Caro monitor, Preparamos este material para que possamos auxiliá-lo no desenvolvimento das aulas 4, 43, 45, 46 e 47. Objetivamos que o uso deste material possa elucidar os conteúdos trabalhados nas referidas aulas, e assim, proporcionar o preparo de nossos alunos para aplicarem os conhecimentos desenvolvidos nas situações-problemas propostas, permitindo o estabelecimento das relações entre o conhecimento e suas aplicações. Com este material esperamos que você trabalhe, de acordo com a Matriz de Avaliação, o desenvolvimento das seguintes habilidades: H Aplicar conhecimentos da Geometria Analítica (distância ponto ponto, distância ponto-reta, equação da reta e equação da circunferência) na resolução de situaçõesproblemas. H3 Aplicar conhecimentos da trigonometria no triângulo (relações trigonométricas, lei dos senos, lei dos cossenos) na resolução de situações-problemas. Aula 4 As relações trigonométricas As relações trigonométricas denominadas Leis dos senos e dos cossenos é aplicada a um triângulo qualquer. As duas Leis relacionadas aos triângulos são aplicadas quando temos ângulos ou lados desconhecidos em um triângulo qualquer. Lei dos cossenos A Lei dos cossenos apresenta a seguinte relação: Lei dos cossenos : c² = a² + b² -.a.b.cosĉ Aplica-se a Lei dos cossenos quando conhecemos o valor de dois lados e de um ângulo do triângulo. Dado o triângulo ABC vamos determinar o valor do lado c, conhecendo o valor de um ângulo e dos outros dois lados. Sabendo que o lado BC (ou lado a) mede 4 unidades de medida e o lado AC ( ou lado b) mede 3 unidades de medida.
c² = a² + b² -.a.b.cosĉ c² = 4² + 3² -.4.3.cos60 c² = 6 + 9 4.cos60 c² = 6 + 9 4.0,5 c² = 5 c² = 3 Observação: co-seno 60 = 0,5 em representação decimal. c = 3 c = 3,60 (aproximadamente) Concluímos então, que o lado c tem como medida aproximada 3,6 unidades de medida. A seguir, vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação a Lei dos cossenos.
cozinha sala Em uma residência deseja-se colocar uma antena, a mesma ficará no telhado na direção da janela da sala, fornecendo assim sinal de transmissão para a sala e para a cozinha. Quantos metros de fio serão necessários comprar no total, já que da antena deverá partir uma fiação que levará a transmissão de sinal para sala e outra fiação que levará a transmissão de sinal para a cozinha. Resolução: Temos algumas informações que podem nos ajudar na resolução do problema proposto. Vejamos: Sabemos o valor do ângulo Ĉ = 60 Sabemos o valor do segmento AC ( segmento b) = m Sabemos o valor do segmento BC (segmento a) = m Desejamos saber o valor do segmento ( segmento c) =? Como temos o valor de um ângulo e de dois lados de um triângulo, podemos aplicar a Lei dos cossenos. c² = a² + b² -.a.b.cosĉ c² = ² + ² -...cos60 c² = 4 + 4 8. 0,5
c² = 8 8. 0,5 c² = 8 4 c² = 4 c = 4 c = Agora, que já temos a medida do segmento c, pode-se concluir que será utilizado um total de 4 metros de fiação. Pois, utilizaremos metros da antena até a sala e mais metros da antena até a cozinha. Aula 43 Lei dos senos A Lei dos senos apresenta entre seus ângulos e seus lados uma relação de proporcionalidade. Vejamos a utilização da Lei dos senos para encontrar o valor do lado desconhecido de um triângulo qualquer. Dado o triângulo ABC, vamos determinar o valor do lado c, sendo conhecidos os valores dos ângulos e de dois dos lados. Podemos observar que a Lei dos senos apresenta uma razão entre os lados e seus ângulos correspondentes, as razões entre os três lados e seus respectivos ângulos formam uma proporção. a Lei dos senos: senâ = b senbˆ = c sencˆ
Utilizando a Lei dos senos para calcular o valor do lado AB (ou lado c). Sabendo que o lado CA (ou lado b) mede 8 unidades de medida. b senbˆ = c sencˆ 8 sen45 = c sen30 8 c = 0,70 0, 5 8. 0,5 = c. 0,70 4 = c.0,70 c = 4 0,70 = 5,7 Observações: sen 45 = 0,70 em representação decimal. sen 30 = 0,5 em representação decimal. Concluímos então, que o lado c tem como medida 5,7 unidades de medida. A seguir vamos trabalhar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação a Lei dos senos. Aplicando a Lei dos senos A ilustração () abaixo apresenta um rio, deseja-se saber qual será o comprimento de uma ponte que será construída com o objetivo de permitir aos pedestres que realizem a travessia do rio. O cálculo do comprimento dessa ponte será permitido aplicando a Lei dos senos, para tanto, vamos traçar às margens do rio um triângulo (ilustração ). Para realizar a construção temos algumas informações:
Sabe-se que do ponto A ao ponto B há 3 km. Sabemos a medida de dois ângulos e de um dos lados do triângulo formado, podemos então aplicar a Lei dos senos para encontrar o valor do comprimento da ponte. O ângulo Ĉ mede 45 ; O ângulo Bˆ mede 65 ; O lado AB mede 3 km; Veja como será realizado este cálculo O objetivo é determinar o valor do segmento AC, sendo assim utilizaremos as duas últimas proporções. Observações: 3 AC sen45 sen65 3. sen 65 = AC. sen 45 sen 45 = 0,70 em representação decimal sen 65 = 0,90 em representação decimal 3. 0,90 = AC. 0,70 3.0,90 = AC. 0,7 AC =,7 0,7 AC = 3,86 km Sabemos agora que a distância entre o ponto A e o ponto C terá 3,86 Km aproximadamente, ou seja, o comprimento da ponte deverá ter 3,86 km. Geometria Analítica A Geometria Analítica desenvolve seus estudos por meio da conciliação entre a álgebra e a geometria. A seguir vamos trabalhar com algumas das importantes relações estudadas em Geometria Analítica.
Aula 45 Distância entre ponto e reta Para iniciarmos o cálculo da distância entre reta e ponto, vamos utilizar o plano cartesiano. r: x + = 0 P 6 Distância da reta r ao ponto P. x Temos a reta r e o ponto P, desejamos calcular qual é a distância entre a reta r e o ponto P. Para tanto, vamos utilizar a seguinte expressão : ax p b p a² b² c. 0.6 ² 0² Utilizamos o valor zero porque essa equação não tem o coeficiente b. 4 0 4 0 5 4 5,5 A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à distância entre reta e ponto.
O desenho a seguir representa a vista aérea de uma determinada ilha. Um grupo de ambientalistas deseja saber qual é a distância entre os dois pontos que estão marcados, estes representam pontos com sinais de desmatamento. 5 s: x + 4 x Para auxiliar os cálculos, os ambientalistas submeteram a vista área da ilha a uma representação no plano cartesiano, conforme ilustrado. A partir dessa representação, auxiliada pelas coordenadas cartesianas, qual é a distância entre o ponto H e o ponto pertencente a reta s, ambos apontados como sinais de desmatamento? Resolução: ax 0 b 0 a² b² c.4 0.5 ² 0² 8 0 4 0 9 4 9 4,5 Km
Podemos concluir que a distância entre os pontos que apresentam sinais de desmatamento é de 4,5 Km. Equação reduzida da reta Para determinarmos a equação reduzida da reta s vamos analisar o gráfico a seguir: s 6 4 4 x Para determinar a equação reduzida da reta vamos utilizar a seguinte expressão: x x x x Identificaremos x e como sendo as coordenadas (,4). Identificaremos x e como sendo as coordenadas (4,6). Aplicando a fórmula teremos: x 4 4 6 4 x 4.( x ).( 4) Podemos cancelar o denominador, já que temos o mesmo denominador nos dois membros da equação. x 4 8 x 4 8 x 4 x 4 Simplificamos todos os termos por, para isolarmos a variável.
Logo, obteremos a equação da reta s: = x A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à equação reduzida da reta Em uma corrida de táxi é cobrado uma taxa fixa de R$0,00 mais,00 por quilômetro rodado. Sabendo que o gráfico a seguir representa os valores cobrados pelo taxista em algumas viagens, determine quanto ele deverá cobrar em uma viagem de 5 km. Valores em reais Quilômetros rodados Resolução: Para resolver o problema proposto, vamos encontrar a equação da reta apresentada no gráfico. Algumas informações do gráfico vão nos auxiliar na obtenção da equação da reta. Para calcular a equação da reta vamos utilizar a seguinte expressão: x x x x De acordo com o gráfico, vamos considerar x, ) = (,); x, ) = (,4); ( ( Aplicando a fórmula temos: x 4 x
.( x ).( ) Aplicando a distributiva temos. x.. x. Isolamos a variável x 0, obtemos a equação da reta. Agora vamos utilizar essa equação para calcular o valor que será cobrado por 5 quilômetros rodados. = x + 0 (x representa os quilômetros rodados e representa o valor que será cobrado) =.5 + 0 = 50 + 0 = 60 Aula 46 Coeficiente angular da reta Observe a figura a seguir: k Coeficiente angular é representado pela tangente do ângulo de inclinação da reta. Para calcularmos o coeficiente angular da reta utilizamos a seguinte expressão: m = x x, sendo x e coordenadas de pontos que pertencem a reta.
Vejamos um exemplo: Dados os pontos A (4,) e B( 5,3) pertencentes a reta k, determine o seu coeficiente de inclinação. m = m = x x 3 5 4 m = m = Consultando a tabela trigonométrica, podemos verificar que o coeficiente angular do valor corresponde a tangente de 45. Ângulo 0 30 45 60 90 Tangente do 0 3 3 ângulo 3 Fazendo um esboço da reta e do seu coeficiente angular temos a seguinte representação gráfica: k 5 4 Inclinação da reta igual a 45 Inclinação da reta igual a 45 3 x Aula 47 Equação da circunferência A equação reduzida da circunferência é dada pela seguinte expressão: (x - a)² + ( b)² = R² a partir dessa expressão vamos resolver algumas situações.
) Dada a equação (x 4) + ( )= 5, determine o seu raio. Resolução: O raio da circunferência é igual a raiz quadrada do valor que está a direita do sinal de igualdade. Logo raio igual a 5, raio igual a 5. ) Dada a equação (x 4)² + ( 6)² =5, determine se o ponto A (7,0) pertence a circunferência. Resolução: Para resolver este tipo de problema, basta substituir as coordenadas do ponto na equação dada. ( x 4)² + ( 6)² = 5 substituindo as coordenadas do ponto ( 7 4)² + ( 0 6)² = 5 3² + 4² = 5 9 + 6 = 5 5 = 5 Podemos afirmar que o ponto A pertence a circunferência dada, já que substituindo as coordenadas do ponto na equação, obtivemos o valor igual ao valor do raio ao quadrado. 3) Determine a equação da circunferência com centro no ponto (,3) e que é tangente à reta z de equação 3x + 4+ = 0 Resolução: Para determinarmos a equação da circunferência, dados o centro e uma reta tangente a circunferência, vamos utilizar a expressão que nos permite calcular a distância entre ponto e reta. ax b 0 0 a² b² c 3. 4.3 3² 4² 6 9 6
0 5 0 = 5 5 O valor obtido representa a distância entre a reta e o centro da circunferência, sendo o mesmo considerado o raio. A partir desta informação, podemos obter a equação da circunferência, levando em consideração que já temos as coordenadas do centro e a medida do raio. A equação será: ( x )² + ( 3)² = 5 valor do raio elevado ao quadrado Coordenada x do centro Coordenada do centro A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à equação geral da circunferência. Em um jogo de futebol, o jogador vai bater um falta, ele deverá tocar a bola para o jogador que tiver no raio de metros, conforme orientação de seu técnico. Levando em consideração essa orientação, o jogador visualizou que ele poderia tocar a bola para o jogador ou para o jogador 3. Mas, após o final do jogo seu técnico apontou que ele não cumpriu sua ordem, já que a bola foi tocada para o jogador 3. O técnico está correto, quando diz que a bola deveria ser tocada para o jogador e não para o 3? ( levando em consideração que o toque de bola deveria ser para o jogador que tivesse no raio de metros). Informações adicionais: - o jogador está localizado no centro de uma circunferência de equação (x 4)² + ( 4)² = 4. - o jogador está localizado no ponto de coordenadas ( 3,6). - o jogador 3 está localizado no ponto de coordenadas ( 4,).
Jogador Jogador Jogador 3 x Resolução: Vamos utilizar a equação da circunferência e verificarmos se os pontos que representam as localizações dos jogadores pertencem ou não a circunferência dada. Jogador - coordenadas ( 3,6) Equação da circunferência: (x 4)² + ( 4)² = 4 Vamos substituir as coordenadas x e pelos valores que representam a localização do jogador. ( 3 4)² + ( 6 4)² = 4 ( - )² + ² = 4 + 4 = 4 5 4 Podemos verificar que o jogador não está no raio de metros do jogador, pois, substituindo as coordenadas do jogador na equação da circunferência, que representa a localização do jogador, não obtivemos uma igualdade.
Jogador 3 coordenadas (4,) Equação da circunferência: (x 4)² + ( 4)² = 4 Vamos substituir as coordenadas x e pelos valores que representam a localização do jogador 3. (x 4)² + ( 4)² = 4 ( 4 4)² + ( 4)² = 4 ( 0)² + (-)² = 4 0 + 4 = 4 4 = 4 Neste caso, verificamos que o jogador 3 está localizado no raio de metros do jogador, pois, substituindo as coordenadas de localização do jogador 3 na equação da circunferência, que representa a localização do jogador, obtivemos uma igualdade. Portanto, o técnico não está correto em dizer que o toque deveria ser para o jogador, pois o jogador que estava a uma distância de metros do jogador era exatamente o jogador 3. Caro monitor, A utilização deste material poderá acontecer posterior a finalização das aulas 4, 43, 45, 46 e 47, os exercícios aqui propostos poderão ser desenvolvidos pelos alunos em casa, e em momento oportuno discutidas as resoluções em sala. Procuramos, com a produção deste material, complementar as aulas já mencionadas e auxiliar nossos alunos no preparo para a 4ª avaliação processual. Referências Bibliográficas GIOVANNI, José Ru. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 005.