14 Obsrvávis alisamos rsultados xprimtais m trmos d prgutas simpls gora sittizarmos uma quatidad obsrvávl a partir d prgutas simpls omçamos com uma oção prlimiar d obsrvávl: um obsrvávl é uma colção d prgutas,,,,, qu cumpr as sguits xigêcias: simpls { 1 2 3 4 5 } () s prgutas são mutuamt xcludts, isto é, para implica a propridad ão l l, a propridad (B) mor prguta qu é maior qu qualqur smpr vrdadira Na rprstação das prgutas stas xigêcias sigificam: por subspaços () l l é a prguta trivial qu é d um spaço d Hilbrt H (B) = l l H od, st caso, ou símbolo, qu ats usamos para o ou quâtico sigifica a soma dirta d subspaços lias, a rprstação d propridads como subspaços um spaço d Hilbrt o ou quâtico corrspod xatamt à soma dirta titulo d xmplo d obsrvávl, vamos imagiar um úmro d cotadors d citilação para mdir a coordada x da posição d uma partícula 0,550 m Fig 141 Mdidor da coordada x d uma partícula com faixas citilats fotomultiplicadoras foto-multiplicadora 533 du um sial hcslb O plao x-y é cobrto com faixas logas d matrial 0 citilat S a partícula passa através das faixas la produzirá y um pulso d luz, isto é, uma citilação qu srá rgistrado por uma fotomultiplicadora x Um rsultado d uma mdida fotomultiplicadora srá uma rsposta sim, isto é um sial a fotomultiplicadora úmro uma rsposta ão, isto é sm sial, m todas as outras fotomultiplicadoras omo podmos comuicar st rsultado? É claro qu uma maira sria: a fotomultiplicadora úmro 533 du um sial Etrtato, para tdr o sigificado físico disto a pssoa qu rcbss sta msagm tria qu cohcr os dtalhs do aparato utilizado, quato spaço os cotadors ocupam como umramos os cotadors Portato, é mais útil rotularmos os cotadors com valors com algum sigificado físico Podríamos usar, por xmplo, a coordada x do ctro das faixas como rótulos o ivés d dizr o cotador úmro 533 du um sial x = 0,550 ± 0, 025 m (supodo qu as faixas possuam 533 faixa citilat podríamos falar mdimos ( ) 18
5cm d largura qu o ctro do cotador 533 tha a coordada x = 0,550m hcslb) Isto os lva a sguit dfiição: Um obsrvávl uidimsioal é uma colção d prgutas simpls xcludts 1, 2, 3, 4, 5, cuja uião é a prguta trivial juto com rótulos a1, a2, a 3, qu são valors d algum spaço-valor V d uma a a ão gradza física uidimsioal d tal forma qu l ( l ) o ivés d dizr qu a prguta mdimos o valor a foi rspodida com um sim dizmos S o vtor d stado stivr um dos spaços,,,, a a, a,, a, dará rprodutivlmt o rsultado { 1 1 2 2 3 3 4 4 } a mdida da quatidad obsrvávl a Para stados grais os rsultados flutuarão Em qualqur caso podmos mdir um valor médio a m um úmro grad d xpriêcias usado um smbl d sistmas a = a r (141) od r é a frqüêcia rlativa das rspostas sim da prguta tórica dst valor = a Pr ; ψ prvisão (142) é chamada d valor sprado do obsrvávl S a coicid com o valor sprado podmos ficar cotts Sja V o spaço-valor qu usamos para os rótulos a No xmplo dado das faixas citilats, st sria o valor d distâcias spaciais Podmos dfiir o produto tsorial do spaço V + iv (isto é, o spaço V complxificado) com o spaço d Hilbrt dfiir o produto d opradors ρ : H H opradors : H ( V + iv ) H om uma bas ortoormal { v, 1,2, } scrvr os opradors sts spaços a forma ϕ ν = m H podmos ρ = ρ ν µ, = ν µ com ρ, V + iv dfiir os produtos νµ νµ νµ νµ ν, µ ν, µ (143) ρ = ρ ν µ, ρ = ρ ν µ (144) νκ κµ νκ κµ ν, µ, κ ν, µ, κ Tmos ρ : H ( V + iv ) H ( ) sr stdida aturalmt para st tipo d oprador: ρ : H V + iv H opração d traço pod ( ) Tr ρ = νκρκv ν, κ (145) Esta opração rsulta um valor m V + iv aso ρ foram auto-adjutos o valor fica m V 19
gora podmos substituir a fórmula (1317) da probabilidad a fórmula (142) usar a liaridad da opração traço para scrvr o valor sprado d uma forma itrssat: = atr ( P ρ ) = Tr a ρ P (146) Nsta fórmula aparc um oprador auto-adjuto qu é dtrmiado pla colção d pars d subspaços valors { 1, 1, 2, 2,,} a a : ( ) = a P, : H V + iv H (147) complicada colção d pars d subspaços valors { 1, 1, 2, 2,,} a a é associada a um úico objto matmático Isto ão é apas uma associação d uma coisa com outra, mas a complicada colção { 1, 1, 2, 2,,} a a o oprador são d fato quivalts, pois a colção pod sr rcostruída a partir do oprador Para fazr isto basta rsolvr o problma spctral do oprador Os subspaços são justamt os auto-spaços os a são os autovalors corrspodts do oprador Tmos qu aprimorar o osso cocito d obsrvávl um pouco mais alisado o xmplo das faixas citilats criticamt, prcbmos qu a associação da prguta s um dtrmiado cotador dará um sial com um úico valor da coordada x ão é muito corrta Na vrdad dvríamos associar a prguta do cotador úmro 533 0,525m; 0,575m 1 S ão com o valor 0,550 m mas com o itrvalo d valors [ ] tivéssmos usado um arrajo d faixas citilats com a mtad da largura tríamos, m crto stido, mdido o msmo obsrvávl, mas com uma rsolução mlhor O qu chamamos d obsrvávl ão corrspod xatamt a um úico aparato o laboratório, mas a uma class d aparatos Um aparato md um dado obsrvávl com dtrmiada rsolução outro pod mdir o msmo obsrvávl um pouco mlhor com mais alta rsolução mbos os aparatos prgutam for itrvalos o spaço-valor d uma gradza Podmos aida prmitir qu s façam prgutas por uiõs cotávis d itrvalos No lugar da xigêcia qu as prgutas d um obsrvávl sjam mutuamt xcludts dvmos xigir qu ls sjam compatívis do stido d formar uma álgbra Boolaa Isto os lva à sguit dfiição d obsrvávl uidimsioal: Um obsrvávl uidimsioal com spaço valor V é uma colção d pars d prgutas simpls cojutos Borl V tal qu = ( ão ) qu = = tal qu V é a prguta trivial (smpr vrdadira) Vamos dizr qu, para o cojuto, o obsrvávl faz a prguta o ivés d dizr qu a prguta foi rspodida com um sim vamos dizr qu mdimos um valor a o cojuto 1 Uso aqui ; para sparar os valors o lugar da vírgula para ão cofudir o sparador com a virgula do úmro dcimal hc slb 20
Na rprstação matmática, as prgutas corrspodm a subspaços fchados ou a projtors ortogoais P st subspaços O spaço valor V é um spaço liar uidimsioal totalmt ordado Para a V sja Os projtors ortogoais ( ) { } I a = x V x a (148) ( a ) = ( ) prmitm scrvr um oprador auto-adjuto 2 Stiltjs 3 qu rprsta o obsrvávl: E P (149) I a m forma d itgral d Lbsgu E é a família spctral do oprador tm a propridad = a de (1410) ( ) ( ) a < a E a E a (1411) 1 2 1 2 Para os subspaços corrspodts isto sigifica: a < a (1412) ( ) ( ) 1 2 I a1 I a2 Potos d crscimto cotíuo da fução valor-oprador ( ) E prtcm ao spctro cotíuo do oprador, potos d dscotiuidad são autovalors discrtos rgiõs od sta fução é costat ão prtcm ao spctro Os projtors P corrspodts a um cojuto d Borl podm sr scritos também como itgral d Lbsgu Stiltjs com a fução caractrística d P = χ E (1413) χ do cojuto : 1 para χ = 0 para a a (1414) probabilidad d mdir um valor um cojuto é Pr ; = Tr ( P ρ ) = χ ( ) ( ( ) ) a dtr E a ρ (1415) o valor sprado do obsrvávl é 2 Na vrdad xist aqui uma trmda complicação matmática, para muitos obsrvávis (aquls com spctro ão limitados) o oprador ão é dfiido m todo o spaço d Hilbrt Nst caso prcisa do cocito d opradors sscialmt auto-adjutos 3 Sja f : R R uma fução cotíua g : R R uma fução mootoicamt crsct itgral b d Rima Stiltjs f ( x) dg ( x) é dfiida como limit das somas f ( x )[ g ( x ) g ( x )] 1 a + com partiçõs do itrvalo [ a, b ] com max[ x x ] 0 Est tipo d itgral pod sr stdida, + 1 formado a itgral d Lbsgu-Stiltjs, para podr icluir fuçõs f mdívis ão cotíuas itgral (1410) graliza sta idéia tdo opradors d projção o lugar da fução g 21
( E ) = a dtr ρ (1416) Para stados qu podm sr rprstados por um vtor d stado podmos scrvr as fórmulas (1415) (1416) também como Pr ; = ( ψ, P ψ ) = χ ( ) (, ( ) ) a d ψ E a ψ (1417) (, E ) = a d ψ ψ (1418) Podmos imagiar qu alguém ão gostou dos rótulos d um obsrvávl quira usar outros rótulos Isto pod sr fito com a ajuda d fuçõs mdívis 4 Sja um obsrvávl uidimsioal com spaço valor V Sgudo ossa dfiição, podmos scrvr como uma família idxada d prgutas = { } σ( V ) od chami a álgbra- σ dos cojutos d Borl m V d σ ( V ) Sja W outro spaço valor σ ( W ) a álgbra- σ dos cojutos d Borl m W E sja f : V W uma fução mdívl Etão podmos dfiir o obsrvávl f ( ) como a família idxada d { } ( ) prgutas ( ) = 1( ) f f S ra rprstado o spaço d Hilbrt σ W plo oprador a d oprador f de E tão o obsrvávl f ( ) srá rprstado plo S a fução f ão for ijctiva, a formação da fução d um obsrvávl volv alm da mra mudaça dos rótulos uma idtificação d prgutas, isto é, algumas prgutas 1, 2, qu origialmt ram distitas podm sr substituídas plo ou quâtico idéia sscial do obsrvávl ra uma colção d prgutas simpls compatívis cuja uião é a prguta trivial Os valors do obsrvávl ram mramt rótulos para comuicar os rsultados das mdiçõs d forma prática Etão podmos cosidrar o uso d outros tipos d rótulos Por xmplo, podríamos usar valors d uma gradza multi-dimsioal Sja V um spaço-valor d dimsõs d alguma gradza d dimsão Podmos formar um obsrvávl -dimsioal qu sria uma colção d prgutas simpls cojutos Borl V tal qu = ão, qu = qu = tal qu ( ) V é a prguta trivial (smpr vrdadira) Para podr rprstar st tipo d b1, b2,, b m V obsrvávl o spaço d Hilbrt podmos scolhr uma bas { } podmos associar ao obsrvávl obsrvávis uidimsioais 4 qui mdívl ão o stido da física xprimtal mas o stido da toria matmática d mdidas (volums, áras tc) Uma fuçõs f : M N qu mapia um spaço d mdida M um outro spaço d mdida é chamada d mdívl s todas as imags ivrsas d cojutos mdívis m N foram cojutos mdívis m M 22
,,, ( ) faz a prguta simpls da sguit forma: Para um cojuto Borl B R o obsrvávl ( ) B b b Bb b, ou sja a prguta simpls = R 1 R 2 R qu o obsrvávl faz para o cojuto i { i } B = R b R b Bb R b = x V x = x b, x B 1 2 i 5 b1 B=[1; 1,5] b2 Fig 142 Exmplo d um cojuto cilídrico bidimsioal com =1 B = [ 1;1, 5] om uma dada bas { },,, 1 2 B um spaço b, b,, b os obsrvávis são dtrmiados d forma úica plo obsrvávl Por outro lado, o obsrvávl também é dtrmiado d forma úica plos obsrvávis,,, pla bas álgbra-σ m V pod sr grada por cojutos da forma 1 B1 2 B2 B, od os B,, 1 B são cojutos d Borl m R Para st tipo d cojuto o obsrvávl ( ) ( ) 1 2 ( ) faz a prguta Os obsrvávis,,, podm B1 B2 B sr rprstados o spaço d Hilbrt por opradors auto-adjutos qu comutam Os obsrvávis,,, são compots d um úico obsrvávl d dimsõs Podmos também icluir os valors básicos b os obsrvávis; ( ) ( ) = b Isto é uma qustão d gosto Obsrvávis,,, qu podm sr cosidrados compots d um úico obsrvávl são chamados d obsrvávis comsurávis pois a mdição do obsrvávl pod sr cosidrada uma mdição simultâa d todos os,,, Sja W um spaço valor d alguma gradza f : V W uma fução mdívl, od V é o spaço valor do osso obsrvávl -dimsioal qu cosidramos o último parágrafo fiimos a fução f ( ) um cojuto Borl ( ) do obsrvávl como o obsrvávl qu, para B σ W faz a prguta f 1 ( B) Os obsrvávis f ( ) são comsurávis Mas a formação d tal tipo d fução d um obsrvávl sigifica d ovo uma mra altração dos rótulos Ela ão traz mais iformação o cotrário, s f ão for ijctiva, prd-s iformação Isto é, mdido f ( ) ão vamos obtr mais cohcimto sobr o stado do sistma do qu mdido o próprio Por outro lado, s mdirmos um outro obsrvávl B qu é comsurávl com gaharmos m gral mais iformaçõs, a ão sr qu B é justamt uma fução d Pod ocorrr qu o próprio já faz prgutas tão dtalhadas qu ão é possívl mlhorar a iformação aida mais Isto é o caso quado todos os obsrvávis comsurávis com podm sr scritas como fuçõs d Nst caso vamos chamar o cojuto d 5 Usamos o símbolo para lmbrar da palavra cilidro Em toria d procssos stocásticos st tipo d cojuto é chamado d cojuto cilídrico 23
obsrvávis ( 1) ( ) ( ) {, 2,, } um cojuto complto d obsrvávis comsurávis No caso d spctros totalmt discrtos sta codição sigifica qu os auto-spaços simultâos dos corrspodts opradors,,, são todos uidimsioais os auto-vtors comus a dotação d irac ão prcisam d ídics d dgrscêcia ( 1) ( 2) ( ) Um cojuto d obsrvávis comsurávis,,, é complto { } s somt s todos os obsrvávis qu são comsurávis com os,,, podm sr scritos como fuçõs dos,,, Notas d ula do mii-curso Fudamtos da Mcâica Quâtica do Smiário dos luos d Pós-graduação do p d Física UFJF 2013 Brhard Lsch 24