UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 17 Assunto: Funções Implícitas, Teorema as Funções Implícitas Palavras-chaves: funções, funções implícitas, erivação implícita Funções implícitas Consieremos a equação + y 2 = 1 Observemos que os pontos o R 2 que satisfazem essa equação constituem a circunferência e centro na origem e raio 1. Se isolarmos y na equação anterios, obteremos: y 2 = 1 y = ± 1 Assim, temos y = 1 ou y 1 Diremos que as funções f(x) = 1 e g(x) 1 estão enias implicitamente pela equação + y 2 = 1. Os grácos as funções f(x) e g(x) são mostraos a seguir A equação + y 2 = 1 poe ser posta na forma + y 2 1 = 0 e as funções f(x) e g(x) satisfazem + (f(x)) 2 1 = + ( 1 ) 2 1 = 0 + (g(x)) 2 1 = + ( 1 ) 2 1 = 0
No que zemos acima consieramos x como variável inepenente, mas não há naa na equação = y 2 = 1 que inique que tinha que ser assim. Portanto, poemos consierar y como variável inepenente e escrevermos x em função e y. = 1 y 2 x = ± 1 y 2 Portanto x = 1 y 2 ou x 1 y 2 Diremos então que as funções ϕ(y) = 1 y 2 e ψ(y) 1 y 2 estão enias implicitamente pela equação = y 2 = 1 (ou = y 2 1 = 0). Temos que: ϕ(y) 2 + y 2 1 = 0, qua e ψ(y) 2 + y 2 1 = 0 Se não muarmos as posições os eixos x e y o plano cartesiano, os grácos as funções ϕ e ψ são as seguintes Consieramos agora o caso geral. Observemos inicialmente que toa equação nas variáveis x e y poe ser escrita na forma = 0, em que F é uma função e uas variáveis. Diremos que uma equação = 0 ene implicitamente y como função e x se existe uma funlçaõ y = f(x) que satisfaz F (x, f(x)) = 0, para too x D f. Neste caso, iremos também que a função f(x) está enia implicitamente pela equação = 0. Diremos aina que a equação = 0 ene implicitamente cx como função e y se existe uma função x = ϕ(y) que satisfaz F (ϕ(y), y) = 0. Também iremos neste caso que a função ϕ(y) está bem enia implicitamente pela equação = 0. Observamos que uma mesma equação poe enir implicitamente várias funções. Voltemos ao caso a função y = 1, que está enia implicitamente que equação + y 2 = 1. A erivaa essa função poe ser calculaa por ois processos. 1 Processo: Calculamos iretamente a erivaa e y usano a expressão y = 1. 2 Processo: = 1 2 1 x.( 2x) x 2 1 x 2 2
Derivamos os ois membros a equação = y 2 = 1, levano-see em conta que y está em função e x. (x2 + y 2 ) = (1) 2x + 2y = 0 x y Dizemos que está expressa em termos e x e y. Se substituirmos y por 1, obteremos x 1 x 2 As erivaas as outras funções implicitamente por + y 2 = 1 também poem ser calculaas por esses processos. Há situações nas quais são conseguimos obter a expressão explícita e y como função e x. Quano isso acontece não poemos calcular a erivaa pelo primeiro processo. É o caso, por exemplo, a equação y + y 3 + sin(x + y) = 0 Conforme veremos aiante, essa equação ene implicitamente y como função e x, mas não é possível isolar o y em termos e x. Em too caso, poemos aplicar o 2 processo o exemplo anterios para calcularmos. (y + y3 + sin(x + y)) = (0) y + 3y 2 y + [cos(x + y)].(1 + y ) = 0 y + 3y 2 y + cos(x + y) + y cos(x + y) = 0 y (1 + 3y 2 + cos(x + y)) cos(x + y) y cos(x + y) = 1 + 3y 2 + cos(x + y) ou, usano a notação e Leibniz, cos(x + y) 1 + 3y 2 + cos(x + y) No caso geral, se a função y = f(x) está enia implicitamente pela equação = 0, então F (x, f(x)) = 0. equação, obtemos Aplicano a regra a caeia, para calcularmos a erivaa e ambos os membros essa 3
F (x, f(x)). x (F (x, f(x))) = (0) F (x, f(x)). = 0 + y x F (x, f(x)) + F (x, f(x)). y = 0 Portanto F (x, f(x)) x F (x, f(x)) y Estamos supono que F (x, f(x)) 0. Lembrano que f(x) = y, poemos escrever essa fórmula como y O que nos á uma maneira e expressar x y em termos e x e y. Consieremos agora o caso em que a equação = 0 ene implicitamente x como função e y, isto é, x = ϕ(y) e F (ϕ(y), y) = 0.Assim teremos (F (ϕ(y), y)) = (0) (F (ϕ(y), y)) x + (F (ϕ(y), y)) = 0 y Supono que (F (ϕ(y), y)) 0, temos: x Como ϕ(y) = x, poemos escrever a forma F (ϕ(y), y) y F (ϕ(y), y) x y x 4
Exemplo 1 Sabeno que a equação aa ene implicitamente y como função e x e também ene implicitamente x como função e y, use as fórmulas anteriores para expressar e em termos e x e y. 1. + y 2 = 1 Neste caso escrevemos Portanto + y 2 1 = 0 e = + y 2 1 2. y + y 3 + sin(x + y) = 0 x y 2y x y y 2y x 2x y x Escrevemos Logo = y + y 3 + sin(x + y) x cos(x + y) y 1 + 3y 2 + cos(x + y) y x 1 + 3y 2 + cos(x + y) cos(x + y) Ao aplicarmos esses processos evemos tomar cuiao com o signicao as notações,, F x e F y. Por exemplo 1. 2. 3. y3 = 3y 2 y x y3 = 0 y y3 = 3y 2 5
Existem equações que não enem implicitamente nenhuma função. é o caso, por exemplo, a equação + y 2 1 Essa equação não ene implicitamente nenhuma função, pois não existe uma expressão y = f(x) que substituía no lugar e y que prouzirá 1, visto que o primeiro membro a equação é sempre negativo. Observamos que, neste caso, poemos calcular pelo 2 processo, mas essa erivaa não tem razão e haver, pois a função não existe. A seguir temos mais uas equações que não enem implicitamente nenhuma função. Exemplo 2 Mostre que a equação aa não ene implicitamente nenhuma função 1. + sin(x + y) = 3 + y2 Temos que Portanto, o máximo que a soma e 2. xy = + y 2 + sin(x + y) + y2 + y 2 + sin(x + y) 1 + 1 = 2 + y 2 com sin(x + y) poe atingir é 2. Logo sempre teremos + sin(x + y) 3 + y2 O único pra (x, y) que é satisfeito por essa equação é o par (0, 0), pois se existisse y 0(ou x 0) tal que xy = + y 2, teríamos mas sabemos que Outro Processo: xy + y 2 = 1, xy + y 2 1 2 Se existissem x e y ambos não nulos tais que xy = + y 2 então xy > 0. Logo, ou x ou y são positivos ou são negativos. Temos que 6
xy + y 2 = 0 2xy + y 2 xy (x y) 2 xy O que é uma contraição, pois o primeiro membro é positivo e o seguno é negativo. Neste ponto, evemos superar estas uas questões: Quano uma equação = 0 ene implicitamente funções (y = f(x) ou x = ϕ(y))? Se = 0 ene implicitamente funções, quano tais funções são iferenciáveis? As respostas para essas perguntas evem ser provenientes a própria equação e tasi respostas são fornecias pelo teorema as funções implícitas. Teorema 1 (Teorema as funções implícitas. Caso = 0) Sejam uma função enia em um conjunto aberto A e (x 0, y 0 ) A. Se 1. é e classe C 1 em A, 2. F (x 0, y 0 ) = 0 e 3. F y (x 0, y 0 ) 0, então existem intervalos abertos I e J com x 0 I e y 0 J e uma função iferenciável f : I J que satisfaz F (x, f(x)) = 0, para too x I e F (x, f(x)) f (x) x F (x, f(x)) y Se no teorema anterior substituirmos a terceira hipótese por F x (x 0, y 0 ) 0, concluiremos que existirão intervalos abertos I e J com x 0 I e y 0 J e uma função ϕ : J I iferenciável que satisfaz F (ϕ(y), y) = 0, para too y J e F (ϕ(y), y) ϕ y (y) F (ϕ(y), y) x Exemplo 3 Mostre que a equação aa ene implicitamente y como função e x e que tal função é iferenciável. Além isso, expresse em termos e x e y 1. y + y 3 + sin(x + y) = 0 Escrevemos = y + y 3 + sin(x + y) 7
Assim teremos F (x, y) = cos(x + y) x F y (x, y) = 1 + 3y2 + cos(x + y) Portanto é e classe C 1 em R 2. Temos também que F (0, 0) = 0 e F (0, 0) = 1 0 y Portanto, a equação ene implicitamente uma função iferenciável y = f(x) 2. x 4 + 2xy + y 5 = 11 Escrevemos Logo = x 4 + 2xy + y 5 11 F x (x, y) = 4x3 + 2y F (x, y) = 2y + 5y4 y Portanto é e classe C 1 em R 2.E também que: e F (2, 1) = 2 4 + 2.2.( 1) + ( 1) 5 11 = 16 4 1 11 = 0 F y (2, 1) = 2.( 1) + 5.( 1)4 2 + 5 = 3 0 Portanto essa função ene implicitamente uma função iferenciável y = f(x) e F (x, y) x 4x 3 + 2y F y (x, y) 2y + 5y 4 8