zz 0 ) + jz 0 j = R ara coordenadas cartesianas, encontramos (x + x 0 ) + (y + y 0 ) = R ; que reresenta uma circunferência de centro z 0 e raio R: 5. O lano C é o comlementar do conjunto vazio. Considerando que o lano C é, ao mesmo temo, um conjunto aberto e também fechado, deduzimos que o conjunto vazio? é aberto e fechado! 6. Sejam S e S dois subconjuntos do lano C e sejam A = S \ S e B = S [ S : (i) Se S e S são abertos, entãoa e B são abertos. De fato, dado z 0 em A, então z 0 S \ S e, ortanto, existem e osiitivos, tais que V (z 0 ) S e V (z 0 ) S : Se considerarmos = min f ; g, teremos V (z 0 ) S \ S, isto é, V (z 0 ) A: Por outro lado, dado z em B, então z S ou z S e, ortanto, V (z 0 ) B: (ii) Se S e S são fechados, então A e B são fechados. Passando aos comlementares, temos: CnA = Cn (S \ S ) = (CnS ) [ (CnS ) é aberto (união de dois abertos) CnB = Cn (S [ S ) = (CnS ) \ (CnS ) é aberto (interseção de dois abertos) 7. A interseção ode não ser um conjunto aberto. Para cada n N, considere os conjuntos (discos) abertos A n = fz R : jzj < =ng. É fácil deduzir que não é um conjunto aberto. T n= A n = f0g.3. EXERCÍCIOS ADICIONAIS :::::::::::::::::::::::::::. Temos que i n 3 = e i=3 n = n [cos (n=3) i sen (n=3)] e i 3 n será um número real quando sen (n=3) = 0, isto é, n for múltilo inteiro de 3.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 5. Sabemos do Exercício da Seção. que w é real se, e somente se, w = w: Temos: w = z z iz iz = z + iz z + iz = i ( iz + z) i ( iz + z) = w: 3. As n raízes comlexas de z = re i são z k = n r cos + k n + i sen + k n ; k = 0; ; ; : : : n ; e como jz k j = n r, segue que as n raízes z k estão igualmente esaçadas ao longo da circunferência de centro na origem e raio n r. Ressaltamos que arg (z k ) arg (z k ) = =n e o comrimento do arco entre essas raízes é s = n r=n: 4. Se z = 3 + i, então P (3 i) = P (z) = P (z) = + i. Logo, jp (3 i)j = j + ij = 5: 5. Da desigualdade jjzj jwjj jz wj ; segue que jjz j j z 3 jj jz + z 3 j e, ortanto, jjz j jz 3 jj = jjz j j z 3 jj jz + z 3 j ) 6. Com a notação binomial, devemos mostrar que: n+ X ( + z) n+ n + = z n k+ : k k=0 jz j jjz j jz 3 jj jz j jz + z 3 j : Admitindo a sentença válida ra n, temos: nx ( + z) n+ = ( + z) ( + z) n n = ( + z) z n k k=0 nx n nx n = z n k + z n k+ : k k k=0 k=0 k Por outro lado, n+ X n + nx n n z n k+ = + z n+ + + k k k k=0 k= " nx # " n = + z n k+ + z n+ + k = nx j=0 n j k= z n j + nx k=0 z n k+ nx k= n z n k+ = ( + z) n+ : k # n z n k+ k
6 CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA 7. Admitindo a sentença válida ara n, temos: jz + z + + z n + z n+ j jz + z + + z n j + jz n+ j jz j + jz j + + jz n j + jz n+ j : 8. Usando identidades trigonométricas, obtemos: + i tan i tan = tan + i tan sec = cos () + i sen () = e i : 9. Como ilustração, faremos a arte (a). Usando a identidade com z = e i ; = cos sen + i sen cos + z + z + z 3 + + z n = zn+ ; z 6= ; z < ; 6= 0; encontramos +cos +cos + +cos n+i ( + sen + sen + + sen n) = Da última igualdade, resulta: + cos + cos + + cos n = (aqui usamos a identidade cos x identidade imaginárias = cos (n + ) i sen (n + ) : ( cos ) i sen cos (n + ) cos + sen (n + ) sen cos (n + ) + ( cos ) cos n cos (n + ) + = sen (n + =) sen (=) + : ( cos ) cos cos y = sen x+y sen y x ). Para concluir a arte (a), use a cos = sen (=). A identidade (b) é deduzida de forma similar, igualando as artes 0. Tendo em vista que jj <, então jj jzj jzj e, sendo assim, obtemos: Por m, observamos que jz + j + z, jz + j + z, jzj + jj + z + z + jj jzj + z + z, jj jzj jzj : jz + j = + z, jz + j = + z, jzj + jj + z + z = + jj jzj + z + z, jzj jj jj, jzj = :
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS O PLANO COMPLEXO 7. Mostrar que w = é equivalente a mostar que w =. Se zermos q q = (jwj + Re (w)) + i sgn (Im z) (jwj Re (w)) teremos q = (jwj + Re (w)) (jwj Re (w)) i sgn (Im (w)) jwj Re (w) q = Re (w) i sgn (Im (w)) Im (w) = Re (w) + i Im (w) = w: (a) Temos Logo, z + z + = i, z + = 3 4 + i, z + = w; w = 3 4 + i: q q z + = (jwj + Re (w)) + i sgn (Im z) (jwj Re (w)) = + i Assim, as raízes da equação z + z + = i são recisamente z = + i, isto é, z = i ou z = i:. Os ossíveis valores de N são 4k; 4k + ; 4k + e 4k + 3 k N; conforme o resto da divisão de N or 4 seja 0; ; ou 3. Use o Exercicio 7 da Seção. ara concluir. Por exemlo, se o resto da divisão é, então N = 4k + e encontramos: + i + i + + i N = in+ i = = i4k+ i = i k+ i i = ( + i) ( + i) = = + i: ( i) ( + i) 3. Temos que z = e i3=4 e substituindo na equação, encontramos: z 4 ( + 4i) z + 4i = 6 e i3 ( + 4i) 4e i3= + 4i = 6 ( + 4i) ( 4i) + 4i = 0: